5/10/2012 – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares.

Exemplo 16: Algumas matrizes do tipo linha-reduzida.
A =
H
L
J
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
I
M
K
, B =
H
L
J
1 2 0 2 0 4
0 0 1 3 0 8
0 0 0 0 1 5
0 0 0 0 0 0
I
M
K
, C =
H
L
J
0 1@ 3 0 2
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
I
M
K , I 3 =
1.26 Posto de uma matriz
Seja A de ordem m×n e B sua matriz escalonada ou linha-reduzida ( B ~ A ) então;
O posto de A ou p(A) que indicamos por p , é o número de linhas não nulas de B ;
1.26.1 Propriedade
O posto de uma matriz A é igual ao posto de sua matriz transposta A T .
p A
` a = p A T
b c
GUIDG.COM 16
H
L
J
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A verificação é feita ao comparar a forma escalonada ou linha-reduzida tanto de A como de A T .
1.26.2 Observações
I - Alguns autores se referem ao posto da matriz como sendo a Característica (C ) da matriz, logo C = p .
II - A propriedade “posto da matriz” é de grande importância para o estudo de sistemas lineares, o qual é
usado em muitos assuntos da álgebra linear e suas aplicações. O posto de uma matriz é o número mínimo
de linhas numa matriz tal que possamos realizar combinações lineares apropriadas sobre essas linhas de
forma que se possam gerar todas as demais linhas, isto é, o posto de uma matriz é um número, e este
número é a resposta da seguinte pergunta: Qual o número mínimo de linhas numa matriz tal que
possamos gerar as outras demais linhas através de combinações lineares apropriadas? E é por isso que
alguns autores se referem ao posto de uma matriz como sendo a sua característica, pois através dessas
linhas principais, todo o resto da matriz é caracterizado.
1.27 Nulidade de uma matriz
A nulidade de A ou g(A) que indicamos por g , é dado por g = n – p , onde n é o número de
colunas de A .
1.27.1 Observações
I - Somente em matrizes quadradas a nulidade irá também indicar o número de linhas nulas da matriz;
II - Em matrizes a nulidade é apenas uma relação entre as colunas e o posto da matriz, já em sistemas
lineares a nulidade ganhará um sentido mais significativo para os nossos estudos, e por isso desde já a
nulidade é representada pela letra g pois irá indicar o grau de liberdade do sistema, e assim não será
necessário outra definição quando chegarmos lá.
I
M
K