28/1/2013 – MEF: Conceitos básicos da teoria de erros.

28/1/2013 – MEF: Conceitos básicos da teoria de erros.
Tags: Medidas, cálculos com medidas, operações, exercícios resolvidos, análise e demonstrações.
GUIDG.COM 1
I - Esse estudo requer conhecimento em Medidas, Algarismos significativos, Notação cientifica e Unidades SI.
II - Esse estudo é direcionado aos alunos que cursam a disciplina de Medidas Físicas da UDESC-CCT.
III - Correções e adaptações serão feitas regularmente, não use este estudo como fonte única de estudos.
Sumário
1 INTRODUÇÃO...................................................................................................................................................................2
2 CLASSIFICAÇÃO OU TIPOS DE ERROS ....................................................................................................................3
2.1 Erro de Escala .............................................................................................................................................................3
2.2 Erro Sistemático ..........................................................................................................................................................3
2.3 Erro Acidental (Erro Randômico ou Erro Aleatório) ..................................................................................................4
2.4 Erro máximo................................................................................................................................................................4
3 MEDIDAS INDIRETAS CONSIDERANDO ERROS DE ESCALA ............................................................................5
3.1 Cálculo da Área (exemplo) .........................................................................................................................................6
3.2 Cálculo do Volume (exemplo) ....................................................................................................................................7
4 REGRAS BÁSICAS PARA MEDIDAS INDIRETAS.....................................................................................................8
5 MEDIDAS EXPERIMENTAIS.........................................................................................................................................9
5.1 Média (Valor mais provável) ......................................................................................................................................9
5.2 Desvio médio ............................................................................................................................................................10
5.3 Desvio padrão............................................................................................................................................................10
6 RESULTADO DE UM CONJUNTO DE MEDIDAS DE UMA GRANDEZA ...........................................................11
7 ERRO RELATIVO ..........................................................................................................................................................13
8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E LEITURA COMPLEMENTAR .................................................................15

1 INTRODUÇÃO
GUIDG.COM 2
O objetivo das atividades em laboratório de um experimentador é fazer uma análise quantitativa de certas
propriedades do sistema observado. Esse estudo é feito através de repetidas medições de grandezas físicas
de interesse do experimentador. É no processo de medições que entram os erros, pois absolutamente
nenhum instrumento de medida é livre de erros, cabe então ao experimentador tratar adequadamente esses
erros. Entretanto não devemos confundir erro com engano, também chamado de erro grosseiro, este
último aparecendo devido a falta de habilidade do experimentador, e é perfeitamente evitável, então
interpretaremos neste curso o termo ERRO como aquele que não podemos evitar. Naturalmente não tem
muito significado apresentar uma medida sem expressar o erro, uma vez que esta medida pode estar muito
distante do valor real da grandeza, contudo a teoria de erros também não nos da o valor real da medida, e
sim uma estimativa do erro máximo.
Atualmente qualquer experimentador de medições não pode deixar de aplicar os métodos matemáticos de
tratamento dos dados experimentais, entretanto a estatística matemática não é perfeita, daí o fato de que
até agora não existem recomendações universalmente aceitas com respeito à apresentação de resultados
experimentais. Para este curso, que direcionaremos a disciplina de MEF da UDESC-CCT Joinville,
listaremos a seguir algumas das regras adotadas para a aplicação nas disciplinas de Física Experimental.

2 CLASSIFICAÇÃO OU TIPOS DE ERROS
2.1 Erro de Escala
É o erro devido ao limite de precisão do instrumento de medida.
GUIDG.COM 3
* Para este curso consideraremos o erro de escala como sendo igual à metade da menor medida.
* Os traços em vermelho mostram o erro de escala de cada régua.
A) Em uma régua decimetrada seria de 0,5 dm .
B) Em uma régua centimetrada seria de 0,5 cm .
C) Em uma régua milimetrada esse erro seria de 0,5 mm .
Exemplo 1: Ao efetuar uma medida (diretamente) obteve-se o seguinte valor: 583,4mm , onde o
algarismo duvidoso é o 4 . Então como o erro de escala da régua milimetrada é de 0,5mm , a melhor
apresentação da medida seria da seguinte forma:
b c
583,4F 0,5 mm
2.2 Erro Sistemático
É o erro que perturba todas as medidas sempre da mesma forma, fazendo com que os valores obtidos se
afastem do valor provável (positivamente ou negativamente) sempre em um sentido definido.
Exemplo 2: Como o erro sistemático segue um certo comportamento padrão, é possível detecta-lo e
elimina-lo.
A) Como mostra a figura, um velocímetro analógico com o ponteiro torto para a direita sempre indicará
uma velocidade maior que a correta.
B) Uma balança de alta precisão que esteja com algum grão de poeira, ou até mesmo com um prato mais
pesado do que o padrão, sempre indicará uma medida maior do que a correta.
Esses são alguns dos inúmeros erros que podem ocorrer.

2.3 Erro Acidental (Erro Randômico ou Erro Aleatório)
É aquele que ocorre totalmente ao acaso, portanto, sem qualquer sentido ou previsibilidade.
GUIDG.COM 4
Esse erro é o resultado da soma de pequenas perturbações que são inevitáveis, tais como vibrações, calor,
campos externos, oxidações, e outros fatores fora do controle do experimentador e, na maioria das vezes,
de seu conhecimento. Esses erros são impossíveis de evitar, o que significa que temos que conviver com
eles e aprender a tratá-los da maneira adequada.
2.4 Erro máximo
É também chamado de desvio da medida, e é representado por Δx , é a soma de todos os erros.
erro máximo = Δx = erro escala + erro sistemático + erro randômico

3 MEDIDAS INDIRETAS CONSIDERANDO ERROS DE ESCALA
GUIDG.COM 5
A seguir apresentaremos um método para calcular a área e volume, de objetos que foram medidos e
expressos com erros de escala. Essas medidas que serão calculadas são chamadas medidas indiretas, e
deve-se tomar cuidado com as operações envolvidas, e quanto à expressão final das medidas, para que
contenha o número adequado de algarismos significativos.
Considere que medimos com um paquímetro os três lados de um paralelepípedo, sendo esses lados: L1, L2
e L3 .
As seguintes medidas foram obtidas:
Medida direta
com o instrumento
Precisão do
instrumento
(erro de escala)
L1 = 22,45mm ∆L1 = 0,05mm
L2 = 46,85mm ∆L2 = 0,05mm
L3 = 9,50mm ∆L3 = 0,05mm
As medidas obtidas podem ser escritas na seguinte forma:
Lx. = L xF ΔL x
*As letras que levam uma aspa (ex: A' ) indicam a inclusão do ∆A (desvio da medida ou erro).
Onde essa expressão indica que a medida L x. (x pode ser um número ou letra, indica o nome da
medida) é igual à própria medida Lx somada ou subtraída de ΔL x que é o desvio da medida, neste caso
é o erro de escala ou limite de precisão do instrumento de medida.
Com isso re-escrevemos as medidas na seguinte forma:
Lx. = L xF ΔL x
L1' = (22,45 ± 0,05) mm
L2' = (46,85 ± 0,05) mm
L3' = (9,50 ± 0,05) mm
Agora que temos nossas medidas escritas na forma correta, como podemos calcular a área ou volume do
paralelepípedo de maneira que inclua o desvio da medida? É o que veremos a seguir.

GUIDG.COM 6
3.1 Cálculo da Área (exemplo)
Para obtermos a área neste caso consideramos as medidas L1' e L2' , multiplicando uma medida pela
outra ( A. = L 1 .AL 2 . ) .
b cb
c
A. = AF ΔA = L1 .AL 2 . = L1F ΔL1A L2F ΔL2 Multiplicando temos: A. = L1 L2F L1 ΔL2F L2 ΔL1F ΔL1 ΔL2 Podemos desconsiderar os produtos de erro por erro (por resultar num valor infinitesimal).
b c b c
Exemplo: ΔL1 ΔL2 , ΔL1 ΔL2 ΔL3 e etc.
Como procuramos pelo maior desvio consideramos apenas a adição;
Colocamos entre parênteses as medidas multiplicadas pelos desvios;
E assim obtemos a expressão final:
b c
A. = L1 L2F L1 ΔL2 + L2 ΔL1 Substituindo os valores fornecidos na expressão temos:
b c b c
A. = 22,45A 46,85F 22,45A 0,05 + 46,85A 0,05 = 105 1f,7825F 1,1225 + 2,3425
Arredondando o produto de L1.L2 pela regra da multiplicação e divisão temos:
D b cE
A. = 1052F 3,465 mm 2
Aqui temos um passo importante, o número de as do desvio é determinado após passarmos nossos
resultados para a notação científica, veja:
A. = 1,052A10 3 mm 2 F 0,00 3f465A10 3 mm 2
b c
Agora como temos três as após a vírgula no produto já arredondado L1.L2 , arredondamos o resultado
da multiplicação dos desvios também com três dígitos após a vírgula:
A. = 1,052A10 3 mm 2 F 0,003A10 3 mm 2
E a apresentação final do resultado é dada na seguinte forma:
b c
A. = 1,052F 0,003A10
3 mm 2

GUIDG.COM 7
3.2 Cálculo do Volume (exemplo)
O método não se diferencia muito do cálculo da área. Para obtermos o volume neste caso consideramos as
medidas L1' , L1' e L1' e multiplicamos uma pela outra ( V' = L1' . L2' . L3' ).
b cb
cb
c
V. = VF ΔV = L1 .A L2 .A L3 . = L1F ΔL1A L2F ΔL2A L3F ΔL3 Multiplicando a expressão já demonstrada pela grandeza L3' :
b c
L1 L2F L1 ΔL2F L2 ΔL1F ΔL1 ΔL2 b c
A L 3 F ΔL 3
b c
L 1 L 2 L 3 F L 1 L 3 ΔL 2 F L 2 L 3 ΔL 1 F L 3 ΔL 1 ΔL 2
b c
F L1 L2 ΔL3F L1 ΔL2 ΔL3F L2 ΔL1 ΔL3F ΔL1 ΔL2 ΔL3 Desprezando L 3 ΔL 1 ΔL 2 , L 1 ΔL 2 ΔL 3 , L 2 ΔL 1 ΔL 3 , ΔL 1 ΔL 2 ΔL 3 e considerando o maior erro
chegamos na expressão final:
b c
V. = L1 L2 L3F L1 L3 ΔL2 + L2 L3 ΔL1 + L1 L2 ΔL3 Substituindo os valores fornecidos na expressão temos:
b c
V. = 22,45A 46,85A 9,50F 22,45A 9,50A 0,05 + 46,85A 9,50A 0,05 + 22,45A 46,85A 0,05
D E
b c b c
= 9991,93375F 10,66375 + 22,25375 + 52,589125 = 9991,93375F 85,506625
Passamos os valores para notação científica;
Arredondamos seguindo a regra da multiplicação e divisão para L1 . L2 . L3 ;
O procedimento é o mesmo do cálculo da área, veja:
9,9 9f193375.10 3 mm 3 F 0,085506625A10 3 mm 3
Arredondando no dígito sublinhado temos: 9,99A10 3 mm 3 F 0,0 8f5506625.10 3 mm 3
Como temos dois algarismos após a vírgula no resultado arredondado de L1 . L2 , o número de dígitos
após a vírgula no desvio também será dois. Seguindo as regras de arredondamento, temos:
9,99A10 3 mm 3 F 0,09A10 3 mm 3
b c
Mas a forma correta de se apresentar o resultado é: 9,99F 0,09A10
3 mm 3 .
OBSERVAÇÃO: Essas soluções aparentam certo grau de dificuldade, mas na verdade são simples, não
se impressione com o volume de símbolos ou linhas, pois foram repetidos vários passos para um melhor
esclarecimento do método. Finalmente recomendamos que o estudante pratique o método, refazendo os
exercícios.
mm 3

4 REGRAS BÁSICAS PARA MEDIDAS INDIRETAS
GUIDG.COM 8
A seguir os métodos para resolução de operações com medidas diretas, apresentado o erro propagado da
medida. Considere as seguintes medidas: x = x f F Δx ; y = y f F Δy ; c (uma constante), veja abaixo como
ficam as operações entre as mesmas:
Adição: x + y = x f ` a b f c
F Δx + yF Δy = x f f b c
+ yF Δx + Δy
Subtração: x@ y = x f ` a b f c
F Δx@
yF Δy = x f f b c
@ yF Δx + Δy
Multiplicação: xA y = x f ` ab f c
F ΔxA
yF Δy = x f f b f f c
A yF x Δy + y Δx
OBSERVAÇÃO: Em multiplicações de erro por erro (para dois ou mais fatores), o mesmo é
desconsiderado, por ser um valor tendendo a zero (muito pequeno).
Multiplicação por uma constante: xA c = x f ` a f ` a
F ΔxA
c = xA cF ΔxA c
OBSERVAÇÃO: As regras para Divisão, Potenciação, Logaritmação, Exponenciação, Funções
trigonométricas... , são obtidas através da equação do erro indeterminado, procure por “Propagação de
erros” na seção de Medidas Físicas do site para ver a teoria.

5 MEDIDAS EXPERIMENTAIS
GUIDG.COM 9
Considere que, durante a realização de uma série de medidas, não ocorreram erros grosseiros, nem erros
sistemáticos, e que os erros de escala foram menores que os erros aleatórios, então todas as fontes de
erros contribuíram para aumentar ou diminuir, aleatoriamente, o valor da grandeza física observada. O
experimentador é, portanto, obrigado a avaliar corretamente o erro aleatório, e incluí-lo nos dados obtidos
no experimento.
A seguir, vamos introduzir uma “receita” da Teoria de Erros, baseada no procedimento estatístico
usualmente indicado para o tratamento de medidas experimentais, que deverá ser seguida para informar o
resultado de uma série de medidas de certa grandeza física.
5.1 Média (Valor mais provável)
OBSERVAÇÃO: As seguintes definições continuam valendo para as próximas expressões.
x f : Média ou valor mais provável;
n : Número de medidas;
Σ : Somatório (a soma será indicada pelos índices n , i , e x i neste caso);
i = 1 : Indica a partir de onde começamos a somar, neste caso a partir da medida de número 1.
x i : É o nome da medida, onde (x) pode ser uma letra qualquer e (i) define um número para essa
medida (para o caso de ser mais de uma);
x 1 + x 2 + x 3 …+ xn : Soma das medidas;
x f = 1
n
f n g
f
X
xi i = 1
= x1 + x2 + x3 + …+ xnf
: Expressão final da média ou valor mais provável.
n
Leitura: A média (ou valor mais provável), é a média aritmética das medidas, isto é, a soma de todas as
medidas dividida pelo número de medidas.
OBSERVAÇÃO: Em caso de duvidas com os símbolos, consulte a Notação Sigma.

5.2 Desvio médio
f
Δx : Desvio médio;
GUIDG.COM 10
Δxi : Desvio da medida. Obtém-se através da diferença de xi por x f Δxi = xi@ x f b c
. E finalmente é
adotamos o módulo do desvio da medida, já que procuramos pelo maior desvio, que representamos
assim: |Δx i | = | x i @ x f | , nesta forma chama-se desvio absoluto da medida.
f
Δx = 1
f n g
f
X |Δxi | =
n
1 n
f
X | xi@ x
n
f f g
| = | x1@ xf | + | x2@ x f | + | x3@ x f | + …+ | xn@ x f b c
|
f
n
i = 1
i = 1
Interpretação da expressão: O desvio médio é a soma dos desvios absolutos dividida pelo número de medidas.
5.3 Desvio padrão
σ x: Desvio padrão (letra grega sigma minúscula)
w
n
n
1 f ` a2 1
σ x = s
f
` aX
Δx = ` aX
x
n@ 1
n@ 1
i@x f b
w
c2 x1@ x
s
=
f
v
u
t
i = 1
i = 1
b c2
+ x2@x f b c2
+ x3@x f b c2
+ …+ xn@ x f
w
` a2
f
n@ 1
Interpretação da expressão: o desvio padrão é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos desvios
divididos por uma unidade a menos que o número de medidas.
OBSERVAÇÃO: A partir do conhecimento do desvio padrão, podemos calcular o erro aleatório
provável. Neste curso consideraremos que o erro aleatório provável é o desvio padrão, isto é:
erro randômico = σ x

6 RESULTADO DE UM CONJUNTO DE MEDIDAS DE UMA GRANDEZA
Procedimento:
I - Realização das medidas;
II - Cálculo da média ou valor mais provável;
III - Cálculo dos desvios de cada medida em relação à média;
IV - Cálculo dos quadrados dos desvios de cada medida
V - Cálculo do desvio padrão da medida
VI - Informação do resultado no seguinte formato:
f
LF
σ x = 1
H h
f n g
v w
iI
u
n
L f 1 f
X
lu
` a2
xi Fjt`
aX
mM
L
Δx kM
J
n
n@ 1
K
i = 1
Exemplo seguindo o procedimento descrito acima:
I) Considere que realizamos dez medidas (n) de objetos idênticos com uma régua centimetrada:
i = 1
GUIDG.COM 11
II ) Agora realizamos o cálculo da média ou valor mais provável (não carregaremos as unidades cm para
aliviar a notação):
f
L = 1
10
h
10
fjX i = 1
L i
i
k= L1 + L2 + L3 + L4 + L5 + L6 + L7 + L8 + L9 + L10 10
241,0 + 241,2 + 241,3 + 240,6 + 241,3 + 241,7 + 241,1 + 240,9 + 240,5 + 240,8f
10
2410,4f
= 241, 0f4
10
f
Seguindo as regras de arredondamento: L = 241,0 .
...
i Li (cm)
1 241,0
2 241,2
3 241,3
4 240,6
5 241,3
6 241,7
7 241,1
8 240,9
9 240,5
10 240,8
f

GUIDG.COM 12
III) Agora calculamos os desvios de cada medida ( ΔL i ) em relação à média, ou seja, é só obter a
diferença e colocar o valor em módulo.
IV) Calculamos os quadrados dos desvios obtidos no terceiro passo:
f b c2
i ΔLi = | Li@ L | (cm) ΔLi cm2 1 0,0 0,0
2 0,2 0,04
3 0,3 0,09
4 0,4 0,16
5 0,3 0,09
6 0,7 0,49
7 0,1 0,01
8 0,1 0,01
9 0,5 0,25
10 0,2 0,04
IV*) Este passo não está incluso na lista de procedimentos, mas realizaremos o cálculo do desvio médio
para o esclarecimento do mesmo:
f
ΔL = 1
10
f
ΔL = 0,0 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,3 + 0,7 + 0,1 + 0,1 + 0,5 + 0,2
h
10
fjX i = 1
i
|ΔL i | k 1
=
10
h
10
jf
X
i = 1
i Li (cm) ΔL i = | L i @ L
f
| (cm)
1 241,0 0,0
2 241,2 0,2
3 241,3 0,3
4 240,6 0,4
5 241,3 0,3
6 241,7 0,7
7 241,1 0,1
8 240,9 0,1
9 240,5 0,5
10 240,8 0,2
| L i @ L
i
f
| L1@ L | + | L2@ L | + | L3@ L
k =
10
|
b f f f fc
10
| + …+ | L10@ L |
f 2,8f
= = 0, 2f8 = 0,3cm
10
O desvio médio contribui positivamente f f como negativamente na medida, de modo que se pode comunicar
b c
o resultado na forma: L = LF
ΔL = 241,0F 0,3 cm .
f

V) Cálculo do desvio padrão da medida, que consideraremos como sendo o erro aleatório:
σ L =
σ L =
v
u 10
f
t`
aX
1
9
i = 1
` a2
Δx
w
=
v
u 10
f
t`
aX
1
9
i = 1
L i @ L
w
f
b c2
=
v
u
t
b fc2
L1@ L
b fc2
+ L2@ L
b fc2
+ L3@ L
v
ub
c
u 0,0 + 0,04 + 0,09 + 0,16 + 0,09 + 0,49 + 0,01 + 0,01 + 0,25 + 0,04
t
w
f
σ L = 1,18cm2 s = 0,131111111cm
9
2 = 0, 3f62092683cm = 0,4cm
q w
9
9
cm 2
+ …+ L 10 @ L
w
f
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f
w
b c2
VI) Finalmente informamos o resultado na forma que inclui o erro aleatório, que consideramos como
sendo o próprio desvio padrão:
7 ERRO RELATIVO
f b c
L = LF
σ L = 241,0F 0,4 cm
Em inúmeras situações são feitas medições para comparar com um valor anteriormente definido. Isto se
chama erro relativo, ou seja, é a relação de erro entre uma medida realizada e uma medida anteriormente
definida como padrão. Apenas para o conhecimento apresentaremos o erro absoluto para cada uma das
medidas, pois o mesmo pode levar ao que chamamos de desinformação, ou informação enganosa.
L
Δxabsoluto = Lxlido@
xreferência Agora trataremos do erro percentual, este sim de grande importância. Abaixo a expressão para o mesmo,
lembrando que o erro relativo percentual como qualquer outro erro, pode contribuir positivamente como
negativamente em relação ao valor definido como padrão.
Exemplos:
L
M
M
ε % = xlido@ xreferênciaf A 100%
x referência
Em uma indústria de papel, considere as seguintes medidas definidas como padrão para uma folha de
papel do tipo ofício:
...
Dados referenciais:
Largura: 215,900mm
Altura: 279,400mm
Espessura: 0,010mm
f

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Para verificar a qualidade da produção, um técnico pega uma folha como amostra e com um micrômetro
(instrumento de medida de alta precisão), obtém os seguintes dados:
Obtendo o erro absoluto de cada medida:
L
M L
M L
Dados obtidos:
Largura: 215,404mm
Altura: 280,002mm
Espessura: 0,011mm
Δx largura = L215,404@
215,900M=@
L 0,496M=
0,496mm
L
M L
M L
Δxaltura = L280,002@
279,400M=
L0,602M=
0,602mm
L
M L
M L
Δxespessura = L0,011@
0,010M=
L0,001M=
0,001mm
M
M
M
Pelo erro absoluto concluímos que o maior erro está na altura, seguido da largura e espessura
respectivamente.
Obtendo o erro relativo percentual de cada medida:
L
M
ε %largura = 215,404@215,900 L M
f
A 100% = 0,22 9f735988 …% = 0,230%
215,900
ε %altura =
L
ε %espessura =
M
280,002@ 279,400M
f
A 100% = 0,21 5f461703 …% = 0,215%
279,400
L
M
0,011@ 0,010M
f
A 100% = 10,000 000 000 0 …% = 10%
0,010
Para chegar ao resultado final, basta que você use os critérios de arredondamento, outra nota é que o
resultado é adimensional (não leva unidade de medida), isto é carece de significado físico. Observamos
agora que o maior erro está na medida da espessura, e bem maior comparado aos outros erros obtidos.
Comparando ao erro absoluto também vemos diferença, e finalizando concluímos que o erro absoluto
reduz tudo á uma mesma linguagem, a percentagem de erro com relação ao valor definido como padrão.
Em muitas situações além de se obter a média ou valor mais provável ( x f ), também é interessante
calcular-se o erro percentual, uma vez que exista um valor definido como padrão, isto é:
ε % =
L f n g
L
L1f
L X x
n i
L
i = 1
xreferência @ x referência
M
f x
A 100% = f L M
L M
L @ xreferênciaM
x referência
f A 100%
OBSERVAÇÃO: Normalmente todo esse conteúdo mais os conceitos de Algarismos Significativos,
Critérios de arredondamento e Notação científica são cobrados em uma prova, após a prova segue-se para
Propagação de Erros (consultar o arquivo do site, seção de Medidas Físicas).

8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E LEITURA COMPLEMENTAR
(1) Apostila do curso: Medidas e Algarismos Significativos, Física Experimental.
(2) Notas de aula do curso de Medidas Físicas (MEF), Licenciatura em Física / UDESC – CCT.
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