5/10/2012 – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares.

1.25 Matriz escalonada e matriz linha-reduzida
Considere as seguintes propriedades relativas às filas de uma matriz:
GUIDG.COM 12
I – Numa linha não nula, o primeiro elemento não nulo é 1 (este é chamado de líder ou pivô).
II – Em quaisquer duas linhas sucessivas não nulas, o líder da linha superior esta sempre mais à esquerda
do que o líder da linha inferior.
III – As linhas nulas ocorrem abaixo de todas as linhas não nulas.
IV – Cada coluna que contém um líder tem seus demais elementos nulos.
Com isso lembramos que sempre podemos transformar uma matriz dada numa matriz escalonada ou
numa matriz linha-reduzida, utilizando as operações elementares das matrizes, e assim definimos:
1.25.1 Matriz na forma escalonada
São as matrizes em que se verificam as propriedades I, II e III.
1.25.2 Matriz na forma linha-reduzida
São as matrizes em que todas as propriedades (I, II, III e IV) são verificadas.
1.25.3 Escalonamento
É o procedimento que leva a matriz A para a matriz escalonada de A . Também chamado de Eliminação
Gaussiana ou Método de Gauss.
1.25.4 Eliminação Gauss-Jordan
É o procedimento que leva uma matriz à sua forma linha-reduzida.
1.25.5 Observações
I - O escalonamento e a eliminação Gauss-Jordan serão ilustrados no próximo exemplo.
II - A matriz linha-reduzida é também chamada de: (1) “matriz na forma escalonada reduzida por linhas”,
do inglês “matrix in reduced row echelon form”, (2) “matriz linha-reduzida à forma escada” ou “matriz
escada reduzida por linhas” e (3) “matriz na forma escada”.
*Diferentes autores usam nomes distintos para se referirem a mesma coisa, cabe a cada estudante decidir
qual nome vai usar, neste texto usamos “linha-reduzida” por ser um dos mais curtos e objetivos.
1.25.6 Teorema
Toda matriz A de ordem m×n é equivalente a uma única matriz linha-reduzida.
1.25.7 Corolário
Toda matriz A inversível de ordem n , tal que detA ≠ 0 é equivalente a matriz linha-reduzida I , sendo
I a matriz identidade ( A n ~ I n ) .