5/10/2012 – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares.

5/10/2012 – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares.
Tags: Matrizes, Determinantes, Sistemas, Definições, Teoria, Teoremas, Propriedades, Exemplos, Exercícios, Passo à Passo...
GUIDG.COM 1
I - Este texto foi escrito com objetivo englobar todo o conteúdo de Matrizes e Determinantes para o estudo e
resolução de Sistemas Lineares, entretanto o estudante deve consultar as referências bibliográficas.
II - Esse estudo está limitado aos números reais ( R ) , mas é importante saber que esta teoria é valida também
para conjuntos superiores como no caso dos números complexos (C ) .
III - Muitos assuntos estão relacionados e quando algum requisito for necessário faremos uma indicação, por
exemplo: [1.21 Submatriz] , desta forma o estudante é informado que deve ter conhecimento deste tópico.
Sumário
1 MATRIZES.........................................................................................................................................................................3
1.1 Fila de uma matriz.......................................................................................................................................................3
1.2 Matriz linha (vetor-linha) ............................................................................................................................................3
1.3 Matriz coluna (vetor-coluna).......................................................................................................................................3
1.4 Matriz zero (matriz nula).............................................................................................................................................3
1.5 Vetor nulo (vetor zero)................................................................................................................................................4
1.6 Matriz quadrada ..........................................................................................................................................................4
1.7 Matriz retangular.........................................................................................................................................................5
1.8 Matriz diagonal ...........................................................................................................................................................5
1.9 Matriz identidade (matriz unidade) .............................................................................................................................5
1.10 Igualdade de matrizes..................................................................................................................................................6
1.11 Matriz transposta (transposição) .................................................................................................................................6
1.12 Matriz oposta...............................................................................................................................................................6
1.13 Matriz simétrica ..........................................................................................................................................................6
1.14 Matriz anti-simétrica ...................................................................................................................................................6
1.15 Matrizes comutativas...................................................................................................................................................6
1.16 Matrizes anti-comutativas ...........................................................................................................................................8
1.17 Matriz involutiva.........................................................................................................................................................8
1.18 Matriz idempotente .....................................................................................................................................................8
1.19 Matriz triangular..........................................................................................................................................................8
1.20 Traço de uma matriz....................................................................................................................................................9
1.21 Submatriz ....................................................................................................................................................................9
1.22 Operações com matrizes............................................................................................................................................10
1.23 Operações elementares das matrizes .........................................................................................................................11
1.24 Equivalência de matrizes...........................................................................................................................................11
1.25 Matriz escalonada e matriz linha-reduzida................................................................................................................12
1.26 Posto de uma matriz ..................................................................................................................................................16
1.27 Nulidade de uma matriz ............................................................................................................................................16
1.28 Propriedades de operações com matrizes ..................................................................................................................19
1.29 Potência de uma matriz .............................................................................................................................................23
1.30 Matriz inversa............................................................................................................................................................23
1.31 Matriz ortogonal........................................................................................................................................................32
2 DETERMINANTES .........................................................................................................................................................34
2.1 Conceito de determinante..........................................................................................................................................34
2.2 Determinante de uma matriz .....................................................................................................................................36
2.3 Regras práticas para o cálculo de determinantes .......................................................................................................38
2.4 Propriedades dos determinantes ................................................................................................................................40
2.5 Menor complementar ................................................................................................................................................45
2.6 Co-fator .....................................................................................................................................................................45
2.7 Matriz co-fatora.........................................................................................................................................................45
2.8 Matriz adjunta ...........................................................................................................................................................45
2.9 Teorema de Laplace ..................................................................................................................................................46
2.10 Determinante por triangulação ..................................................................................................................................48
2.11 Determinante de Vandermonde (determinante das potências) ..................................................................................49
2.12 Regra de Chió............................................................................................................................................................49

GUIDG.COM 2
3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES .....................................................................................................................52
3.1 Equação linear...........................................................................................................................................................52
3.2 Sistema de equações lineares (sistema linear)...........................................................................................................52
3.3 Sistema linear homogêneo ........................................................................................................................................53
3.4 Sistemas e matrizes ...................................................................................................................................................53
3.5 Posto de um sistema (característica de um sistema)..................................................................................................54
3.6 Grau de liberdade do sistema ....................................................................................................................................54
3.7 Operações linha sobre um sistema linear ..................................................................................................................55
3.8 Solução de um sistema por matriz inversa ................................................................................................................55
3.9 Regra de Cramer .......................................................................................................................................................58
4 NOTAS FINAIS ................................................................................................................................................................65
5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E LEITURA COMPLEMENTAR .................................................................65

GUIDG.COM 3
1 MATRIZES
Matriz de ordem m×n ( m por n ) é um agrupamento retangular de números dispostos em m linhas
(horizontais) por n colunas (verticais), entre colchetes, parênteses ou barras duplas.
B C
A mBn = a ij
mBn
=
H
L
J
I
a11 a12 … a1n a21 a22 … a
M
2n M
… … … …M
K
am1 am2 … amn
=
h
l
j
i
a11 a12 … a1n a21 a22 … a m
2n m
… … … …k
am1 am2 … amn
=
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … …
am1 am2 … amn
I - As letras maiúsculas itálicas A,B,C... representam as matrizes, os respectivos índices inferiores
indicam a ordem da matriz, e lê-se: Matriz A de ordem m por n .
II - Os números (ou incógnitas) neste agrupamento são chamados de elementos ou entradas da matriz, e
são representados pelas letras minúsculas a ij , b ij , c ij , … .
III - O índice i indica a linha e o índice j indica a coluna ,localizando assim as entradas na matriz.
IV - O conjunto das Matrizes Reais de ordem m×n é denotado por:
T
` a B C U
M m,n = AmBn = aij | aij2R , 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n
mBn
1.1 Fila de uma matriz
Entende-se por fila de uma matriz o mesmo que uma linha ( L ) ou coluna ( C ) dessa matriz.
1.2 Matriz linha (vetor-linha)
Disposição em apenas uma linha (m = 1) ou ordem 1× n .
1.3 Matriz coluna (vetor-coluna)
Disposição em apenas uma coluna (n = 1) ou ordem m × 1 .
1.4 Matriz zero (matriz nula)
É a matriz onde todas as entradas são iguais a zero, denotada por O , independente do tipo ou ordem.
Exemplo 1:
Matriz linha:
@ A
A = 3 2 x 0
b c
O = aij mBn
com a ij = 0 8 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n
Matriz coluna:
A T =
H
3
2
x
0
I
L M
L M
L M
L M
J K
Matriz zero:
O 3 =
H
L
J
0 0 0
0 0 0
0 0 0
I
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
K O 2B3 =
D E
0 0 0
0 0 0

1.5 Vetor nulo (vetor zero)
GUIDG.COM 4
O vetor nulo ( 0 jk ) será definido agora pois é um conceito simples de entender e de grande importância
em nossos estudos e diversas questões no desenvolvimento da Álgebra Linear. O vetor nulo pode assumir
diversas formas, dependendo do conjunto (ou Espaço Vetorial) que estivermos trabalhando e da sua
respectiva aplicação.
I – Se estivermos trabalhando com matrizes, então o vetor nulo indica a matriz nula O de ordem m×n .
Ordem 2×2 0 jk D E
=
0 0
0 0
, ordem 3×1 0 jk H I
0
L M
= J0K
, ordem m×n 0
0
jk H I
0 0 … 0
L M
L
=
0 0 … 0M
L M
L
J((
…( M
K
0 0 … 0
.
II – No plano ou no espaço o vetor nulo indica a origem do sistema com n-coordenadas.
Duas coordenadas 0 jk b c
= 0,0
, três coordenadas 0 jk b c
= 0,0,0
, n-coordenadas 0 jk b c
= 0,0,0, …,0 .
III – Se estivermos trabalhando com polinômios, então o vetor nulo indica o polinômio nulo (polinômio
zero) de n-ésimo grau em relação a sua respectiva variável.
Segundo grau, variável t 0 jk ` a 2 = p 0 = 0t + 0t + 0 .
Terceiro grau, variável x 0 jk ` a 3 2 = p 0 = 0x + 0x + 0x + 0 .
N-ésimo grau, variável x 0 jk ` a n n@ 1 = p 0 = 0x + 0x + …+ 0x + 0 .
1.6 Matriz quadrada
Número de linhas igual ao número de colunas ( m = n ) , ordem n×n ou apenas n . Existem varias
definições para a matriz quadrada, veremos as principais a seguir.
1.6.1 Diagonal principal
São os elementos a ij | i = j .
1.6.2 Termo principal
É o produto dos elementos da diagonal principal.
1.6.3 Diagonal secundária
São os elementos a ij | i + j = n + 1 .
*Note que a soma dos índices dos elementos da diagonal secundária é sempre constante.

1.6.4 Termo secundário
É o produto dos elementos da diagonal secundária.
Exemplo 2: Identifique as diagonais da matriz A de ordem 4 e o termo principal e secundário.
A 4 =
H
L
J
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 I
M
K
Diagonal secundária, conjunto de elementos { a 41 , a 32 , a 23 , a 14 } .
Diagonal principal, conjunto de elementos { a 11 , a 22 , a 33 , a 44 } .
Termo principal = a 11 A a 22 A a 33 A a 44 e termo secundário = a 41 A a 32 A a 23 A a 14 .
1.7 Matriz retangular
Toda matriz onde m ≠ n .
1.8 Matriz diagonal
É a matriz quadrada onde os elementos não pertencentes à diagonal principal são nulos.
B C
Am = aij m
| a ij = 0 se i ≠ j
GUIDG.COM 5
Como a matriz diagonal só possui elementos na diagonal principal (os demais são zero), podemos denotá-
b c P Q
la através de um conjunto. Se Am é uma matriz diagonal então diag Am = a11 , … , amm .
Exemplo 3: Se diag ( A4 ) = { 1, 3, 0, 7 } , então A 4 =
H
L
J
I
1 0 0 0
M
0 3 0 0 M
0 0 0 0K
0 0 0 7
.
1.9 Matriz identidade (matriz unidade)
É uma matriz diagonal de ordem n onde todos os elementos são iguais a 1 , denotada por I .
b c
Exemplo 4: diag I 3
B C
I n = aij n
= 1,1,1
|
X
^\
^Z
a ij = 1 se i = j
P Q L
Q I 3 = J
b c
a ij = 0 se i ≠ j ou diag I n
H
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
M
K
P Q
= 1, … , 1

1.9.1 Observações
GUIDG.COM 6
I - A matriz identidade é o elemento neutro na multiplicação de matrizes, por isso é também chamada de
matriz unidade, isto é, BI = IB = B . Sendo B uma matriz quadrada .
II - O determinante da matriz identidade é unitário det( I ) = 1 .
III - A matriz identidade é classificada como: matriz diagonal, matriz quadrada, matriz simétrica, matriz
não-singular, matriz ortogonal... (verifique as afirmações que não forem imediatas).
1.10 Igualdade de matrizes
Duas matrizes são iguais quando seus elementos correspondentes forem iguais.
B C
A = aij mBn
B C
e B = b ij
pBq
então A = B^ a ij = b ij 8 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n
*Note que as matrizes devem ser de mesma ordem, isto é, m = p e n = q .
1.11 Matriz transposta (transposição)
Trocam-se as linhas pelas colunas, gerando uma nova matriz. Indica-se A T a matriz transposta de A.
B C
Exemplo 5: A = a ij
mBn
B C
Q A T = B = b ji
nBm
com a ij = b ji
1.12 Matriz oposta
Seja A uma matriz, então -A é sua matriz oposta tal que A + @ A
*Basta trocar os sinais dos elementos da matriz.
1.13 Matriz simétrica
A T = A , isto é, a ij = a ji .
1.14 Matriz anti-simétrica
` a = O .
A T =@ A , isto é, a ij =@ a ji e a ij = 0 se i = j (diagonal principal nula).
*Veja os exemplo 22 e 23.
1.15 Matrizes comutativas
I - Se A e B são matrizes quadradas tais que AB = BA = C , sendo C uma matriz qualquer diferente
da matriz identidade I , dizemos que A e B são matrizes comutativas.
II - Se A e B são matrizes comutativas tais que AB = BA = I , sendo I a matriz identidade, defini-se
A como a matriz inversa de B , ou B como a matriz inversa de A .
[1.30 Matriz inversa]

GUIDG.COM 7
Exemplo 6: Determine duas matrizes comutativas de segunda ordem, tais que o produto entre essas
matrizes seja diferente da matriz identidade.
Solução: Sejam as matrizes A 2B2 e B 2B2 , queremos determinar estas duas matrizes tais que a
definição de comutatividade seja verificada, isto é, queremos A e B | AB = BA = C .
A =
D E
a b
c d
e B =
D E
w x
y z
Q AB =
AB =
D ED E
w x
a b
c d
y z
= w x
D ED E
a b
y z
aw + by ax + bz
cw + dy cx + dz
c d
= BA
F G Fwa + xc wb + xdG
= = BA
ya + zc yb + zd
Temos um sistema com muitas variáveis livres, entretanto como veremos, ao escolhermos algumas
variáveis as outras ficarão em função destas escolhidas, daí que podemos determinar todas as demais.
AB = BA será uma matriz C tal que a igualdade seja verificada, isto é:
AB = BA = C = c11 c F G
12
c21 c22 c 11 é tal que
V
aw + by = wa + xc
by = xc
e c 12 é tal que
X
^\
ax + bz = wb + xd
ax@ xd = wb@ bz
x a@ d
^Z
` a ` a
= b w@ z
Agora já estamos em condições de supor valores para os elementos das matrizes A e B , pois definimos
uma relação entre as duas (a escolha é arbitrária, mas é preciso que a relação seja válida).
Escolhendo b = 1 temos que y = xc ,
Escolhendo c = -2 temos que y = -2x ,
Escolhendo x = 5 temos que y = -10 ,
Logo temos os valores: b = 1 , c = -2 , x = 5 , y = -10 .
Pela relação obtida em c 12 , substituímos os valores b e x
` a ` a
= b w@ z
` a ` a
= 1 w@ z
x a@ d
5 a@ d
Escolhendo z = 2 temos que 5( a – d ) = w – 2 ,
Escolhendo a = -3 temos que 5( -3-d ) = w – 2 ,
Escolhendo d = -1 temos que -10 = w -2 , assim w = -8 .
Logo temos todos os valores necessários: a = -3 , d = -1 , w = -8 e z = 2 .
Agora substituímos os valores nas matrizes tal que AB = BA = C :
a = -3 , b = 1 , c = -2 , d = -1 ; w = -8 , x = 5 , y = -10 , z = 2
D E D E D ED E
A =
@ 3 1
e B =
@ 8 5
Q AB =
@ 3 1 @ 8 5
=
@ 2@ 1 @ 10 2 @ 2@ 1 @ 10 2
@ 8 5
D ED E
@ 3 1
= BA
@ 10 2 @ 2@ 1

GUIDG.COM 8
Efetuando a multiplicação das matrizes tanto AB quanto BA temos o resultado que queríamos, isto é:
D E D E
AB =
14@ 13
= BA =
14@ 13
= C
26@ 12 26@ 12
Logo as matrizes A e B são comutativas.
1.15.1 Observações
I - Veja que obtemos duas matrizes comutativas tais que A não é a inversa de B , e nem B é a inversa
de A , isto é, AB = BA ≠ I .
II - Note que desenvolvemos este resultado e que ele não é uma propriedade das matrizes, em geral o
produto das matrizes AB ≠ BA , a comutatividade é raramente válida.
1.16 Matrizes anti-comutativas
Se A e B são matrizes quadradas tais que AB = –BA .
1.17 Matriz involutiva
Se A é uma matriz quadrada tal que A² = I .
1.18 Matriz idempotente
Se A é uma matriz quadrada tal que A² = A .
1.19 Matriz triangular
Classificam-se triangular as matrizes que são triangular inferior ou triangular superior. Pode-se pensar
que a matriz diagonal é triangular, por ser simultaneamente triangular inferior e triangular superior, mas
de acordo com a definição a matriz diagonal não é triangular.
1.19.1 Matriz triangular superior
B C
A = aij mBn
com a ij = 0 se i > j .
H I H I
a11 a12 a a
13
11 a12 a13 L
Exemplo 7: A = Ja21
a22 a M L M
23K=
L 0 a22 a M
J
23K
a31 a32 a33 0 0 a33

1.19.2 Matriz triangular inferior
B C
B = bij mBn
com b ij = 0 se i < j .
H
b11 b12 b
L
13M
L
Exemplo 8: B = b21 b22 b M
L
23M
J K
b31 b32 b33 =
b11 0 0
L
Lb21
b22 0
J
b31 b32 b33 I
H
I
M
K
GUIDG.COM 9
1.20 Traço de uma matriz
Seja A uma matriz quadrada de ordem m , o traço da matriz A que indicamos por tr (A) é a soma dos
elementos da diagonal principal, isto é:
B C
Se A = a ij
m
=
H
L
J
a11 a12 … a1m a21 a22 … a2m … … … …
am1 am2 … amm
I
M
K
Exemplo 9: Calcule o traço da matriz Z =
Solução: tr (Z ) = 1 + 2 + 8 = 11
1.21 Submatriz
, então o traço da matriz A é dado 8 j = i assim
m
tr A
` a =X aii = a11 + a22 + a33 + …+ amm
i = 1
H
L
J
I
1 5 9
M
0 2 0K
.
2 6 8
Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 , chama-se submatriz Aij e denota-se sub Aij a
matriz de ordem n – 1 que obtemos após removermos a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz A .
b c
Exemplo 10: Seja a matriz A , determine a sub A13 .
A =
H
L
J
I
1 3@ 2
M
0 1@ 5KQ
sub A13 2 8@ 3
b c
= 0 1
D E
2 8
*Note que só é preciso remover a linha 1 e a coluna 3.
b c

1.22 Operações com matrizes
Nesta seção veremos as operações básicas entre as matrizes e a forma em que são realizadas.
GUIDG.COM 10
1.22.1 Adição e subtração
As matrizes devem ser do mesmo tipo (ou ordem), somar ou subtrair os elementos correspondentes.
B C
Exemplo 11: A = a ij
mBn
B C
e B = b ij
mBn
B C
então A + B = a ij + b ij
1.22.2 Multiplicação por escalar
Multiplicar todos os elementos da matriz por um número k .
B C
A = aij mBn
1.22.3 Multiplicação de matrizes
B C
Considere as Matrizes A = a ij
mBn
mBn
B C
e k um número então kAA = kA a ij
B C
e B = b ij
pB q
= C mBn
mBn
, se n = p então AmBnA B pB q = C mBq .
*Se n ≠ p a multiplicação não existe; note que este número n = p é o limite superior do somatório.
B C
C = cij mBq
n
onde cij =X
k = 1
a ik A b kj = a i1 A b 1j + a i2 A b 2j + a i3 A b 3j + …+ a in A b nj
Isto é, cada elemento c ij é resultante desta soma de produtos.
Exemplo 12: Considere as matrizes A e B , então o produto AB é dado abaixo.
A 2B2 B 2B2 =
2
c21 =X
k = 1
D ED E
0 5
1@ 2
@ 3 4
6@ 7
=
H
J
` aI
1.0@2.6 1.5@ 2A@ 7
` aK=
@ 3.0 + 4.6 @ 3.5 + 4A@ 7
D E
@ 12 19
24@ 43
B C
= C 2B2 = c ij
a 2k A b k1 = a 21 A b 11 + a 22 A b 21 =@ 3A 0 + 4.6 = 24 , da mesma forma obtemos c 11 , c 12 e c 22 .

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1.23 Operações elementares das matrizes
São três as operações elementares entre as filas de uma matriz, em nosso estudo usaremos as letras ( L )
para linha e ( C ) para coluna, referindo-se as filas da matriz. Recomenda-se o uso das notações por um
melhor esclarecimento de procedimento.
1.23.1 Permutação de filas
É a troca de uma linha por outra, a seta dupla indica a permuta (troca) e é usada somente nesta operação.
Notação: L xTk L y ou C xTkC y (Lê-se: A troca da fila x por k vezes a fila y )
L xTL y ou C xTC y (Quando fazemos k = 1 , basta trocarmos as filas)
1.23.2 Multiplicação de uma fila por escalar não nulo
É a multiplicação da x-ésima fila por um escalar não nulo.
Notação: L xQkA L x ou C xQkAC x (Lê-se: A troca da fila x por k vezes fila x )
1.23.3 Substituição de uma fila por combinação linear
É a substituição da x-ésima fila pela x-ésima fila mais k vezes a y-ésima fila.
Notação:
L xQL x + kAL y ou L xQkAL y + L x
C xQC x + kAC y ou C xQkAC y + C x
Lê-se: A troca da fila x pela fila x mais k vezes a fila y . Ou a troca da fila x por k vezes a fila y
mais a fila x . Isto por que a ordem da soma não altera o resultado, mas atenção a substituição refere-se a
fila que indicamos antes da seta.
1.24 Equivalência de matrizes
Sendo A e B matrizes de mesma ordem, dizemos que A é equivalente a B, se for possível transformar
A em B por um número finito de operações elementares sobre as filas de A.
Notação: A ~ B (Lê-se: A é equivalente à B ou A é linha equivalente à B ).
Exemplo 13: Seja a matriz A , obtenha a matriz I através de operações elementares.
A =
H
L
J
2 0 1
0 0,5 0
1 0 0
I
M
{~ }~y
L
J
K L 3 T L 1
Permutação
H
1 0 0
0 0,5 0
2 0 1
I
M
{~ }~y
K L 2 Q 2L 2
Multiplicação por escalar
H
L
J
1 0 0
0 1 0
2 0 1
I
M
{ ~ } ~y
L
J
K L 3 Q@ 2L 1 + L 3
Substituição
H
I
1
0
0
1
0
M
0K=
I
0 0 1
Usamos neste exemplo as três operações elementares, no primeiro passo substituímos a linha três pela
linha um, no segundo passo multiplicamos a linha dois por duas vezes a linha dois e no terceiro passo
trocamos a linha três por menos duas vezes a linha um mais a linha três, obtendo assim a matriz
identidade ( I ) e de acordo com 1.24 , A ~ I , isto é, a matriz A é equivalente a matriz I .

1.25 Matriz escalonada e matriz linha-reduzida
Considere as seguintes propriedades relativas às filas de uma matriz:
GUIDG.COM 12
I – Numa linha não nula, o primeiro elemento não nulo é 1 (este é chamado de líder ou pivô).
II – Em quaisquer duas linhas sucessivas não nulas, o líder da linha superior esta sempre mais à esquerda
do que o líder da linha inferior.
III – As linhas nulas ocorrem abaixo de todas as linhas não nulas.
IV – Cada coluna que contém um líder tem seus demais elementos nulos.
Com isso lembramos que sempre podemos transformar uma matriz dada numa matriz escalonada ou
numa matriz linha-reduzida, utilizando as operações elementares das matrizes, e assim definimos:
1.25.1 Matriz na forma escalonada
São as matrizes em que se verificam as propriedades I, II e III.
1.25.2 Matriz na forma linha-reduzida
São as matrizes em que todas as propriedades (I, II, III e IV) são verificadas.
1.25.3 Escalonamento
É o procedimento que leva a matriz A para a matriz escalonada de A . Também chamado de Eliminação
Gaussiana ou Método de Gauss.
1.25.4 Eliminação Gauss-Jordan
É o procedimento que leva uma matriz à sua forma linha-reduzida.
1.25.5 Observações
I - O escalonamento e a eliminação Gauss-Jordan serão ilustrados no próximo exemplo.
II - A matriz linha-reduzida é também chamada de: (1) “matriz na forma escalonada reduzida por linhas”,
do inglês “matrix in reduced row echelon form”, (2) “matriz linha-reduzida à forma escada” ou “matriz
escada reduzida por linhas” e (3) “matriz na forma escada”.
*Diferentes autores usam nomes distintos para se referirem a mesma coisa, cabe a cada estudante decidir
qual nome vai usar, neste texto usamos “linha-reduzida” por ser um dos mais curtos e objetivos.
1.25.6 Teorema
Toda matriz A de ordem m×n é equivalente a uma única matriz linha-reduzida.
1.25.7 Corolário
Toda matriz A inversível de ordem n , tal que detA ≠ 0 é equivalente a matriz linha-reduzida I , sendo
I a matriz identidade ( A n ~ I n ) .

GUIDG.COM 13
1.25.8 Procedimento “escalonamento” e “linha-reduzida”
Não ignorando as conclusões vistas em 1.25 existe uma infinidade de caminhos para se chegar à forma
escalonada e à forma linha-reduzida, entretanto queremos tornar este caminho o mais curto possível
eliminando procedimentos redundantes, para isso considere o seguinte exemplo.
Exemplo 14: Seja a matriz A =
H
L
J
Usando as operações elementares:
1 – O elemento a11 deve ser 1 .
Neste caso a11 = 5 .
1.1 Podemos fazer L1Q 1f
L1 ;
5
1.2 Ou L1T 1f
L2 ;
2
1.3 Ou da mesma forma L1T@ L3 ;
1.4 Ou L1Q@ 2L2 + L1 ;
1.5 Ou ainda L1Q 4L3 + L1 .
I
5
2
3@ 1
M
5 4K
, obtenha a matriz escalonada e a matriz linha-reduzida.
@ 1 1 2
Essas foram as formas mais imediatas e ainda existem muitas outras maneiras de se obter a11 = 1 .
Entretanto o caminho escolhido não nos interessa, desde que tenhamos a11 = 1 , então:
A =
H
L
J
5 3@ 1
2 5 4
@ 1 1 2
I
M
K L 1 Q@ L 3
H
L
J
1@ 1@ 2
2 5 4
5 3@ 1
2 – Os elementos abaixo de a11 = 1 na primeira coluna devem ser zeros.
Neste caso a12 = 2 e a13 = 5 .
2.1 Continuando da última matriz, podemos fazer:
H
L
J
1@ 1@ 2
2 5 4
5 3@ 1
I
M
K L 2 Q@ 2L 1 + L 2
H
L
J
1@ 1@ 2
0 7 8
5 3@ 1
I
M
K
I
M
K L 3 Q@ 5L 1 + L 3
3 – O procedimento 1 e 2 se repete para as linhas seguintes.
Neste caso para a segunda linha temos a22 = 7 .
3.1 Continuando da última matriz, podemos fazer:
H
L
J
1@ 1@ 2
0 7 8
0 8 9
I
M
K L2Q 1f
L2
7
H
L
J
1@ 1 @ 2
0 1
8
7
0 8 9
I
M
f M
K
H
L
J
1@ 1@ 2
0 7 8
0 8 9
I
M
K

3.2 Os elementos abaixo de a22 = 1 devem ser zeros.
Neste caso a32 = 8 , podemos fazer:
H I
1@ 1 @ 2
L M
L 8fM
L0
1 M
L M
J 7K
0 8 9
L 3 Q@ 8L 2 + L 3
1@ 1 @ 2
8f
0 1
7
0 0 @ 1
H I
L M
L M
L M
L M
L M
L M
L M
J fK
7
3.3 Agora para a terceira linha temos a33 =@ 1f
, podemos fazer:
7
1@ 1 @ 2
8f
0 1
7
0 0 @ 1
H I
L M
L M
L M
L M
L M
L M
L M
J fK
7
L 3 Q@ 7L 3
H I
1@ 1@ 2
L M
L 8fM
L0
1 M
L M
J 7K
0 0 1
GUIDG.COM 14
Veja que estamos de acordo com 1.25.1. Logo a matriz esta escalonada (e este foi o procedimento
escalonamento). Vamos continuar até a forma “linha-reduzida”, para isso basta aplicarmos a propriedade:
“1.25 IV – Cada coluna que contém um líder tem seus demais elementos nulos.”
Ou seja, precisamos zerar os elementos a23 = 8/7 , a13 = -2 e a12 = -1 . Note que neste caso é necessário
que o elemento a23 seja zerado primeiro para evitar um cálculo a mais, então:
H
L
J
1@ 1@ 2
0 1
8
7
0 0 1
I
M
f M
K
L2Q@ 8f
L3 + L2 7
H
L
J
1@ 1@ 2
0 1 0
0 0 1
I
M
K L 1 Q L 2 + L 1
H
L
J
1 0@ 2
0 1 0
0 0 1
I
M
K L 1 Q 2L 3 + L 1
Resultado este que já era esperado de acordo com 1.25.6 , pois neste caso detA = -1 ≠ 0 . Veja que
estamos de acordo com 1.25.2 e neste caso dizemos que a matriz A esta na forma linha-reduzida.
H
L
J
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
M
K

GUIDG.COM 15
Exemplo 15: Considere o sistema abaixo, dado na forma matricial ampliada, obtenha a matriz escalonada
e a matriz linha-reduzida, sendo essas equivalentes à M a .
[3.4 Sistemas e matrizes]
M a =
0 0 -2 0 7 | 12
2 4 -10 6 12 | 28
2 4 -5 6 -5 | -1
Solução: Usando as operações elementares, vamos manipular a matriz ampliada do sistema ( M a ) com o
objetivo de cumprir as exigências para se obter a matriz escalonada e a matriz linha-reduzida.
Note que dada uma instrução de operação elementar, ela é sempre cumprida no próximo passo.
.
.
.
L1T 1f
L2
2
L2Q@ 1f
L2
2
L 3 Q 2L 3
0 0 -2 0 7 | 12
2 4 -10 6 12 | 28
2 4 -5 6 -5 | -1
1 2 -5 3 6 | 14
0 0 -2 0 7 | 12
0 0 5 0 -17 | -29
1 2 -5 3 6 | 14
7f
0 0 1 0 @ | -6
2
0 0 0 0
1f
| 1
2
L 3 Q@ 2L 1 + L 3
L 3 Q@ 5L 2 + L 3
1 2 -5 3 6 | 14
0 0 -2 0 7 | 12
2 4 -5 6 -5 | -1
1 2 -5 3 6 | 14
7f
0 0 1 0 @ | -6
2
0 0 5 0 -17 | -29
1 2 -5 3 6 | 14
0 0 1 0
7f
@ | -6
2
0 0 0 0 1 | 2
Logo o sistema esta na forma escalonada, e até aqui o procedimento é chamado Eliminação-Gaussiana
ou obtenção da forma escalonada pelo Método de Gauss. Veja que estamos de acordo com 1.25.1. Agora
podemos usar a forma escalonada para obter a forma linha-reduzida.
.
.
L2Q 7f
L3 + L2 2
L 1 Q@ 6L 3 + L 1
1 2 -5 3 6 | 14
7f
0 0 1 0 @ | -6
2
0 0 0 0 1 | 2
1 2 0 3 6 | 19
0 0 1 0 0 | 1
0 0 0 0 1 | 2
L 1 Q 5L 2 + L 1
1 2 -5 3 6 | 14
0 0 1 0 0 | 1
0 0 0 0 1 | 2
1 2 0 3 0 | 7
0 0 1 0 0 | 1
0 0 0 0 1 | 2
Logo o sistema esta na forma linha-reduzida, e agora o procedimento é chamado Eliminação Gauss-
Jordan. Veja que estamos de acordo com 1.25.2.

Exemplo 16: Algumas matrizes do tipo linha-reduzida.
A =
H
L
J
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
I
M
K
, B =
H
L
J
1 2 0 2 0 4
0 0 1 3 0 8
0 0 0 0 1 5
0 0 0 0 0 0
I
M
K
, C =
H
L
J
0 1@ 3 0 2
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
I
M
K , I 3 =
1.26 Posto de uma matriz
Seja A de ordem m×n e B sua matriz escalonada ou linha-reduzida ( B ~ A ) então;
O posto de A ou p(A) que indicamos por p , é o número de linhas não nulas de B ;
1.26.1 Propriedade
O posto de uma matriz A é igual ao posto de sua matriz transposta A T .
p A
` a = p A T
b c
GUIDG.COM 16
H
L
J
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A verificação é feita ao comparar a forma escalonada ou linha-reduzida tanto de A como de A T .
1.26.2 Observações
I - Alguns autores se referem ao posto da matriz como sendo a Característica (C ) da matriz, logo C = p .
II - A propriedade “posto da matriz” é de grande importância para o estudo de sistemas lineares, o qual é
usado em muitos assuntos da álgebra linear e suas aplicações. O posto de uma matriz é o número mínimo
de linhas numa matriz tal que possamos realizar combinações lineares apropriadas sobre essas linhas de
forma que se possam gerar todas as demais linhas, isto é, o posto de uma matriz é um número, e este
número é a resposta da seguinte pergunta: Qual o número mínimo de linhas numa matriz tal que
possamos gerar as outras demais linhas através de combinações lineares apropriadas? E é por isso que
alguns autores se referem ao posto de uma matriz como sendo a sua característica, pois através dessas
linhas principais, todo o resto da matriz é caracterizado.
1.27 Nulidade de uma matriz
A nulidade de A ou g(A) que indicamos por g , é dado por g = n – p , onde n é o número de
colunas de A .
1.27.1 Observações
I - Somente em matrizes quadradas a nulidade irá também indicar o número de linhas nulas da matriz;
II - Em matrizes a nulidade é apenas uma relação entre as colunas e o posto da matriz, já em sistemas
lineares a nulidade ganhará um sentido mais significativo para os nossos estudos, e por isso desde já a
nulidade é representada pela letra g pois irá indicar o grau de liberdade do sistema, e assim não será
necessário outra definição quando chegarmos lá.
I
M
K

Exemplo 17: Mostre que a nulidade de uma matriz nunca é negativa.
GUIDG.COM 17
Solução: Queremos provar que a nulidade de uma matriz nunca é negativa ( g ≥ 0 ), e para isso devemos
analisar os três seguintes casos quanto as possíveis ordens das matrizes.
Seja A uma matriz de ordem rBs , onde r e s 2N C , e a nulidade de A que é dada por
g = n – p , onde n é o número de colunas de A e p é o posto de A.
I ) Se r = s , isto é, o número de linhas é igual ao número de colunas de A , então:
p(A) = { r, r-1, r-2, ... 1,0} , isto é, o posto máximo de A é r , podendo ser r-1, r-2, ... , 1, 0 (onde o
posto mínimo de A é 0 ).
Se p A
` a = r [ g = n@ p = r@r = 0 # g = 0
Se p A
` a ` a
= r@1 [ g = n@ r@1 = r@ r + 1 = 1 # g = 1
Se p A
` a ` a
= r@2 [ g = n@ r@ 2 = r@ r + 2 = 2 # g = 2
...
Se p A
` a = 1 [ g = n@p = r@1 , como n = r e r é no mínimo 1 , temos:
p A
` a = 1 [ g = r@p = 1@ 1 = 0 então 8 r ≥ 1 [ g ≥ 0
p A
` a = 0 [ g = r@p = 1@ 0 = 1 então 8 r ≥ 1 [ g ≥ 1
Logo se A é uma matriz quadrada de ordem r a nulidade nunca é negativa.
II) Se r < s , isto é, o número de linhas é menor que o número de colunas de A , então:
p(A) = { r, r-1, r-2, ... 1, 0}
Se p A
` a = r [ g = n@ p = s@ r mas r < s [ s@r>0 # g > 0
Se p A
` a ` a
= r@1 [ g = n@ p = s@ r@1 = s@r + 1 mas r < s [ s@ r > 0 # g > 1
Se p A
` a ` a
= r@2 [ g = n@p = s@ r@ 2 = s@ r + 2 mas r < s [ s@r>0 # g > 2
...
Se p A
` a = 1 [ g = n@p = s@1 como r < s temos que s é no mínimo 2 , por que r não pode ser
zero (a matriz para existir deve ter ao menos uma linha, isto é, r = 1 ), temos:
p A
` a = 1 [ g = s@ 1 = 2@ 1 = 1 e8 s ≥ 2 [ g ≥ 1
p A
` a = 0 [ g = s@ 0 = 2@ 0 = 2 e8 s ≥ 2 [ g ≥ 2
Logo se A é uma matriz retangular de ordem rBs tal que r < s a nulidade nunca é negativa.

GUIDG.COM 18
III) Se r > s , isto é, o número de linhas é maior que o número de colunas de A . Então qualquer linha r
maior que s é múltipla ou combinação linear das s linhas. Portanto o posto máximo de A é p(A) = s ,
então:
p(A) = {s, s-1, s-2, ... 1, 0}
Se p A
` a = s [ g = n@ p = s@s = 0 # g = 0
Se p A
` a ` a
= s@1 [ g = n@p = s@ s@ 1 = 0 + 1 = 1 # g = 1
Se p A
` a ` a
= s@2 [ g = n@p = s@ s@2 = 0 + 2 = 2 # g = 2
...
Se p A
` a = 1 [ g = n@p = s@1 como r > s temos que s é no mínimo 1 , por que s não pode ser
zero (a matriz para existir deve ter ao menos uma coluna, isto é, s = 1 ), temos:
p A
` a = 1 [ g = s@1 = 1@ 1 = 0 então 8 s ≥ 1 [ g ≥ 0
p A
` a = 0 [ g = s@0 = 1@ 0 = 1 então 8 s ≥ 1 [ g ≥ 0
Logo se A é uma matriz retangular de ordem rBs tal que r > s a nulidade nunca é negativa.
As seguintes matrizes são de ordem rBs , com r > s :
A2B1 = a F G
D E
11
a ~
1
12 0
B 3B2 =
H
L
J
I
1 2
M
@ 1 2K~
0 5
H
L
J
1 0
0 1
0 0
I
M
K C 4B3 =
H
L
J
I
5 7 0
M
1@ 5 0 M
2 8 7K
1 3 2
~
H
L
J
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
Veja que nas três matrizes a última linha é sempre múltipla ou combinação linear das linhas anteriores.
E assim todas as r-s linhas que sucedem as s primeiras linhas de uma matriz de ordem rBs tal que
r > s , são sempre múltiplas ou combinações lineares dessas s primeiras linhas.
Portanto a nulidade de uma matriz é no mínimo zero, mas nunca é negativa, como queríamos demonstrar.
E a explicação informal que responde este exercício é a seguinte: “A nulidade de uma matriz nunca é
negativa por que não existe uma matriz linha-reduzida tal que o posto é maior que o número de colunas”.
I
M
K

1.28 Propriedades de operações com matrizes
1.28.1 Propriedades da adição
1. A + B = B + A Comutatividade para adição.
2. A + (B + C) =(A + B) + C Associatividade para adição.
3. A + O = O + A = A Elemento neutro na adição, O é a matriz nula.
4. A – A = O e O – A = –A
1.28.2 Propriedades da multiplicação por escalar
5. k(A + B) = kA + kB k é uma constante.
b c
6. k1 + k 2 A = k1 A + k 2 A
GUIDG.COM 19
7. A0 = 0A = O Se k = 0 a multiplicação da matriz A por k gera a matriz nula.
b c b c
8. k1 k 2 A = k1 k 2 A
1.28.3 Propriedades da multiplicação de matrizes
9. AI = IA = A Elemento neutro, I é a matriz identidade.
10. A(B + C) = AB + AC Distributividade à esquerda, manter esta ordem.
11. (A + B)C = AC + BC Distributividade à direita, manter esta ordem.
12. (AB)C = A(BC) Associatividade para multiplicação, manter esta ordem.
13. (kA)B = A(kB) = k(AB) A comutatividade do escalar é sempre válida.
14. AO = OA = O O é a matriz nula de mesma ordem que A .
15. AB ≠ BA A comutatividade é raramente válida na multiplicação de matrizes.
16. AB = O [+ A = O ou B = O (Contra-propriedade)
17. AB = AC [+ B = C (Contra-propriedade, a lei do cancelamento não é válida)
1.28.4 Propriedades da transposição
` aT
18. A + B = A T + B T
` aT
19. kB = B T k k é uma constante, a comutatividade é válida.
20. A T
b cT
= A A transposta da matriz transposta de A é igual a A .
` aT
21. AB
` aT
ABC
= B T Α T Manter esta ordem.
= C T B T A T A propriedade pode ser estendida para n fatores.

Prova de 1 (Exemplo 18) :
.
Prova de 5 (Exemplo 19) :
A + B = B + A
A + B = A mBn + B mBn = a ij
kA A + B
B C
= a ij + b ij
mBn
B C B C
+ bij mBn mBn
B C B C
= b ij + a ij
= B mBn + A mBn = B + A
mBn
= b ij
mBn
B C
+ aij mBn
GUIDG.COM 20
d
` a B C B C e B C B C
= k aij + bij = k aij + bij = kAa ij + kAb ij
mBn mBn
mBn
mBn
B C B C
= kAa ij
mBn
+ kAb ij
mBn
= kA A + kA B
Prova de 10 (Exemplo 20) : Sejam B e C matrizes de ordem n×p e A de ordem m×n . Então existem
os produtos AB e AC , pois A mBnAB nBp = D mBp e A mBnAC nBp = E mB p
@ A
Logo existe a matriz resultante da soma D + E = AB + AC .
mBp
B C B C B C
Agora considere A = aij , B = bij e C = cij , queremos mostrar que as entradas da matriz A(B + C)
são iguais as entradas de AB + AC . Pelas definições das operações com matrizes temos que
B ` aC
8 i e j , A B + C
ij
b c b c
= ai1 b1j + c1j + ai2 b2j + c2j b c
= ai1 b1j + ai2 b2j + …+ aim bmj @ A @ A @ A
= AB + AC = AB + AC
ij
ij
ij
b c
+ …+ aim bmj + cmj b c
+ ai1 c1j + ai2 c2j + …+ aim cmj E ainda podemos expandir para uma soma ou produto de mais termos, pois as leis da associatividade (2)
e (12) garantem que o resultado final é sempre o mesmo.
Justificativa de 21 (Exemplo 21) : Vamos justificar a propriedade 21 através da ordem das matrizes.
` aT
Suponha que queremos transpor o seguinte produto de matrizes: AB , isto é, AB
produto AB exista temos:
` aT
b cT
AB = AmBn BnBq
, mas para que o
(O nº de colunas de A deve ser igual ao nº de linhas de B )
b cT b cT
Sabendo que AmBn = AnBm e BnBq = BqBn , se transpormos diretamente as matrizes já haveria o
problema da ordem, veja:
z essa igualdade ~ | é falsa ~x
` aT
AB
= A nBm B qBn
( m ≠ q , logo o produto não pode existir )

Agora se, simplesmente alterarmos a ordem do produto, o problema desaparece:
z essa igualdade ~ é| verdadeira ~x
` aT
AB
= B qBn A nBm = C qBm
GUIDG.COM 21
( n = n , logo o produto existe, resultando na matriz C qBm )
Esse resultado justifica a propriedade 21 pela definição do produto de matrizes, mas ainda não é uma
prova da propriedade.
Exemplo 22: Aplicação das propriedades 18, 20 e 21.
Sendo A mBm , mostre que AA T e A + A T são matrizes simétricas e A@ A T é anti-simétrica.
i a B = A A T [ B T = A A T
b cT
= A T
b cT
A T = A A T
Logo B = B T
ii a B = A + A T
b cT
B T = A + A T
Logo B = B T
iii a B = A@ A T
# A A T
é simétricaA
= A T + A T
b cT
= A T + A = B
# A + A T
é simétricaA
B T = A@ A T
b cT
= A T @ A T
b cT
= A T @ A =@ A + A T
Logo B =@ B T
# A@ A T
é anti@ simétricaA
Exemplo 23: Mostre que toda matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica
com uma matriz anti-simétrica, ou seja, A = S + N onde S é uma matriz simétrica e N é uma matriz
anti-simétrica.
Solução: A chave desse exercício é um sistema que deve ser seguido para que a relação seja verificada.
B C
Seja A n = a ij
temos que:
S = S T [ s ij
n
, uma matriz quadrada de ordem n , se S é simétrica e N é anti-simétrica, da definição
B C
B C B C B C
aij = s ji +@ n ji
n n
n
n
B C
= s ji
n
B C
e N =@ N T [ n ij
[ a ij = s ji @ n ji = s ij + n ij .
n
B C
=@ n ji
n
com nij = 0 se i = j , assim
Como sempre podemos tornar essa relação válida, logo é sempre possível escrever A = S + N .

Vamos ver como fica quando inserimos números.
D E
Se A =
2 5
, escreva A como a soma S + N .
1 3
S = S T [ S = s11 s F G
12
s12 s22 e N =@ N T [ N =
Temos a equação matricial A = S + N para resolver:
D E
2 5
1 3
F G
+ J
= s 11 s 12
s 12 s 22
H
De onde vem o sistema:
X
^\
^Z
s11 = 2
s12 + n12 = 5
s 12 @ n 12 = 1
s 22 = 0
I
H
0 n12K= @ n12 0
s11 + 0 s12 + n J
12
s12@ n12 s22 + 0
I
K
H
J
I
0 n12K ,
@ n12 0
GUIDG.COM 22
Somando a segunda equação com a terceira obtemos 2s12 = 6 e portanto s12 = 3 , decorre então
que n12 = 2 . Assim obtemos os valores de S e de N .
S =
D E
2 3
3 0
e N =
D
0
E
2
@ 2 0
Portanto A = S + N , sendo S simétrica e N anti-simétrica, como queríamos demonstrar. E ainda, o
resultado pode ser expandido para matrizes quadradas de ordem n , entretanto o sistema à ser resolvido
terá n variáveis imediatas (da matriz simétrica, conseqüência da diagonal principal da matriz antisimétrica
ser nula) mais n variáveis a serem calculadas (da matriz simétrica) e n variáveis decorrentes
(da matriz anti-simétrica), lembrando que nenhuma entrada dessas duas matrizes são aleatórias, são todos
números bem definidos, pois o sistema é definido (SPD).

1.29 Potência de uma matriz
Seja A uma matriz quadrada, m e n números inteiros, temos:
A 0 = I potência zero de A , I é a matriz identidade.
A n = A{~ A …}~y A
n fatores
A @ n b cn
@ 1
= A
A m A n m + n
= A
A m
b cn
= A mAn
= A @ 1 A @ 1 @ 1
… A
{ ~ } ~y
n fatores
( n > 0 ) , chamamos n-ésima potência de A .
desde que exista a matriz inversa ( A @ 1 ) de A .
GUIDG.COM 23
1.30 Matriz inversa
A idéia de matriz inversa esta diretamente ligada ao conceito de número inverso, e para ilustrar o
problema começaremos com uma matriz de primeira ordem e depois seguiremos para a definição.
Considere a matriz de primeira ordem A = [ x ] , se queremos determinar a matriz A @ 1 denominada a
inversa de A , precisamos determinar o número inverso de x , mas da definição de número inverso
f @ 1 1f
= x A x = A x = 1 , sendo a comutatividade válida. Assim encontrar a
sabemos que xAx @ 1 = xA 1
x
x
inversa de A significa encontrar uma matriz tal que quando efetuarmos o produto matricial entre a matriz
e a sua respectiva inversa, sendo a comutatividade válida, cheguemos ao elemento neutro da
multiplicação matricial, ou seja na matriz I identidade/unidade então:
A @ 1 = 1 F fG
@ 1
[ A A = x
x
F fG
@ 1 F 1fG@
A @ A
= A A = x = 1 = I
x
@ A 1
x
O problema que se segue é encontrar uma técnica viável para inverter matrizes de ordem maior que um,
visto que as matrizes têm definições e propriedades particulares.
1.30.1 Definição
Seja A uma matriz quadrada de ordem m , se existir uma matriz B que satisfaça a equação
AB = BA = I dizemos que B é a inversa de A e denota-se B = A @ 1 a matriz inversa de A .
Ou seja, A é inversível (invertível) se, e somente se:
.
A A @ 1 = A @ 1 A = I

GUIDG.COM 24
1.30.2 Cálculo da matriz inversa pela definição
Calcular matrizes inversas pela definição nem sempre é fácil, pois dada uma matriz A de ordem m
então precisamos encontrar uma matriz B de ordem m tal que AB = BA = I , e isto implica em resolver
pelo menos m sistemas com m² incógnitas. Para exemplificar, calcularemos a inversa de uma matriz de
ordem dois (m = 2) pela definição, assim precisamos resolver dois sistemas e encontrar quatro incógnitas.
D E
Exemplo 24: Mostre pela definição que A =
3 1
é inversível.
2 1
Solução: Queremos mostrar que existe A @ 1 , tal que A A @ 1 = A @ 1 A = I , isto é:
A @ 1 =
D E D ED E
a b
Q
3 1 a b
=
c d 2 1 c d
a b
D ED E
3 1
=
c d 2 1
1 0
D E
no lado esquerdo temos
0 1
Para resolver a equação matricial, temos que resolver dois sistemas:
T
3a + c = 1
2a + c = 0
[ 6a + 2c = 2
T
@ 6a@ 3c = 0
[ a = 1
T
c =@2
Logo a inversa de A é a matriz A @ 1 =
D E
1 @ 1
@ 2 3
T
3b + d = 0
2b + d = 1
pois
D E
3a + c 3b + d
2a + c 2b + d
[ 6b + 2d = 0
T
@ 6b@ 3d =@3
= 1 0
D E
0 1
[ b =@ 1
T
d = 3
D ED
E D ED E
3 1 1 @ 1
=
1 @ 1 3 1
=
2 1 @ 2 3 @ 2 3 2 1
1 0
D E
0 1
Analogamente poderíamos calcular a inversa de uma matriz de ordem maior ou igual a três, entretanto
precisaríamos resolver três ou mais sistemas lineares para encontrar cada uma das entradas da matriz
inversa. Em 1.30.9 veremos o algoritmo de inversão [ A | I ] que simplifica o procedimento.
No estudo de matrizes inversas são necessários conhecimentos básicos da teoria de
DETERMINANTES, faremos as indicações quando algum assunto for necessário.
1.30.3 Teste de inversão e cálculo da inversa por adjunta
Uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, o determinante de A for diferente de zero, isto é:
9 A @ 1 ^ det A ≠ 0 pois A @ 1 = 1
det A
f` aT
cofA
Onde detA é o determinante da matriz A [2 Determinantes] ;
cofA é a matriz co-fatora de A [2.6 Co-fator] e [2.7 Matriz co-fatora] ;
adjA é a matriz adjunta de A [2.8 Matriz adjunta] ;
Com este resultado podemos obter a inversa de uma matriz de ordem n.
= 1 f
adj A
det A
* Essa é uma justificativa para a existência da inversa. A prova para esse teorema pode ser encontrada na
referência bibliográfica (1) pg. 87 .

GUIDG.COM 25
Demonstração para a justificativa: Seja A uma matriz quadrada de ordem n com detA ≠ 0 e usando
o teorema 2.8.1 segue que:
AA adjA = adjAA A = detAA I n
Usando esta igualdade temos
AAadjA = det AA I n
A @ 1 A AAadjA = A @ 1 A det AA I n
I nAadjA = A @ 1 A det AAI n
A @ 1 = 1 f
adj A
det A
Com isso
A
f g
1 f
adj A
det A
= 1
det A
b c
f
AA adj A
E analogamente prova-se que
f g
1 f
adj A A = I n
det A
[Teorema 2.8.1]
= 1 f
det AAI n = I n
det A
Portanto pela definição de matriz inversa, o teorema 1.30.3 esta provado.
D E
Exemplo 25: Recalcule a inversa da matriz A =
3 1
usando a propriedade 1.30.3 .
2 1
[2.6 Co-fator]
D E
A =
3 1
Q det A = 3@2 = 1
2 1
` a ` a2 ` a ` a ` a
Co-fatores de A : cof a11 =@ 1 A 1 = 1 , cof a12 =@2 , cof a21 =@ 1 , cof a22 = 3
Matriz co-fatora de A e matriz adjunta de A :
D E
cofA =
1 @ 2
Q cofA
@ 1 3
` aT
D E
= adj A =
1 @ 1
@ 2 3
Logo obtemos a inversa pela propriedade:
A @ 1 = 1
A @ 1 =
f 1f
A adj A = A
det A 1
D E
1 @ 1
@ 2 3
D E
1 @ 1
@ 2 3

1.30.4 Determinante da matriz inversa
Se a matriz A é inversível, seu determinante é diferente de zero e vale a seguinte relação:
[2.4.8.2 Teorema de Binet]
det A @ 1 = 1 f
^ det A ≠ 0
det A
GUIDG.COM 26
1.30.5 Matriz não-singular
É a matriz cujo determinante difere de zero, ou seja, matrizes inversíveis são também chamadas de
matrizes não-singulares.
1.30.6 Matriz singular
É a matriz cujo determinante é zero. A matriz singular não admite inversa (é não inversível).
1.30.7 Unicidade da matriz inversa
Se a matriz A for inversível ( detA ≠ 0 ) então a inversa A @ 1 é única.
Demonstração: Consideremos a existência de duas matrizes inversas de A , sendo A 1 e A 2 , então:
Prova 1:
A A 1 = I e A A 2 = I
A A1 = A A2 A A1@ A A2 = 0
b c
A A1@ A2 = 0
Considerando a existência da inversa, então esta não pode ser nula, isto é, A ≠ 0 , logo só nos resta que
A 1 @ A 2 = 0 e assim A 1 = A 2 . Isto garante que se existe a matriz inversa de A , então ela é única.
Prova 2: Como A 1 é uma inversa de A , temos que:
A 1 A = I
Multiplicando ambos os lados pela direita por A 2 :
A1 A
b c
A2 = IA2 = A2 b c b c
A1 A A2 = A1 AA2 = A1 I = A1 Logo A 1 = A 2 e assim, se existe a inversa de A , ela é única.

1.30.8 Propriedades da matriz inversa
b c@ 1
@ 1
22. B = B A inversa da matriz inversa de B é igual a B.
b cT
@ 1
23. B = B T
b c@ 1
A transposta da inversa é igual a inversa da transposta.
` a@ 1
24. AB = B @ 1 A @ 1 Deve-se manter esta ordem.
` a@ 1
ABC = C @ 1 B @ 1 A @ 1 A propriedade pode ser estendida para n fatores.
` a@ 1
25. A + B = A @ 1 + B @ 1 Isto se det(A+B) ≠ 0 , ou seja a matriz A + B é inversível.
` a@ 1
26. k A
= 1f
@ 1
A k ≠ 0
k
27. I @ 1 = I A inversa da matriz identidade é ela própria.
GUIDG.COM 27
Prova de 26 (Exemplo 26) : Se k é um escalar não nulo, as propriedades da multiplicação por escalar
permitem escrever:
f g
` a 1f
@ 1
kA A =
k
1f
kA
k
Da mesma forma temos
f g
` a @ 1 1f
A = k
k
1f
@ 1
A
k
AA @ 1 = 1 I = I
f g
` a
kA = I
` a@ 1
Como isso verifica a definição de inversa, concluímos que kA é inversível, isto é: k A
= 1f
@ 1
A .
k
Exemplo 27: Sendo A e B matrizes inversíveis, verifique usando as propriedades de matrizes, se a
equação matricial é verdadeira:
A B T
b c@ 1
b cT
@ 1 @ 1
= B A
Resposta: Sim, use as propriedades 24 e 23 .

GUIDG.COM 28
1.30.9 Algoritmo de inversão [ A | I ] de matrizes inversíveis
Para encontrar a inversa de uma matriz A que seja inversível, deve-se encontrar uma seqüência de
operações elementares sobre as linhas da matriz A , que reduz esta à matriz identidade para depois efetuar
a mesma seqüência de operações na matriz identidade, desta forma obtendo a inversa de A .
Procedimento: escreve-se a matriz quadrada que se quer inverter ao lado esquerdo da matriz identidade
de mesma ordem, na forma:
B C
A | I
Então se efetua uma seqüência de operações elementares simultaneamente sobre as linhas desta matriz tal
que façamos aparecer a identidade no lado esquerdo, e assim a matriz que a aparecer no lado direito será a
inversa de A :
B C
@ 1
I | A
1.30.10 Observações
Este procedimento é impossível se a matriz A for singular (isto é, não admitir inversa), o que irá ocorrer
no algoritmo é que uma das linhas à esquerda irá ser nula no decorrer das operações sobre as linhas, logo
tornando impossível de se fazer aparecer a identidade no lado esquerdo. Por isso é importante sempre
calcular o determinante da matriz, antes de começar a inverter a dada matriz. Se o determinante for
diferente de zero, a matriz é inversível, caso contrário pode-se afirmar que a matriz é singular (isto é não
admite inversa).
D E
Exemplo 28: Usando o algoritmo de inversão, determine a inversa de T =
1 3
.
0 2
Solução: Vamos inverter a matriz usando o algoritmo de inversão e o procedimento descrito.
B C
T | I = 1 3 | 1 0
H I
J K
0 2 | 0 1
L2Q 1f
L2
2
Logo T @ 1 =
1 3 | 1 0
0 1 | 0 1
H I
L M
L M
J f
2
H
L
J
1@ 3
2
1
0
2
I
f
M
fK
K , L 1 Q@ 3L 2 + L 1
1 0 | 1@ 3
H I
f
L M
L 2M
L M
L M
J 1fK
0 1 | 0
2
Veja que a definição é verificada, isto é, T T @ 1 = T @ 1 T = I .

GUIDG.COM 29
1.30.11 Fórmula da inversa da matriz de ordem dois
Usando o algoritmo de inversão vamos obter uma fórmula geral para inversão de matrizes de ordem 2
que sejam inversíveis.
Seja A matriz de ordem 2 , tal que o determinante é diferente de zero, isto é, A é inversível:
D E
A =
a b
Q det A = ad@bc = x ≠ 0 , queremos encontrar A
c d
@ 1 , usando o [ A | I ] , segue que:
H
J
a b | 1 0
c d | 0 1
I
K L2Q@ cf
L1 + L2 ~
H
L
J
a
L1Q@ baf
L2 + L1 x
a 0 |
0 x
a
L 1 Q 1
a
H
L
J
I
H
a b | 1 0
0 @ cb
f g
f
+ d |@
a
c
M
f M
1K
a
=
a b | 1 0 a b | 1 0
L ` a M
L ad@ bc M
J f cf
K=
0 |@ 1 0
a a
x
L
J f cf
|@ 1
a a
H
L
J
H
f gd
e
f f
a 0 | @ ba J
x
0 x
a
f g
bc + xf
@
x
ba
I H
f g
fM
L
M L
x M L
M
d e M=
L
f cf
M L
| @ 1 K J
a
f
L1 , L2Q af
L2
x
@ c
a
d e
f cf
| @
a
H
L
LJ
a 0 |
0 x
a
I I H
f g
f M L
M L
M L
M=
L
M L
M L
K J
+ 1K
@ ba
x
1
I
H
f g
@ ba
I
f g
f M
x M
d e M
f cf
M
| @ 1 K
a
a 0 | bcf
+ 1
x
0 x
a
f g
bc + ad@ bcf
@
x
ba
I H
f g
fM
L
M L
x M L
M
d e M=
L
f cf
M L
| @ 1 K J
a
df
b
1 0 | @
x x
0 1 |@ cf
a
x x
I
f
M
fK
B C
= I | A@ 1
a 0 |
0 x
a
Q A @ 1 =
f g
adf
@
x
ba
I
f g
f M
x M
d e M
f cf
M
| @ 1 K
a
H
L
LJ
df
b
@
x x
@ cf
a
x x
Logo, para obter a inversa de A 2B2 , sendo A inversível, basta trocar o elemento a por d , trocar o
sinal de b e c , calcular e multiplicar pelo inverso do determinante de A , isto é:
A =
D E
a b
c d
D E
Q A @ 1 = 1 f d @ b
det A @ c a
I
f
M
fK
I
M
K

GUIDG.COM 30
1.30.12 Fórmula da inversa da matriz de ordem três (cálculo do elemento da inversa)
Uma fórmula mais complexa pode ser deduzida para a inversa de matrizes de ordem três, veremos que
através dessa fórmula podemos chegar ao cálculo do elemento da matriz inversa.
H I
a b c
L M b c
Seja A uma matriz inversível, isto é A = L
Jd
e fM
K e det A = aei + bfg + dhc@ ceg + fha + dbi ≠ 0
g h i
A fórmula para a inversa de A pode ser obtida analogamente como fizemos para a inversa da matriz de
ordem dois, mas desta vez omitimos o passo a passo para não estender demais este assunto.
A @ 1 = 1
det A
H I
ei@hf hc@bi bf@ ec
f
L M
L gf@ di ai@gc dc@ afM
J K
{ dh@ ge gb@ ~ ah } ae@db~y
B é matriz adjunta de A
A partir da dedução chega-se aos próximos resultados, na matriz B note que os elementos:
b11 = ei – hf é o determinante da submatriz..................... A 11
b12 = hc – bi é o oposto do determinante da submatriz... A 21
b13 = bf – ec é o determinante da submatriz.................... A 31
b21 = gf – di é o oposto do determinante da submatriz.... A 12
b22 = ai – gc é o determinante da submatriz.................... A 22
b23 = dc – af é o oposto do determinante da submatriz.... A 32
b31 = dh – ge é o determinante da submatriz.................... A 13
b32 = gb – ah é o oposto do determinante da submatriz... A 23
b33 = ae – db é o determinante da submatriz.................... A 33
O oposto do determinante é o determinante com sinal trocado, isto é, calcule o determinante e o resultado
obtido fica multiplicado por (–1) . Daí que obtemos o seguinte esquema de troca de sinais:
H
L
J
I
a11 a12 a13 a21 a22 a M
23K=
a31 a32 a33 H
L
J
+ @ +
@ + @
+ @ +
Para não memorizar o diagrama, veja que o sinal de cada elemento pode ser obtido com a seguinte regra:
` ai + j
aij =@ 1
` a1 + 1 ` a1 + 2 ` a1 + 3
assim a11 =@ 1 = 1 , a12 =@ 1 =@1 , a13 =@ 1 = 1 , …
Além disso, note que cada elemento bij é inicialmente o determinante da submatriz Aji , então podemos
finalizar a nossa análise com uma regra para o cálculo de cada elemento da matriz inversa:
b c
Sendo a matriz A = a ij
n
b c
e B = b ij
bij = 1 ` ai + j f@ 1
det A
n
I
M
K
a matriz inversa, então os elementos da matriz B são dados por:
d b ce
det sub A ji
{ ~ } ~y
b c
cof a ji
= 1
det A
b c
f
A cof a ji

c
A expressão cof a ji
d b ce
é definida como co-fator do elemento a
{ ~ } ~y
ji .
` ai + j
=@ 1 det sub A ji
Menor complementar M ji
GUIDG.COM 31
Com a prática pode-se tornar este processo mais rápido do que o uso do algoritmo de inversão [ A | I ] .
Para uma melhor compreensão desta dedução veja em [2 Determinantes] as seguintes definições
[2.5 Menor complementar] , [2.6 Co-fator] , [2.7 Matriz co-fatora] e [2.8 Matriz adjunta] .
Exemplo 29: Usando os resultados de 1.30.12 , calcule o elemento b 23 da matriz inversa de A =
bij = 1 f
A A ji Q b23 =
det A
1 f
A A32
det A
Como esta matriz é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, isto é:
det A = a 11 A a 22 A a 33 = 1.3A 1 = 3
Cálculo do co-fator
` a5
A32 =@ 1
L M
L M
L
A
1 1M
` a
L M
L0
2M
=@ 1A
2 =@ 2
E assim b23 = 1 f
A A32 =
det A
1f
A@ 2
3
` a 2f
=@
3
Exemplo 30: Determine a inversa da matriz dada utilizando o algoritmo de inversão [ A | I ] .
A =
Solução: O primeiro passo é calcular o determinante.
-1 3 5
-5 -4 1
3 6 4
` a` a ` a B ` a ` a ` a C ` a
det A =@ 1 @ 4 4 + 3.1A 3 + @ 5 6.5@ 5 @ 4 3 + 1.6 @ 1 + 3 @ 5 4 =@ 125@@ 126 = 1
Como det A ≠ 0 , concluí-se que a matriz é inversível, então seguimos para o algoritmo de inversão.
.
L 1 Q@ L 1
L3Q 15f
L2 + L3 19
-1 3 5 | 1 0 0
-5 -4 1 | 0 1 0
3 6 4 | 0 0 1
1 -3 -5 | -1 0 0
0 -19 -24 | -5 1 0
0 15 19 | 3 0 1
L 2 Q 5L 1 + L 2
L 3 Q@ 3L 1 + L 3
L2Q@ 1f
L2
19
H
L
J
I
1 2 1
M
0 3 2K.
0 0 1
1 -3 -5 | -1 0 0
-5 -4 1 | 0 1 0
3 6 4 | 0 0 1
1 -3 -5 | -1 0 0
0 -19 -24 | -5 1 0

L2Q@ 24f
L3 + L2 19
L 1 Q 5L 3 + L 1
1 -3 -5 | -1 0 0
0 1
24f
|
19
5f
1f
@
19 19 0
0 0 1 | -18 15 19
1 0 -5 | 68 -57 -72
0 1 0 | 23 -19 -24
0 0 1 | -18 15 19
L 1 Q@ 3L 2 + L 1
L 1 Q 5L 3 + L 1
GUIDG.COM 32
1 -3 -5 | -1 0 0
0 1 0 | 23 -19 -24
0 0 1 | -18 15 19
1 0 0 | -22 18 23
0 1 0 | 23 -19 -24
0 0 1 | -18 15 19
Logo a última matriz que está no lado direito é a inversa de A . Para verificar se a matriz inversa esta
correta usa-se a definição, isto é, multiplica-se a matriz pela sua inversa AA @ 1 = A @ 1 A = I , cujo
resultado é a matriz identidade. Ou pode-se usar um software matemático para não perder tempo.
1.31 Matriz ortogonal
É a matriz cuja inversa coincide com a transposta M @ 1 = M T .
E pela definição 1.30.1 segue que MM T = MM @ 1 = M @ 1 M = M T M = I .
*O seguinte exemplo requer o conhecimento de determinantes e propriedades.
Exemplo 31: Sendo A mBm uma matriz ortogonal, mostre que detA = ±1 .
Solução 1: A @ 1 = A T
A A @ 1 = A A T = I
det A A T
b c
= det I [ det A
` a det A T
b c
= 1
det A
` a det A
` a ` a2
= 1 [ det A = 1 [ det A =F 1
Solução 2: A @ 1 = A T b c
@ 1
[ det A = det A T
b c
b c
@ 1
Aplicando o corolário 2.4.8.2 , det A = 1 f T
; e a propriedade 2.4.1 , det A = det A
det A
b c
@ 1
det A = det A T
b c
[
1 b c
f T
= det A
detA
` a2
1 = det A
[ det A =F 1 pw =F 1

GUIDG.COM 33
1.31.1 Propriedade das matrizes ortogonais
Toda matriz ortogonal tem filas (linhas e colunas) ortonormais, ou seja, os vetores-linha e vetores-coluna
têm comprimento igual a um, e dois-a-dois são ortogonais.
B C
Se A = vi | … | v j
N
* Nv i
N ( w)
N = q vi ,vi * +
é ortogonal, onde vi , ... vj são vetores-coluna, então v i ,v j
= 0 se i ≠ j
V
1 se i = j
B C
Exemplo 32: Seja a matriz T = v1 | v2 | v3 , mostre que T é ortogonal usando a propriedade 1.31.1 ,
onde v1 = 2
f g
f 2f
1f
, , , v2 =
3 3 3
2
f g
f 1f
2f
,@ ,@ , v3 =
3 3 3
1
f g
f 2f
2f
,@ , .
3 3 3
Solução: v 1 , v 1 , v 3 são vetores-coluna, precisamos mostrar que
N
Nv1 N N
N = Nv2 N N
N = Nv3 N ( ) ( ) ( )
N = 1 e v1 ,v2 = v1 ,v3 = v2 ,v3 = 0
Ou seja, que a norma (comprimento) dos vetores é um, e que o produto escalar (produto interno usual)
entre os vetores (dois-a-dois) é igual à zero.
` a
Se vi = x,y,z
N
então vi N
Nv1 N f g
N 2f
=
3
2
+ 2
f g
f
3
2
+ 1
f g
f
3
2
v w
u
t
N
Nv 3
N f g
N 1f
=
3
2
+ @ 2
f g
f
3
2
+ 2
f g
f
3
2
v w
u
t
= 1
N N ( ) w ( ) ( ) w
N = q vi ,vi = q x,y,z x,y,z = x 2 + y 2 + z 2
w
q
N
= 1 , v2 . / . /
( ) 2f
2f
1f
2f
1f
2f
v1 ,v2 = , , ,@ ,@ =
3 3 3 3 3 3
4f
2f
2
@ @
9 9 9
. / . /
( ) 2f
1f
2f
1f
2f
2f
v2 ,v3 = ,@ ,@ ,@ , =
3 3 3 3 3 3
2f
2f
4f
+ @ = 0
9 9 9
Portanto a matriz T é ortogonal.
N N f g
N 2f
=
3
2
+ @ 1
f g
f
3
2
+ @ 2
f g
f
3
2
v w
u
t
= 1
f = 0 , v1 ,v 3
. / . /
( ) 2f
2f
1f
1f
2f
2f
= , , ,@ , =
3 3 3 3 3 3
2f
2f
4f
+ + = 0
9 9 9
Curiosidade: a matriz T se denotada por [ T ] representa em transformações lineares um operador
linear ortogonal T : R 3 Q R 3 onde cada linha da matriz [ T ] determina a lei de associação e assim a
imagem da transformação, neste caso:
H I
2f
2f
1
L
f
M
L 3 3 3M
L M
@ A
L M
L 2
T =
f 1f
2fM
L @ @ M
L M
L 3 3 3M
L M
L
J 1f
2f
2M
fK
@
3 3 3
[ T : R 3 Q R 3
f g
` a 2f
2f
1f
2f
1f
2f
1f
2f
2f
| T x,y,z = x + y + z , x@ y@ z , x@ y + z
3 3 3 3 3 3 3 3 3
.

GUIDG.COM 34
2 DETERMINANTES
Nesta seção estudaremos a teoria dos determinantes, inicialmente com o conceito de determinante,
passando por todo o conteúdo necessário para a definição e então formalizando a definição com suas
propriedades e aplicações.
2.1 Conceito de determinante
Podemos dizer inicialmente que o determinante de uma matriz é o número que representa ou resolve a
matriz. Não existe determinante de matrizes retangulares, isto é, a ordem das matrizes será sempre n×n .
O determinante de uma matriz quadrada A é indicado por detA :
A =
H
L
J
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … …
am1 am2 … amn
I
M
K
então det A = det
H
L
J
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … …
am1 am2 … amn
I
M
K
L M L
M= L
= A
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … …
am1 am2 … amn
(Conteúdo opcional) Como nem sempre a definição de determinante é cobrada em prova, esta se
restringindo apenas a aplicações de regras práticas, o teorema de Laplace e a regra de Chió. Portanto esta
parte fica como apêndice de conteúdo somente para os mais interessados na teoria, você pode seguir
direto para 2.3 Regras práticas para o cálculo de determinantes .
2.1.1 Permutação
Dado um conjunto de elementos a1 , a2 , a3 , … , an
rearranjo destes elementos em alguma ordem sem omissões ou repetições.
P Q , defini-se como permutação desse conjunto um
2.1.2 Permutação principal
É a permutação em que os elementos estão organizados segundo uma ordem seqüencial definida.
Exemplo 33: i ) A ordem crescente dos inteiros:
Dado o conjunto {2, 1, 4, 3}, então a permutação principal é 1234 .
ii ) A ordem alfabética das letras:
Dado o conjunto {d, b, a, c}, então a permutação principal é abcd .
2.1.3 Número de permutações
Dado o conjunto de inteiros {1, 2, 3, ... , n} então o número de permutação é dado por n! (n fatorial).
Exemplo 34: No conjunto {1, 2, 3} o número de permutação possíveis é 3! = 3.2.1 = 6 .
Podemos visualizar isto através de uma árvore de permutações . Por exemplo para o conjunto {1, 2, 3}
temos:
1
2
3
2
3
3
2
1
3
Vemos que as possíveis permutações são: 123, 132, 213, 231, 312, 321 .
3
1
1
2
2
1
M

GUIDG.COM 35
E também fica claro que o número de permutações é dado por n! pois temos para o conjunto {1, 2, 3}
três possibilidades de permutações para o primeiro elemento, e assim escolhido o primeiro, teremos duas
possibilidades para o segundo, e então escolhido o segundo teremos apenas uma possibilidade para o
terceiro, de forma que teremos 3.2.1 possibilidades de permutações, totalizando 6 permutações
possíveis. Daí que o fatorial entra eliminando a necessidade de construir diagramas, por exemplo.
Exemplo 35: No conjunto {1, 2, 3, 4} o número de permutações possíveis é 4! = 4.3.2.1 = 24 .
2
3
1
3 4 2 4 2 3
4 3 4 2 3 2
E assim sucessivamente até completar as 4 arvores de permutações relativas ao conjunto { 1, 2, 3, 4 }
onde se obteria as 24 permutações possíveis.
2.1.4 Inversão
Definida uma ordem seqüencial dos elementos de um conjunto, ocorre uma inversão entre dois elementos
sempre que esta ordem for alterada (invertida).
P Q
Exemplo 36: Dado o conjunto a1 , a2 , a3 e seja a1 a2 a3 a ordem principal, então na permutação
a1 a3 a2 ocorre uma inversão.
2.1.5 Número de inversões de uma permutação
Considere a permutação a 3 a 2 a 1 a 4 e seja a 1 a 2 a 3 a 4 a permutação principal, então para determinar o
número de inversões ( n i ):
1 – Determine o número de elementos que estão depois de a i e que são menores que a i .
2 – Siga este procedimento da esquerda para a direita para cada um dos elementos. Então a soma destes
números será o número de inversões na permutação.
` a
Exemplo 37: ni a3 a2 a1 a4 = 2 + 1 + 0 = 3
4
2.1.6 Classe de uma permutação
Uma permutação é de classe par se o número de inversões é um inteiro par e é de classe impar se o
número de inversões for impar.
1
3
2
3 4 1 4 1 3
4 3 4 1 3 1
4
...

Exemplo 38: Determine o número de inversões nas seguintes permutações:
a) 613452 Q n i = 5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8 par
b) 2413 Q n i = 1 + 2 + 0 = 3 impar
c) 4321 Q n i = 3 + 2 + 1 = 6 par
d) acb Q n i = 0 + 1 = 1 impar
d) adcb Q n i = 0 + 2 + 1 = 3 impar
e) 1234 Q n i = 0 + 0 + 0 = 0 par
GUIDG.COM 36
2.1.7 Produto elementar
Seja A uma matriz quadrada de ordem n . Um produto elementar de A é o produto de n entradas de A
tais que existem apenas uma entrada de cada fila (linha ou coluna).
2.1.8 Produto elementar com sinal
Se um produto elementar for de classe impar o produto leva o sinal - e se for de classe par o produto leva
o sinal + .
2.2 Determinante de uma matriz
O determinante de uma matriz é a soma algébrica dos produtos que se obtém efetuando todas as
permutações dos segundos índices do termo principal, fixados os primeiros índices e fazendo-se
preceder os produtos do sinal + ou - , conforme a permutações dos segundos índices seja de classe par
ou de classe impar.
Exemplo 39: Calcular o determinante usando a definição:
a) A = a11 a F G
12
a21 a22 Solução:
i ) Primeiro escrevemos os elementos que compõe o termo principal omitindo os segundos índices e um
conjunto com n elementos, sendo n a ordem da matriz.
Termo principal de A : a 11 a 22 → omitindo os segundos índices → a 1 … a 2 …
Conjunto com n elementos conforme a ordem da matriz A : { 1,2 }
ii ) Agora tomamos as permutações de { 1, 2 } que são 12 e 21 , e substituímos na seguinte forma:
12 → a 1 … a 2 … e assim obtemos o produto elementar a 11 a 22

GUIDG.COM 37
Como a permutação 12 dos segundos índices é de classe par, temos o produto elementar com sinal + ,
portanto temos o produto a 11 a 22
21 → a 1 … a 2 … e assim obtemos o produto elementar a 12 a 21
Como a permutação 21 dos segundos índices é de classe impar, temos o produto elementar com sinal - ,
portanto temos o produto @ a 12 a 21
iii ) Logo o determinante de A é dado pela soma algébrica dos produtos elementares com sinal, isto é:
det A = a 11 a 22 @ a 12 a 21
b) B =
H
L
J
Solução:
b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33 I
M
K
i ) Termo principal de B : b 11 b 22 b 33 → omitindo os segundos índices → b 1 … b 2 … b 3 …
Conjunto com n elementos conforme a ordem da matriz B : { 1,2, 3 }
ii ) Permutações de { 1, 2, 3 } : 123, 132, 213, 231, 312, 321
123 → b 1 … b 2 … b 3 … e assim obtemos o produto elementar b 11 b 22 b 33
Como a permutação 123 dos segundos índices é de classe par, temos o produto elementar com sinal + ,
portanto temos o produto + b 11 b 22 b 33
132 → b 1 … b 2 … b 3 … e assim obtemos o produto elementar b 11 b 23 b 32
Como a permutação 132 dos segundos índices é de classe impar, temos o produto elementar com sinal -
, portanto temos o produto @ b 11 b 23 b 32
E assim sucessivamente temos todos os outros produtos elementares com sinal:
213Qb 12 b 21 b 33 Q@ b 12 b 21 b 33
231Qb 12 b 23 b 31 Q + b 12 b 23 b 31
312Qb 13 b 21 b 32 Q + b 13 b 21 b 32
321Qb 13 b 22 b 31 Q@ b 13 b 22 b 31

GUIDG.COM 38
iii ) Logo o determinante de B é dado pela soma algébrica dos produtos elementares com sinal, isto é:
det B = b11 b22 b33@ b11 b23 b32@ b12 b21 b33 + b12 b23 b31 + b13 b21 b32@ b13 b22 b31 = b11 b22 b33 + b12 b23 b31 + b13 b21 b32@ b11 b23 b32@ b12 b21 b33@ b13 b22 b31 b c
= b 11 b 22 b 33 + b 12 b 23 b 31 + b 13 b 21 b 32 @ b 11 b 23 b 32 + b 12 b 21 b 33 + b 13 b 22 b 31
2.2.1 Observações
Calcular determinantes diretamente da definição leva a dificuldades computacionais. De fato, calcular um
determinante de ordem 4×4 diretamente envolveria calcular 4! = 24 produtos elementares com sinal e
um determinante 10×10 envolveria calcular 10! = 3.628.800 produtos elementares com sinal. Mesmo os
mais rápidos computadores digitais não conseguem dar conta em um tempo razoável dos cálculos de um
determinante de ordem 25×25 por este método. E, portanto muito do que se segue, será o
desenvolvimento de métodos que simplifiquem o cálculo de determinantes.
2.3 Regras práticas para o cálculo de determinantes
Com o objetivo de tornar viável o cálculo de determinantes, estudaremos algumas regras práticas a seguir.
2.3.1 Determinante de uma matriz de primeira ordem
@ A L M
A = a11Q det A = La11
M = a11
* Não é o módulo do elemento, e sim o próprio elemento.
2.3.2 Determinante de uma matriz de segunda ordem
L M
F G La11
a M
L 12M
Q det A = L M
La21
a22 A = a 11 a 12
a 21 a 22
` a
M = a 11 A a 22 @ a 21 A a 12
O determinante de uma matriz de segunda ordem é dado pelo “produto dos elementos da diagonal
principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária”, isto é, “o termo principal menos o
termo secundário”.

GUIDG.COM 39
2.3.3 Determinante de uma matriz de terceira ordem
Nesta seção veremos varias formas práticas de se calcular o determinante de uma matriz de ordem três.
2.3.3.1 Desenvolvimento do determinante pela primeira linha
A partir do desenvolvimento pela definição, se colocarmos os três primeiros elementos a 11 , a 12 e a 13
em evidência chegamos a esta regra.
b c
A 3 Q det A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 @ a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 + a 13 a 22 a 31
` a ` a ` a
= a11 a22 a33@ a23 a32 + a12 a23 a31@ a21 a33 + a13 a21 a32@ a22 a31 = a 11
f g
{ ~ } ~y
a 22 a 33 @ a 32 a 23
M 11
@ a 12
f g
{ ~ } ~y
a 21 a 33 @ a 31 a 23
M 12
+ a 13
f g
{ ~ } ~y
a 21 a 32 @ a 31 a 22
Veja que os produtos entre parênteses (a22a33 – a32a23) , (a21a33 – a31a23) e (a21a32 – a31a22) são os
determinantes das submatrizes A11 , A12 e A13 respectivamente , e isto é equivalente a dizer que os
produtos entre parênteses são os menores complementares de a11 , a12 e a13 , logo temos a regra:
[2.5 Menor complementar]
det A =
L
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 M
= a 11 M 11 @ a 12 M 12 + a 13 M 13
Curiosidade: Substituindo a11 = i jk , a12 = j jk , a13 = k jk 3
temos o produto vetorial no R , e é a partir
daqui que a regra é extraída, consulte “ALGA-I: Exercícios Resolvidos – Vetores, PG. 3” para verificar.
2.3.3.2 Desenvolvimento do determinante por fila
Analogamente ao desenvolvimento pela primeira linha podemos criar regras para qualquer fila que
desejarmos bastando que evidenciemos os elementos dessa fila, cuidando com a troca de sinais.
Exemplo 40: Se quisermos desenvolver o determinante pela segunda coluna temos a seguinte regra:
det A =@ a 12 M 12 + a 22 M 22 @ a 32 M 32
2.3.3.3 Regra de Seki Kowa
H
I
L
a11 a12 a13 La11
a12 a13 L
A = Ja21
a22 a M L
23KQ
det A = L
La21
a22 a23 a31 a32 a L
33 La31
a32 a33 M
=
M 13
a 11 A a 22 A a 33 + a 12 A a 23 A a 31 + a 21 A a 32 A a 13
b c
@ a 13 A a 22 A a 31 + a 23 A a 32 A a 11 + a 12 A a 21 A a 33
O diagrama de linha pode ser imaginado conforme a ordem em que os elementos são multiplicados.

2.3.3.4 Regra de Sarrus
Existem duas formas (A e B) de se aplicar a regra de Sarrus.
A - Repetindo as duas primeiras colunas:
GUIDG.COM 40
I) Repetir a primeira e a segunda coluna.
II) Somar os produtos das diagonais descendentes e subtrair os produtos das diagonais ascendentes.
L M
La11
a12 a13 a11 a M
L
12M
L M
det A = La21
a22 a23 a21 a M
L
22M
L
La31
a32 a33 a31 a M
32M
@ a 31 A a 22 A a 13 @ a 32 A a 23 A a 11 @ a 33 A a 21 A a 12
a 11 A a 22 A a 33 + a 12 A a 23 A a 31 + a 13 A a 21 A a 32
b c
det A = a11A a22A a33 + a12A a23A a31 + a13A a21A a32@ a31A a22A a13 + a32A a23A a11 + a33A a21A a12 B - Repetindo as duas primeiras linhas.
I) Repetir a primeira e a segunda linha.
II) Somar o produto das diagonais descendentes e subtrair o produto das diagonais ascendentes.
L M
La11
a12 a M
L
13M
L M
La21
a22 a M
L
23M
L
det A = a31 a32 a M
L
33M
L M
L
La11
a12 a M
13M
L
La21
a22 a M
23M
@ a 31 A a 22 A a 13 @ a 11 A a 32 A a 23 @ a 21 A a 12 A a 33
a 11 A a 22 A a 33 + a 21 A a 32 A a 13 + a 31 A a 12 A a 23
b c
det A = a11A a22A a33 + a21A a32A a13 + a31A a12A a23@ a31A a22A a13 + a11A a32A a23 + a21A a12A a33 *Apesar de fácil, a regra de Sarrus é muito trabalhosa em ter de reescrever as linhas ou as colunas.
Recomendamos aprender as duas primeiras regras e realizar os cálculos mentalmente.
2.4 Propriedades dos determinantes
Nesta seção seguem várias propriedades e conseqüências importantes para o estudo e aplicação de
determinantes em sistemas lineares e também em diversos outros assuntos da álgebra linear.
2.4.1 Propriedade
O determinante de uma matriz A é igual ao de sua transposta A T
det A = det A T
.

GUIDG.COM 41
2.4.2 Propriedade
Sendo A uma matriz quadrada, então a troca de duas filas paralelas gera uma matriz B tal que o
determinante de B difere do determinante de A apenas pelo sinal.
Exemplo 41:
D E
A =
a b
Q det A = ad@ cb e B =
c d
det B =@ det A
D E
c d
a b
` a
Q det B = cb@ ad =@ ad@ cb
2.4.2.1 Corolário
Se a matriz A tem duas filas paralelas iguais, então o detA é igual a zero.
Exemplo 42: A =
H
J
I
a x a
b y bKQ
det A = ayc + xbc + bza@ ayc + bza + xbc
c z c
b c
2.4.3 Propriedade
Se B é uma matriz tal que uma de suas filas é nula, então detB = 0 .
Exemplo 43: B =
H
L
J
I
a x 0
M
b y 0KQ
det B = 0
c z 0
2.4.4 Propriedade
Se B é uma matriz tal que uma de suas filas é proporcional à outra, então detB = 0 .
Exemplo 44:
B =
H
L
J
I
a x 2a
M
b y 2bKQ
det B = aA yA 2c + xA 2bA c + bA zA 2a@ 2aA yA c + 2bA zA a + xA bA 2c
c z 2c
= 0
b c
b c
det B = 2A aA cA y + 2A bA cA x + 2A aA bA z@ 2A aA cA y + 2A aA bA z + 2A bA cA x
det B = 0
2.4.5 Propriedade
Se B é uma matriz tal que uma de suas filas está multiplicada por uma constante k , então podemos
colocar k em evidencia multiplicando o determinante B .

Exemplo 45:
B =
F G ` a
Q det B = kxAw@ kzA y = k xAw@ zA y
kx y
kz w
det B = kA det B = kA
L
M
x y M
z wM=
k xAw@ zA y
` a
2.4.5.1 Corolário
Se B é uma matriz de ordem n que esta multiplicada por k , então
Exemplo 46:
` a n
det kA B = k det B
Fkx kyG
` a 2 2 2` a
kAB = Q det kA B = kxAkw@ kzA ky = kA xw@ kA zy = k xw@ zy
kz kw
L M
` a 2 2L x yM
det kAB = kA kAdet B = kA det B = kAL M
Lz
wM=
k 2` a
xA w@ zA y
GUIDG.COM 42
2.4.6 Propriedade
Se numa das filas dum determinante tivermos uma soma de termos, então podemos separar esta soma em
dois determinantes, tal que a soma destes é igual ao primeiro.
Exemplo 47:
det A = det B + det C
L M L M L M
La
b u + vM
L M L
L M La
b uM
a b vM
L M
L M L M L M
L
Lc
d x + y M
M=
L
Lc
d x M
M+
Lc
d yM
L M
L M L M L M
Le
f z + wM
Le
f zM
Le
f wM
Exemplo 48: Verifique a relação entre os seguintes determinantes:
L
M
L
M
det A =
2 1 L
=@ 3 det B =
2 1 L
L
3 0 L
=@4@ 3 =@7 det C =
2 2
L
3 @ 2 L
=@ 4@6 =@ 10
3@ 2
det C = det A + det B
L
M L
M L
M
L
2 1 + 1M
L
M
3 0@ 2M
=
2 1M
L
L M
L3
0M
+
2 1
L
L3
@ 2
@ 10 =@ 3@ 7
M
L
M

GUIDG.COM 43
2.4.7 Teorema de Jacobi
O determinante não se altera quando adicionamos a uma de suas filas, uma combinação linear das demais
filas paralelas.
L
1 0 2
Exemplo 49: det D = 3 @ 1 6 =@ 8 + 0 + 24@@ 4 + 24 + 0
2 4 8
M
` a = 16@20 =@ 4
Trocando a primeira coluna por menos a metade da terceira coluna somada com a primeira:
C 2A @
1f
1Q@ C 3 + C1 2
1
f g
f
+ 1 0 2
2
6A @ 1
f g
f
+ 3 @ 1 2
2
8A @ 1
L M
L M
L M
L M
L M
L M
L M
L M L M L M
L M L
L M @ 1 + 1 0 2M
L
L M 0 0 2M
L M
L M L M L M
L M=
L@
3 + 3@ 1 2M
L M L M
= L 0 @ 1 2M
L M
L M L
L f g M @ 4 + 2 4 8M
L@
2 4 8M
M
L
f M
L + 2 4 8M
L 2 M
` a
det D = 0 + 0 + 0@ 4 + 0 + 0 =@ 4
L
M
4 9 2
Exemplo 50: det E = 7 @ 1 4 =@ 4 + 72 + 84@@ 4 + 96 + 63
2 6 1
` a = 152@ 155 =@ 3
Trocando a primeira linha por menos duas vezes a terceira linha somada com a primeira.
L 1 Q@ 2L 3 + L 1
L ` a ` a ` a M
L M L M
L2A@
2 + 4 6A@ 2 + 9 1A@ 2 + 2M
L
L M @ 4 + 4 @ 12 + 9 @ 2 + 2M
L M
L M L M
L 7 @ 1 4 M=
L 7 @ 1 4 M
M L M
L 2 6 1 M L 2 6 1 M
L M
L0
@ 3 0M
L M
L M ` a
= L
L7
@ 1 4 M
= det E = 0@ 24 + 0@ 0 + 0@21 =@24 + 21 =@ 3
L2
6 1M
2.4.7.1 Corolário
Seu uma fila de um determinante é igual a uma combinação linear de filas paralelas, o determinante é
igual a zero.
L
M
1 2 8
Exemplo 51: D = 3 2 12 = 10 + 96@24@ 64@12 + 30
4 @ 1 5
` a = 82@ 82 = 0
Veja que cada elemento da terceira coluna é igual à primeira coluna multiplicada por 2 somada com a
segunda coluna multiplicada por 3 , isto é:
C 3 = 2C 1 + 3C 2
8 = 2(1) + 3(2) = 2 + 6
12 = 2(3) + 3(2) = 6 + 6
5 = 2(4) + 3(–1) = 8 – 3
Neste caso não seria necessário calcular o determinante, pois por 2.4.7.1 o determinante é igual a zero.

2.4.8 Teorema de Binet
Sendo A e B matrizes de mesma ordem então o determinante:
` a
det AA B = det AA det B
2.4.8.1 Corolário
Sendo A uma matriz quadrada e n2N C d e
, então: det A{~ A …}~y A = det A n
b c ` an
= det A
2.4.8.2 Corolário
@ 1
Sendo A uma matriz inversível, então: det A
Justificativa de 2.4.8.2:
b c
= 1 f
det A
n fatores
A @ 1 A A = I [ det A @ 1 b c
A A = det I [ det A @ 1 A det A = det I
det A @ 1 = 1 f
det A
I é a matriz identidade e det I = 1 .
GUIDG.COM 44
2.4.9 Resumo das propriedades dos determinantes
Nesta seção listamos as principais propriedades dos determinantes com suas respectivas demonstrações
indicadas.
I - O determinante de ordem n é nulo se tiver:
(2.4.2.1) – Duas filas paralelas iguais.
(2.4.3) – Uma fila nula.
(2.4.4) – Duas filas paralelas proporcionais.
(2.4.7.1) – Uma fila que for combinação linear de outras filas paralelas.
II - O determinante de ordem n se altera:
(2.4.2) – Trocando de sinal, quando duas filas paralelas trocam entre si de posição;
(2.4.5) – Ficando multiplicado por k , quando os elementos de uma fila estão multiplicados por k ;
(2.4.5.1) – Ficando multiplicado por k n , quando a matriz está multiplicada por k .
III - O determinante de ordem n não se altera quando:
(2.4.1) – Trocarmos ordenadamente as linhas pelas colunas ( det A = det A T ).
(2.4.7) – Somarmos a uma fila uma combinação linear de outras filas paralelas (Teorema de Jacobi).

GUIDG.COM 45
2.5 Menor complementar
Sendo A uma matriz quadrada de ordem n com n ≥ 2 , chama-se menor complementar do elemento
a ij , e indicamos por M ij , o determinante da submatriz A ij , isto é:
[1.20 Submatriz]
d b ce
M ij = det sub Aij Exemplo 52: Dada a matriz A , calcular M 11 , M 12 , M 32 , M 33 .
A =
H
L
J
1 0 2
3 6 1
@ 1 2 4
I
M
K
d b ce
M 11 = det sub A11 = 6 1
L M
L M
L M
L M
L2
4M
= 24@ 2 = 22 M 32 = det sub A d b ce
32 = 1 3
L M
L M
L M
L M
L2
1M
= 1@6 =@ 5
d b ce
M 12 = det sub A12 = 3 1
L M
L M d
L M ` a b ce
L M
L@
1 4M
= 12@@ 1 = 13 M 33 = det sub A33 = 1 0
L M
L M
L M
L M
L3
6M
= 6@0 = 6
2.6 Co-fator
b c
Chama-se co-fator do elemento a ij , e denota-se cof a ij
complementar de a ij .
` ai + j
=@ 1 A M ij , onde M ij é o menor
2.7 Matriz co-fatora
Sendo A uma matriz quadrada de ordem n com n ≥ 2 , chama-se matriz co-fatora de A e indica-se
por cofA a matriz cujos elementos são os co-fatores dos elementos da matriz A.
2.8 Matriz adjunta
Dada uma matriz A , chama-se matriz adjunta de A , a matriz transposta da matriz co-fatora de A e
` aT
indica-se por adj A = cofA .

Exemplo 53: Dada a matriz A =
Solução: Cálculo dos co-fatores.
L M
` a ` ai + j ` a2L
M
L
cof a11 =@ 1 Μ11 =@ 1 A
3 0M
` a
L M
L1
4M
= 1A 12@ 0 = 12
L M
` a ` a3L
M
L
cof a12 =@ 1 A
4 0M
` a` a
L M
L6
4M
=@ 1 16@ 0 =@ 16
L M
` a ` a4L
M
L
cof a13 =@ 1 A
4 3M
` a
L M
L6
1M
= 1 4@ 18 =@ 14
…
H
L
J
I
GUIDG.COM 46
7 1 2
M
4 3 0K
obter os co-fatores dos elementos de A , cofA e adjA .
6 1 4
` a ` a ` a ` a ` a ` a
cof a21 =@ 2 , cof a22 = 16 , cof a23 =@ 1 , cof a31 =@ 6 , cof a32 = 8 , cof a33 = 17
cofA =
H
L
J
12
@ 2
@ 16
16
@ 14
M
@ 1 KQ cofA
@ 6 8 17
I
` aT
= adj A =
H
L
J
12 @ 2 @ 6
@ 16 16 8
@ 14 @ 1 17
2.8.1 Teorema da matriz adjunta
Seja A uma matriz quadrada de ordem n e I n a matriz identidade de ordem n , então:
I
M
K
AA adj A = adj AA A = det A
` a A I n
*Demonstração omitida, consulte a referência bibliográfica (5) pg. 110-D .
2.9 Teorema de Laplace
Seja A uma matriz quadrada de ordem n com n ≥ 2 , o determinante de A é dado pela soma dos
produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos co-fatores, isto é:
A =
H
L
J
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … …
an1 an2 … ann
I
M
K
det A =X
n
aijA Aij = ai1A Ai1 + ai2A Ai2 + …ainA Ain j = 1
Sendo i uma linha qualquer da matrizA
ou det A =X
n
i = 1
a ij A A ij = a 1j A A 1j + a 2j A A 2j + …a nj A A nj
Sendo j uma coluna qualquer da matrizA
*Demonstração omitida, consulte a referência bibliográfica (5) pg. 105-D .

2.9.1 Observações
GUIDG.COM 47
I - No cálculo do determinante de uma matriz de ordem n , recaímos em determinantes de matrizes de
ordem n – 1 , e no cálculo destes, recaímos em determinantes de ordem n – 2 , e assim
sucessivamente, até recairmos em determinantes de matrizes de ordem 3 , que sabemos calcular
facilmente, aplicando a regra de Sarrus, Seki Kowa, etc.
II - Para facilitar o cálculo do determinante é aconselhável escolher uma linha ou coluna com o maior
número de zeros.
III - A aplicação conveniente do teorema de Jacobi pode facilitar o cálculo do determinante pelo teorema
de Laplace, por exemplo, efetuando-se uma combinação linear conveniente tal que gere uma linha ou
coluna com maior número de zeros que o determinante inicial.
Exemplo 54: Calcule o determinante da matriz A =
H
L
J
I
1 2
0@ 1
@ 2 3
3 1
M
2 1 M
1 2K
3 4 6 3
.
De acordo com as observações citadas após o teorema de Laplace, devemos escolher a primeira coluna
(ou a segunda linha), mas ainda teríamos que calcular três co-fatores, então aplicamos o teorema de
Jacobi, efetuando as seguintes combinações lineares.
Dica: Neste caso concentre-se na coluna que devemos simplificar para poder visualizar a combinação
linear conveniente.
Lx = Linha, C x = Coluna, x = indicação da linha ou coluna
Pelo teorema de Jacobi, temos que:
det A =
L
1 2 3 1
0@ 1 2 1
@ 2 3 1 2
3 4 6 3
M
L 4 Q@ 3A L 1 + L 4 , det A =
L 3 Q 2A L 1 + L 3
L
1 2 3 1
0@ 1 2 1
0 7 7 4
0@ 2@ 3 0
L
M
1 2 3 1
0@ 1 2 1
0 7 7 4
3 4 6 3
Aplicando o teorema de Laplace na primeira coluna, temos que:
det A = A 11 A a 11 + A 21 A a 21 + A 31 A a 31 + A 41 A a 41
= A 11 A 1 + A 21 A 0 + A 31 A 0 + A 41 A 0
= A 11
M

Cálculo do co-fator:
b c ` ai + j
cof A11 =@ 1 A M 11 =@ 1
` a2
L
Logo pelo teorema de Laplace detA = -35
M
@ 1 2 1
7 7 4 = 1A 0@ 16@ 21@@ 14 + 12 + 0
@ 2@ 3 0
GUIDG.COM 48
B ` aC
` a
=@ 37@@ 2 =@ 35
2.9.2 Corolário: Determinante de matrizes triangulares ou diagonais
Sendo A uma matriz triangular (de qualquer ordem), o determinante de A é o produto dos elementos da
diagonal principal. A verificação é feita aplicando-se o teorema de Laplace na linha ou coluna que tiver
maior número de zeros.
Logo o determinante de uma matriz A triangular ou diagonal de ordem n é generalizado como:
det A =Y
*Se houver duvidas verifique a notação de produtório.
n
aii = a11A a22A a33A…A ann
i = 1
2.10 Determinante por triangulação
De acordo com 2.9.2 , podemos calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem m ,
reduzindo esta a uma matriz triangular equivalente, e depois multiplicar os elementos da diagonal
principal, assim obtendo o determinante da matriz.
Exemplo 55: Calcule o determinante de A por triangulação:
A =
H
L
J
I
L
1 5 7 L 1 5 7
M L
9 5@ 1KQ
det A = L 9 5@ 1
@ 5 4@ 3 L@
5 4@ 3
L 2 Q@ 9L 1 + L 2 , L 3 Q 5L 1 + L 3 ,
L 3 Q 29
40
f L2 + L 3 , det A =
L
M
L
1 5 7
0 @ 40 @ 64
0 0 @ 72
5
1 5 7
0 @ 40@ 64
0 29 32
M
f g M
f M
= 1 @ 40
M
f g
` a 72f
@
5
= 576

GUIDG.COM 49
2.11 Determinante de Vandermonde (determinante das potências)
O determinante de ordem n ≥ 2 é assim chamado se, e somente se, na primeira linha os elementos forem
todos iguais a 1 ; na segunda linha números quaisquer; na terceira linha os quadrados da segunda linha;
na quarta linha os cubos da segunda linha, e assim sucessivamente.
* Os elementos da segunda linha são denominados elementos característicos.
Exemplo 56:
I – Determinante de Vandermonde de ordem 3. det D =
II – Determinante de Vandermonde de ordem 4. det D =
L
1 1 1
a b c
a2 b 2 c2 L
M
1 1 1 1
a b c d
a2 b 2 c2 d 2
a3 b 3 c3 d 3
2.11.1 Propriedade
Um determinante de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças que se obtêm subtraindo-se
de cada um dos elementos característicos os elementos precedentes, independente da ordem do
determinante.
Exemplo 57:
L
M
L
1 2 4
det A = 1 4 16 = det A
1 7 49
T L1
1 1
L
= L
L2
4 7
L4
16 49
M
Elementos característicos: a = 2 , b = 4 , c = 7 , detA = (4-2).(7-4).(7-2) = 2.3.5 = 30
2.12 Regra de Chió
Esta regra é uma aplicação do teorema de Jacobi que permite reduzir a ordem de um determinante para
simplificar o seu cálculo. Para aplicar a regra de Chió, precisamos de uma matriz A , quadrada de ordem
n ≥ 2 , com pelo menos um elemento a ij = 1 .
Procedimento:
I – Eliminamos da matriz A , a linha i e a coluna j , onde se encontra a ij = 1 obtendo a submatriz A ij .
II – Subtraímos dos elementos da submatriz A ij o produto dos elementos eliminados que se encontram
na sua linha e coluna respectivamente, obtendo assim uma matriz B de ordem n – 1 .
` ai + j
III – O determinante de A é dado por: det A =@ 1 A det B
M

GUIDG.COM 50
Exemplo 58: Re-calcular o exemplo dado após o teorema de Laplace, utilizando a Regra de Chió.
A =
H
L
J
Solução:
1 2 3 1
0@ 1 2 1
@ 2 3 1 2
3 4 6 3
I
M
K
I – Escolhendo a 11 = 1 , eliminamos a primeira linha e a primeira coluna.
A =
H
L
J
1 2 3 1
0@ 1 2 1
@ 2 3 1 2
3 4 6 3
I
M
K
II – Subtraindo dos elementos da submatriz A 11 o produto dos elementos eliminados na respectiva linha e
coluna.
B =
H
L
J
` a
@ 1@ 0.2
` a
3@@ 2.2
` a
4@ 3.2
` a
2@ 0.3
` a
1@@ 2.3
` a
6@ 3.3
III – Assim o determinante de A é dado por:
` ai + j ` a1 + 1
det A =@ 1 A det B =@ 1
L
Logo, pela regra de Chió detA = -35 .
` a I
1@ 0.1
` a M
2@@ 2.1M
` a
3@ 3.1
M
K =
H
L
J
@ 1 2 1
7 7 4
@ 2@ 3 0
@ 1 2 1
A 7 7 4 = 1A 0@16@ 21@@ 14 + 12 + 0
@ 2@ 3 0
I
M
K
B ` aC
=@ 35

Exemplo 59: Calcule o determinante da matriz W , usando a Regra de Chió.
W =
H
L
J
Solução:
2 3 0 2
4 2 1 5
@ 1 7 2 9
@ 2 0 4 7
I
M
K
I – Escolhendo a 23 = 1 .
W =
H
L
J
2 3 0 2
4 2 1 5
@ 1 7 2 9
@ 2 0 4 7
I
M
K
GUIDG.COM 51
II – Subtraindo dos elementos da submatriz W 23 o produto dos elementos eliminados na respectiva linha
e coluna.
X =
H ` a ` a ` aI
2@ 4.0 3@ 2.0 2@ 5.0
L ` a ` a ` aM
L M
L@
1@ 4.2 7@ 2.2 9@ 5.2M
J ` a ` a ` aK
@ 2@ 4.4 0@ 2.4 7@ 5.4
=
H I
2 3 2
L M
J@
9 3 @ 1 K
@ 18 @ 8 @ 13
III – Assim o determinante de W é dado por:
L M
L
` ai + j ` 2 3 2 M
a2 L M B
+ 3L
M ` aC
det W =@ 1 A det X =@ 1 A L
L@
9 3 @ 1 M
=@ 1A@ 78 + 54 + 144@@ 108 + 16 + 351
L@
18 @ 8 @ 13M
@ A @ A
=@ 1A 120@ 259 =@@ 139 = 139
Logo, pela regra de Chió detW = 139 .

3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
3.1 Equação linear
São as equações onde as incógnitas tem grau de expoente igual à 1 , na forma:
x i são as variáveis (incógnitas);
a i são os respectivos coeficientes;
b é o termo independente.
a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + …+ a n@ 1 x n@ 1 + an xn = b
3.1.1 Raízes (ou identidade) da equação linear
São os valores das variáveis que tornam a equação linear verdadeira;
3.1.2 Conjunto solução da equação linear
É o conjunto formado pelas raízes da equação linear.
3.2 Sistema de equações lineares (sistema linear)
É um conjunto de equações lineares, e tem a seguinte representação:
X
^\
^Z
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + …+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + …+ a2n xn = b2 ( ( ( … ( ( (
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + …+ amn xn = bm
GUIDG.COM 52
3.2.1 Conjunto solução de um sistema linear
São os valores das variáveis que tornam o sistema linear verdadeiro. Esses valores são as raízes do
sistema linear.
Um sistema linear pode apresentar três casos de soluções, então se:
I – Possui uma única solução, dizemos que o Sistema é Possível e Determinado (SPD) .
II – Possui infinitas soluções, dizemos que o Sistema é Possível e Indeterminado (SPI) .
III – Não possui solução, dizemos que o Sistema é Impossível (SI) .
3.2.2 Discussão de sistemas
Discutir um sistema linear é determinar se ele é (ou quando é) SPD , SPI ou SI , estes casos ocorrem
conforme for o número de soluções do sistema. Para discutir um sistema o estudante deve ter
conhecimento dos teoremas 3.5.1 , 3.6.1 e 3.6.2 . Veremos alguns exemplos a seguir.
3.2.3 Sistemas equivalentes
Dados dois ou mais sistemas lineares, dizemos que estes sistemas são equivalentes se admitirem o mesmo
conjunto solução.

3.3 Sistema linear homogêneo
É o sistema linear cujos termos independentes são todos nulos.
X
^\
^Z
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + … + a1n xn = b1 = 0
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + … + a2n xn = b2 = 0
( ( ( … ( ( (
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + … + amn xn = bm = 0
GUIDG.COM 53
Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos uma solução, denominada Solução trivial, isto é,
quando fazemos x i = 0 . Além da Solução trivial o sistema pode ter outras soluções, denominadas
Soluções próprias.
3.4 Sistemas e matrizes
Todo sistema de equações lineares pode ser representado na forma matricial, isto facilita a visualização e
também a resolução do sistema. Considere as matrizes abaixo:
H I H I H I
a11 a12 … a1n x b 1
1
La21
a22 … a M L
L
2nM
x M L M
L
A = L M
2M
L
L
J … … … …M
, X = L M b M
L
L
K J(
M , B = 2M
L M
K L(
M
J K
am1 am2 … amn
Note então que o sistema de equações lineares pode ser escrito através da equação matricial:
H
L
J
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … …
am1 am2 … amn
IH
ML
ML
ML
ML
KJ
Notações: de forma geral, temos que:
x1 x2 ( M
K =
xn
I
H
M L
M L
M L
J
b1 b2 (
b m
I
M
K
xn
b m
AX = B
H I
a11 x1 a12 x2 … a1n xn
La21
x1 a22 x2 … a M
L
2n
xnM
[ L M
L … … … … M
J K
am1 x1 am2 x2 … amn xn
=
H I
b1 L M
L
Lb
M
L 2 M
L
J(
M
K
A é a matriz dos coeficientes ou matriz incompleta do sistema ( M c) ;
X é a matriz das variáveis ou incógnitas ( M v) ;
B é a matriz dos termos independentes ( M t i ) .
E ainda, a partir da última equação matricial temos a matriz ampliada do sistema (também chamada de
matriz aumentada, matriz estendida ou matriz completa do sistema):
H I
a11 a12 … a1n | b1 L M
La21
a22 … a2n | b M
L
2M
M a = L M
L M
L … … … … | …M
J K
am1 am2 … amn | bm Esta que se obtém omitindo X e colocando A e B juntas numa única matriz, separadas por esse traço
vertical que simboliza a igualdade do sistema, que por sua vez é dispensável, mas facilita a interpretação.
Usaremos a notação M e para indicar a matriz linha-reduzida equivalente à M a , isto é, ( M e ~M a )
3.4.1 Teorema
Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes são equivalentes.
b m

GUIDG.COM 54
3.5 Posto de um sistema (característica de um sistema)
A propriedade posto de uma matriz é muito útil na resolução de sistemas e pode ser aplicada à matriz que
representa este sistema linear. Considere a matriz ampliada do sistema, então:
I - Posto da matriz dos coeficientes ( pc) : É o número de linhas não nulas de M c .
II - Posto da matriz ampliada ( pa ) : É o número de linhas não nulas de M a , que inclui M c e M t i .
III - Posto do sistema ( p ) : quando pa = pc , costuma-se chamar este número de p , isto é
pa = pc = p .
[1.26 Posto de uma matriz] , [1.27 Nulidade de uma matriz]
3.5.1 Teorema
Um sistema possui solução se, e somente se, pa = pc = p .
3.5.2 Corolário
Decorre de 3.5.1 que se pa ≠ pc o sistema não possui solução (SI) .
3.6 Grau de liberdade do sistema
É o número g = n – p onde n é o número de colunas da matriz dos coeficientes ou o número de
variáveis do sistema.
3.6.1 Teorema
Se g = n – p = 0 o sistema possui solução única (SPD) .
3.6.2 Teorema
Se g = n – p > 0 (isto é se g = 1, g = 2 ... ) o sistema possui grau de liberdade, e assim este terá
infinitas soluções (SPI) .

GUIDG.COM 55
3.7 Operações linha sobre um sistema linear
Um sistema linear se transforma num sistema linear equivalente quando efetuamos operações elementares
sobre as suas linhas. Note que só podemos realizar operações sobre as linhas do sistema linear e não sobre
as colunas (do contrario estaríamos somando quantidades diferentes). Vamos às três operações possíveis.
3.7.1 Permutação entre linhas
Notação: L xT L y (Lê-se: A troca da linha x pela linha y ).
*A dupla-seta indica a permuta (troca).
3.7.2 Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo
Notação: L xQ kA L x (Lê-se: A troca da linha x por k vezes linha x )
3.7.3 Substituição de uma linha por combinação linear
Notação: L xQL x + kAL y ou L xQ kA L y + L x
Lê-se: A troca da linha x pela linha x mais k vezes a linha y . Ou a troca da linha x por k vezes a
linha y mais a linha x .
3.8 Solução de um sistema por matriz inversa
Para o caso particular onde o número de equações do sistema linear é igual ao número de variáveis (isto é,
o número de colunas de M c é igual ao número de equações do sistema linear), e quando o determinante
de M c é diferente de zero, podemos resolver o sistema pelo seguinte método:
Usando a notação matricial para sistemas lineares temos que:
AX = B
A @ 1 AX = A @ 1 B
IX = A @ 1 B
X = A @ 1 B
Assim para determinar a solução ( X ) desse tipo de sistema basta encontrar a inversa da matriz dos
coeficientes ( A @ 1 ), pois X = A @ 1 B .

Exemplo 60: Resolva o sistema.
X
^\
^Z
@ x + 3y + 5z = 2
@ 5x@ 4y + z = 3
3x + 6y + 4z =@ 1
Solução 1: Vamos colocar o sistema na forma matricial M a e resolve-lo usando as operações
elementares.
.
.
.
.
L 1 Q@ L 1
L3Q 15f
L2 + L3 19
L2Q@ 24f
L3 + L2 19
L 1 Q 5L 3 + L 1
-1 3 5 | 2
-5 -4 1 | 3
3 6 4 | -1
1 -3 -5 | -2
0 -19 -24 | -7
0 15 19 | 5
1 -3 -5 | -2
0 1
24f
|
19
7f
19
0 0 1 | -10
1 0 -5 | 37
0 1 0 | 13
0 0 1 | -10
L 2 Q 5L 1 + L 2
L 3 Q@ 3L 1 + L 3
L 1
2Q@ 19
L3Q 19L3 f L2
L 1 Q 3L 2 + L 1
GUIDG.COM 56
1 -3 -5 | -2
-5 -4 1 | 3
3 6 4 | -1
1 -3 -5 | -2
0 -19 -24 | -7
0 0
1f
| @
19
10
19
1 -3 -5 | -2
0 1 0 | 13
0 0 1 | -10
1 0 0 | -13
0 1 0 | 13
0 0 1 | -10
Com isso vemos que pa = 3 = pc = p assim o sistema é possível e, g = n – p = 3 – 3 = 0 então o sistema
é possível e determinado, isto é, possui solução única. Podemos dizer também que o sistema dado é
equivalente a esta última forma encontrada, e os valores que tornam o sistema verdadeiro são:
x = -13 , y = 13 , z = -10
f

Solução 2: Agora vamos resolver o sistema usando o método da inversa.
X
^\
^Z
@ x + 3y + 5z = 2
@ 5x@ 4y + z = 3
3x + 6y + 4z =@ 1
Colocando o sistema na forma matricial AX = B , temos:
H
L
J
@ 1 3 5
@ 5@ 4 1
3 6 4
IH
I H
M
KJ
x
yK=
z
L
J
2
3
@ 1
I
M
K
GUIDG.COM 57
AX = B
A @ 1 AX = A @ 1 B
IX = A @ 1 B
X = A @ 1 B
Este exemplo foi usado para mostrar o método do algoritmo de inversão, vimos que a matriz A é
inversível, isto é, det A ≠ 0 , e:
A @ 1 =
-22 18 23
23 -19 -24
-18 15 19
Assim basta calcularmos o produto A @ 1 B para obter X a matriz das variáveis ( M v ).
H
J
H
J
X = A @ 1 B
I
x
yK=
z
I
x
yK=
z
H
L
J
H
L
J
@ 22 18 23
23@ 19@ 24
@ 18 15 19
@ 13
13
@ 10
I
M
K
IH
ML
KJ
I
2
M
3 K=
@ 1
H
L
J
` aI
H
@ 22.2 + 18.3 + 23 @ 1
` a M
23.2@ 19.3@ 24 @ 1 M
` aK
@ 18.2 + 15.3 + 19 @ 1
=
L
J
@ 13
13
@ 10
Este método é útil quando a inversa é dada, do contrário recomenda-se usar o método anterior.
I
M
K

GUIDG.COM 58
3.9 Regra de Cramer
Outra forma de se resolver sistemas lineares onde o número de equações é igual ao número de variáveis,
isto é, sistemas de ordem nBn (n equações por n variáveis), é a resolução por determinantes.
Entretanto por usar determinantes este método não se aplica a sistemas de ordem mBn (onde o número
de equações m é diferente do número de variáveis n ), logo tornando-se inviável computacionalmente,
mas ainda é um método prático para particulares questões teóricas.
Considere inicialmente o sistema a11 x1 + a12 x2 = b X
\
1
Za21
x1 + a22 x2 = b2 H I
F GF x G
1 b1 = J K ou seja AX=B
a 11 a 12
a 21 a 22
x 2
b 2
. Em forma matricial temos:
Supondo que detA ≠ 0 e assim existe a inversa de A e podemos fazer a seguinte multiplicação matricial:
A@ 1 AX = A @ 1 B
X = A @ 1 B
E assim podemos aplicar a relação 1.30.3 onde A @ 1 = 1 f
adj A , substituindo temos:
det A
X = 1 f
adj AA B onde det A = D
det A
Vamos calcular a matriz adjA :
A = a11 a F G b c
12 ` ai + j ` a ` a1 + 1
a21 a Q cof aij =@ 1 M ij , cof a11 =@ 1
22
então cofA =
d b ce
det sub A 11
` a ` a ` a
cof a12 =@1A a21 =@ a21 , cof a21 =@ a12 , cof a22 = a11
a 22
@ a 12
Substituindo os resultados:
X = 1
det A
H
x L
F G L
1 L
x
= L
2 L
J
@ a 21
F G Q adj A = cofA
a 11
F G
f x1 adj AAB [
x2 2B1
b1 a22@ b2 a12 D
b2 a21@ b1 a21 D
I
f M
fK
` aT
=
= 1Ff
a22 @ a G
12
D @ a21 a11 ou seja x 1 = b 1 a 22 @ b 2 a 12
D
a 22
@ a 21
@ a 12
F G
H
I
b
J 1K
b
2B2 2
2B1
a 11
= 1A a 22 = a 22
= 1
H I
f b1 a22@ b2 a
J
12 K
D @ b1 a21 + b2 a11 f
e x2 = b2 a21@ b1 a21f D

GUIDG.COM 59
Note que o resultado b 1 a 22 @ b 2 a 12 é obtido quando substituímos ordenadamente os elementos da
matriz B na primeira coluna da matriz A e aplicamos o determinante nesta nova matriz:
A = a11 a F G
12
a21 a22 H
J
, B = b 1
b 2
I
H
K , C1 = b1 a J 12
b 2 a 22
I
K Q Dx 1 = detC 1 = b 1 a 22 @ b 2 a 12
E da mesma forma o resultado a 11 b 2 @ a 21 b 1 é obtido quando substituímos ordenadamente os elementos
da matriz B na segunda coluna da matriz A e aplicamos o determinante nesta nova matriz:
A = a11 a F G
12
a21 a22 H
J
, B = b 1
b 2
I
H
K , C 2 = a11 b J 1
a 21 b 2
I
K Q Dx 2 = detC 2 = a 11 b 2 @ a 21 b 1
Portanto se o determinante da matriz A for diferente de zero o sistema é possível e determinado (isto é,
possui solução única), cuja solução é dada por:
x1 = Dx1f e x2 =
D
Dx2f D
De forma análoga vamos mostrar que a regra de Cramer é válida para um sistema nBn .
Considere o sistema
H
L
J
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … …
an1 an1 … ann
IH
M
ML
ML
ML
KJ
x1 x2 X
^\
^Z
M
…K
=
xn
H
I
L
M L
M L
J
a11 x1 + a12 x2 + …+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn = b2 ( ( ( ( (
an1 x1 + an2 x2 + …+ ann xn = bn
b1 b2 …
bn
I
M
K
ou seja AX = B
, em forma matricial temos
Supondo que detA ≠ 0 e assim existe a inversa de A e podemos fazer a seguinte multiplicação matricial:
A@ 1 AX = A @ 1 B
X = A @ 1 B
E assim podemos aplicar a relação 1.30.3 onde A @ 1 = 1 f
adj A , substituindo temos:
det A
X = 1 f
adj AA B onde det A = D
det A
H I
a11 a12 … a1n La21
a22 … a M
L
2nM
Vamos calcular a matriz adjA , seja A = L M
L … … … …M
J K
an1 an1 … ann
b c ` ai + j
cof aij =@ 1 M ij
, então os co-fatores de A são:

` a ` a1 + 1 ` a ` a ` a1 + n ` an
cof a11 =@ 1 M 11 = M 11 , cof a12 =@ M 12 , cof a1n =@ 1 M 1n =@@ 1 M 1n
` a ` a ` a ` a2 + n ` an
cof a21 =@M21 , cof a22 = M 22 , cof a2n =@ 1 M 2n =@ 1 M 2n
` a ` an + 1 ` an ` a ` an + 2 ` an
cof an1 =@ 1 M n1 =@@ 1 M n1 , cof an2 =@ 1 M n2 =@ 1 M n2
` a ` an + n ` a2n
cof ann =@ 1 M nn =@ 1
A matriz co-fatora de A é:
` aT
cofA
H
b` a2
cn
M nn = @ 1 M nn = M nn
` an
M 11 @ M 12 … @@ 1
M 1n
L
M
L ` an M
L
cofA = @ M 21 M 22 … @ 1 M M
L
2nM
L
M
L … … … … M
J ` an ` K an
@@ 1 @ 1 M n2 … M nn
H
M n1
` an
M 11 @ M 21 … @@ 1
M n1
L
M
L ` an M
L
= adj A = @ M 12 M 22 … @ 1 M M
L
n2M
L
M
L … … … … M
J ` an ` K an
@@ 1 @ 1 M 2n … M nn
M 1n
Voltando em X = 1 f
adj AA B onde det A = D substituindo os valores encontrados:
det A
H
L
J
H
L
J
x1 x2 …
xn
x1 x2 …
xn
I
M
K
I
M
K
nB1
nB1
= 1
D
= 1
D
H
L
Lf
L
J
H
L
Lf
L
J
` an
M 11 @ M 21 … @@ 1 M n1
` an
M n2
@ M 12 M 22 … @ 1
… … … …
` an ` an
@@ 1 @ 1 M 2n … M nn
M 1n
` an
b1 M 11 @ b2 M 21 … @@ 1
` an
I
M
K
nB n
H
I
L
J
I
b1 b2 …
b n
b n M n1
@ b1 M 12 b2 M 22 … @ 1 bn M n2
… … … …
` an ` an
@@ 1 b1 M 1n @ 1 b2 M 2n … bn M nn
Com isso temos a solução do sistema dada por:
x1 = 1b
f ` an
c
b1 M 11@ b2 M 21 + …@@ 1 bn M n1
D
x2 = 1b
f ` an
c
@ b1 M 12 + b2 M 22 + …+@ 1 bn M n2
D
xi = 1b
f` ai + 1 ` ai ` ai`
an
c
@ 1 b1 M 11 +@ 1 b2 M 2i + …+@ 1 @ 1 bn M ni
D
I
M
K
I
M
K
nB 1
nB 1
GUIDG.COM 60

n M n1
GUIDG.COM 61
b ` an
c
Note que b1 M 11@ b2 M 21 + …@@ 1 é obtido quando substituímos ordenadamente os
elementos da matriz B na primeira coluna da matriz A e aplicamos o determinante nesta nova matriz:
A =
H
L
J
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … …
an1 an1 … ann
I
M
K
, B =
H
L
J
b1 b2 …
bn
I
M
K
, C 1 =
H
L
J
b1 a12 … a1n b2 a22 … a2n … … … …
bn a n1 … ann
I
M
K
Q D x1 = detC 1
Neste caso detC1 é obtido pelo desenvolvimento do determinante pela primeira coluna.
b ` an
c
Da mesma forma o resultado @ b1 M 12 + b2 M 22 + …+@ 1 é obtido quando substituímos
bn M n2
ordenadamente os elementos da matriz B na segunda coluna da matriz A e aplicamos o determinante
nesta nova matriz:
A =
H
L
J
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … …
an1 an1 … ann
I
M
K
, B =
H
L
J
b1 b2 …
bn
I
M
K
, C 2 =
H
L
J
a11 b1 … a1n a21 b2 … a2n … … … …
an1 bn … ann
I
M
K
Q D x2 = detC 2
Neste caso detC2 é obtido pelo desenvolvimento do determinante pela segunda coluna.
b` ai + 1 ` ai ` ai`
an
c
E assim o resultado @ 1 b1 M 11 +@ 1 b2 M 2i + …+@ 1 @ 1 é obtido quando
bn M ni
substituímos ordenadamente os elementos da matriz B na i-ésima coluna da matriz A e aplicamos o
determinante nesta nova matriz:
A =
H
L
J
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … …
an1 an1 … ann
I
M
K
, B =
H
L
J
b1 b2 …
bn
I
M
K
, C i =
H
L
J
a11 … b1 … a1n a21 … b2 … a2n … … … …
an1 … bn … ann
I
M
K
Q D xi = detC i
Neste caso detCi é obtido pelo desenvolvimento do determinante pela i-ésima coluna,
sendo i = 1, 2, 3, ... n . Portanto podemos obter a solução de um sistema linear nBn usando a regra de
cramer que consiste numa resolução através de determinantes.
x1 = D X 1f
, x2 =
D
Dx2 D
f
, xi = Dxif D
3.9.1 Classificando sistemas pela regra de Cramer
Usando a relação de Cramer a classificação de um sistema linear nBn é definida da seguinte forma.
3.9.1.1 Se D ≠ 0 então o sistema é possível e determinado (SPD).
3.9.1.2 Se D = 0 e algum dos D xi ≠ 0 então o sistema é impossível (SI).
3.9.1.3 Se D = 0 e todos os D xi = 0 então o sistema é possível e indeterminado (SPI).

3.9.2 Classificando sistemas lineares homogêneos pela regra de Cramer
Considere o sistema linear homogêneo.
S
X
^\
^Z
a11 x1 + a12 x2 + …+ a1n xn = b1 = 0
a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn = b2 = 0
( ( ( ( (
an1 x1 + an2 x2 + …+ ann xn = bn = 0
~
H
L
J
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … …
an1 an1 … ann
IH
M
ML
ML
ML
KJ
x1 x2 M
…K
=
xn
I
H
M L
M L
J
I
0
0
…
0
M
K
~ AX = 0 ~ AX = 0jk
GUIDG.COM 62
Note que esse sistema é sempre possível, pois admite ao menos a solução trivial isto é quando X = 0 jk .
Então não existe o caso onde o sistema linear homogêneo será impossível (SI).
3.9.2.1 Então de acordo com 3.9.1.1 se detA ≠ 0 o sistema é possível e determinado (SPD) cuja
solução é a trivial, isto é, quando fazemos X = 0 jk ou o mesmo que x1 = x 2 = …= xn = 0 .
3.9.2.2 Mas se para algum dos aij tivermos o detA = 0 então o sistema é possível e indeterminado
(SPI), pois a solução será nula antes mesmo de fazermos X = 0 jk e ainda irá admitir solução trivial.
Exemplo 60: Classifique o sistema S
X
^\
^Z
2x + 3y@4z = 1
5x@ y + z = 3
x + y@kz = 2
Solução: Inicialmente passamos o sistema para a forma matricial.
AX = B ~
H
L
J
2 3@ 4
5@ 1 1
1 1@ k
IH
I H I
M
KJ
x 1
yK=
L
J3
z 2
D = detA = 2k + 3 – 20 – (4+2–15k) = 17k–23 = 0
M
K
usando a regra de Cramer.
Então para todo k2R | k ≠ 23f
o sistema é possível e determinado (SPD).
17
Se k = 23f
implica que D = 0 , agora se algum Dxi ≠ 0 o sistema é impossível (SI) e se todos os
17
Dxi = 0 o sistema será possível e indeterminado (SPI).
1 3@ 4
3@ 1 1
Dx = detC1 =
2 1 23
L M
L M
L M
L M
L M
L M
L M=@
L
f M
L 17M
485f
≠ 0
17
Como Dx ≠ 0 temos que para k = 23f
o sistema é impossível (SI), e como visto para todo
17
k2R | k ≠ 23f
o sistema é possível e determinado. Portanto o sistema S esta classificado, como
17
queríamos demonstrar.

Analogamente poderíamos calcular os determinantes D y e D z .
L
M
f M
2 1@ 4
5
D y = detC 2 =
1
3
2
1
23
17
=@ 504
17
f ≠ 0 , D z = detC 3 =
L
M
2 3 1
5@ 1 3 =@ 25 ≠ 0
1 1 2
GUIDG.COM 63
Veja que este último determinante D z é mais simples de calcular, pois não envolve frações, portanto é
viável escolher este na hora de provar que o sistema é impossível, ao invés dos outros dois D x e D y .
X`
a
^\ 3 + 2k x + ky + 3z = 0
Exemplo 61: Classifique o sistema S x + 2y + z = 0
^Z kx + y + z = 0
Solução: Inicialmente passamos o sistema para a forma matricial.
H I
H IH
I H I
3 + 2k k 3 x 0 3 + 2k k 3 | 0
L M
L M
AX = 0 ~ J 1 2 1KJ
yK=
L M L
J0K
~ 1 2 1 | 0
M
L M
J K
k 1 1 z 0 k 1 1 | 0
detA = k² – 5k + 6 = 0 , k1 = 2 , k2 = 3
usando a regra de Cramer.
Como detA = 0 para k1 = 2 e k2 = 3 , concluímos por 3.9.2.2 que o sistema é possível e
indeterminado (SPI).
Veja que não podemos determinar os xi pela regra de Cramer pois substituindo a matriz nula em
qualquer coluna de A o determinante D xi será sempre nulo. Portanto o único método para encontrar a
solução desse sistema é o escalonamento.
Substituindo k1 = 2 temos:
H I
H I
1f
7 2 3 | 0
L1
0 | 0M
L
L M
3 M
L M
L
L1
2 1 | 0
M
L
MQ
passando para a forma linha-reduzida temos Q 1
M
L
J K
f M
L0
1 | 0M
L
2 1 1 | 0
J 3 M
K
0 0 0 | 0
Isto é, x =@ 1f
1f
z e y =@ z [ x = y , podemos denotar a solução da seguinte maneira.
3 3
R` a S
3
Se k1 = 2 o sistema é possível e indeterminado cuja solução é S = x,x,z 2 R | x, z 2 R .

Da mesma forma obtemos a solução substituindo k2 = 3 temos:
H I
H I
1f
9 3 3 | 0
L1
0 | 0M
L
L M
5 M
L M
L
L1
2 1 | 0
M
L
MQ
passando para a forma linha-reduzida temos Q 1
M
L
J K
f M
L0
1 | 0M
L
3 1 1 | 0
J 5 M
K
0 0 0 | 0
Isto é, x =@ 1f
1f
z e y =@ z [ x = y , podemos denotar a solução da seguinte maneira.
5 5
GUIDG.COM 64
R` a S
3
Se k1 = 3 o sistema é possível e indeterminado cuja solução é S = x,x,z 2 R | x, z 2 R .
X
^\
Exemplo 62: Vamos classificar o exemplo 60 S
^Z
2x + 3y@4z = 1
5x@ y + z = 3
x + y@kz = 2
Solução: Passando o sistema para a forma matriz ampliada e escalonando.
.
.
S ~
H I
2 3@ 4 | 1
L M
L
5@ 1 1 | 3
M
L M
J K
1 1@ k | 2
L 1 T L 3
L 2 T L 3
L 3 Q 6L 2 + L 3
1 1 -k | 2
2 3 -4 | 1
5 -1 1 | 3
1 1 -k | 2
0 1 2k-4 | -3
0 0 17k-23 | -25
L 2 Q@ 2L 1 + L 2
L 3 Q@ 5L 1 + L 3
Pelo teorema 3.5.1 o sistema é possível se, e somente se, pa = pc , mas se:
usando o escalonamento.
1 1 -k | 2
0 1 2k-4 | -3
0 -6 5k+1 | -7
17k@ 23 = 0 [ k = 23f
, assim pa = 3 ≠ pc = 2 , logo para k =
17
23f
o sistema é impossível (SI).
17
E se k ≠ 23f
, pa = 3 = pc = 3 , então 8 k 2 R | k ≠
17
23f
o sistema é possível e determinado (SPD).
17
Portanto o sistema S esta classificado, como queríamos demonstrar.
3.9.2.3 Observações
Não desvalorizando o método de Cramer que é muito útil e também muito elegante, entretanto só resolve
sistemas nBn , assim o escalonamento é o método mais completo pois resolve sistemas, seja de ordem
nBn ou mBn .

GUIDG.COM 65
4 NOTAS FINAIS
O objetivo desse texto foi a concentração e a revisão de toda a teoria de matrizes, determinantes e
sistemas, visto que alguns livros trazem uma notação complicada demais ou são incompreensíveis por
suas demonstrações resumidas. Lembrando que num estudo compacto como este não se pode demonstrar
tudo, mas ao menos as demonstrações mais simples foram provadas de maneira clara e objetiva. Este
texto foi escrito com base na introdução do curso de Álgebra Linear da UDESC-CCT e nos seguintes
livros, onde é possível encontrar um auxílio complementar teórico.
5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E LEITURA COMPLEMENTAR
(1) Anton Howard, Chris Rorres – Álgebra Linear com aplicações (8 ed.);
(2) Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle – Introdução à Álgebra linear;
(3) Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle – Álgebra linear;
(4) José Luiz Boldrini – Álgebra Linear;
(5) Gelson Iezzi, Samuel Hazzan – Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 4, Seqüências, Matrizes,
Determinantes e Sistemas (2 ed.);
(6) Apostila de Álgebra Linear II 2011/1 – Departamento de Matemática (UDESC – CCT)