5/10/2012 – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares.

Exemplo 53: Dada a matriz A =
Solução: Cálculo dos co-fatores.
L M
` a ` ai + j ` a2L
M
L
cof a11 =@ 1 Μ11 =@ 1 A
3 0M
` a
L M
L1
4M
= 1A 12@ 0 = 12
L M
` a ` a3L
M
L
cof a12 =@ 1 A
4 0M
` a` a
L M
L6
4M
=@ 1 16@ 0 =@ 16
L M
` a ` a4L
M
L
cof a13 =@ 1 A
4 3M
` a
L M
L6
1M
= 1 4@ 18 =@ 14
…
H
L
J
I
GUIDG.COM 46
7 1 2
M
4 3 0K
obter os co-fatores dos elementos de A , cofA e adjA .
6 1 4
` a ` a ` a ` a ` a ` a
cof a21 =@ 2 , cof a22 = 16 , cof a23 =@ 1 , cof a31 =@ 6 , cof a32 = 8 , cof a33 = 17
cofA =
H
L
J
12
@ 2
@ 16
16
@ 14
M
@ 1 KQ cofA
@ 6 8 17
I
` aT
= adj A =
H
L
J
12 @ 2 @ 6
@ 16 16 8
@ 14 @ 1 17
2.8.1 Teorema da matriz adjunta
Seja A uma matriz quadrada de ordem n e I n a matriz identidade de ordem n , então:
I
M
K
AA adj A = adj AA A = det A
` a A I n
*Demonstração omitida, consulte a referência bibliográfica (5) pg. 110-D .
2.9 Teorema de Laplace
Seja A uma matriz quadrada de ordem n com n ≥ 2 , o determinante de A é dado pela soma dos
produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos co-fatores, isto é:
A =
H
L
J
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … …
an1 an2 … ann
I
M
K
det A =X
n
aijA Aij = ai1A Ai1 + ai2A Ai2 + …ainA Ain j = 1
Sendo i uma linha qualquer da matrizA
ou det A =X
n
i = 1
a ij A A ij = a 1j A A 1j + a 2j A A 2j + …a nj A A nj
Sendo j uma coluna qualquer da matrizA
*Demonstração omitida, consulte a referência bibliográfica (5) pg. 105-D .