3 CONSEQULNCIAS DA TEORIA DE CAUCHY

@2v @x2 (x; y) = 2ex2 y2 cos (2xy)+4x 2 e x2 y2 cos (2xy) 8xye x2 y2 sin (2xy) e x2 y2 4y 2 cos (2xy) ;
@v
@y (x; y) = 2yex2 y2 cos (2xy) e x2 y2 2x sin (2xy) ;
@ 2 v
@y 2 (x; y) = 2ex2 y 2
cos (2xy)+4y 2 e x2 y 2
cos (2xy)+8xye x2 y 2
sin (2xy) e x2 y 2
4x 2 cos (2xy) :
Logo, na verdade
v (x; y) = e x2 y2 cos (2xy) :
v (x; y) = @2 v
@x2 (x; y) + @2v @y
3.b) Procuremos uma função u (x; y) tal que
2 (x; y) = 0:
f (x + iy) = u (x; y) + iv (x; y)
seja uma função inteira.
As equações de Cauchy-Riemann indicam-nos que u (x; y) deverá ser tal que
Assim temos que
@u @v
(x; y) = (x; y) e
@x @y
@u @v
(x; y) =
@y @x (x; y) ; 8 (x; y) 2 R2 :
@u
@x (x; y) = 2yex2 y2 cos (2xy) 2xe x2 y2 sin (2xy) ;
@u
@y (x; y) = 2xcex2 y 2
cos (2xy) + e x2 y 2
2y sin (2xy) :
Da primeira destas relações, observemos que pela regra de derivação do produto de
funções
o que implica que
@u
@x (x; y) = 2yex2 y 2
cos (2xy) 2xe x2 y 2
sin (2xy) ;
= e x2 y2 @
sin (2xy)
@x
= @
@x
e x2 y2 sin (2xy) ;
@
@x ex2 y 2
u (x; y) = e x2 y2 sin (2xy) + c1 (y) ;
sin (2xy) ;
onde c1 (y) é uma qualquer função dependente apenas da variável y: Analogamente da
segunda relação temos que
@u
@y (x; y) = 2xex2 y 2
cos (2xy) + 2ye x2 y 2
sin (2xy)
= e x2 y2 @
sin (2xy)
@y
= @
@y
e x2 y2 sin (2xy) ;
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@
@y ex2 y 2
sin (2xy)