26/8/2012 – MAT: Fundamentos para uma demonstração da regra de sinais

GUIDG.COM 6
Por que “o primeiro pelo inverso do segundo”?
Outro caso intrigante na matemática, é o caso de uma fração sobre outra fração (denominada fração composta), de
comum aprendemos que para simplificar, multiplicamos a “primeira pela inversa da segunda”, isso é estranho se
você não souber o porquê, então vamos logo esclarecer esta regra.
Não existe divisão por zero
(tente explicar!)
A) Seja “a” um número real qualquer. Então “a” pode ser escrito da seguinte maneira: a = af
1
Todo número que não apresenta denominador, tem na verdade “1” como denominador por convenção.
Isso é fácil de verificar. Se você não esta dividindo este número “a” , então ele está sendo dividido por
“1” já que “1“ é na multiplicação um “elemento neutro”. Decorre da definição:
aA 1 = a
[ aA 1f
af
= (Dividindo por “a” dos dois lados da igualdade)
a a
[ 1 = 1
Portanto a/a = 1, e todo número dividido por ele mesmo é igual a um. Exemplos:
5/5 = 1 115/115 = 1 (x+2)/(x+2) = 1 ( x 2 + 3x + 5
x 2 fa
= 1
+ 3x + 5
B) Elemento inverso: Dado um número real a ≠ 0 , existe um único número real, indicado por
1f
@ 1 1f
, e também por a , chamado inverso de a , tal que: aA = 1.
a
a
C) Existe uma operação que inverte o procedimento, a “inversa da multiplicação”, denominada “divisão”.
De onde concluímos que o processo de divisão é o inverso do processo de multiplicação, ou de uma
forma simplificada: “dividir é multiplicar pelo inverso”.
Ex: aDa = aA 1f
= 1
a
D) Portando agora de forma generalizada podemos aplicar o conhecimento.
Sejam “a”, “b”, “c” e “d” números reais quaisquer com “b” e “d” diferentes de zero.
af
cf
, chamaremos de k ; ,chamaremos de t
b
d
af
bf
kf
kf
@ 1 1f
então: cf=
; e ainda pode ser escrito como kAt = kA
t
t
t
d
1f
d e@ 1
1f
cf
1f 1f
cf
= [
t d cf=
A [
1 d
d
1 f g
f 1f
df
cf=
A =
1 c
d
df
1f
df
logo =
c t c
Então: kA 1f
df
= kA
t c
Mas k = a
f g
f df
[ kA =
b c
afdf
A
b c
af
bf
adf
# cf=
bc
d
Fica provado então o porque da regra da simplificação de uma fração composta “a primeira pela inversa
da segunda”.