26/8/2012 – MAT: Fundamentos para uma demonstração da regra de sinais

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26/8/2012 – MAT: Fundamentos para uma demonstração da regra de sinais
Tags: Por que menos com menos da mais? Por que Menos vezes menos é igual a mais? Regra de sinais, demonstração, passo a passo, definições, propriedades,
exemplos resolvidos.
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Inicialmente vamos provar a regra de sinais numa forma fácil de entender:
Queremos mostrar que (-1)(-1) = (+1) , isto é, que a regra de sinais menos vezes menos é igual a mais:
Sabemos que:
1 – 1 = 0 , (1).(–1) = (–1).(1) = (–1) e 1.0 = 0.1 = 0
Multiplicando a primeira equação por (–1) temos:
(–1).(1 – 1) = (–1).0
Aplicando a propriedade distributiva temos:
(–1).(1) + (–1)( –1) = 0
Adicionando (1) na equação temos:
(1) + (–1).(1) + (–1).( –1) = 0 + (1)
Logo:
(1) + (–1) + (–1).( –1) = (1)
1 – 1 + (-1).(-1) = 1
E assim:
(-1).(-1) = 1
Portanto fica provada a regra de sinais iguais decorrente de proposições básicas da matemática e
principalmente da definição do zero, é importante que você entenda esse simples fundamento, pois toda a
matemática utiliza este conceito. Buscar provas para os teoremas e não acumular duvidas torna o estudo
de matemática sempre mais interessante. Nas próximas páginas seguirá um tratamento mais estendido e
justificado para essa regra e para outros conceitos básicos de matemática.

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Introdução e visão geral do problema.
Existem alguns conceitos de matemática que aparentam ser estranhos não é mesmo, sim e isso é devido
aos nossos instintos que indagam algumas verdades, principalmente as que não são demonstradas, eis o
motivo desta pesquisa, e com muito interesse proponho esta leitura, a fim de provar o que já esta provado,
mas que nem todos conhecem ou já viram e esqueceram. Normalmente culpamos o professor, e esse diz
que tem pouco tempo para ensinar, um grande ciclo não é mesmo? Um culpando o outro, e portanto o
nosso objetivo é demonstrar com clareza o que a regra de sinais propõe e alguns conceitos que estão
diretamente ligados a ela.
Você já deve ter se deparado com a regra de sinais, e já se questionou sobre o porquê da regra?
Logicamente poderíamos concluir que:
(+)(-) = (-) ou (-)(+) = (-)
(Tenho cinco reais, mas devo o dobro, pago a divida, e continuo devendo)
5 + (2)(-5) = 5-10 = -5
(+)(+) = (+)
(Tenho cinco reais, e recebo o dobro, somo e fico com mais)
5 + (2)(5) = 5+10 = 15
Se (+)(+) = (+), então (-)(-) = (-) ???
(Devo cinco reais, e multiplico pela divida de dois reais de um amigo, então ficamos com mais? Ora
então é só multiplicar dividas que ficamos ricos!?)
(-5)(-2) = 10
Bom o que eu estou propondo é o seguinte, considere o sinal de mais (+) para saldo e o sinal de (-) para
débito. Como demonstrado anteriormente passamos de uma divida para um saldo, isso é estranho não é
mesmo? Na verdade muitos interpretariam que o resultado seria uma divida maior, mas então o sinal
deveria continuar negativo, porque estamos considerando o sinal de (-) como débito lembra?
Então: (-5)(-2) = (-10)
(Devo cinco e multiplico por uma outra divida de dois reais então passamos a dever o dobro).
É claro que não, mas por quê?
Existe ainda aquele ditado que diz: “O inimigo do meu inimigo é meu amigo”, mas isto não prova nada,
muito menos matematicamente.
Com base neste problema serão exibidos a seguir os conhecimentos necessários para que se desvende o
mistério da regra de sinais, sabemos que dificilmente o professor demonstra a regra, na verdade poucos
mostram a regra e muitos apenas definem a regra sem provar, como se não existisse um porquê. Sendo
assim será apresentada uma demonstração prática para a regra de sinais e outros conceitos preliminares.

Porque 0.x = x.0 = 0 (zero vezes x é igual à zero)?
Obs: Para entender é necessário que você conheça a “Teoria dos conjuntos”.
Seja R o conjunto dos números reais, e “x” um elemento qualquer de R .
0A x = ? ` a
0 I
` a
0A x = 0 + 0A
x
` a
= 0A x + 0A x II
Sabemos que 0 + 0 = 0 e quanto a propriedade distributiva ( 0 + 0 ).x = 0.x + 0.x
Podemos então utilizar a regra da balança que consiste no seguinte:
0 = 0
Adicionando um número real qualquer na equação não alteramos a igualdade:
0 + x = 0 + x
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Da mesma forma subtraindo um número real qualquer na equação também não alteramos a igualdade:
0 + x – x = 0 + x – x
Retornando à nossa igualdade e adicionando −(0.x) aos dois lados da igualdade ( II ) temos:
` a
0A x = 0A x + 0A x II
` a ` a
@ 0A x + 0A x =@ 0A x + 0A x + 0A x
` a
0 = 0A x III
Comparando as igualdades I e III concluímos que:
0.x = 0
Da mesma forma pode-se mostrar que x.0 = 0 daí que:
0.x = x.0 = 0
Isso mostra que o produto de zero por qualquer número é zero e que a comutatividade na multiplicação
de qualquer número real é verificada. Esse conceito básico irá complementar a prova da regra de sinais
diferentes na multiplicação, por isso é importante entender.
Elemento oposto
Dado um número real “x” , existe um único número real indicado por “–x” , chamado oposto de “x” , tal
que:
x + (-x) = 0

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Demonstração da Regra de sinais.
Vamos iniciar a demonstração partindo de conceitos básicos e que já são conhecidos pela maioria dos
estudantes, contudo será melhor que você deixe de lado o que você já sabe (pelo menos por alguns
instantes) para poder entender melhor está demonstração.
Admita x , y , z como variáveis pertencentes à R .
1º Caso: Adição para sinais iguais.
A) Sejam “x”, “y”, “z” positivas, a adição destas variáveis será sempre um valor (w) positivo “+(w)” :
(x) + (y) + (z) = +(w)
Exemplo:
(3) + (2) + (1) = +(6)
B) Sejam “x”, “y”, “z” negativos, a adição destas variáveis será sempre um valor (w) negativo “-(w)” :
(-x) + (-y) + (-z) = -x -y -z = -(w)
Exemplo:
(-3) + (-2) + (-1) = -3 -2 -1 = -(6)
2º Caso: Adição para sinais diferentes.
Obs: Para entender é necessário que você conheça a definição de “Módulo ou valor absoluto”.
A) Sejam “x”, “y” variáveis de sinais opostos, a adição resultará num valor dependente do módulo de
“x” ou de “y” :
(+x) + (-y) = x - y = F(z)
i ) +(z) ^ | x | > | y |
ii ) -(z) ^ | x | < | y |
Exemplo: i ) 3 + (-2) = 3 – 2 = 1 , | 3 | > | -2 | , isto é, 3 é maior que 2, o resultado é positivo.
ii ) 2 + (-3) = 2 – 3 = -1 , | 2 | < | -3 | , isto é, 2 é menor que 3, o resultado é negativo.
3º Caso: Produto com sinais diferentes.
A) Seja “x” uma variável qualquer e “n” uma constante qualquer, ambas pertencentes a R , quando
“x” e “n” tiverem sinais opostos, o produto será sempre um valor (x) negativo:
(-x).(+n) = (-x) + (-x) + (-x) + ... = -(y)
(Lê-se: “menos x” vezes “n” é igual à soma “n-ésima” de “menos x”)
Lembre-se que multiplicar significa somar “n” vezes o número multiplicado.
Nota: A multiplicação é uma operação comutativa.
Exemplo: (-2).(3) = (3).(-2) = (-2) + (-2) + (-2) = -2 -2 -2 = -(6)

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4º Caso: Produto com sinais iguais.
A) Sejam “x” e “y” variáveis quaisquer positivas pertencentes a R , o produto será sempre uma valor (z)
positivo. Isso é decorrência da proposição do “1º Caso: A”.
Se “x = 2” e “y = 3”,
x.y = y + y = 2.y = y.2 = x + x + x = 3.x = x.3 = 3.2 = 2.3 = 6
B) Sejam “x” e “y” variáveis quaisquer negativas pertencentes a R , o produto será sempre um valor (z)
positivo.
(-x).(-y) = ???
Obs: Esta regra é decorrente da definição da multiplicação de 0.x = x.0 = 0 (para prosseguir é
necessário entender). Outros conceitos serão citados, no caso de dúvida, será melhor voltar e esclarecer.
Aplicação do conceito de elemento oposto:
(-x).(0) = (-x).[(-x) + (x)] = 0
Aplicação da propriedade distributiva:
(-x)(-x) + (-x)(x) = 0 [ (-x)(-x) + (-x.x) = 0
Aplicado a definição de potenciação:
(-x)(-x) + (-x²) = 0
Aplicado a conceito da regra da balança, somando x² dos dois lados da igualdade:
(-x)(-x) + (-x²+x²) = 0+x²
Aplicando o conceito de elemento oposto e elemento neutro, cancelando x² com –x² e somando zero
com x² :
(-x)(-x) = x²
Portanto provamos que a multiplicação de um número negativo por ele mesmo terá como resultado o seu
oposto ao quadrado. No caso desse número for (-1) , temos que na multiplicação (-1) é o elemento
neutro, daí que ele prova a regra de sinais iguais: (-1)(-1) = +1² = 1 .
Exemplo: (-3)(-2) = ? ...
Você imediatamente responderia +6, mas isso é porque você já decorou a regra, no entanto toda vez que
você faz isso esta pulando toda a parte seguinte:
...
(-3)(0) = (-3)[(-2) +2] = 0
(-3)(-2) + (-3)(2) = 0
(-3)(-2) -6 = 0
(-3)(-2) -6 +6 = 0 + 6
(-3)(-2) + 0 = 0 + 6
(-3)(-2) = 6
Como você viu não foi utilizada nenhuma lógica, apenas manipulação
algébrica, ou seja, chegamos num resultado sem ter que multiplicar os
sinais, e isso é decorrência das proposições vistas (e provadas)
anteriormente e principalmente da definição do zero no produto e a
regra da balança. De fato, se estas regras forem contrariadas chegase
constantemente a absurdos matemáticos. Portando (-)(-) = (+)

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Por que “o primeiro pelo inverso do segundo”?
Outro caso intrigante na matemática, é o caso de uma fração sobre outra fração (denominada fração composta), de
comum aprendemos que para simplificar, multiplicamos a “primeira pela inversa da segunda”, isso é estranho se
você não souber o porquê, então vamos logo esclarecer esta regra.
Não existe divisão por zero
(tente explicar!)
A) Seja “a” um número real qualquer. Então “a” pode ser escrito da seguinte maneira: a = af
1
Todo número que não apresenta denominador, tem na verdade “1” como denominador por convenção.
Isso é fácil de verificar. Se você não esta dividindo este número “a” , então ele está sendo dividido por
“1” já que “1“ é na multiplicação um “elemento neutro”. Decorre da definição:
aA 1 = a
[ aA 1f
af
= (Dividindo por “a” dos dois lados da igualdade)
a a
[ 1 = 1
Portanto a/a = 1, e todo número dividido por ele mesmo é igual a um. Exemplos:
5/5 = 1 115/115 = 1 (x+2)/(x+2) = 1 ( x 2 + 3x + 5
x 2 fa
= 1
+ 3x + 5
B) Elemento inverso: Dado um número real a ≠ 0 , existe um único número real, indicado por
1f
@ 1 1f
, e também por a , chamado inverso de a , tal que: aA = 1.
a
a
C) Existe uma operação que inverte o procedimento, a “inversa da multiplicação”, denominada “divisão”.
De onde concluímos que o processo de divisão é o inverso do processo de multiplicação, ou de uma
forma simplificada: “dividir é multiplicar pelo inverso”.
Ex: aDa = aA 1f
= 1
a
D) Portando agora de forma generalizada podemos aplicar o conhecimento.
Sejam “a”, “b”, “c” e “d” números reais quaisquer com “b” e “d” diferentes de zero.
af
cf
, chamaremos de k ; ,chamaremos de t
b
d
af
bf
kf
kf
@ 1 1f
então: cf=
; e ainda pode ser escrito como kAt = kA
t
t
t
d
1f
d e@ 1
1f
cf
1f 1f
cf
= [
t d cf=
A [
1 d
d
1 f g
f 1f
df
cf=
A =
1 c
d
df
1f
df
logo =
c t c
Então: kA 1f
df
= kA
t c
Mas k = a
f g
f df
[ kA =
b c
afdf
A
b c
af
bf
adf
# cf=
bc
d
Fica provado então o porque da regra da simplificação de uma fração composta “a primeira pela inversa
da segunda”.