3 CONSEQULNCIAS DA TEORIA DE CAUCHY

De
jp(z)j = z n an + an 1
z
= jzj n an + an 1
z
a1 a0
+ ::: + +
zn 1 zn + ::: + a1
z
n 1 + a0
;
zn podemos concluir que jp(z)j ! +1; quando jzj ! +1 e consequentemente que jf (z)j !
0; quando jzj ! +1: Ou seja, existe R > 0 su…cientemente grande tal que jf (z)j < 1;
quando jzj > R:
Porém, sendo f inteira, em particular f é contínua em C; e como tal limitada na bola
fechada
BR = fz : jzj Rg :
Em suma, f é uma função inteira limitada.
Mas em tais circunstâncias, o teorema de Liouville, leva-nos a a…rmar que f é uma
função constante. Mas isto implica que todos os coe…cientes do polinómio a; :::; a1; são
nulos, e que portanto p(z) é um polinómio de grau zero, o que é absurdo.
3.4 TEORIA DE CAUCHY GLOBAL
A teoria de Cauchy permanece válida em condições mais gerais, como mostraremos
a seguir com base no conceito de homologia, o qual é construído através do índice de uma
linha em C, relativamente a um ponto w =2 im ,
I( ; w) = 1
Z
2 i
1
z w dz:
Duas linhas fechadas no aberto U; dizem-se homólogas em U sempre que, I( ; w) =
I( ; w), para cada w =2 U: Se se reduzir a um ponto de U; será homóloga a em U
se I( ; w) = 0, para cada w =2 U; caso em que se diz homóloga a um ponto de U; ou
0-homóloga em U.
O conceito de homologia pode ser estendido de uma maneira formal a conjuntos de
linhas, com alguma vantagem prática.
A um conjunto …nito de linhas = f 1; :::; ng chamaremos uma cadeia. Uma cadeia
diz-se um ciclo se cada linha que compõe for fechada. Por im = im 1 [ ::: [ im n;
designaremos a imagem da cadeia.
Se f for uma função contínua em im , ao valor
Z
f =
nX
Z
k=1
chamaremos integral de f ao longo de :
Por comprimento de entenderemos o valor
c( ) =
k
f
nX
c( k):
k=1
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