3 CONSEQULNCIAS DA TEORIA DE CAUCHY

e que por conseguinte
u (x; y) = e x2 y2 sin (2xy) + c2 (x) ;
para uma qualquer função c2 (x) que apenas dependa da variável x:
Comparando os dois resultados obtidos podemos então concluir que para uma qualquer
constante real
u (x; y) = e x2 y2 sin (2xy) + K;
e que
f (x + iy) = e x2 y2 sin (2xy) + K + ie x2 y2 cos (2xy) :
Por …m a condição f (0) = i …ca equivalente a
K + i = i;
donde resulta que K = 0:
Logo
f (x + iy) = e x2 y 2
sin (2xy) + ie x2 y 2
cos (2xy) :
4. Facilmente se observa que
f (x + iy) = u (x; y) + iv (x; y)
= x 2
y 2 + i2xy
= x 2 + i2xy + i 2 y 2
= (x + iy) 2 :
Como f (z) = z 2 é obviamente uma função holomorfa, de
u (x; y) = Re f (x + iy) ; v (x; y) = Im f (x + iy)
concluímos que u e v são de facto harmónicas conjugadas.
5. Supondo que existia uma função holomorfa, f; tal que Re f (x + iy) = y 4 + x 2 :
num certo conjunto U C; então a função (x; y) = y 4 + x 2 teria de ser necessariamente
harmónica em = f(x; y) : x + iy 2 Ug :
Ora por derivação temos que
o que implica que
@
(x; y)
@x
= 2x;
@
@y (x; y) = 4y3 ;
@ 2
(x; y) = 2;
@x2 @ 2
@y 2 (x; y) = 12y2 ;
(x; y) = @2 @2
(x; y) +
@x2 @y2 (x; y) = 12y2 + 2:
Ora como (x; y) 6= 0; 8 (x; y) 2 R 2 ; temos que (x; y) não é harmónica em nenhum
conjunto R 2 :
Logo não existe nenhuma função holomorfa, f; tal que Re f (x + iy) = y 4 + x 2 :
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