26/8/2012 – Notação matemática, símbolos matemáticos.

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26/8/2012 – Notação matemática, símbolos matemáticos.
Tags: As principais notações utilizadas em matemática, dicionário, manual, tabela, conceitos, notação, números, formulário, fórmulas, operadores
matemáticos, simbologia, símbolos, sinais, letras, abreviações, definições, teoremas, regras e etc.
Sumário
1 CONCEITOS INICIAIS ....................................................................................................................................................2
2 ALFABETOS E CONTAGEM..........................................................................................................................................4
3 CONJUNTOS NUMÉRICOS............................................................................................................................................6
4 APLICAÇÃO, SENTENÇA E DEFINIÇÃO .................................................................................................................13
5 OPERADORES MATEMÁTICOS.................................................................................................................................17
6 NÚMEROS E CONSTANTES ........................................................................................................................................32
7 ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA...................................................................................................33
8 TRIGONOMETRIA, SÍMBOLOS E NOTAÇÕES.......................................................................................................40
9 GEOMETRIA, TEOREMAS E FÓRMULAS DE RECORRÊNCIA .........................................................................44
10 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.............................................................................................................................47
11 PRODUTOS NOTÁVEIS ................................................................................................................................................53
12 FUNÇÕES HIPERBÓLICAS..........................................................................................................................................55
13 SEQÜÊNCIAS, FÓRMULAS DE RECORRÊNCIA ....................................................................................................57

1 CONCEITOS INICIAIS
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Com o objetivo de facilitar os estudos nas áreas de física e matemática desenvolvemos este texto.
Observa-se que um percentual da dificuldade no aprendizado esta na compreensão da linguagem
matemática, logo compreendendo melhor a linguagem os estudos serão ao menos legíveis, seguindo então
para o completo entendimento.
1.1 Notação matemática
(1) É o conjunto de símbolos do qual o matemático utiliza para expressar, resumir, esclarecer e aplicar na
resolução de problemas. (2) É uma linguagem cuja grafia e semântica se utiliza dos símbolos matemáticos
e da lógica matemática, respectivamente. É com base nessa notação que são construídas as sentenças
matemáticas (Wiki).
1.2 Notação científica / Notação exponencial
(1) É uma forma de escrever números macroscópicos ou microscópicos, utilizando um número simples
multiplicado por uma potência de base decimal. Ex: 990 000 000 000 = 9,9.10¹¹ . (2) Veja a definição
completa na seção de Medidas físicas (MEF).
1.3 Ciência
Ciência, do latim “scientia” que significa "conhecimento”. Conjunto sistematicamente organizado de
proposições evidentes ou aceitas, necessárias e universais, capaz de dar sobre seu objeto o conhecimento
pelas causas.
1.4 Matemática
Matemática do grego “µάθηµα” (máthēma) que significa, conhecimento, aprendizagem; e µαθηµατικός,
(mathēmatikós) que significa apreciador do conhecimento. É a ciência que tem por objetivo determinar as
medidas, propriedades e relações de quantidades e grandezas. É a ciência do raciocínio lógico e abstrato.
1.5 Número
(1) É um objeto da Matemática usado para descrever quantidade, ordem ou medida (Wiki); (2) É a
relação entre a quantidade e a unidade (Newton).
1.6 Cálculo
Cálculo do latim “calculus” que significa “pedra, pedrinha”. Pela história as primeiras contagens do
homem foram feitas com pedrinhas, tais que pudessem ser carregadas numa bolsa por exemplo, a fim de
expressar a quantidade que se tinha de alguma coisa. Já o significado atual de “cálculo” é o efeito de
calcular, resolver problemas matemáticos ou do mundo real, utilizando métodos matemáticos. O
interessante neste ponto é o método de cálculo, ou seja, como abordar um problema de forma lógica, tal
que a matemática possa ser uma ferramenta útil na otimização de um processo ou na solução de um
determinado problemas.

1.7 Álgebra
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A álgebra (abreviação Álg.) é a parte da matemática que ensina a calcular, generalizando e simplificando
as questões aritméticas, por meio de letras de um ou mais alfabetos. A palavra Al-jabr da qual álgebra foi
derivada significa "reunião", "conexão" ou "complementação". A palavra Al-jabr significa, ao pé da letra,
a reunião de partes quebradas. E foi o título de um trabalho do matemático Al-Khowarizmi (considerado
o fundador da álgebra como nós conhecemos hoje).
1.8 Incógnita
Em álgebra, as incógnitas são os valores desconhecidos que representamos por letras.
1.9 Razão
Razão do latim “ratio” que significa divisão ou o quociente entre dois números x e y . É a relação
existente entre grandezas da mesma espécie.
1.10 Axioma
Definição admitida como verdadeira (verdade absoluta), que não necessita de provas.
1.11 Hipótese
Suposição feita sobre uma coisa possível ou impossível, de que se tiram conclusões. 2. Acontecimento
incerto; eventualidade. 3. Explanação científica de um fato não verificado. 4. Mat. Proposição admitida
como dado de um problema
1.12 Teorema
Proposição que, para ser admitida ou se tornar evidente, precisa ser demonstrada.
1.13 Tese
Proposição que se enuncia, que se expõe, que se sustenta. 2. Tema, assunto. 3. Conjunto de trabalhos que
se expõe em público para obtenção de cátedra universitária. 4. Mat. Conclusão de um teorema.
1.14 Corolário
(1) Afirmação deduzida de uma verdade já demonstrada. (2) Conseqüência.
1.15 Lema
Lóg. Premissa. 2. Mat. Proposição subsidiária usada na demonstração de outra proposição. 3. Argumento,
tema. 4. Regra ou norma de procedimento. 5. Emblema, divisa, norma. 6. Sentença. 7. Slogan.

2 ALFABETOS E CONTAGEM
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Nesta seção seguem os alfabetos (abecedários) comuns utilizados na matemática, física e nas demais
ciências que usam dessas bases em seu desenvolvimento. E também alguns sistemas numéricos.
2.1 Alfabeto latino
(1) Conjunto das letras usadas na grafia de uma língua; abecedário; (2) Conjunto de símbolos que usamos
para descrever em palavras os objetos que vemos e aquilo que se traduz por sentimentos, conhecimentos e
etc. É constituído de um grupo de vogais e um de consoantes. (3) É utilizado em todos os ramos da
matemática, na álgebra, geometria e no cálculo. As letras podem representam quantidades e variáveis, e
algumas letras em especial podem representar algum valor numérico ou um significado matemático.
Letras minúsculas: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o , p, q, r ,s, t, u, v, w, x, y, z
Letras maiúsculas: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J , K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z
Vogais: a, e, i, o, u
Consoantes: b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, w, x, y, z
2.2 Alfabeto grego
Utilizado na matemática, física e entre muitas outras áreas do conhecimento, o Alfabeto Grego.
Da esquerda para a direita temos, as letras gregas minúsculas, correspondentes latinas minúsculas,
seguido das letras gregas maiúsculas e correspondentes latinas maiúsculas.
1 α a Α A Alfa 9 ι i Ι I Iota 17 ρ r Ρ R Rô
2 β b Β B Beta 10 κ k Κ K Capa 18 σ ς s Σ S Sigma
3 γ c Γ C Gama 11 λ l Λ L Lambda 19 τ t Τ T Tau
4 δ d Δ D Delta 12 μ m Μ M Mi 20 υ y Υ Y Ípsilon
5 ε Ε Epsilo 13 ν n Ν N Ni 21 ϕ φ Φ Fi
6 ζ z Ζ Z Dzeta 14 ξ Ξ Xi (Csi) 22 χ x Χ X Qui
7 η e Η E Eta 15 ο o Ο O Ômicron 23 ψ Ψ Psi
8 θ Θ Teta 16 π p Π P Pi 24 ω Ω Omega
2.3 Sistema decimal, algarismos Indos-Arábicos
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Algarismos ou dígitos são símbolos usados na representação de números inteiros ou reais em sistemas
numerais posicionais. Utiliza-se estes dez símbolos, que chamamos de algarismos (por homenagem ao
matemático Al-Khowarizmi) para representar quantidades, objetos, etc. 0 para nenhuma unidade, 1 para
uma unidade, 2 para duas unidades... É usado internacionalmente na ciência e na maioria dos países.
2.4 Sistema sexagesimal
Um exemplo cotidiano do sistema sexagesimal é o nosso sistema de marcação de tempo, ou seja, sessenta
segundos corresponde a um minuto, e sessenta minutos corresponde a uma hora.

2.5 Números romanos
Algarismos romanos e seus correspondentes arábicos, exemplos de aplicação.
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Romanos Arábicos Romanos Arábicos Romanos Arábicos
I 1 XVII 17 XCIX 99
II 2 XVIII 18 C 100
III 3 XIX 19 CI 101
IV 4 XX 20 CC 200
V 5 XXI 21 CCC 300
VI 6 XXX 30 CD 400
VII 7 XXXI 31 CDXCIX 499
VIII 8 XL 40 D 500
IX 9 XLVI 46 DC 600
X 10 L 50 DCC 700
XI 11 LIX 59 DCCC 800
XII 12 LX 60 CM 900
XIII 13 LXV 65 CMXCIX 999
XIV 14 LXX 70 M 1000
XV 15 LXXX 80
XVI 16 XC 90

3 CONJUNTOS NUMÉRICOS
Apresentaremos nesta seção os símbolos mais comuns utilizados na teoria dos conjuntos e suas notações.
Elemento, Conjunto e Pertinência.
Diagrama de Euler-Venn.
Os números {0,1, 2, 3} formam um
conjunto numérico. Os conjuntos são
nomeados com letras maiúsculas de algum
alfabeto (normalmente Grego ou Latino).
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Podemos chamar este conjunto de conjunto A , onde A = {0, 1, 2, 3}
Então os números 0, 1, 2, 3 são elementos do conjunto A , e dizemos que esses elementos pertencem ao conjunto A .
Quando um elemento pertence a um conjunto, usamos o símbolo pertence, por exemplo 02 A e 12 A , isso indica
que 0 pertence ao conjunto A , da mesma forma 1 pertence a A .
A é um subconjunto dos números naturais, denota-se AjN e lê-se A está contido em N .
NjZ . O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros, é portanto um subconjunto dos
números inteiros. A união do conjunto dos números irracionais com conjunto dos racionais formam o conjunto dos números
reais.
3.1 Naturais
N
N é o conjunto dos números naturais.
São os números que vão de 0, 1, 2, 3 ... à +∞ (lê-se mais infinito).
Todo número natural é seguido imediatamente por outro número natural chamado sucessor, ou seja
N = {0,1,2,3,4, ...}.
O antecessor de 1 é 0, e a definição é o número que antecede, isto é que vem antes
(sinônimo: predecessor).
O símbolo N C
é usado para indicar o conjunto de números naturais sem o zero, ou seja:
N C
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
0,1,2, 3 N Z Q I R

3.2 Inteiros
Z
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Z é o conjunto dos números inteiros, e é composto pelo conjunto dos números naturais acrescido dos
seus opostos (os naturais negativos). É representado pela letra Z, devido ao fato da palavra Zahl em
alemão significar "número".
Z = {... ,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
O símbolo Z C
é usado para indicar o conjunto de números inteiros, sem o zero
Z C
= {... , -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
O símbolo Z + é usado para indicar o conjunto de números inteiros não negativos
Z + =N= {0,1,2,3,4,...}
O símbolo Z@ é usado para indicar o conjunto de números inteiros, não-positivos
Z@ =@N= {..., -3, -2, -1, 0}
C
O símbolo Z + é usado para indicar o conjunto de números inteiros positivos
C
=N C = {1,2,3,4,5, ...}
Z +
C
O símbolo Z@ é usado para indicar o conjunto de números negativos
C
=@N C = {-1, -2, -3, -4, -5...}
Z @
Como todos os números naturais também são números inteiros, dizemos que N é um subconjunto de
Z ou que N está contido em Z e indica-se NjZ ou que Z contém N .

3.3 Racionais
Q
3.4 Irracionais
I ou ℑ
Fração: nf
numerador f
=
d denominador
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Fração: Número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade ou um
inteiro.
Numerador: o numero superior do traço que separa os termos da fração, indica quantas partes da
unidade foram tomadas, enquanto o denominador indica em quantas partes foi dividida a mesma
unidade.
Quando dividimos um número inteiro (a) por outro número inteiro (b) obtemos um número racional.
Todo número racional é representado por uma parte inteira e uma parte fracionária. A letra Q deriva
da palavra inglesa Quotient , que significa Quociente, já que um número racional é um quociente
de dois números inteiros.
Quociente: Número que indica quantas vezes o divisor se contém no dividendo; resultado de uma
divisão.
Por exemplo, se a = 6 e b = 2, obtemos o número racional 3,0. Se a = 1 e b = 2, obtemos o número
racional 0,5. Ambos têm um número finito de casas após a vírgula e são chamados de racionais de
decimal exata.
Existem casos em que o número de casas após a vírgula é infinito. Por exemplo, a = 1 e b = 3 nos dá o
número racional 0,33333... É a chamada dízima periódica.
Podemos considerar que os números racionais englobam todos os números inteiros e os que ficam
situados
T
nos intervalos entre os números
U
inteiros.
Q = af
C
| a2Z e b2Z
b
Lembre-se que não existe divisão por zero. Por quê? Zero é o que nos indica a ausência, o vazio, o
nada. Logo se estamos dividindo por zero não estamos dividindo, e por isso a divisão não pode ser
efetuada. Assim consideramos a inexistência da divisão por zero.
Q C é usado para indicar o conjunto dos números racionais sem o zero: Q C
R S
= x2Q | x ≠ 0
R S
Q é usado para indicar o conjunto de números racionais não-negativos: Q = x2Q | x ≥ 0
+ +
R S
Q é usado para indicar o conjunto de números racionais não-positivos: Q = x2Q | x ≤ 0
@ @
C
Q +
C
Q@ indica o conjunto de números racionais positivos sem o zero: Q +
indica o conjunto de números racionais negativos sem o zero: Q @
C
C
R S
= x2Q | x > 0
R S
= x2Q | x < 0
Quando a divisão de dois números tem como resultado um número com infinitas casas depois da
vírgula, que não se repetem periodicamente, obtemos um número chamado irracional.
O número irracional mais famoso é o pi ( π ).

3.5 Reais
ℜ ou R
3.6 Complexos
C ou C
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O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o conjunto dos números reais,
indicado por R .
R C
3.7 Unidade imaginária
i
3.8 Par e ímpar
pares
0, 2, 4, 6, 8
...
ímpares
1, 3, 5, 7, 9
...
indica o conjunto dos números reais sem o zero: R C
=R@ 0
PQ
R S
R+ é usado para indicar o conjunto de números reais não-negativos: R+ = x2R | x ≥ 0
R S
R@ é usado para indicar o conjunto de números reais não-positivos: R@ = x2R | x ≤ 0
R S
C C
R + é usado para indicar o conjunto de números reais positivos: R+ = x2R | x > 0
R S
C C
R@ é usado para indicar o conjunto de números reais negativos: R@ = x2R | x < 0
Um número complexo é representado na forma: a + bi , sendo a a parte real e b a parte imaginária.
A unidade imaginária é representada pela letra i , e significa a raiz quadrada de -1. Pode-se escrever
então: i = p@ 1
w .
i = p@ 1
w
i é utilizado para representar a raiz de menos um. Consulte a teoria dos Números Complexos.
Números pares. Subconjunto especial dos números inteiros.
Sejam b = 2 e a2Z então c2Z é um número par
se for posssível escrever c = af
A
2
12/2 = 6 , 6/2 = 3 , 336/2 = 168 , 168 / 2 = 84 , ...
Um número par é aquele que podemos dividir por dois.
Números ímpares. Subconjunto especial dos números inteiros.
(1) Um número ímpar é aquele que não podemos dividir por dois. (2) Aquele que não é par.

3.9 Primos
2, 3, 5, 7 ...
3.10 Compostos
2, 4, 6, 8, 9, 10,
12, 14, ...
3.11 Vazio (empty)
Ø
{ }
3.12 União (union)
S
3.13 Interseção (intersect)
T
Subconjunto especial dos números Naturais.
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Número primo: (1) Aquele que só é divisível por si e pela unidade; (2) Número divisível por um e por
ele mesmo.
Observação: o número 1 não é primo e nem composto, é o único número divisível apenas por um
número, ele mesmo. O número 2 é o único primo par. As unidades comuns (isto é todo primo termina
em) são: 1, 3, 7, 9.
Até hoje não se sabe se existe uma regra, função ou lei de seqüência, que permita calcular qual o
próximo número primo.
Os 100 primeiros números primos:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197
199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379
383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 ...
O último número primo calculado (por computador):
2 43.112.609 − 1 , este é o primo “Mersenne” de número 46 e tem 12.978.189 dígitos.
No conjunto dos números naturais, um número composto é aquele que é divisível por mais de dois
números distintos. 2. Aquele que não é primo.
Esses dois símbolos significam que o conjunto não tem elementos, é um conjunto vazio.
C = { } ou C = Ø
Ex: Se A={1,2,3} e B={4,5,6} , AT B={ } ou AT B= Ø
Obs: Um erro muito comum é o seguinte E = ∅
P Q , dessa forma o conjunto contém um elemento.
AS B Lê-se: "A união com B"
Ex: A={5,7,10} , B={3,6,7,8} , AS B= {3,5,6,7,8,10}
AT B Lê-se como "A interseção B"
Ex: A={1,3,5,7,8,10} , B={2,3,6,7,8} , AT B={3,7,8}

3.14 Pertence (in)
∈
3.15 Não pertence (not in)
∉
3.16 Existe ao menos um
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Indica relação de pertinência. Ex: 52N . Significa que o elemento número cinco pertence aos
Naturais.
Ex: @ 126
N . Significa que o número -1 não pertence aos números Naturais.
À definir.
3.17 Está contido (subset of)
j
Ex: NjZ . Significa que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números
inteiros.
3.18 Não está contido (not subset of)
j6
3.19 Contém (superset of)
k
Ex: Rj6
N . Significa que o conjunto dos números reais não está contido no conjunto dos números
naturais.
Ex: ZkN . Significa que o conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais.
3.20 Não contém (not superset of)
k6
3.21 Tal que
|
Ex: Rk6
C . Significa que o conjunto dos números Reais não contém o conjunto dos números
complexos.
R S
Barra reta (vertical). Ex: R+ = x2R | x ≥ 0
Leitura: Reais positivos são todos os “x pertencentes a R tais que x é maior ou igual a zero”.
OBS: A barra pra direita ( / ) indica divisão.

3.22 Menos (minus), sem
\
3.23 Se, então
→
Barra para esquerda.
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Teoria dos conjuntos (Complemento teórico)
A \ B, significa que é o conjunto que contém todos os elementos de A menos os elementos de B.
Ex:
A={1,2,3,4,5} e B={1,3,5}
Então A \ B = {2,4}
OBS: A barra pra direita ( / ) indica divisão.
Se, então, se associa, em
p: José vai ao mercado
q: José vai fazer compras
p q
Se José vai ao mercado então ele vai fazer compras.
Para a notação de funções temos por exemplo:
f :RQR (Lê-se f de R em R )
E significa que a função associa (leva) elementos do domínio R (à esquerda) para o contradomínio R (à
direita).

4 APLICAÇÃO, SENTENÇA E DEFINIÇÃO
Símbolos mais comuns utilizados em diversas situações.
4.1 Implica (implies)
⇒
Implica (Lógica)
A: São Paulo é capital de um estado brasileiro
B: São Paulo é uma cidade brasileira
A [ B
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Ex: sendo verdadeira a afirmação que está antes dele, então também será verdadeira a afirmação à sua
direita. Por exemplo, “São Paulo é capital de um estado brasileiro” implica que “São Paulo é uma
cidade brasileira”.
*Deve-se tomar cuidado na utilização deste sinal, para não aplica-lo desnecessariamente.
Exemplos:
x 2 + 2 = 4 [ x 2 = 2 [ x =F 2 pw (certo, usar em linha, numa igualdade)
x 2 + 2 = 4 [F 2 pw ? (errado, quatro implica em...)
x 2 + 2 = 4
[ x =F 2
4.2 Se, e somente se (if and only if)
⇔
Se, e somente se.
? (errado, não pular a linha)
pw
Ex:
p: Maria vai para a praia
q: Maria vai tirar notas boas
p ^ q
4.3 Existe (exists) e não existe
9 9+
Maria vai para a praia se, e somente se ela tirar notas boas.
Indica existência, (existe um e um só)
9 x2 Z | x > 3
Lê-se: Existe x pertencente ao conjunto dos números inteiros tal que x é maior que 3.
O “existe” pode aparecer ainda, como um “E” ao contrario e cortado, que representa inexistência.
Ex: 9+ x → B. (não existe x em B)
Sendo B={0,1,2,3}, e x = 9, não existe x no conjunto B.

4.4 Reticência (ellipsis), período, seqüência
...
4.5 Portanto (therefore)
#
A aplicação depende do caso.
1 – Pode representar o período de um numero racional ou irracional.
(Período: parte que se repete).
Ex: 1,222... (Neste caso indica que o período, é 2)
2 – Pode representar a continuidade de uma seqüência numérica, ou uma soma.
3 – Pode ocorrer mais aplicações.
Ex: Seja o conjunto Z = {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
E isto indica que os números seguem indefinidamente para o infinito.
Verifique a definição de infinito.
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Veja a definição do dicionário português:
reticência : s. f. Omissão daquilo que se devia ou podia dizer; silêncio voluntário. S. f. pl. Pontos (...)
que, na escrita, indicam aquela omissão.
Utilizado em expressões, equações, e etc. Especialmente quando for apresentar o resultado final de um
cálculo.
Exemplo em logaritmos:
log 2 4 = x^ 2 x = 4
2 x = 4
2 x = 2 2
# x = 2
4.6 Porque (because)
$
4.7 Para todo (for all)
8
Porque, Pela razão de, desde que
Usado para resumir sentenças, teoremas e conclusões de problemas matemáticos/ físicos, etc... , usa-se
este símbolo ao invés de usar a palavra.
Nas linguagem matemática um A de cabeça para baixo significa "para todo", "para todo e qualquer” e
“para qualquer que seja".
C
Ex: 8 x2Z +
, x > 0
Leitura: para todo x pertencente aos inteiros positivos sem o zero, x é maior que zero, x é positivo.

4.8 Parênteses (1)
( )
4.9 Colchetes (2)
[ ]
4.10 Chaves (3)
{ }
Por ordem de resolução é o primeiro a se resolver.
O parênteses na matemática pode ter várias aplicações, vamos citar algumas:
1 – f(x) = 3x+2
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Aqui está representando a função de 1ºgrau, ou função afim, o parênteses neste caso, guarda o
espaço para valores que serão substituídos no lugar de “x”.
Ex: supondo que x = 3/2 + 4 , f(3/2+4) = 3(3/2 + 4) + 2
Para resolver você pode aplicar a propriedade distributiva, ou tirar o mínimo antes de multiplicar, os
dois caminhos levam a mesma resposta.
Substituindo f(x) por y. y = 3(11/2) + 2 = 33/2 + 2 = (33+4)/2 = 37/2
Pode também representar um intervalo aberto (igualmente o colchetes para fora). Veja:
x tal que x, está entre 3 e 4, inclusive 3 e exclusive 4.
Ou x2R | 3 ≤ x

4.11 Sinal numérico
#
4.12 Infinito
∞
4.13 Proporcional à
∝
Octothorpe, cerquilha, cardinal, hash tag, …
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* Este símbolo foi incluído neste manual pela semelhança com o símbolo de diferente, portanto é um
sinal de igual com dois cortes paralelos, mas que não tem nenhuma aplicação matemática de grande
importância.
Para o matemático o símbolo cerquilha é o sinal que é também definido como o símbolo de número.
Isto é ele indica o número de algo.
#1, #2 ... pode ser lido como: número um, número dois. Pode ser empregado na construção de tabelas,
enumeração de exemplos, exercícios, ordem etc.
Nome oficial: Octothorpe (Bell Labs), empregado nos primeiros telefones
Este símbolo é muito comum e pouco valorizado, com isso adquiriu vários nomes e agora esta como
um símbolo de multi-significado (ou seja, o significado depende do caso de aplicação). Alguns
exemplos de nomes comuns. Ex: jogo-da-velha, chiqueirinho, tralha, cerquinha, e etc.
É um "oito deitado" e representa o infinito.
Este símbolo foi criado pelo matemático Inglês John Wallis (1616-1703) para representar a "aritmética
Infinitorum".
Infinito não é um número, é um conceito, pode ser visto como aquilo que esta acima de todos os
números, e que contém todos e além. Existem vários tipos de infinitos.
Ex. O conjunto dos números naturais é infinito, e o conjunto dos números inteiros também, mas como
o conjunto dos números naturais esta contido no conjunto dos números inteiros, vê-se a diferença de
infinitos que estamos lidando, o mesmo vale para outros conjuntos.
xQ1
Quando dizemos que x tende ao infinito, queremos dizer que ele cresce sempre, sem ter um limite,
independente do sinal, positivo ou negativo, cresce nos dois sentidos simultaneamente.
xQ +1
Se for dito que x tende a mais infinito, então ele cresce sempre, somente na parte positiva.
Símbolo de aplicações particulares. À definir.

5 OPERADORES MATEMÁTICOS
GUIDG.COM 17
Nesta seção veremos os símbolos utilizados em operações, como o sinal de adição, o sinal de igualdade, e
as notações que resultam em alguma operação como a potenciação a radiciação, a fatoração e etc.
5.1 Adição, mais (plus)
+
Uma grande parte da matemática esta baseada (se não toda ela) na adição (soma), a subtração é um
soma de parcelas com sinais negativos, a multiplicação é uma soma de parcelas de sinais repetidos.
Dessa operação inicial se constrói todos os demais operadores matemáticos. Produtos, Funções,
Transformações, Integrações e etc. O que irá ser redefinido (diferenciado) é a forma como os
elementos se associam na soma.
Lê-se: "mais"
Ex: 2+3 = 5 (Lê-se: dois mais três é igual a cinco).
Significa que se somarmos 2 e 3 o resultado é 5.
5.2 Mais ou menos (plus or minus)
F
Mais / menos
G
Menos / mais
5.3 Subtração, menos (minus)
−
Indicação de um valor “x” com duplo sinal.
x =F 5 [ x 1 = + 5 e x 2 =@ 5
* O menos / mais surge por exemplo no seguinte caso. Se x 2 = 4[x =F 4 pw =F 2
Multiplicando a igualdade por (-1) temos:
` a ` a
@ 1 x =@ 1F
2 [ @ x =G 2 [ @ x
` a2
b c2
=G 2 = 4
Isto é pode ser um ou pode ser outro, e ainda pode ser os dois, a conclusão é feita com a prova ou teste
dos valores. Isto é melhor entendido no assunto equações de segundo grau e raízes de eq. de 2º grau.
Quando delta é maior que zero, a equação de segundo grau apresenta duas raízes devido a presença do
sinal “mais ou menos” contida na
“fórmula para as raízes da equação de segundo grau” (fórmula atribuída à Báskara).
Lê-se como "menos". A operação inversa da adição
Ex: 5-3 = 2, significa que se subtrairmos 3 de 5, o resultado é 2.
O sinal - também denota um número negativo.
Por exemplo:
(-6) + 2 = -4. Significa que se somarmos 2 em -6, o resultado é -4.

5.4 Multiplicação, vezes (times)
* B .
C
5.5 Divisão
/ ÷ :
Nome dos símbolos: * asterisco (asterisk, star), B cruz (cross), . ponto (dot)
Lê-se: "multiplicado" ou “vezes”
Ex: 8*2 = 16, significa que se multiplicarmos 8 por 2, o resultado é 16.
2*3 = 3*2 (Lê-se duas vezes três é igual a três vezes dois)
Propriedade Comutativa: “A ordem dos fatores não altera o produto”
2 e 3 são fatores, 6 é o resultado da multiplicação, também chamado de produto.
*Fator: Cada uma das quantidades que são objetos de uma multiplicação
É comum omitirmos o sinal de multiplicação por exemplo.
xy = x.y = x*y = xBy
(2)(4) = 2.4 = 8
2x = 2 . x
Lê-se: "dividido"
Ex: Vamos representar a divisão: 6 por 2: 6 / 2 = 6f
= 6D2 = 6 :2
2
Todas essas notações significam que se dividirmos 6 por 2, o resultado é 3.
6
2
f = 3 . Neste caso temos uma fração (aparente) que é uma divisão.
Lê-se: Seis sobre dois é igual à três.
GUIDG.COM 18

5.6 Fração (fraction)
nf
d
n. d
n+ d
Fração: nf
numerador f
= ;
d denominador
GUIDG.COM 19
A Fração é uma representação da divisão, isto é uma simplificação devido as divisões não exatas:
f 1f
= 2D3 = 2A
Ex: Como expressar a divisão 2 por 3: 0,666666666... = 2/3 = 2
3
Tipos de frações:
Fração própria: n < d (numerador menor que o denominador, isto é a parte tomada dentro do inteiro).
Fração imprópria: n > d (numerador maior que o denominador, isto é a parte tomada é maior que o
inteiro).
Fração aparente: n é múltiplo de d .
Ex: 0/3 = 0 , 4/2 = 2
Fração equivalente: são frações que representam a mesma parte do inteiro.
Ex: ½ = 2/4 = 3/6 = 4/8
Fração composta: quando n é uma fração e d é outra fração, tais que se apresentem na forma:
n
d
5.7 Frações, leitura
nf
d
n. d
n+ d
f | n = e
f
f e d = g
h
f nf
, =
d
e
f
g
h
f
f
f = e
f
fhf A
g
Portanto as frações do tipo ( e/f ) / ( g/h ) , são denominadas frações compostas. Simplifica-se
aplicando a regra de multiplicação: “a primeira pela inversa da segunda”. Isto é:
( e/f ) / ( g/h ) = ( e.h )/( f.g )
1/1 = 1 = um inteiro
½ = um meio
1/3 = um terço
¼ = u quarto
1/5 = um quinto
1/6 = um sexto
1/7 = um sétimo
1/8 = um oitavo
1/9 = um nono
1/10 = um décimo
1/10 = um dez avos
1/11 = um onze avos
1/12 = um doze avos
1/13 = um treze avos
1/14 = um quatorze avos
1/15 = um quinze avos
1/16 = um dezesseis avos
1/17 = um dezessete avos
1/18 = um dezoito avos
1/19 = um dezenove avos
1/20 = um vinte avos
1/30 = um trinta avos
1/40 = um quarenta avos
1/50 = um cinqüenta avos
1/60 = um sessenta avos
1/70 = um setenta avos
1/80 = um oitenta avos
1/90 = um noventa avos
1/100 = um cem avos
1/200 = um duzentos avos
1/300 = um trezentos avos
1/400 = um quatrocentos avos
1/500 = um quinhentos avos
1/600 = um seiscentos avos
1/700 = um setecentos avos
1/800 = um oitocentos avos
1/900 = um novecentos avos
1/1000 = um mil avos
1/10000 = um dez mil avos
1/100000 = um cem mil avos
1/1000000 = um milhão avos
1/10000000 = um bilhão avos
2/3 = dois terços
3/2 = três meios
4/5 = quatro quintos
5/4 = cinco quartos
6/7 = seis sétimos
7/8 = sete oitavos
8/9 = oito nonos
9/8 = nove oitavos
= um vigésimo
= um trigésimo
= um quadragésimo
= um qüinquagésimo
= um sexagésimo
= um septuagésimo
= um octogésimo
= um nonagésimo
= um centésimo
= um ducentésimo
= um trecentésimo
= quadringentésimo
= qüingentésimo
= sexcentésimo
= setingentésimo
= octingentésimo
= nongentésimo
= um milésimo
= um décimo milésimo
= um centésimo milésimo
= um milionésimo
= um bilionésimo
2/20 = 1/10 = dois vigésimos = um décimo
3/70 = três septuagésimos
10/11 = dez onze avos, 10 sobre 11
13/20 = treze vinte avos, 13 sobre 20
60/7 = sessenta sétimos, 60 sobre 7
73/21 = setenta e três vinte e um avos
π/e = pi sobre e
n/m = n sobre m
3

5.8 Número misto
i nf
d
5⅔
5 2f
17
=
3 3
f
Um número misto, é aquele que é constituído por uma parte inteira (i) mais a fração n/d.
O número misto não é o produto i . n/d .
Transformações: Ex, número misto para uma fração:
4 1
4
f = 4 + 1
4
f = 16
4
f 1
+
4
f 17f
=
4
Lê-se: quatro e um quarto;
quatro mais um quarto;
ou quatro inteiros e um quarto;
Quatro inteiros mais um quarto;
Ex: fração para um número misto: 19f
13f
6f
6f
6
= + = 1 + = 1
13 13 13 13 13
5.9 Porcentagem, percentagem
%
... 1%, 2%, 3% ... 100% ... (Lê-se: Um por cento, dois por cento ... )
f
GUIDG.COM 20
Por cento, do latim, “per centum” que significa “a cada centena”. (1) É definido como uma medida de
razão de base cem (100). Isto é a proporção que o número a está para b (base), sendo a o
numerador e b o denominador ( a / b ). (2) O símbolo ( % ) é um indicador indicador de fração por
cento (100). (3) Porcentagem = Por cento, ou seja um número por 100 (sobre 100, dividido por cem).
10% = 10/100 = 1/10 = 0,1
20% = 20/100 = 2/10 = 1/5 = 0,2
5.10 Por mil (per mille), permilagem
‰
5.11 Igual, igualdade (equal)
=
Semelhante à porcentagem, porém aqui o numerador é uma fração de mil.
10‰ = 10/1000 = 1/100 = 1% = 0,01
Lê-se como "igual a"
Ex: x = y, significa que x e y possuem o mesmo valor.
Por exemplo: 3+5 = 7+1

5.12 Numericamente igual
= N
5.13 Diferente
≠
Este símbolo é empregado em casos particulares.
Exemplo em física:
Considere o gráfico abaixo de um movimento uniforme:
GUIDG.COM 21
Neste caso dizemos que a área A do gráfico representa o deslocamento escalar ∆s do móvel, então:
Δs= N A = v + v0f A Δt
2
Ex: 13 ≠ 31 (13 é diferente de 31).
Ex: x=5, y=2
Logo x ≠ y
5.14 Equivalente (equivalent to)
≡ a6
Equivalente, idêntico e não idêntico, não equivalente (not equivalent to)
Exemplos: 2/4 ≡ 1/2
Lê-se: “é equivalente à” ou “é idêntico à”.
x= 16 , y = 4 logo x ≡ y
O sinal cortado significa “não equivalente” ou “não equivale”.
5.15 Aproximadamente e aproximadamente igual (approximately equal)
≈
Tanto faz a utilização de um ou de outro, mas não confunda com Congruente.
Usamos para arredondamento de um valor muito grande, periódico ou irracional. Alguns exemplos de
aplicação:
π ≈ 3,14 ; e ≈ 2,72 ; 2 pw≈ 1,41 ; p3 w 1f
≈ 1,73 ; ≈ 1,3 ,
3
*Não confundir com t congruente.
Para informações sobre como arredondar um valor corretamente veja o artigo: MEF: (1) Um
curso de Medidas, Algarismos significativos, Notação científica e Unidades SI

5.16 Congruente (congruente to)
t
Ângulos Congruentes:
GUIDG.COM 22
Dois segmentos de reta são chamados congruentes quando tiverem a mesma medida, na mesma
unidade.
Exemplo:
f
Os segmentos de reta AB
f
e CD da figura, têm medida 4 cm, portanto são congruentes.
f f
Indica-se: ABt
CD
5.17 Eqüipolente, negação (lógica), semelhança (trigonometria / álgebra)
~
5.18 E (lógica)
∧
5.19 Ou (lógica)
∨
5.20 Comparação estrita
< >
Depende o caso ou assunto.
1 - Em Álgebra Linear e Geometria Analítica:
Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm o mesmo módulo, a mesma direção
e o mesmo sentido. A eqüipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD .
2 – Em lógica, podem ser os símbolos: ~ e :
Ex: p: Os alunos irão passear.
~p ou : p : Os alunos não irão passear.
3 – Veja o uso do til para a semelhança de triângulos (mais abaixo).
4 – Podem existir outras aplicações.
Ex: ( p ) Cláudia tem um cachorro, ( q ) Cláudia tem um gato
p ˄ q = Cláudia tem um cachorro e um gato.
Ex: ( p ) José gosta de jogar futebol , ( q ) José gosta de jogar tênis
p ˅ q = José gosta de jogar futebol ou tênis.
Desigualdade Estrita.
É menor que, é maior que
x < y significa que x é menor que y
x > y significa que x é maior que y

5.21 Comparação não estrita
≤ ≥
Desigualdade não estrita. É menor ou igual à, e é maior ou igual à.
x ≤ y , significa que x é menor ou igual a y
x ≥ y , significa que x é maior ou igual a y
5.22 Muito maior e muito menor
ml
Desigualdades. Símbolo de aplicações particulares. É muito maior que, e é muito menor que.
x m y , significa que x é muito maior que y
1 l 100 000 000 , significa que 1 é muito menor que cem milhões.
GUIDG.COM 23

5.23 Potenciação
x n
Definição dos termos da potenciação
Lê-se: x elevado à enésima potência é igual ao produto de x , “n” vezes, que é igual a y .
x n = xA xA x … = y
x = base
n = expoente ou potência (determina o número de fatores)
x.x.x... = produto de fatores (é determinado pelo expoente)
y = produto (em alguns livros é definido como potência)
Exemplos:
…
` a@ 2
@ 3
` a@ 1
@ 2
=
=
1
` a2
@ 3
1
` a1
@ 2
Particularidades:
` a
I
` a 1 II x = x
` a @ 1 1
x =
III
` a
IV
Propriedades:
f 1f
=
9
f 1f
=@
2
x 0 = 1 8 x 2 R C
f C
8 x 2 R
x
1 x = 1
` a m n m + n n + m
I x x = x = x
` a x m : x n = x m
II
f g
` a @ m 1f
x = m
III
` a` an m IV x = x n ` am
= x mAn
x
` a m V x n
≠ x m ` an
` a ` am
m m VI x y = xA y
f g
` a m m xf
x : y = m
VII
Exemplo de (V ):
,
` a
x ≠ 0
` a
x ≠ 0
x n
f m@ n C
= x 8 x 2 R
y
= 1
x m
f C
8 x 2 R
2 23
b c
= 2 8 = 256 ≠ 2 2
b c3
= 2 6 = 64
= x m
ym f C
8 y 2 R
1 0 = 1
2 1 = 2
3 2 = 3A 3 = 9
…
b c
y ≠ 0
GUIDG.COM 24

5.24 Radiciação (1)
√
Raiz (root), raiz quadrada (square root)
GUIDG.COM 25
O símbolo radical deriva da letra r devido ao nome em latim radix quadratum (raiz quadrada),
interpreta-se geometricamente como o lado do quadrado.
Definição: y é a raiz n-ésima de x se, e somente se y elevado à n-ésima potência for igual à x .
b cn
np x
w = y [ x
Observações:
np w
= y n [ x = y n
I - Quando não houver número no índice esta será sempre quadrada;
II - Não existe em R raízes de índice par de números negativos.
III - Existe em R raízes de índices impares de números negativos.
w
q L M IV - A raiz quadrada de um número é sempre positiva. x 2
Símbolos:
re ip w e
= r i
f
= z
√ Radical (sinal)
i Índice (fora)
r Radicando (dentro)
e Expoente de r
z Raiz (resultado)
O expoente fracionário é a notação auxiliar para raízes e indica exatamente a mesma coisa. Muitas
vezes essa notação nos ajuda a visualizar alguma propriedade que poderia resolver algum exercício ou
simplificar a notação.
Exemplos:
p16 w 4p = 4 (raiz quadrada de dezesseis) , 16
w = 2 (raiz quarta de dezesseis)
= x
3p 27
w 3p = 3 (raiz cúbica de três) , @ 27
w =@ 3 (raiz cúbica de menos três)
Exemplos com expoentes fracionários:
f
2
x 3
w
q = x 3
x 2 5q w
= x 2f
5
(raiz quadrada de x ao cubo é igual à x elevado à três meios)
(raiz quinta de x ao quadrado é igual à x elevado à dois quintos)
Decoreba: Se você é um aluno estudioso, então está por dentro do assunto e consequentemente seu
nome estará por cima na lista dos aprovados no vestibular, mas se você não é um aluno muito aplicado,
então está por fora do assunto e consequentemente seu nome estará por baixo na lista dos aprovados no
vestibular. Portanto temos a regrinha:
“Quem esta por dentro esta por cima, e quem esta por fora esta por baixo”.
Se tratando de raízes: Dentro da raiz, por cima na fração (numerador) e fora da raiz, por baixo na
fração (denominador).

5.25 Radiciação (2)
√
GUIDG.COM 26
Em radiciação (1), definido os símbolos e as notações, então podemos seguir para as propriedades da
radiciação.
Propriedades:
Sendo x , y2R+ , n , k2N C
` a
I
` a
II
` a
III
` a
IV
` a
V
np x
w np y
w = np xA y
w
x 1f
n
A y 1
f
n
` a 1
= xA y
np x
w : np y
w =
x 1f
n
: y 1
f
n
= x 1
f
n
np w
xf
=
y
np w
f
n
y 1f
n
np x
w b cm
= x m np w
x 1 d em
f
n
= x mf
n
f x
=
y
nq m w
px w
nAm w
= px d e 1
x 1f
m
f
n
= x 1
mAn
f
x m np w w
nAk mAk = qx x mf
n
f
nAk
= x mAk
w
ns
f
x
y
f g
f
1
n
f
e m2Z temos:
b c
y ≠ 0

5.26 Racionalização (3)
x
y 1f
n
f
x
np y
w
f
Visto os conceitos de radiciação 1 e 2, podemos seguir para racionalização.
GUIDG.COM 27
Em matemática é muito comum aparecer raízes como denominador de uma fração. Então para alívio de
notação, definimos a racionalização que é o processo que se faz para determinar uma fração
equivalente àquela com raízes como denominador, porém com um número inteiro no denominador.
Exemplo: 1
p w
pw
pw
pw
f
f 1
=
2 p2 w
f 2
p2 w
f 2
=
p4 w
f 2
=
2
Neste caso encontramos o número
2 pw
f 1
que tem o mesmo valor de
2 p2 w
f
, apenas multiplicando
pela fração
pw
p w
f
= 1 , ou seja, aliviamos a notação sem alterar o valor original, pois 1 é o número
2
2
neutro na multiplicação, e basicamente este é o objetivo do processo racionalização (note que dividir
esse número se torna mais fácil também).
I ) Denominador do tipo px w .
y
px w
f y
=
px w
f
px w
px w
f yp x
= w
x 2
f yp x
w =
q w
f` a
x ≠ 0
|x|
ou
II ) Denominador do tipo x m np w com n > 2 e m < n .
y
x m np w
f
=
y
x m np w
n@ m
f x
y
px w
f yp x
= w
f
com x> 0
x
np w
np n@ m x w
np n@ m
f y x
= w np n@ m
f y x
np
w=
m + n@ m x w
x n np w
np n@ m
f y x
= w
f
com x ≠ 0
x
III) Denominador do tipo p y
w + px w b c
.
z
px w w
+ p y
f z
=
px w + y
f
w
p x p w w
@p y
px w h i
j f
w
@p y
k=
p w b
w
c
@p y
z x
b c2
px w
p w b
w
c
@p y
f
@p y
w
z x
f
b c2 =
x@ y
px w b
w
c
+ p y px w b
w
c
@p y = px w b c2
@px w w w
p y + p yp
x
w w
@p y
b c2
= x@ y

5.27 Módulo, valor absoluto
| x |
No conjunto dos números Reais, definimos o módulo de um numero real.
GUIDG.COM 28
Definição: O módulo de x é x se x for maior ou igual a zero ou o módulo de x é -( x) se x for
menor que zero. Definição em linguagem matemática:
V
x, se x ≥ 0
|x| =
@ x, se x

5.29 Fatorial, n fatorial (n!)
!
n!
5.30 Logaritmo
log
GUIDG.COM 29
O Símbolo / sinal de exclamação na matemática é definido como fatorial. Fatorial que vêm da palavra
fator.
A definição de n fatorial é a seguinte:
n! = n.(n-1).(n-2)(n-3)...3.2.1
Definimos também:
0! = 1
1! = 1
Exemplos:
Para n = 6, teríamos:
n! = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
4!=4.3.2.1 = 24
20! f 20.19A 18! f
= = 20.19 = 380
18! 18!
(n+2)! = (n+2).(n+1).(n).(n-1)(n-2)!
` a ` a` a` a
n + 1 ! f n + 1A
nA
n@1 ! f ` a 2 ` a = ` a = n + 1 n = n + n
n@ 1 ! n@ 1 !
Ex: log28 = 3 (consulte o arquivo Logaritmos no site)
O logaritmo de 8 na base 2 é 3, pois elevando 2 ao expoente 3 obtemos 8.
Nunca esqueça, se não tiver base no logaritmo, definimos como sendo na base 10.
5.31 Logaritmo neperiano, natural
ln
Logaritmo natural (consulte o arquivo Logaritmos no site)
logen = y
5.32 Somatório, notação sigma
Σ
letra grega sigma
maiúscula
Logaritmo neperiano é o logaritmo cuja base é o numero e = 2,718281828.... .
Ex: log e 8 = ln 8 = 2,079441542 … $ e 2,079441542 … = 8
n
X
i = m
f i
`a = f m
` a ` a ` a ` a
+ f m + 1 + f m + 2 + …f n
i é o índice da soma (é um símbolo arbitrário, pode assumir o valor de qualquer letra)
m é o limite inferior , n é o limite superior , f (i) é a função
5
Ex: X k 2 =1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2
k = 1

5.33 Produtório
Π
letra grega pi
maiúscula
5.34 Função ( I )
f :AQB
5.35 Função ( II )
` a
f x
5.36 Limite
lim
Produto em, até, de...
Um exemplo comum de produtório em matrizes é o corolário do teorema de Laplace.
GUIDG.COM 30
Sendo A uma matriz triangular (de qualquer ordem), o determinante de A é o produto dos elementos
da diagonal principal.
n
det A =Y aii = a11A a22A a33A…A ann .
i = 1
f = função
: = de
A = Conjunto de saída (Domínio)
→ = em
B = Conjunto de chegada (Contra-domínio)
Lê-se: “ f de A em B ”.
Ou interpreta-se como associação, “Se associa ao elemento”.
Exemplo de utilização em funções:
f : R→ R
x → y | y = ax + b, a ≠ 0
Lê-se: f de R em R , associa a cada x o elemento y igual à “a” vezes “x” mais “b” com “a”
diferente de zero.
Consulte a teoria de funções. Lê-se: f de x
Exemplo: f(x) = ax + b (Lê-se: f de x é igual a ax mais b )
Essa é uma função de primeiro grau, ou também chamada de função afim quando b for diferente de
zero.
Podendo variar entre f, f, F... e não se restringindo à x , podendo ser y , z , t , e qualquer outra letra.
Verificar tabela de limites no índice de “Calculo diferencial e integral”.
lim
xQ 1
` a
5x + 9 = 5.1 + 9 = 14
Indica que 14 é o limite da função 5x + 9 quando x tende a 1 .

5.37 Derivada
f.
dyf
dx
∂uf
dx
5.38 Integral
∫
Sinal de
integração
GUIDG.COM 31
f ’ é a notação para a derivada de uma função, outras notações também são usadas freqüentemente:
b ` ac
Se y é uma função de x y = f x , então a derivada de x é indicada por: f. x
` a = dyf
= Dx y
A definição:
f. x
` a = lim
ΔxQ 0
` a ` a
f x + Δx @ f x f
Δx
∂ , lê-se: partial d (d parcial), partial differential (derivada parcial).
Quando trata-se de uma função de várias variáveis, o símbolo de derivação muda.
Ex: seja u = f(x,y,z) então a derivada é indicada em relação a que variável quer-se derivar a função:
∂uf
∂uf
∂u
, ,
∂x ∂y ∂z
outros casos de aplicação.
f que indicam a derivada da função f em relação à x, à y , à z , respectivamente. Existem
∫ , S , S de Soma.
O símbolo da integral é um S estilizado (e não um I como pode se pensar), pelo fato da integral ser
uma soma (Cálculo 2). Inicialmente a integral é vista como a inversa da derivada, a Anti-derivada
(cálculo 1), e depois ela recebe uma nova cara, que é a soma de infinitésimos para o cálculo de áreas e
volumes, verifique as noções intuitivas e a definição formal por um livro.
Existem várias regras de integração. Exemplo de uma das regras:
Z sin x dx =@ cos x + c Lê-se: A integral de seno de x é "menos" cosseno de x "mais" a
constante. Verifique a Tabela de integrais imediatas no site. (para o cálculo 1)
dx

6 NÚMEROS E CONSTANTES
Algumas constantes frequentemente utilizadas em matemática.
6.1 Constante de Arquimedes
π
letra grega pi
minúscula
6.2 Número de Euler
e
GUIDG.COM 32
A constante de Arquimedes é o famoso pi, que deve ser conhecido por todo estudante de matemática
básica, pi é uma letra grega minúscula. É chamado de constante de Arquimedes, pois foi ele quem fez
primeiro a melhor estimativa. Pi é a razão entre a circunferência e o seu respectivo diâmetro, esse
número é sempre constante. Arquimedes fez isso (segundo a história) usando a noção intuitiva de
limite, que somente depois de Newton foi desenvolvida.
π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288...
Em trigonometria π = 180º
O número π é definido como a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro. Mas este
número tem outras personalidades. É também um número irracional e um número transcendente.
*Também é conhecido como o número de Ludoph.
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287...
Lê-se “número de Óilar” ou também: número de Napier, constante de Néper, número neperiano,
constante matemática e número exponencial. Publicado em 1618 por John Napier.
6.3 Constante de Euler-Mascheroni
γ
letra grega gama
minúscula
À teoria dos números.
6.4 Constante de Pitágoras
p2 w
6.5 Número de Ouro
φ
letra grega fi
minúscula
γ = 0,577215664901532860606512090082402431...
A sexta constante matemática importante, foi calculado com centenas de casas decimais.
Não se sabe se γ γ é um número irracional.
*Raiz quadrada de dois.
p2 w = 1.41421 35623 73095 04880 16887 …
Segundo a história, Pitágoras lutou contra a existência de números irracionais, pois acreditava num
mundo de números inteiros. Querendo ou não foram os pitagóricos que descobriram este número e por
isso a atribuição.
À razão Áurea, Proporção Áurea.
φ =1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811...

7 ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
GUIDG.COM 33
Nesta seção relacionamos as formas fundamentais da geometria e álgebra, desde equações de retas,
vetores, produto interno usual (produto escalar), módulo, norma, e símbolos comuns da geometria.
7.1 Equação da reta, função do primeiro grau
y = ax + b
y = mx + n
* Para melhor entender verifique a definição de função.
Ex: y = 0,5x + 1
7.2 Equação reduzida da reta
y =
@ a
b
f c
x@
b
m é o coeficiente angular, e intercepta o eixo das abscissas (Ox).
n é o coeficiente linear e intercepta o eixo das ordenadas (Oy).
Se n e m forem diferentes de zero chama-se função afim, Se n for igual a zero chama-se função linear.
Se m for maior que zero a função é crescente.
Se m for menor que zero a função é decrescente.
Se f(x) = y = x, chama-se função identidade.
f Verificar definição e teoria.
7.3 Equação geral da reta
ax + by + c = 0
Verificar definição e teoria.
7.4 Equação do segundo grau, função quadrática
ax 2 + bx + c =0
Essa é a equação de segundo grau igualada à zero
ax 2 + bx + c =0
a, b, c são os coeficientes (também chamados de “parâmetros”), e x a variável.
A partir da equação de segundo grau que surgiu a fórmula que veremos a seguir, o problema aqui
consiste em determinar os valores de x para os quais a equação se torna verdadeira, ou seja que
valores de x anulam a equação.

7.4.1 Raízes da equação de segundo grau
ax 2 + bx + c =0
Consulte Polinômios, e funções polinomiais.
Função polinomial de segundo grau.
Os valores de x tais que ax 2 + bx + c =0
q w
São x = @bF b2@4ac 2a
f .
Essa é a fórmula para as raízes da equação/ função quadrática.
GUIDG.COM 34
É apenas aqui no Brasil, que comum tornou-se atribuir créditos este matemático Bhaskara por essa
solução da equação de segundo grau, ganhando o nome então de fórmula de Bhaskara. (Consulte a
história). Essa fórmula se obtém quando fatora-se a equação de segundo grau, completa-se os
quadrados e isola-se a variável (x). Viète também propôs outro método para extração das raízes (e
ainda existem as relações de Girard), mas essa é a forma mais mecânica mesmo (trata-se de substituir
valores e a resposta é imediata), e como na matemática trabalha-se repetidamente com equações de
segundo grau, será fácil a memorização.
Bhaskara Akaria – nascido em 1114, matemático hindu muito hábil em cálculos e um dos primeiros a
se preocupar com soluções gerais de equações.
Publicamos um artigo demonstrando essa fórmula, verifique o índice de Matemática Básica.

7.5 Pesquisa de raízes ( I )
a 0 + a 1 x …
+ a 2 x 2 + a 3 x 3 …
+ an x n
GUIDG.COM 35
Este método é chamado Pesquisa de raízes, por que raramente na primeira tentativa se acha uma
solução para o problema. No entanto ele sugere um caminho, resumimos a definição abaixo.
(A) Raízes Racionais: Seja a função polinomial P(x) = 0 de grau n.
` a
f x = an x n + a x n@ 1 n@ 1 +…+ a x 2 2 + a x + a = 0
1 0
b c
an ≠ 0 e a ≠ 0 0
As possíveis raízes são o(s) número(s) x = p/q (p e q números primos), onde p é divisor Inteiro de a 0
(termo independente) e q é divisor Inteiro de a n (coeficiente do termo de maior grau).
Exemplo: Determinar em C as raízes da função polinomial f (x) = 2x 3 + x 2 + x – 1 .
Solução.
I ) 2x 3 + x 2 + x – 1 = 0
II) As raízes possíveis são x = p/q, onde p é divisor inteiro de -1 e q é divisor inteiro de 2 .
III) D(-1) = { ±1} = p
D(2) = {±1, ±2} = q
IV) Raízes possíveis: x = p/q { ±1 , ±1/2 }
V) Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir o polinômio e testar as possíveis raízes.
VI) Verifica-se que 1/2 é raiz do polinômio, e a função polinomial é dividida sem resto, assim reescrevemos
P(x):
P(x) = (2x²+2x+2)(x-1/2)
VII) Com o Método para extração das raízes da eq. De segundo grau temos o conjunto solução, com
duas raízes imaginárias:

7.6 Pesquisa de raízes (II)
a 0 + a 1 x …
+ a 2 x 2 + a 3 x 3 …
+ an x n
GUIDG.COM 36
Um caso particular para a obtenção das raízes da função polinomial de grau n é o seguinte. Seja
` a
f x = an x n + a x n@ 1 n@ 1 +…+ a x 2 2 + a x + a = 0
1 0
b c
an ≠ 0 e a ≠ 0 0
Então se a 0 dividido por a n , resultar num número inteiro, obtemos sem tantas tentativas as raízes,
que são os divisores inteiros de a 0 .
*(Mas o teorema que abrange mais amplamente é o primeiro mesmo).
Exemplo: Determinar as raízes de f (x) = 2x³ - 11x² + 17x – 6 = 0 .
De acordo com o teorema II, as raízes possíveis, já que -6 é divisível por 2, são apenas os divisores
inteiros de -6.
D(-6) = {±1, ±2, ±3, ±6}
Pesquisando as raízes pelo dispositivo de Briot-Ruffini:
Vemos que 2 é raiz, simplificando a função:
f (x) = (x – 2) (2x 2 – 7x + 3)
S = {1/2, 2, 3}
Logo notamos também que existe outra raiz inteira, 3.
E aqui se esclarece que se utilizarmos o teorema A, a raiz já seria sugerida, no entanto o conjunto das
raízes possíveis aumentaria de oito raízes possíveis para doze.
Utilizando o método A, o conjunto das raízes possíveis é:
x = p/q={ -½, ½ , ±1, ±3/2, -2, 2, 3, -3, ±6}
Portanto esteja consciente de utilizar o método adequado.

7.7 Teorema de Bolzano
a 0 + a 1 x …
+ a 2 x 2 + a 3 x 3 …
+ an x n
7.8 Segmento de reta
AB
7.9 Vetor
jk
u
jk
v
w
jk
f
GUIDG.COM 37
Teorema Auxiliar: O Teorema de Bolzano sugere duas implicações e resumimos abaixo omitindo a
demonstração.
Considere a função polinomial de coeficientes Reais:
` a
f x = an x n + a x n@ 1 n@ 1 +…+ a x 2 2 + a x + a = 0
1 0
b c
an ≠ 0 e a ≠ 0 0
E dois números tais que a < b , f (a) . f (b) ≠ 0
1 – Se f (a) . f (b) < 0 , Então em f (x) existe um número impar de raízes no intervalo (a, b).
Dependendo do grau do polinômio. (se for três, então uma ou três raízes).
2- Se f (a) . f (b) > 0 , Então em f (x) não existe, ou existe um número par de raízes no intervalo (a, b).
Dependendo do grau do polinômio. (se for seis, então não existem raízes, ou há duas, ou quatro ou seis
raízes).
Este teorema resolve questões de análise, por exemplo: Analise a função polinomial e verifique
quantas raízes há no intervalo (0, 1). f(x) = x 5 – 2x 2 + 3x +1 .
Solução: Pelo teorema P(0).P(1) > 0 , então não há raízes, ou há duas, ou quatro raízes no intervalo
dado. (isto porque o polinômio é de quinto grau).
Dados dois pontos distintos, chamamos de segmento de reta a figura (*) constituída por eles e por
todos os pontos que estão entre eles.
f
Exemplo:
O segmento de reta determinado por A e B é representado por AB , dizemos que A e B são suas
extremidades, e representamos por AB a medida de .
Geometria Analítica, Álgebra Linear.
Vetor: Representante de um segmento de reta orientado (verifique a definição
formal).
*Um único vetor representa infinitos e distintos segmentos de retas.
jk jk
u = AB = B@ A
` a ` a
Ex: se A x1 ,y1 ,z1 e B x2 ,y2 ,z2 ` a
então AB
jk = B@ A = x2 @ x 1 , y 2 @ y 1 ,z 2 @ z 1

7.10 Distância de um ponto a um plano
b c
d P,π
b c
d P,π
L
= ax0 + by0 + cz L
0 + d
a2 + b 2 + c2 q w
M
f
Ex: A distância entre o ponto P(-4,2,5) ao plano
π : 2x + y + 2z + 8 = 0
b c
d P,π = 2 @ 4
L ` a ` a ` a M
L M
L + 1 2 + 2 5 + 8M
2 2 + 1 2 + 2 2
f
w
q
b c
d P,π = 4uc
7.11 Distancia entre dois pontos
b c
d P1 ,P2 GUIDG.COM 38
a,b,c são as coordenadas do vetor normaldo plano
x0 ,y0 ,z0 são as cordenadas do ponto qualquer
` a
d =@ax 1@ by@cz 1 1 onde x1 ,y1 ,z1 são as coordenadas
de umponto pertencente ao planoA
GEOMETRIA ANALÍTICA
Utilizando como base o teorema de Pitágoras, pode-se calcular a facilmente a distancia entre dois
pontos no plano cartesiano.
` a ` a
seja: P1 x1 , y1 ,z1 e P2 x2 ,y2 ,z2 b c
então a distância d P 1 ,P 2
b c
d P 1 ,P 2
= x 2 @x 1
jk
=| P1 P2 |
w
` a2 ` a2 ` a2 q + y2@y 1 + z2@z1 Ou seja a distância é o módulo do vetor P 1 ,P 2
Ex.
A distância entre P(7,3,4) e Q(1,0,6)
b c w
` a2 ` a2 ` a2 q pw =7 u.c.
d P,Q
= 1@7
+ 0@3
u.c. : unidades de comprimento
7.12 Parênteses de ângulo (Angle brackets)
()
+ 6@4
jk
= 49
Popular bracket (braquete).
Existem várias aplicações para estes símbolos, veremos a seguir uma aplicação.
( opening angle brackets (abrindo parênteses de ângulo)
e ) closing angle brackets (fechando parênteses de ângulo)
7.13 Produto escalar (scalar product)
( )
A ,A
Produto interno usual (inner product)
Verificar definição e teoria; Geometria Analítica, Álgebra Linear.
Esta notação implica que devemos multiplicar as coordenadas do vetor u pelas de v, e então obter o
produto escalar. Também representasse por: u jk A v jk
Exemplo:
b c
jk
u = 1,2,3
e v jk b c
= 4,5,6
então u jk * +
jk
, v = u jk b cb
c
jk ` a
A v = 1,2,3A
4,5,6 = 4 + 10 + 18 = 32

7.14 Norma, comprimento
|| v ||
7.15 Soma direta
L
Espaços vetoriais.
|| v || Lê-se a norma de v
GUIDG.COM 39
Não interprete v como apenas um vetor, pois v pode também ser uma função continua num intervalo
dado, ser uma matriz de ordem m por n ou um polinômio de grau n .
A norma indica o comprimento/medida/distância de v em relação à origem do sistema, em V (num
espaço vetorial onde existe o produto interno T:VBVQR ), semelhante ao módulo que indica a
distância de um número até a origem em R (no conjunto dos números reais) .
Se v2R 2
` a ( )
| v = x,y então ||v|| = q v,v
w
= x 2 + y 2
w
q
*Neste caso a norma de v em relação ao produto interno usual/produto escalar. Aqui a norma de v
indica a medida da hipotenusa do triangulo retângulo formado pelas componentes do vetor v .
Ex: || x + y|| ≤ || x || + || y||
Aqui segue um bom exemplo para a diferença entre norma e módulo.
L
L(
) M
L
u,vM≤
u
N NN NNv N (desigualdade de Schwarz)
Veja que no lado esquerdo da desigualdade temos u escalar
( )
v, que resulta num número real, então faz
sentido falarmos de módulo e não de norma (porque u,v2R
) , diferente do lado direito, que temos
o produto das normas de u e v (neste caso u,v2 V ).
Espaços vetoriais.
O uso desse símbolo é muito particular.
Quando a interseção de dois subespaços vetoriais W1 e W2 resulta num conjunto com apenas o vetor
nulo, então dizemos que existe uma soma direta entre W1 e W2 e denota-se W 1 LW 2 .
Ou seja 9 W 1LW 2 ^ W 1TW 2 = 0 jk R S

8 TRIGONOMETRIA, SÍMBOLOS E NOTAÇÕES
GUIDG.COM 40
Nesta seção listamos as nomenclaturas e os símbolos comuns em trigonometria assim como as formas e
formulas trigonométricas suas definições e também algumas deduções quando triviais.
8.1 Ângulo
∠
8.2 Ângulo reto, 90º
∟
8.3 Ângulo raso
8.4 Ângulo agudo
8.5 Ângulo obtuso
Ângulo: (1) Figura formada por duas semi-retas que partem do mesmo ponto. (2) inclinação calculada
entre qualquer duas coisas.
Símbolo usado para indicar um ângulo entre dois vetores, duas retas (ou segmentos), ou dois planos....
(ou qualquer duas coisas que formem um ângulo).
Representa em geometria e trigonometria, ou em geral. A formação de um ângulo de noventa graus
(90º) entre duas retas ou planos, independente se a primeira(o) estiver disposta(o) de forma horizontal,
vertical ou diagonal.
Um ângulo reto é a metade de um ângulo raso.
Um ângulo raso mede 180º, e é a metade do ângulo de uma volta completa (360º).
Raso: Adj.: De superfície plana; liso.
8.6 Ângulos complementares
É o ângulo cuja medida esta entre 0º e 90º. Ou o mesmo que 0º < x < 90º
gudo: Adj.: Terminado em gume ou em ponta. (gume: lado afiado de um instrumento cortante)
É aquele cuja medida situa-se entre 90º e 180º.
Ou o mesmo que 90º < x < 180º
Obtuso: Adj.:Que não é aguçado ou agudo; que não é bicudo; arredondado, rombo.
São aqueles cujas medidas somam 90º, e diz-se que um é o complemento do outro.
Ex: 34º é o complemento de 56º e vice-versa, pois 34º + 56º = 90º
Complemento: s. m. 1. Ato ou efeito de completar.

8.7 Ângulos suplementares
8.8 Ângulo de depressão
8.9 Ângulo de elevação
8.10 Bissetriz de um ângulo
São aqueles cujas medidas somam 180º e diz-se que um é o suplemento do outro.
Ex: 48º é o suplemento de 132º e vice-versa, pois 48º + 132º = 180º
Suplemento: s. m. Aquilo que serve para suprir qualquer falta.
É o ângulo que se forma abaixo da linha horizontal. Neste caso o ângulo alfa "α"
É o ângulo que se forma acima da linha horizontal. Neste caso o ângulo alfa "α"
GUIDG.COM 41
Bissetriz de um ângulo – é a semi-reta que partindo do vértice, determina dois ângulos congruentes (
ou seja, de mesma medida).
Obs: todo ângulo possui uma única bissetriz
8.11 Perpendicular (perp), ortogonal
⊥
Perpendicular (abreviação Perp.)
Se r e s , são retas perpendiculares indicamos r? s .
Lê-se: r é perpendicular à s . Ou r é ortogonal à s .
Retas perpendiculares / ortogonais são aquelas que possuem um único ponto em comum e formam
entre si um ângulo de 90º.

8.12 Retas paralelas
// ||
8.13 Losango
◊
8.14 Grau
º
8.15 Minuto
‘
8.16 Segundo
“
8.17 Grado
gr
Se r e s são duas retas paralelas indicamos por r // s .
Lê-se: r é paralela(o) à s .
GUIDG.COM 42
Retas paralelas são aquelas que não possuem ponto em comum, ou seja não se cruzam, não são
concorrentes.
Figura geométrica cuja soma dos ângulos internos (no plano) é sempre 360º .
Diferentemente do triangulo, este cuja soma dos ângulos internos (no plano) é sempre 180º.
*(no plano) porque curvando-se o espaço (o plano) a soma dos ângulos será maior ou menor.
Indicação para ângulos e coordenadas em geometria / trigonometria, temperatura em graus Celsius e
etc.
Tempo: 1 grau é igual a 60 minutos que é igual a 3600 segundos.
1º = 60’ = 3600”
MAT: Por definição, 1 grau é o arco equivalente a 1/360 (um trezentos e sessenta avos) da
circunferência, ou seja, em um arco de volta completa, ou de uma volta, cabem 360° (graus).
Indicação abreviada de minuto.
Ex: 1’ = 60” (Um minuto igual a sessenta segundos).
Indicação abreviada de segundo.
x: 20 segundos = 20”
Definimos como 1 grado o arco equivalente a 1/400 da circunferência, isto é, em uma circunferência
ou arco de uma volta cabem 400 gr (grados).
Esse sistema não é tão eficaz quanto ao sistema grau, por isso caiu em desuso.

8.18 Radiano
rad
8.19 Arco
arc
AB
&
GUIDG.COM 43
(1) Um radiano é o arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência onde tal arco foi
determinado.
(2) Um radiano é o comprimento de arco cujo medida é igual a do raio da circunferência que ele
compõe.
Definimos como arco de circunferência cada uma das partes em que ela é dividida por dois de seus
pontos.
AB
&
, um arco é representado dessa forma, e lê-se: arco AB
Se dois pontos coincidem, há portanto dois arcos, um é o arco nulo, e outro é o arco de uma volta.
f
Atenção: Não confundir com segmento de reta. AB

9 GEOMETRIA, TEOREMAS E FÓRMULAS DE RECORRÊNCIA
GUIDG.COM 44
Nesta seção listamos os principais teoremas de geométrica, juntamente com algumas deduções triviais e
fórmulas de recorrência.
9.1 Teorema de Pitágoras
a 2 = b 2 + c 2
Consulte trigonometria.
Relação trigonométrica de Pitágoras para o Triangulo Retângulo (T.R. é aquele que possui um ângulo
de noventa graus ou ângulo reto).
a, b e c são as medidas dos catetos.
Cateto: Cada um dos lados do ângulo reto no triângulo retângulo.
Adjacente: próximo, vizinho, ao lado.
Hipotenusa: em geometria, é o nome do lado do triangulo que esta oposto ao ângulo reto.
A hipotenusa ao quadrado (a²) é igual (=) a soma dos quadrados dos catetos (b² + c²).
CO = cateto oposto ao ângulo
CA = cateto adjacente ao ângulo
Outras relações:
9.2 Polígonos regulares
4
5
6
8
Altura h:
a.h = b.c
h² = m.n
Projeções m e n:
b² = a.n
c² = a.m
Existem controvérsias quanto a atribuição da fórmula à Pitágoras, pelo fato dele próprio não ter deixado nada por
escrito, o que se tem são relatos de outros estudiosos daquela época, que podem ser alterações do trabalho original,
de qualquer forma conhecemos esse teorema e assim nos lembramos por “teorema de Pitágoras”.
Polígonos (figuras geométricas com n número de lados iguais). Obs: Polígono regular é todo polígono
convexo que tem os lados congruentes e os ângulos coincidentes (ângulos iguais).
Número de lados, Polígono:
3 - Triangulo
4 - Quadrilátero
5 - Pentágono
6 - Hexágono
7 - Heptágono
8 – Octógono
10 - Decágono
11 - Undecágono
12 - Dodecágono
15 - Pentadecágono
20 – Icoságono

9.3 Número de diagonais
` a
nA n@ 3 f
d =
2
A diagonal é a reta que liga vértices não consecutivos:
O número de diagonais (d) é dado por:
(n) é o número de lados do polígono.
9.4 Soma dos ângulos internos
` a
Si = n@ 2A
180
9.5 Ângulo interno
^
i
` a
f
nA n@ 3
d =
2
GUIDG.COM 45
Para este polígono temos 5 lados, e substituindo na fórmula temos o número de diagonais que é 5. Mas
nem sempre o número de lados é igual ao número de diagonais.
As diagonais desde pentágono são as retas coloridas.
Essa fórmula determina a soma dos ângulos internos de um polígono convexo, mas não
necessariamente regular.
` a
Si = n@ 2A
180º
Em polígonos regulares, como todos os ângulos são coincidentes, podemos calcular cada ângulo
interno utilizando a formula da soma de ângulos internos (S i ) dividida pelo número de lados (n) do
polígono.
^ Si i =
n
9.6 Teorema de Tales
ABf
DEf
=
BC EF
` a
f ^ n@ 2A
180º f
[ i =
n
Um feixe de retas paralelas (a, b, c) determina, sobre duas transversais quaisquer, que segmentos de
uma ( ABf
DEf
) são proporcionais aos segmentos correspondentes da outra ( ).
BC
EF
a // b // c então ABf
DEf
=
BC EF

9.7 Semelhança de triângulos
ΔABC ~
ΔDEF
O til (~) neste caso pode ser lido como “é semelhante”
Os triângulos são semelhantes se as seguintes condições forem verificadas:
1 – Os ângulos internos correspondentes são iguais.
2 – A razão entre os lados homólogos forem proporcionais.
Homólogo: lados, ângulos, diagonais, vértices e outros elementos que se correspondem
ordenadamente.
Então, em linguagem matemática resumimos:
ΔABC~ΔDEF ^
Decorrência:
A ^ = D ^
B ^ = E ^
C ^ = F ^
X
^\
^Z
e
a
d
f = b
e
f cf
= = k
f
f f
No Triângulo ABC, se PQ // BC , então ΔAPQ ~ ΔABC
GUIDG.COM 46

10 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
GUIDG.COM 47
A seguir uma lista de relações trigonométricas usuais, somente as que realmente podem ser úteis em
algum determinado problema de geometria ou de cálculo.
10.1 Seno e co-seno
sin
sen
cos
Muitas pessoas tem dificuldade com trigonometria, por não entender o significado das abreviações sen,
cos, tg, etc. Esses termos representam medidas, que se projetam em algum eixo. Por exemplo, o seno
de um ponto P(x,y) é dado pela relação a baixo, e significa uma medida.
sen α
` a =
cateto opostof
, cos α
hipotenusa
Função Trigonométrica:
` a cateto adjacentef
=
hipotenusa
Definição geométrica de “sen” e “cos”: Tomemos uma circunferência de raio 1 e um ponto A da
mesma, considere o sistema de coordenadas da figura acima. Dado um número real x, seja Px o ponto
da circunferência correspondente a x, então:
cos x = abscissa de Px ;
sen x = ordenada de Px ;
Portanto Px = (cos x, sen x)
Obs: o símbolo da função seno é sen, então deveríamos escrever sen(x), e da mesma forma para cos x,
cos(x). A omissão dos parênteses é tradicional, e serve para aliviar a notação. Contudo não vá pensar
que sen x, é um produto de sen por x. E isso não tem sentido, pois sen e cos é uma correspondência
(função) e não um número:
sen x não é produto de sen por x; cos x não é produto de cos por x.

10.2 Lei dos senos
sin
Aplicação: qualquer triangulo
GUIDG.COM 48
A medida de um lado (x) é igual ao dobro do raio (2R) vezes o seno do ângulo oposto ao lado (X ^ ):
( x = 2R senX ^ ).
Ou também:
10.3 Lei dos co-senos
cos
10.4 Tangente
tan x
tg x
a
senA ^
f b
=
senB ^
f c
=
senC ^
f
= 2R
Obs: O Triângulo não precisa ser eqüilátero (ter os lados iguais).
Aplicação: qualquer triangulo
a 2 = b 2 + c 2 @ 2bcA cos A ^
b 2 = a 2 + c 2 @ 2acA cos B ^
c 2 = a 2 + b 2 @ 2abA cosC ^
tg = co/ca
co = cateto oposto, ca = cateto adjacente
tg x = senxf
=
cosx
cof
hf
cof
hf
cof
caf=
A =
h ca ca
h
Interpretação geométrica no ciclo trigonométrico:

10.5 Co-razão x, o complemento de
co-x
10.6 Co-tangente
cot x
ctg x
cotg x
cotan x
GUIDG.COM 49
Expliquemos o significado da partícula co, que inicia o nome das relações co-seno, co-tangente e cosecante.
Ela foi introduzida por Edmund Gunter, em 1620, querendo indicar a razão trigonométrica do
complemento. Por exemplo, co-seno de 22° tem valor idêntico ao seno de 68° (complementar de 22°).
Assim, as relações co-seno, co-tangente e co-secante de um ângulo indicam, respectivamente, seno,
tangente e secante do complemento desse ângulo.
Assim, indicando seno, tangente e secante simplesmente pelo nome de razão, podemos dizer que
Exemplos:
d e
f
Ia sen π
3
II a sen 37º
d e
f
= cos πf
π
@
2 3
= cos
co-razão x = razão (90º - x)
f g
f
3π@ 2π
6
` a ` a ` a
= cos 90º@ 37º = cos 53º
d e
f
= cos π
6
Com base no triângulo apresentado na figura A, conclui-se que:
sen α = cos β , sen β= cos α
tan α = cot β , tan β= cot α
sec α = csc β , sec β= csc α
cot x =
cos xf
1 f
=
sen x tg x
Sabendo as três primeiras “sen, cos e tg”, o resto não fica difícil de memorizar veja:
Quando aparecer “Co” pode se para memorização interpretar como:
“inverso de”.
Tg é sen sobre cos, então cotg é o inverso de tg, e fica cos sobre sen.

10.7 Secante
sec
10.8 Co-secante
csc
cosec
cossec
sec x = 1 f
cos x
“Secante lembra Seno, mas é um sobre cosseno” .
csc x = 1 f
sen x
“Co-secante lembra co-seno, mas é um sobre seno”
10.9 Interpretações geométricas das funções trigonométricas
10.10 Relação fundamental
sin x + cos x = 1
sen 2 x + cos 2 x = 1
Outras relações:
sec 2 x = 1 + tg 2 x mas cosx ≠ 0
cossec 2 x = 1 + cotg 2 x mas senx ≠ 0
Partindo da figura A e da relação de Pitágoras:
a² = b² + c² (dividindo por a²)
1 = (b/a)² + (c/a)²
Tomando em relação ao Ângulo B.
Sabemos que sen² x = (c.o./h)² = (b/a)²
e cos² x = (ca/h)² = (c/a)²
GUIDG.COM 50

10.11 Relações em senos
sin
10.12 Relações em co-senos
cos
10.13 Relações em tangentes
tg
tan
GUIDG.COM 51
Algumas fórmulas que podem ser úteis na vida dos estudantes de cálculo. Quando aparece: cos a cos b
, isto implica que estamos multiplicando o co-seno de a pelo co-seno de b, e isto se aplica a todas as
fórmulas apenas mudando as funções em sen, cos, tg, etc.
1: sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b
2: sen(a – b) = sen a cos b – cos a sen b
“Decoreba” para 1 e 2: Minha terra tem palmeiras onde canta o sabiá, seno a co-seno b, seno b coseno
a. Sinais iguais
3: sen(2a) = sen (a +a) = sen a cos a + sen a cos a
sen(2a) = 2 sen a cos a
4: sena senb =@ 1B
f ` a ` aC
cos a + b@
cos a@ b
2
5: sena cos b = 1B
f ` a ` aC
sen a + b + sen a@ b
2
Não recomendo a memorização, mas você deve saber que existem essas relações, saber aplicar e ter em
mãos quando for necessário.
1: cos(a + b) = cos a cos b – sen a sen b
2: cos(a – b) = cos a cos b + sen a sen b
“Decoreba” para 1 e 2: coça-coça, senta-senta.Sinais contrários.
3a: cos(2a) = cos (a + a) = cos a cos a – sen a sen a
cos(2a) = cos²a – sen²a
3b: cos(2a) = 1 – 2sen²a
3c: cos (2a) = 2cos² a – 1
OBS: 3b e 3c são obtidas por substituição da relação fundamental. E a partir dessas duas relações podese
chegar a outras por manipulação algébrica.
4: cos a cos b = 1B
f ` a ` aC
cos a + b + cos a@ b
2
` a
` a sen a + bf
` a tga + tgb
1: tg a + b = ` a
f ` a
, tg a + b = ^ cos a + b ≠ 0
cos a + b
1@ tgaA tgb
` a
` a sen a@ b
= ` a
2: tg a@b
f ` a tga@ tgb f ` a
, tg a@ b = ^ cos a@ b ≠ 0
cos a@ b
1 + tgaA tgb
` a 2tga
3: tg 2a =
1@ tg 2 f ` a
^ cos 2a ≠ 0
a

10.14 Relações de senos, co-senos e tangentes em metades
sin ( x/2 )
cos ( x/2 )
tan ( x/2 )
1: sen 2 d e
af
2
2: cos 2 d e
af
2
3: tg 2 d e
af
2
= 1@ cos a
= 1@ cos a
= 1 + cos a
f
2
f
2
f
^ cosa ≠@ 1
1 + cosa
10.15 Soma e diferença de senos
d e
p + qf
1: senp + senq = 2sen A cos
sin x
2
p@q
d e
f
2
2: senp@ senq = 2sen p@q
d e
f
2
10.16 Soma e diferença de co-senos
cos x
A cos
d e
p + qf
2
d e d e
p + qf
p@ qf
1: cos p + cos q = 2cos A cos
2 2
d e d e
p + qf
p@ qf
2: cos p@ cos q =@2sen A sen
2 2
GUIDG.COM 52

11 PRODUTOS NOTÁVEIS
Fórmulas básicas, regras de fatoração e expansão de termos.
11.1 Trinômio quadrado fatorado
ax 2 + bx + c
a ≠ 0
Supondo que x 1 e x 2 sejam raízes reais da equação
ax 2 + bx + c = 0
Então
` a` a 2
a x@ x1 x@ x2 = ax + bx + c
11.2 Quadrado da soma ou diferença de dois termos
` a2
aF b
Trinômio quadrado perfeito
` a2 ` a` a 2 2
a + b = a + b a + b = aa + ab + ba + bb = a + 2ab + b
GUIDG.COM 53
“ O quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo mais o
quadrado do segundo termo”
` a2
a@b
= a 2 @ 2ab + b 2
11.3 Soma ou diferença de quadrados
a 2 F b 2
Para a soma o que se pode fazer é acrescentar um fator de correção:
` a2
a 2 + b 2 = a + b
@ 2ab
Diferença de Quadrados:
a 2@ b 2 ` a` a
= a + bA
a@b
11.3.1 Cubo da soma ou diferença de dois termos
` a3
aF b
` a3
a + b
` a3
a@b
11.4 Soma ou diferença de cubos
a 3 F b 3
= a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
= a 3 @ 3a 2 b + 3ab 2 @ b 3
a 3 + b 3 ` ab c
2 2
= a + bA
a @ ab + b
` ab c
2 2
A a + ab + b
a 3 @ b 3 = a@b

11.5 Binômio de Newton
` an
x + a
A seguinte fórmula foi desenvolvida com a intenção de facilitar o cálculo.
` an
A forma x + a
demonstradas anteriormente em Produtos notáveis.
GUIDG.COM 54
8 n > 12Z , é expandida da seguinte maneira e aplicável a todas as formas
` an
x + a = x n + n
1!
nA n@ 1
…+
3!
n n@ 1
… +
n@ 1
` a` a
A n@ 2
` a` a
n@ 2 …2
` a
!
` a
f nA n@ 1
n@ 1 f n@ 2 2 A x A a + A x A a + …
2!
f A x n@ 3 A a 3 + …
Procedimento, para o lado direito da igualdade:
1 – o primeiro termo (x) é sempre elevado ao expoente n.
f A xA a n@ 1 + a n
2 – o segundo termo, é o expoente vezes x elevado a uma unidade a menos que o n inicial. Multiplique
isso por a.
3 – o terceiro é o produto de n pelo expoente de x do segundo termo, ou seja: n e (n – 1). Divida isso
pelo número de termos escritos, ou seja, dois. Multiplique por x elevado a duas unidades reduzidas do
n inicial. Multiplique por a elevado a uma unidade a mais que a do segundo termo.
A dica é memorizar os passos, deduzir os produtos notáveis (que possam ser) pelo Binômio de
Newton, e por último demonstrar a fórmula até o quarto termo. Depois disso é repetição.

12 FUNÇÕES HIPERBÓLICAS
GUIDG.COM 55
Definição das funções hiperbólicas e uma analogia às relações trigonométricas, onde alguns casos de
relações entre as funções trigonométricas também são verificados nas funções hiperbólicas.
12.1 Seno hiperbólico
sinh
senh
12.2 Co-seno hiperbólico
cosh
Definimos a seguinte função exponencial como Seno hiperbólico, e suas demais conseqüentes abaixo.
f:RQR , sinh x
` a = ex@ e
B c
f:RQ 1, +1
12.3 Tangente hiperbólica
tanh
tgh
b c
f:RQ @ 1, 1
12.4 Co-tangente hiperbólica
coth
cotgh
12.5 Secante hiperbólica
sech
2
@ x
f
, cosh x
` a = ex + e
, sinh x
2
@ x
f
` a
f ` a e
` a = tgh x =
cosh x
x @ e
f:R C
Db c b cE
Q @1 ,@ 1 S 1, +1 ,
1 f ` a e
` a = coth x =
tgh x
x + e
b c
f:RQ 0, 1
12.6 Co-secante hiperbólica
csch
cossech
f:R C
QR C
,
,
@ x
e x @ x
@ e
f
1 f
` a = sech x
cosh x
1 f
` a = csch x
sinh x
` a =
` a =
@ x
e x @ x
+ e
f
2
ex f
@ x + e
2
ex f
@ x @ e

12.7 Relações hiperbolicas
1) cosh 2 x@sinh 2 x = 1
` a ` a
2) sinh@ x =@sinh x
` a ` a
3) cosh@ x = cosh x
4) coshx + sinhx = e x
@ x
5) coshx@ sinhx = e
6) sech 2 x = 1@tgh 2 x
7) @csch2 x = 1@coth 2 x
csch 2 x = coth 2 X
\
Z
x@ 1
` a
8) sinh x + y = sinhxA coshy + sinhyA coshx
` a
9) cosh x + y = coshxA coshy + sinhxA sinh y
` a ` a
10) sinh 2x = sinh x + x = 2A sinhxA coshx
` a ` a
cosh 2x = cosh x + x
11)
= cosh 2 x + sinh 2 x
= 2Asinh 2 x + 1
= 2Acosh 2 X
^\
^Z
x@ 1
12) sinh 2 x =
13) cosh 2 x =
coshx@ 1f
2
coshx + 1f
2
GUIDG.COM 56

13 SEQÜÊNCIAS, FÓRMULAS DE RECORRÊNCIA
Nesta seção veremos algumas definições básicas e a fórmulas básicas das seqüências numéricas,
progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG).
13.1 Progressão Aritmética
PA
GUIDG.COM 57
PA, Progressão Aritmética. É uma seqüência numérica, tal que o termo posterior é o termo anterior
mais a razão.
PA = a1 , a2 , a P Q
3 , … ,an
A Razão de uma PA
r é a razão, numa PA determina-se fazendo a diferença do termo posterior pelo termo anterior, isto é:
r = a 2 @ a 1
13.1.1 Termo geral e termo qualquer
PA
` a
Termo geral de uma PA: an = a1 + n@ 1 r
` a
Termo qualquer: Sendo n ≠ m an = am + n@m r
Exemplo: Determinar r sendo a 4 = 25 e a 10 = 43 :
` a ` a
an = am + n@ m r[a10 = a4 + 10@4 r
43 = 25 + 6r
6r = 18[r = 3
Conseqüência: A soma dos extremos de uma PA é sempre um número constante.
Considere a PA = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} então:
a 1 = 2, a 2 = 4, … a 9 = 18
a 1 + a 9 = a 2 + a 8 = a 3 + a 7 = a 4 + a 6 = a 5 + a 5
2 + 18 = 4 + 16 = 6 + 14 = 8 + 12 = 10 + 10 = 20
13.1.2 Termo médio, média aritmética e soma dos termos
PA
Termo médio, Média aritmética:
Sendo a 1 , a 2 , a 3 uma PA então:
a 2 = a 1 + a 3
2
Soma dos termos da PA:
f
[ an = an@ 1 + an + 1f
2
Sendo a1 e an então a soma dos n termos da PA:
S n = a b c
1 + an n
f
2

13.2 Progressão Geométrica
PG
GUIDG.COM 58
PG, Progressão Geométrica. É uma seqüência numérica, tal que o termo posterior é o termo anterior
vezes a razão.
Ex: PG = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...} é uma PQ de razão 2.
q é a razão, e obtém-se dividindo o termo posterior pelo anterior.
f
q = an
a n@ 1
13.3 Termo geral, termo qualquer, termo médio e média geométrica
PG
Termo geral:
n@ 1
an = a1A q
Termo qualquer:
n@ m
an = amA q
Termo médio,
`
Média Geométrica:
a
Seja a PG: …, an@ 1 , an , an + 1 , …
` a2
an
13.3.1 Soma dos termos
PG
` a` a
= an@ 1A
an
+ 1
` a
an =F an@
1
` a` w a
q A an
+ 1
Isto é, o termo do meio é a raiz quadrada do produto: termo anterior vezes termo posterior (depende o
sinal da seqüência também).
Soma dos termos da progressão geométrica
S n = a1A qn f g
@ 1f
q@ 1
ou S n = a 1 A
f g
1@ qnf
1@ q
*Apesar da troca de sinal, as duas fórmulas são iguais.
Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Convergente.
Quando -1 < q < 1 , e n → +∞ . S n = a1 f
1@ q
Ex: Qual o valor da soma s = 1 + 1f
1f
1f
+ + + … ?
2 4 8
1f
2f
1f
q = = , S1 =
1 2
1
1@ 1
1f
f 1f
= = 2
f 2
2