3 CONSEQULNCIAS DA TEORIA DE CAUCHY

2.a) Veri…quemos que 8 (x; y) 2 R 2 se tem
Ora por diferenciação obtemos
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u (x; y) = 0:
@u
(x; y)
@x
= 3x2 3y 2 ;
@u
(x; y)
@y
= 6xy 5;
u (x; y) = @2 u
@x2 (x; y) + @2u @y
2.b) Procuremos uma função inteira f tal que
A função
@ 2 u
Re f (x + iy) = u (x; y) :
v (x; y) = Im f (x + iy)
(x; y) = 6x;
@x2 @2u (x; y) = 6x:
@y2 2 (x; y) = 6x 6x = 0:
será então uma harmónica conjugada de u:
Tendo a atenção a diferenciabilidade de f; as funções u e v relacionam-se entre si pelas
equações de Cauchy-Riemann. Isto é, v será tal que
Assim, temos que
@v @u
(x; y) = (x; y) e
@y @x
@v @u
(x; y) =
@x @y (x; y) ; 8 (x; y) 2 R2 :
@v
(x; y)
@y
= 3x2 3y 2 ;
@v
(x; y)
@x
= 6xy + 5:
Então por primitivação em ordem a y e a x; respectivamente, concluímos que
v (x; y) = 3x 2 y y 3 + c1 (x) ;
v (x; y) = 3x 2 y + 5x + c2 (y)
onde c1 (x) e c2 (y) designam funções exclusivamente dependentes das variáveis x e y;
respectivamente. Por comparação podemos então concluir que
v (x; y) = 3x 2 y + 5x y 3 + K;
onde K é uma qualquer constante real.
Da condição v (0; 0) = 0 podemos a…rmar que K = 0 e que portanto
v (x; y) = 3x 2 y + 5x y 3 :
3.a) Pelas regras de derivação temos que
@v
@x (x; y) = 2xex2 y 2
cos (2xy) e x2 y 2
2y sin (2xy) ;
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