26/8/2012 – MAT: Solução geral para a equação de segundo grau

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26/8/2012 – MAT: Solução geral para a equação de segundo grau
Tags: Métodos para a resolução geral de uma função polinomial de segundo grau, raízes da equação de segundo grau, obtenção da fórmula de Bhaskara,
deduzindo a fórmula de Bhaskara, como obter a fórmula, de onde vem, resolução, demonstração, passo a passo. Não utilize esta pesquisa como fonte única de
estudos.
É importante lembrar que estamos interessados especificamente no método e não na história. Eis a
seguinte pergunta com a qual os matemáticos se depararam:
Para que valores de x , a equação ax² + bx + c = 0 ? Ou seja para que valores de x tornamos a equação
verdadeira?
O Matemático Al-Khowarizmi (Séc. IX) já havia resolvido algumas equações quadráticas, mas suas
justificativas eram geométricas. Foi somente mais tarde com o método atribuído a Bhaskara (Séc. XII),
que consiste de uma solução através de manipulações algébricas, completar o quadrado e isolar a
incógnita. Faremos isso passo à passo numa versão moderna e simplificada, veja a demonstração:
I) Seja a equação:
ax² + bx + c = 0 , com ( a, b, c 2 ℜ e a ≠ 0 ):
II) Subtraindo c nos dois lados da eq. , e multiplicando a eq. por 4a:
ax² + bx = - c
4a²x² + 4abx = - 4ac
III) Adicionando b² na eq.:
4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac
IV) Chega-se no lado esquerdo da eq. há um trinômio quadrado perfeito:
4a²x² + 4abx + b² = (2ax + b) . (2ax + b) = (2ax + b)²
V) Re-escrevendo a eq.:
(2ax + b)² = b² - 4ac
VI) Sabe-se então que existem dois números tais que elevados ao quadrado são iguais à b² - 4ac:
2ax + b =F b 2
w
q
@ 4ac
VII) Subtraindo b na eq. , e dividindo todos os membros da eq. por 2a:
2ax =@ bF b 2
w
q
@ 4ac
x =@ bf
b
F
2a
2
w
q
@ 4ac f
2a
VIII) Que é fórmula para as raízes da eq. de segundo grau, os valores de x que tornam a eq. verdadeira.
w
q 2
@ bF b @ 4ac f
x =
2a
Obs.: Chamando b² - 4ac = ∆ , dizemos que ∆ é o discriminante da equação de segundo grau, pois
(2ax + b)² ≥ 0 , portando a solução da equação de segundo grau no conjunto dos números Reais depende
do sinal de ∆ , do contrário estaremos lidando com números imaginários, que pertencem por definição ao
conjunto dos números Complexos.

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A segunda proposição é um método mais recente, proposto pelo matemático francês “François Viète”
(1540-1603). Neste caso fazemos apenas algumas substituições e manipulações algébricas, é um pouco
mais simples, pois não necessita da técnica de completar quadrados.
I) Seja a equação:
ax² + bx + c = 0 , com ( a, b, c 2 ℜ e a ≠ 0 ):
II) Substituindo x = u + v na eq.:
a(u + v)² + b(u + v) + c = 0
III) Expandindo:
a(u² + 2uv + v² ) + bu + bv + c = 0
au² + 2auv + av² + bu + bv + c = 0
IV) Re-escrevendo a eq. em termos de v :
av² + v(2au + b) + au² + bu + c = 0
V) Igualando 2au + b = 0 e isolando u , u = -b/2a . Substituindo u :
av 2 + v 2a @ b
H I
f g f g
J f
+ bK
bf
+ a @
2a
2a
2
+ b @ b
f g
f
+ c = 0
2a
b 2
av 2 f
@ + c = 0
4a
VI) O próximo passo é isolar a incógnita v :
av 2 =
4a
v 2 =
2
b f 2 b
@ c [ av = 2
b 2
@ 4ac
4a 2
f [ v =F b 2
@ 4acf
4a
v
u
w w
u q 2
t @ 4acf
b @ 4acf
=F
2a
4a 2
VII) Mas x = u + v e u = -b/2a . Substituindo u e v :
x = u + v
x =@ bf
b
F
2a
2
w
q
@ 4acf
2a
VIII) Que é finalmente a fórmula para as raízes da eq. de segundo grau:
w
q 2
@ bF b @ 4acf
x =
2a
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E LEITURA COMPLEMENTAR
(1) Carl B. Boyer, História da Matemática, Editora Edgard Blücher (1974).
(2) E. T. Bell, The development of Mathematics, Mc Graw-Hill Book Co. (1945).
(3) Howard Eves, An Introduction to the history of Mathematics. Holt, Rinehart and Winston.
(4) Curso de Matemática, Algacyr Munhoz Maeder, Editora Melhoramentos.