5/10/2012 – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares.

GUIDG.COM 24
1.30.2 Cálculo da matriz inversa pela definição
Calcular matrizes inversas pela definição nem sempre é fácil, pois dada uma matriz A de ordem m
então precisamos encontrar uma matriz B de ordem m tal que AB = BA = I , e isto implica em resolver
pelo menos m sistemas com m² incógnitas. Para exemplificar, calcularemos a inversa de uma matriz de
ordem dois (m = 2) pela definição, assim precisamos resolver dois sistemas e encontrar quatro incógnitas.
D E
Exemplo 24: Mostre pela definição que A =
3 1
é inversível.
2 1
Solução: Queremos mostrar que existe A @ 1 , tal que A A @ 1 = A @ 1 A = I , isto é:
A @ 1 =
D E D ED E
a b
Q
3 1 a b
=
c d 2 1 c d
a b
D ED E
3 1
=
c d 2 1
1 0
D E
no lado esquerdo temos
0 1
Para resolver a equação matricial, temos que resolver dois sistemas:
T
3a + c = 1
2a + c = 0
[ 6a + 2c = 2
T
@ 6a@ 3c = 0
[ a = 1
T
c =@2
Logo a inversa de A é a matriz A @ 1 =
D E
1 @ 1
@ 2 3
T
3b + d = 0
2b + d = 1
pois
D E
3a + c 3b + d
2a + c 2b + d
[ 6b + 2d = 0
T
@ 6b@ 3d =@3
= 1 0
D E
0 1
[ b =@ 1
T
d = 3
D ED
E D ED E
3 1 1 @ 1
=
1 @ 1 3 1
=
2 1 @ 2 3 @ 2 3 2 1
1 0
D E
0 1
Analogamente poderíamos calcular a inversa de uma matriz de ordem maior ou igual a três, entretanto
precisaríamos resolver três ou mais sistemas lineares para encontrar cada uma das entradas da matriz
inversa. Em 1.30.9 veremos o algoritmo de inversão [ A | I ] que simplifica o procedimento.
No estudo de matrizes inversas são necessários conhecimentos básicos da teoria de
DETERMINANTES, faremos as indicações quando algum assunto for necessário.
1.30.3 Teste de inversão e cálculo da inversa por adjunta
Uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, o determinante de A for diferente de zero, isto é:
9 A @ 1 ^ det A ≠ 0 pois A @ 1 = 1
det A
f` aT
cofA
Onde detA é o determinante da matriz A [2 Determinantes] ;
cofA é a matriz co-fatora de A [2.6 Co-fator] e [2.7 Matriz co-fatora] ;
adjA é a matriz adjunta de A [2.8 Matriz adjunta] ;
Com este resultado podemos obter a inversa de uma matriz de ordem n.
= 1 f
adj A
det A
* Essa é uma justificativa para a existência da inversa. A prova para esse teorema pode ser encontrada na
referência bibliográfica (1) pg. 87 .