26/8/2012 – MAT: Fundamentos para uma demonstração da regra de sinais

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Demonstração da Regra de sinais.
Vamos iniciar a demonstração partindo de conceitos básicos e que já são conhecidos pela maioria dos
estudantes, contudo será melhor que você deixe de lado o que você já sabe (pelo menos por alguns
instantes) para poder entender melhor está demonstração.
Admita x , y , z como variáveis pertencentes à R .
1º Caso: Adição para sinais iguais.
A) Sejam “x”, “y”, “z” positivas, a adição destas variáveis será sempre um valor (w) positivo “+(w)” :
(x) + (y) + (z) = +(w)
Exemplo:
(3) + (2) + (1) = +(6)
B) Sejam “x”, “y”, “z” negativos, a adição destas variáveis será sempre um valor (w) negativo “-(w)” :
(-x) + (-y) + (-z) = -x -y -z = -(w)
Exemplo:
(-3) + (-2) + (-1) = -3 -2 -1 = -(6)
2º Caso: Adição para sinais diferentes.
Obs: Para entender é necessário que você conheça a definição de “Módulo ou valor absoluto”.
A) Sejam “x”, “y” variáveis de sinais opostos, a adição resultará num valor dependente do módulo de
“x” ou de “y” :
(+x) + (-y) = x - y = F(z)
i ) +(z) ^ | x | > | y |
ii ) -(z) ^ | x | < | y |
Exemplo: i ) 3 + (-2) = 3 – 2 = 1 , | 3 | > | -2 | , isto é, 3 é maior que 2, o resultado é positivo.
ii ) 2 + (-3) = 2 – 3 = -1 , | 2 | < | -3 | , isto é, 2 é menor que 3, o resultado é negativo.
3º Caso: Produto com sinais diferentes.
A) Seja “x” uma variável qualquer e “n” uma constante qualquer, ambas pertencentes a R , quando
“x” e “n” tiverem sinais opostos, o produto será sempre um valor (x) negativo:
(-x).(+n) = (-x) + (-x) + (-x) + ... = -(y)
(Lê-se: “menos x” vezes “n” é igual à soma “n-ésima” de “menos x”)
Lembre-se que multiplicar significa somar “n” vezes o número multiplicado.
Nota: A multiplicação é uma operação comutativa.
Exemplo: (-2).(3) = (3).(-2) = (-2) + (-2) + (-2) = -2 -2 -2 = -(6)