31/12/2012 – CDI: Resumo de limites.

31/12/2012 – CDI: Resumo de limites.
Tags: Resumo, manual, guia, informal tabelado para definições, Limites notáveis, propriedades e regras gerais, com demonstrações.
GUIDG.COM 1
I – Esse estudo requer um entendimento de vários conceitos de matemática. Trata-se de um guia de propriedades
com demonstrações, não serve como material didático completo.
II – Se houver dúvidas quanto aos significados dos símbolos consulte “Notação Matemática” no arquivo do site.
1 INTRODUÇÃO...................................................................................................................................................................2
1.1 Limites laterais ............................................................................................................................................................2
1.2 Teorema da Unicidade ................................................................................................................................................3
2 LIMITES, DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................................3
2.1 Limites no infinito.......................................................................................................................................................3
2.2 Limites infinitos ..........................................................................................................................................................4
2.3 Limites infinitos no infinito.........................................................................................................................................4
2.4 Limites no infinito, Teorema auxiliar I .......................................................................................................................4
2.5 Limites infinitos, Teorema auxiliar II .........................................................................................................................5
2.6 Limites no infinito, notações.......................................................................................................................................5
2.7 Indeterminações, introdução .......................................................................................................................................5
2.8 Indeterminações e propriedades dos limites infinitos: ................................................................................................6
2.9 Propriedades imediatas................................................................................................................................................6
2.10 Propriedades dos Limites ............................................................................................................................................7
3 LIMITES NOTÁVEIS (FUNDAMENTAIS) ...................................................................................................................8
4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E LEITURA COMPLEMENTAR .................................................................12

1 INTRODUÇÃO
GUIDG.COM 2
Não está em nosso objetivo introduzir os conceitos iniciais de limites, a nossa introdução se refere as
notações matemáticas. Para iniciarmos está revisão de conteúdo será importante relembrarmos como se
faz a correta leitura dos símbolos abaixo:
f (x) , lê-se “f de x” e significa “função de x”.
xQ a , lê-se “x tende à a”.
lim
xQ a
f x
` a = b , lê-se: O limite de f (x) quando x tende à a é igual a b .
1.1 Limites laterais
ou: O limite de f (x) é b quando x tende à a .
xQ a + , lê-se “x tende à a pela direita”.
xQ a @ , lê-se “x tende à a pela esquerda”.
a) lim
xQ a +
f x
` a = L
Dizemos que o limite de uma função quando x tende à a pela direita (na reta real, dos valores maiores
para os menores), é L . Então L é o limite á direita.
b) lim f x @ xQ a ` a = L
Dizemos que o limite de uma função quando x tende à a pela esquerda (na reta real, dos valores
menores para os maiores), é L . Então L é o limite á esquerda.
c) Teorema do limite bilateral:
Se f(x) é definida em um intervalo aberto contendo a , exceto possivelmente no ponto a , então:
lim f x
xQ a ` a = L^ lim
xQ a +
f x
` a = lim f x @ xQ a ` a = L
Ou seja, o limite bilateral existe se, e somente se os limites laterais existirem e forem iguais.

1.2 Teorema da Unicidade
Se lim f x
xQ a ` a = b1 e lim f x
xQ a ` a = b2 então b1 = b2 .
2 LIMITES, DEFINIÇÃO
GUIDG.COM 3
Seja f(x) definida num intervalo aberto I , contendo a , exceto possivelmente no próprio a . Dizemos
que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L , e escrevemos que:
lim f x
xQ a ` a L
= L se 8 ε > 0 ,9 δ > 0 | L f x
L
` a M
@ L
M < ε sempre queL x@ aM
< δ .
Lê-se: O limite de f(x) quando x tende à a é igual a L se para todo épsilon maior que zero, existe um
delta maior que zero tal que o módulo de f(x) – L é menor que épsilon sempre que o módulo de x – a
for menor que delta.
Amplamente isto significa que através do estabelecimento de uma relação entre as desigualdades
propostas, pode-se obter uma prova matemática para a existência do limite.
Para que se entenda a definição é necessário entender o significado geométrico.
Uma explicação para os símbolos é vista em “Notação Matemática” no arquivo do site.
2.1 Limites no infinito
` a
a) Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto a, +1 . Escrevemos:
lim f x
xQ +1 ` a L
= L se8ε > 0 ,9 A > 0 | Lf
x
L
` a M
@ L
L
M < ε sempre que x > A .
b c
b) Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto @1 , b . Escrevemos:
lim f x
xQ@1 ` a L
= L se8ε > 0 ,9 B < 0 | Lf
x
L
` a M
@ L
M < ε sempre que x < B .
Ou seja, os limites existem se satisfazerem cada um à sua condição dada.
Obs.: Veja a seção 2.4 , irá ajudar muito no cálculo de limites no infinito.
M

2.2 Limites infinitos
GUIDG.COM 4
a) Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em x = a.
Dizemos que:
lim f x
xQ a ` a = +1 se8M > 0 ,9 δ> 0 | f x
` a L M
> M sempre queL x@ a
M< δ .
b) Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em x = a.
Dizemos que:
lim f x
xQ a ` a =@1 se8N < 0 ,9 δ> 0 | f x
2.3 Limites infinitos no infinito
` a L M
< N sempre queL x@ a
M< δ .
Havendo uma boa interpretação de limites no infinito e limites infinitos, as demais definições podem ser
facilmente deduzidas:
a) lim f x
xQ +1 ` a = +1 se8M > 0 ,9 N > 0 | f x
` a > M sempre que x > N .
Ou seja, o limite de uma função vai positivamente para o infinito, se para todo M maior que zero (no
eixo das ordenadas) existir um N maior que zero (no eixo das abscissas), por maior que M seja sempre
teremos uma f(x) > M sempre que x > N .
Da mesma forma se deduz os próximos três casos:
b) lim f x
xQ +1 ` a =@1 se8M < 0 ,9 N > 0 | f x
` a < M sempre que x > N .
c) lim f x
xQ@1 ` a = +1 se8M > 0 ,9 N < 0 | f x
` a > M sempre que x < N .
d) lim f x
xQ@1 ` a =@1 se8M < 0 ,9 N < 0 | f x
` a < M sempre que x < N .
2.4 Limites no infinito, Teorema auxiliar I
O próximo teorema irá ajudar no cálculo de limites no infinito.
a) lim
xQ +1
b) lim
xQ@1
1
x n
f
= 0
1
x n
f
= 0
+
Sendo n2ZC .
“Sendo n pertencente ao conjunto dos números inteiros positivos exceto por n igual à zero.

2.5 Limites infinitos, Teorema auxiliar II
O próximo teorema irá ajudar no cálculo de limites infinitos.
a) lim
xQ 0 +
b) lim
xQ 0 @
1
x n
f
= +1
1
x n
V
f +1, se n é par
=
@1 , se n é impar
2.6 Limites no infinito, notações
Quando apresentarmos a notação
lim
xQ1
` a
f x
GUIDG.COM 5
Isto é, o limite de uma função quando x tende ao infinito, estamos procurando pelo limite da função
quando xQ +1 e xQ@1 , ou seja, são dois limites:
lim
xQ +1
f x
` a e lim
xQ@1
` a
f x
2.7 Indeterminações, introdução
Quando chegamos à alguma das sete formas abaixo, dizemos que chegamos a uma indeterminação.
0f
1
,
0 1
f ,1@1 , 0A1 ,0 0 ,1 0 ,1 1
Isto significa que nada se pode dizer sobre o limite sem um estudo mais profundo de cada caso, que por
sua vez é feito com o auxilio da equivalência entre funções.
Convém ainda lembrar que @1 e +1 não são números, são conceitos.
Dizer que xQ@1 ou xQ +1 indica o comportamento da variável x . Assim x nunca chega à
um limite numérico, por isso diz-se que tende ao infinito. Diferente de quando dizemos por exemplo, que
xQF 10 , aqui o limite de x existe, mesmo que f(x) não esteja definida neste ponto.

2.8 Indeterminações e propriedades dos limites infinitos:
A tabela a seguir resume os casos principais para os limites infinitos, onde se pode ter:
xQ a , xQ a + , xQ a @ , xQ +1 ou xQ@1 .
GUIDG.COM 6
0 + indica que o limite é zero quando x tende à zero pela direita (por valores positivos), e 0 @ indica que
o limite é zero quando x tende a zero pela esquerda (por valores negativos).
* Para os quatro primeiros casos citados em 2.7 .
lim f x
` a lim g x
` a h(x)= lim h x
` a simbolicamente
01 F1 F1 f(x) + g(x) F1 F1 F1 = F1
02 * +1 +1 f(x) – g(x) ? ( +1) – (+1) é indeterminação
03 +1 k f(x) + g(x) +1 +1 + k = +1
04 @1 k f(x) + g(x) @1 @1 + k = @1
05 +1 +1 f(x) . g(x) +1 ( +1) . (+1) = +1
06 +1 @1 f(x) . g(x) @1 ( +1) . (@1) = @1
07 +1 k > 0 f(x) . g(x) +1 +1 . k = +1
08 +1 k < 0 f(x) . g(x) @1 +1 . k = @1
09 * F1 0 f(x) . g(x) ? F1 . 0 é indeterminação
10 k F1 f(x) / g(x) 0 k /F1 = 0
11 * F1 F1 f(x) / g(x) ? F1 / F1 é indeterminação
12 k > 0 0 + f(x) / g(x) +1 k / 0 + = +1
13 +1 0 + f(x) / g(x) +1 +1 / 0 + = +1
14 k > 0 0 @ f(x) / g(x) @1 k / 0 @ = @1
15 +1 0 @ f(x) / g(x) @1 +1 / 0 @ =@1
16 * 0 0 f(x) / g(x) ? 0 / 0 é indeterminação
2.9 Propriedades imediatas
a) Se a , m e n são números reais, então:
lim
xQ a
` a
mx + n = ma + n
Decorrências imediatas: Se c é um número real qualquer, então:
b) lim
xQ a c = c
c) lim
xQ a x = a

2.10 Propriedades dos Limites
Vejamos as principais propriedades usadas na manipulação algébrica e no cálculo de limites.
Os 10 primeiros são mais dedutíveis enquanto os 4 restantes em mais destaque.
Sejam as funções f(x) e g(x) , para as quais existem os limites lim f x
xQ a ` a e lim g x
xQ a ` a , então:
01 - lim
xQ a
f x
` a B ` aC
F g x = lim f x
xQ a ` a ` a
F lim g x
xQ a
B C
` a
02 - lim kA f x
xQ a
03 - lim
xQ a
` a
= kA lim f x
xQ a
f x
` a B ` aC
A g x = lim f x
xQ a ` a ` a
A lim g x
xQ a
H ` aI
f x
04 - limJ
f
` aK=
xQ a g x
lim
` a
f x
xQ a f
` a , se lim g x
g x xQ a ` a ≠ 0
B ` aCn
05 - lim f x
xQ a
06 - lim
xQ a
` a
07 - lim ln f x
xQ a
lim
xQ a
B Cn
` a
= lim
xQ a f x
nq
` a
f x
w ` w
= nq
a
lim f x
xQ a
B C
B C
` a
08 - lim sin f x
xQ a
B C
` a
09 - lim cos f x
xQ a
` a
f x
10 - lim e
xQ a
B ` aC
= ln lim
xQ a f x
= e lim
xQ a
B ` aC
= sin lim
xQ a f x
= cos lim
xQ a f x
b ` ac
f x
, com n2N
B ` aC
, se lim f x
xQ a ` a > 0
11 - Se f x
` a > 0 , e o lim f x
xQ a ` a = b , então b > 0
Ou seja, se a função assume valores positivos, então o limite será positivo.
12 - Propriedade do Confronto: Se f(x) e g(x) são funções tais que: lim f x
xQ a ` a = lim g x
xQ a ` a = b
E se h(x) é uma função tal que: f x
` a ≤ h x
` a ≤ g x
` a , então lim h x
xQ a ` a = b .
Esta propriedade é demonstrada como prova do primeiro limite fundamental (3-1).
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13 - Propriedade para funções polinomiais: Seja f x
` a = a0 x n + a1 x n@ 1 + …+ an então:
X
\
a) lim f x
xQ +1 ` a = +1, se a0 > 0
Z@1
, se a0 < 0
b) lim f x
xQ@1 ` a = +1, se a X
\
0 > 0 e n par
Za0
< 0 e n ímpar
c) lim f x
xQ@1
` a =@1 , se a 0
X
\ > 0 e n ímpar
Za0
< 0 e n par
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14 – Limites no infinito do quociente de funções polinomiais: Se P x
` a = a0 x n + a1 x n@ 1 + …+ an
e Q x
` a = b0 x m + b1 x m@ 1 + …+ bm , então:
` a
P x f
lim ` a = lim
xQ1 Q x
xQ1
a0 x n
b0 x m
f
3 LIMITES NOTÁVEIS (FUNDAMENTAIS)
As próximas proposições são conhecidas como limites fundamentais, ou notáveis. Estas proposições irão
nos auxiliar no cálculo de limites quando estivermos diante de casos particulares tais como
0f
1 0 , 1 e 1
0
.
Também é interessante lembrar que os itens 1, 8 e 9 são as proposições que caracterizam os limites
fundamentais.
1) lim
xQ 0
2) lim
xQ 0
3) lim
xQ 0
sinxf
= 1
x
x f
= 1
sinx
` a
sin axf
= a
x
` a
sin axf
af
4) lim ` a =
xQ 0 sin bx b
5) lim
xQ 0
6) lim
xQ 0
1@ cos xf
= 0
x
tan xf
= 1
x
` a 1
7) lim
xQ 0 1 + x
x
f
= e

f g
1f
8) lim 1 +
xQF1 x
x
= e
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O interessante neste limite é o surgimento da indeterminação 1 1 . Torna-se então evidente a dificuldade
de provar que 1 1 = 1 , como vemos a função nos leva a acreditar que o resultado seria 1 (uma vez que a
parte fracionária da função torna-se nula), entretanto podemos provar que seu resultado é o número
irracional e = 2,7182... indo assim contra o senso comum. A prova matemática não viola nenhum dos
axiomas e teoremas matemáticos, isto é, chega-se a este resultado por uma forma transitiva (usando
artifícios matemáticos) já que não podemos prová-la diretamente.
lim
xQF1
f g
1f
1 +
x
x
` a1
= 1 + 0 =1 1 (conclusão imediata, resultado indeterminação)
Em 2.8 vimos que 1 1 é uma indeterminação.
A prova formal deste teorema envolve noções de séries, por este motivo será omitida.
Com isso só nos resta provar este limite usando a Regra de L’Hospital.
Demonstração de 8 por L’Hospital:
Queremos provar que lim 1 +
xQ1 1
f g
f
x
x
= e , usando propriedades e a regra de L’Hospital:
lim
xQ1
e
...
f g
1f
1 +
x
x
xA ln 1 +
lim
xQ1
1
H d eI
f
L
x M
L fM
L M
L x f M
J 1 K
f
x
= lim
xQ1 e
= e lim
xQ1
H I
f gx
1f
lnJ 1 +
x
ln 1 + 1
H d eI
f
L M
L x f
M
J K
@ 1 x
^\
Definindo as funções no limite
Então pela regra de L’Hospital:
ln 1 +
lim
xQ1
e 1
H d eI
f
L M
L x f
M
J K
@ 1 x
e lim
d e
x f
xQ1 x + 1
h
j
= e lim
xQ1
` ai
f. x f
` ak
g. x
= e
K
= lim
xQ1 e
X
^Z
H I
f g
1f
xA lnJ 1 + K
x
f x
` a = ln 1 + 1
f g
f
x
= e lim
xQ1
H I
f g
J
1f
xA ln 1 + K
x
[ f. x
` a =
@ 1
x2 f
1 + 1
x
g x
` a = x@ 1 [ g. x
` a @ 2 =@ x
h
1 i
f
@ ` a
l x x + 1 fm
l lim m
j xQ1 @ 2 k
@ x
Aplicando novamente a regra de L’Hospital:
...
e lim
xQ1
d e
x f
x + 1
= e lim
xQ1 1
` a
= e
= e
lim
xQ1 @
Hh
i I
1 f
b c
Lj
` ak
2 M
J A @ x K
x x + 1
f @ 1 f
= ` a
f x x + 1

...
Com isso temos que lim 1 +
xQ1 1
f g
f
x
x
= e .
9) lim
xQ 0
10) lim
xQ 0
lim
xQ 0
ax@ 1f
= ln a
x
` aa
1 + x
` aa
1 + x
x
x
@ 1f
= a
` aa
@ 1f
1 + 0
=
0
@ 1f
1
= a @ 1f
0
=
0 0
f
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Indeterminação do tipo 0/0 , logo podemos aplicar a regra de L’Hospital para resolver, contudo a regra
não deve ser utilizada se o estudante ainda não entrou no estudo da Derivada e Diferencial.
a) Para aqueles que já conhecem a regra:
lim
xQ 0
` aa
1 + x
x
@ 1f
0
=
0
f
Definindo o numerador como f e o denominador como g , diferenciando em relação à x ,
independentemente o quociente temos:
L = lim
xQ 0
= aA 1
f
g
` aa@ 1
f f. f a 1 + x
= lim = lim
xQ 0 g. xQ 0
` aa@ 1
= aA1 a A1 @ 1 = a
b) Demonstração por propriedades:
` a
I – Multiplicando e dividindo por ln 1 + x ;
II – Alternando a ordem dos fatores;
lim
xQ 0
` aa
1 + x
x
@ 1f
A
z~ I |~x
` a
ln 1 + x f
` a
ln 1 + x
= lim
xQ 0
` a
A 0 + 1 @ 0
1
f ` aa@ 1
= lim a 1 + x
xQ 0
z ~ II | ~x
` a ` aa
ln 1 + x f 1 + x @ 1f
A ` a
x ln 1 + x
III – Propriedade de logaritmos, a fração 1/x sobe como expoente de (1 + x) ;
IV – Propriedade de limites, o limite de um produto é o produto dos limites;
lim ` a
xQ 0 ln 1 + x
1
z~ III |~x`
aa
1 + x @ 1 fA
` a
x ln 1 + x
z ~ IV | ~x
f = lim
xQ 0 ln 1 + x
` a 1
` aa
f 1 + x
xA
lim
xQ 0
@ 1f
` a
ln 1 + x
V – Propriedade de limites, o limite de um logaritmo é o logaritmo do limite;
VI – Limite fundamental 7 ;
VII – Equivalência fundamental de logaritmos, ln e = log e e^e x = e , x = 1 ;
...

...
` a1 z ~ V | ~x
h z VI ~ = F7 = | e ~x i
l
j
m
k
ln
lim 1 + x
xQ 0
f
x
A lim
xQ 0
Portanto resumimos para: lim
xQ 0
` aa
1 + x
d
t
e
@ 1 VII
f
` a =
ln 1 + x ln e
` aa
1 + x
@ 1
` a
ln 1 + x
f
A lim
xQ 0
` aa
1 + x
@ 1
` a
ln 1 + x
VIII – Multiplicando e dividindo por a ;
IX – Novamente a propriedade de logaritmos, a sobe como expoente de (1 + x) ;
` aa
X – Definindo 1 + x = u , temos que se xQ 0 , uQ1 ;
lim
xQ 0
` aa
z VIII|x
1 + x @ 1 d e
f
` a A af
ln 1 + x a
= lim
xQ 0
B` aa
C z ~ X | ~x
a 1 + x @ 1 ` a
f
b ` aa
c = a u@ 1 f
lim
ln 1 + x
uQ 1
{ ~ } ~y ln u
IX
XI – Definindo u – 1 = y , temos que se uQ1 , yQ0 , u = 1 + y ;
XII – Dividindo o numerador e o denominador por y ;
XIII – Propriedade de limites; o limite de um quociente é o quociente dos limites;
XIV – Propriedade de logaritmos, a fração 1/y sobe como expoente de (1 + y) ;
z ~ XI | ~x
ay f
b c
ln 1 + y
lim
yQ 0
= lim
yQ 0
z~ XII|~x
a f
b c
ln 1 + y
f=
y
z ~ XIII|
~x
d e
lim
yQ 0
lim
yQ 0 a
b c 1f
y
ln 1 + y
{~ }~y
XV – Propriedade que decorre da definição, 2.9-b;
XVI – Propriedade de limites, o limite de um logaritmo é o logaritmo do limite;
XVII – Novamente o limite fundamental 7 ;
lim
yQ 0 a
z~ XV = a|~x
d e
b c 1
f a f
h i = = a
ln e f
l
y m
{ ~ } ~y
k
{ ~ } ~y
lnl j lim 1 + y
yQ 0
XVII = F7 = e
XVI
Portanto o limite 10 esta provado.
11) lim
xQ 0
a x @ b x
x
f af
= ln
b
XIV
f
f
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4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E LEITURA COMPLEMENTAR
(1) Paulo Boulos - Cálculo diferencial e integral Vol.1;
(2) Diva Marilia Flemming - Cálculo A;
(3) Louis Leithold - O cálculo com geometria analítica Vol.1;
(4) Apostila/Livro de CDI-1 UDESC 2010-1.
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