2/1/2013 – CDI-I: Tabela geral de Derivadas

2/1/2013 – CDI-I: Tabela geral de Derivadas
t, u, v são funções deriváveis de x ; a, b, c são constantes ; e ≈ 2,718 , ln u = log e u
1 Se g x
` a b ` ac
= u então y = f g x
= fN g x
` a b c
assim y. = fN g.
x
` a b ` ac
= f. g x
A g. x
GUIDG.COM 1
` a ou dy
# y = f (x) y'=f ' (x) # y = f (x) y'=f ' (x)
2 c 0 3 x 1
4 a.u a.u' 5 u + v u' + v'
6 u.v u'.v + u.v' 7
uf
v
dx
u.A v@ uA v.
v 2
f = dy
du
8 u a , a ≠ 0 a . u a – 1 . u' 11 t u , t > 0 u .t u – 1 . t' + u' . t u . ln t
9 a u , 0 < a ≠ 1 u' . a u . ln a 12 ln u
10 e u e u . u' 13 log a u
u. f
u
u. f
A loga e
u
14 sen u cos u . u 26 senh u cosh u . u'
15 cos u – sen u . u' 27 cosh u senh u . u'
16 tg u sec² u . u' 28 tgh u sech² u . u'
17 cotg u – csc² u . u' 29 cotgh u – csch² u . u'
18 sec v sec v . tg v . v' 30 sech v – sech v . tgh v . v'
19 csc v – csc v . cotg v . v' 31 csch v – csch v . cotgh v . v'
20 arc sen u
21 arc cos u
22 arc tg u
23 arc cotg u
24 arc sec v , | v | ≥ 1
25 arc csc v , | v | ≥ 1
u.
1@u 2 q f
w
@ u.
1@u 2 q f
w
u.
32 arg senh u
33 arg cosh u
1 + u 2
f
34 arg tgh u
@ u.
1 + u 2
f
35 arg cotgh u
v.
L
Lv M f
w , | v | > 1
Mq 2 v @ 1
@ v.
L
Lv M f
w , | v | > 1
Mq 2 v @ 1
36 arg sech v
37 arg csch v
* Tabela de derivadas elementares considerando a regra da cadeia.
** O nome das regras e uma explicação pode ser visto em “3 REGRAS DE DERIVAÇÃO” .
u.
1 + u2 q f
w
f
u.
u2 f
w , u > 1
q @ 1
u.
1@u 2
f
, | u | < 1
u.
1@u 2
f
, | u | > 1
fduf A
dx
@ v.
v 1@ v 2 q f
w , 0 < v < 1
@ v.
| v | 1 + v 2 q f
w , v ≠ 0

Sumário
GUIDG.COM 2
1 CONCEITOS BÁSICOS....................................................................................................................................................3
1.1 Inclinação da reta secante............................................................................................................................................3
1.2 Derivada ......................................................................................................................................................................3
1.3 Notações para a derivada.............................................................................................................................................4
1.4 Equação da reta tangente.............................................................................................................................................4
1.5 Condição de paralelismo .............................................................................................................................................5
1.6 Condição de perpendicularismo (condição de ortogonalidade)...................................................................................5
2 DEFINIÇÕES E TEOREMAS ..........................................................................................................................................6
2.1 Continuidade da função...............................................................................................................................................6
2.2 Continuidade de funções deriváveis............................................................................................................................6
2.3 Derivadas laterais ........................................................................................................................................................6
2.4 Equação da reta normal à curva no ponto ...................................................................................................................7
2.5 Derivada da função inversa .........................................................................................................................................7
3 REGRAS DE DERIVAÇÃO..............................................................................................................................................9
3.1 Derivada da função composta (regra da cadeia)..........................................................................................................9
3.2 Derivada de uma constante .........................................................................................................................................9
3.3 Derivada de funções polinomiais de primeiro grau.....................................................................................................9
3.4 Derivada de um produto por uma constante..............................................................................................................10
3.5 Derivada da soma......................................................................................................................................................10
3.6 Derivada do produto..................................................................................................................................................10
3.7 Derivada do quociente...............................................................................................................................................10
3.8 Função exponencial (expoente constante).................................................................................................................10
3.9 Função exponencial (base constante, expoente funcional)........................................................................................10
3.10 Função exponencial (base natural, expoente funcional)............................................................................................10
3.11 Função exponencial composta...................................................................................................................................10
3.12 Função logaritmo natural ..........................................................................................................................................10
3.13 Função logarítmica (base qualquer) ..........................................................................................................................10
3.14 Função seno...............................................................................................................................................................11
3.15 Função co-seno..........................................................................................................................................................11
3.16 Função tangente ........................................................................................................................................................11
3.17 Função co-tangente ...................................................................................................................................................11
3.18 Função secante ..........................................................................................................................................................11
3.19 Função co-secante .....................................................................................................................................................11
3.20 Função arco seno.......................................................................................................................................................12
3.21 Função arco co-seno..................................................................................................................................................12
3.22 Função arco tangente.................................................................................................................................................12
3.23 Função arco co-tangente............................................................................................................................................12
3.24 Função arco secante ..................................................................................................................................................12
3.25 Função arco co-secante .............................................................................................................................................12
3.26 Função seno hiperbólico............................................................................................................................................13
3.27 Função co-seno hiperbólico ......................................................................................................................................13
3.28 Função tangente hiperbólica......................................................................................................................................13
3.29 Função co-tangente hiperbólica.................................................................................................................................13
3.30 Função secante hiperbólica .......................................................................................................................................13
3.31 Função co-secante hiperbólica ..................................................................................................................................13
3.32 Função argumento seno hiperbólico..........................................................................................................................13
3.33 Função argumento co-seno hiperbólico.....................................................................................................................13
3.34 Função argumento tangente hiperbólica....................................................................................................................13
3.35 Função argumento co-tangente hiperbólica...............................................................................................................13
3.36 Função argumento secante hiperbólica .....................................................................................................................13
3.37 Função argumento co-secante hiperbólica ................................................................................................................13
4 REVISÕES DE TEOREMAS E NOTAÇÕES...............................................................................................................14
4.1 Derivadas Sucessivas (derivadas de ordem superior)................................................................................................14
4.2 A derivada num ponto ...............................................................................................................................................14
4.3 Acrécimos (incrementos) ..........................................................................................................................................15
4.4 Diferencial.................................................................................................................................................................15
4.5 Diferenciação sucessiva (diferencial de ordem superior)..........................................................................................16
4.6 Aproximação linear local ..........................................................................................................................................17
4.7 Taxa de variação .......................................................................................................................................................18
5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E LEITURA COMPLEMENTAR .................................................................19

1 CONCEITOS BÁSICOS
GUIDG.COM 3
Um dos problemas ao se estudar a derivada, é que todo o estudo se fundamenta em conceitos de limites,
então este conhecimento é necessário. Você pode fazer uma breve revisão utilizando a “Tabela de
Limites” e quando houver duvidas quanto aos símbolos use o arquivo “Notação Matemática”. Feito isso,
novos símbolos serão introduzidos, fique atento. Faremos o máximo possível para alertá-lo das diferenças
entre os símbolos que parecem ter o mesmo significado, porém ficam só de aparência e na verdade são
completamente diferentes. Recomendamos utilizar esta tabela acompanhada de um livro para auxilia-lo
nos estudos.
1.1 Inclinação da reta secante
m = tanα = y 2 @ y 1
x 2 @ x 1
f Δyf
=
Δx
Sejam A( x1, y1 ) e B( x2, y2 ) dois pontos quaisquer distintos no plano cartesiano, então o segmento AB
defini uma reta, tal que a inclinação da reta (m) relativa ao eixo x é dado pelo quociente ∆y sobre ∆x .
∆y = y2 − y1
∆x = x2 − x1
Se o segmento AB for paralelo ao eixo y , então não existe m .
* Em diferenciais, entraremos numa nova definição.
1.2 Derivada
A partir de 1.1 , admita que os dois pontos A e B fazem parte de uma função f (uma curva por
exemplo), então se fizermos B se aproximar a A de maneira que a inclinação da reta AB tenda a um
valor limite constante, chamamos este valor de inclinação da reta tangente no ponto P ( m p) .
Assim defini-se a derivada quando este limite existe e denota-se por f ' . Portanto geometricamente, a
derivada é a inclinação da reta tangente à curva no ponto P .
lim
ΔxQ 0
` a ` a
f x + Δx @ f x
Δx
Demonstração:
mx 1 = lim
BQ A
Δyf
= lim
Δx x Q x 2 1
mas x 2 = x 1 + Δx
f (I)
y 2 @ y 1
x 2 @ x 1
` a
f f x2@ f x1
=
e se x2Q x1 , ΔxQ 0
b c ` a
f x1 + Δx @ f x1 f
então mx = lim
1 ΔxQ 0 Δx
x 2 @ x 1
` a
f

GUIDG.COM 4
O processo para se encontrar m p (a derivada) é chamado derivação ou diferenciação.
Logo a fórmula (I) é a generalização para um ponto qualquer, de uma função qualquer desde que
satisfaça os critérios dados.
` a ` a
f x + Δx@
f x f
é por homenagem chamado de Quociente de Newton.
Δx
* Se8x2 ao D f 9 f. , então dizemos que f é derivável .
* Se m p // ao eixo y então 9+ f. .
* Se m p // ao eixo x então f ' = 0 # se f é constante f. = 0 .
1.3 Notações para a derivada
Veremos agora os símbolos usados para representar a derivada de uma função (1.2). Também podemos
encontrar notações extras dependendo do livro.
dyf
` a
= f. x
dx
Identificação dos símbolos:
df
dx
Operador de derivação: Isto não é um quociente e deve ser visto como um todo. Indica
que o que estiver a sua direita deve ser diferenciado em relação a x (uma variável
qualquer).
dyf
Lê-se: A derivada de y em relação à x . Também fala-se dy dx como se escreve.
dx
f. x
` a Lê-se: f linha de x . Veja que f. x
` a ≠ f x
` a , Mas f. x
` a = y.
Dx f x
` a Lê-se: A derivada de f de x “ f (x) ” em relação a x .
Dx y Lê-se: A derivada de y em relação a x .
Todas essas notações podem ser aplicadas às regras da tabela de derivadas elementares.
1.4 Equação da reta tangente
Com base em 1.1 e 1.2 , podemos definir a equação da reta tangente.
` a
α
` a
y@ y1 = m x@ x1 A fórmula pode variar substituindo y1 = f ( x1) em (α) temos:
b c
β
` a ` a
y@f x1 = m x@ x1
α e β são todas equações da reta tangente.

1.5 Condição de paralelismo
GUIDG.COM 5
Duas retas r e s são paralelas ( r // s ) quando seus coeficientes angulares (as derivadas) são iguais.
r // s ^ mr = ms
1.6 Condição de perpendicularismo (condição de ortogonalidade)
Duas retas são perpendiculares quando o produto de seus coeficientes angulares for igual à um negativo:
r? s ^ mrAms =@ 1
Os exercícios costumam dizer “dada uma reta r normal a s ...”, ou vice e versa. Isto nos diz que as retas
são perpendiculares entre si (formam um ângulo de 90º).
*O ângulo de 90º é conhecido como o ângulo reto.

2 DEFINIÇÕES E TEOREMAS
GUIDG.COM 6
Nesta seção agrupamos os teoremas mais importantes para uma otimização do estudo de derivadas.
2.1 Continuidade da função
Uma função é continua num ponto x 1 se atender simultaneamente a três condições, e são elas:
1 a ` a
9 f x1 2 a ` a
9 lim f x
xQ x1 1
` a ` a
= f x1
3 a lim f x
xQ x1 1
2.2 Continuidade de funções deriváveis
A continuidade de uma função num ponto não implica na existência da derivada dessa função nesse
mesmo ponto. Porém, toda função derivável num ponto é continua nesse mesmo ponto.
* A demonstração foi omitida.
2.3 Derivadas laterais
I - Seja a função f definida num ponto a então:
, ` a
f a = lim @ ΔxQ a@ ` a ` a
f a + Δx @ f a
Δx
f
Isto é, a derivada à esquerda de f , é o limite para quando ∆x tende à a por valores menores que a .
II - Seja a função f definida num ponto a então:
, ` a
f a = lim
+
ΔxQ a +
` a ` a
f a + Δx @ f a
Δx
f
Isto é, a deriva à direita de f , é o limite para quando ∆x tende à a por valores maiores que a .
*Se tiver dificuldades, estude primeiro limites laterais.
III - Conclui-se a partir de I e II que a derivada de uma função num ponto a , existe se, e somente se as
derivadas laterais existirem e forem iguais, isto é:
9 f , , ,
^ f = f@
+
Quando as derivadas laterais existirem, mas forem diferentes, dizemos que este é um ponto anguloso do
gráfico da função. Portanto a derivada de f neste caso não existe.
9+ f , , ,
se f ≠ f@
+

2.4 Equação da reta normal à curva no ponto
GUIDG.COM 7
Seja f (x) uma curva contínua e derivável. Logo esta tem n retas tangentes, e portanto n retas normais.
Num ponto de uma curva, pode-se determinar uma reta normal a esta, desde que determine-se
previamente a derivada neste ponto.
2.5 Derivada da função inversa
Nesta seção vamos alerta-lo sobre alguns erros comuns quando a derivada da inversa, e quanto as
notações.
I - A derivada da inversa de uma função é igual ao inverso da derivada.
b c
@ 1
f . = 1f
f.
II - Lembre-se f @ 1 ≠ 1f
@ 1
, f é a notação para a inversa da função f , e não o inverso da função f .
f
*Se tiver dúvidas, estude a determinação da inversa de uma função (funções inversas).
**Erro comum entre alunos: Se por um instante você acreditar que f @ 1 = 1f
@ 1
e por isso f
então você ainda não entendeu.
III – Notações para a derivada da inversa.
b c
f
@ 1
. , y
b c
@ 1
. , d
dx
b
f @ 1` ac
f x
IV – Formalização do teorema, considere as seguintes propriedades relativas à função f :
i ) Seja f uma função definida (contínua) num intervalo (a, b) ;
b c
@ 1
ii ) Suponhamos que f admita inversa f
. Então por ( i ) f @ 1 também é contínua.
f
b c
. = 1f
,
f.
iii ) Se a derivada de f existe e é diferente de zero para qualquer x pertencente ao intervalo dado, então
a derivada da inversa é igual ao inverso da derivada de f .
b c
@ 1
f . = 1f
se, e somente se, i , ii e iii forem satisfeitas.
f.
Em linguagem matemática podemos resumir tudo isso como:
Se9 f x
` a b c
8 x2 a, b
e 9 f. x
` a | f. x
` a b c
≠ 0 8 x2 a, b
b c
@ 1
, então9 f . = 1
f.
b c@ 1
f
= f.
.

Resumindo ainda mais (se fazendo valer i , ii e iii ), dizemos que:
A derivada da inversa é igual ao inverso da derivada.
GUIDG.COM 8
*Este teorema é importante para a definição das derivadas de funções trigonométricas inversas, por isso
deve ser compreendido.
** Este teorema foi resumido, no caso de obscuridade procure a demonstração em um dos livros citados
em referências bibliográficas e leitura complementar.

3 REGRAS DE DERIVAÇÃO
GUIDG.COM 9
Agora já podemos seguir para as regras de derivação, e serão enunciadas a baixo, onde o sinal numérico
# indica a ordem na tabela geral de derivadas elementares que pode ser vista na primeira página.
As regras de derivação existem com o único objetivo de tornar o método de diferenciação mais eficiente,
visto que o uso da definição é extenso e desnecessário para os próximos casos.
3.1 Derivada da função composta (regra da cadeia)
Se y = f u
` a e u = g x
` a b ` ac
são funções deriváveis, e f g x = fN g x
` a está definida, então a derivada
de fN g x
` a é dada por:
b c
fN g.
x
` a b ` ac
= f. g x
` a
A g. x
Aplicando a notação definida em 1.3 temos:
dy
dx
f = dy
du
fduf A
dx
Exemplo: Derive a função y = ln x 2 b c
+ 1 :
Solução: Para este exemplo precisamos conhecer primeiramente a derivada da função logaritmo natural.
Fazendo u = x 2 + 1 , temos y = ln u
` a , então:
y. = dy
du
f = 1
u
Aplicando a regra dy
dx
dy
dx
f = 1
u
f duf
, u. = = 2x
dx
f A 2x = 2x
u
f = dy
du
fduf A temos:
dx
f 2 dyf
2x
, como u = x + 1 , então =
dx x 2 f
A
+ 1
* Não precisamos dar nomes as funções como fizemos, a importância da regra é quanto a cadeia, ou seja,
quando tratamos de funções compostas: a derivação começa com a aplicação das regras externamente em
direção as funções internas, e por isso o nome. A demonstração foi omitida.
3.2 Derivada de uma constante
A derivada da função constante é zero por que a reta tangente à curva é paralela ao eixo x , logo não
existe inclinação, e se a derivada é a inclinação, então não existe a derivada.
3.3 Derivada de funções polinomiais de primeiro grau
A derivada de uma variável independente qualquer com expoente um, é um.
Exemplo: Se x , y , z são variáveis independentes então suas derivadas são um, respectivamente.
A prova desta regra é obtida derivando-se pela definição a função f (x) = x .

3.4 Derivada de um produto por uma constante
Por aplicação de propriedade de limites podemos enunciar:
A derivada de um produto de f(x) por uma constante, é a constante vezes a derivada de f(x).
A prova desta regra é obtida derivando-se pela definição a função f (x) = c.x .
3.5 Derivada da soma
A derivada da soma é a soma das derivadas.
*Demonstração em breve.
3.6 Derivada do produto
*Demonstração em breve.
3.7 Derivada do quociente
*Demonstração em breve.
3.8 Função exponencial (expoente constante)
*Demonstração em breve.
3.9 Função exponencial (base constante, expoente funcional)
*Demonstração em breve.
3.10 Função exponencial (base natural, expoente funcional)
*Demonstração em breve.
3.11 Função exponencial composta
*Demonstração em breve.
3.12 Função logaritmo natural
Derivada da função logaritmo natural ou logaritmo de base e, ou também logaritmo neperiano.
3.13 Função logarítmica (base qualquer)
*Demonstração em breve.
GUIDG.COM 10

3.14 Função seno
GUIDG.COM 11
A regra #13 diz que para y = sin u implica que y’ = u´cos u , levando em consideração a regra da
cadeia (3.1).
Demonstração: Se y = sin u , então aplicando a definição temos:
y. = lim
ΔxQ 0
mas: sin x + Δx
y. = lim
ΔxQ 0
y. = lim
ΔxQ 0
` a
f x + Δx @ f x
Δx
` a
` a
f sin x + Δx @ sin x
=
Δx
` a = sinxA cosΔx + sinΔxAcos x
sinxA cosΔx + sinΔxA cos x@ sin xf
Δx
` a
sinx cosΔx@ 1A
+ sinΔxAcos x
Δx
` a
S y. = lim sin xA lim
ΔxQ 0 ΔxQ 0
y. = sin xA0 + 1A cos
# y. = cos x
f
cosΔx@ 1f
+ lim
Δx ΔxQ 0
` a
f
sinΔxf
A lim cos x
Δx ΔxQ 0
(S) Simplificação: Para este ponto em diante utilizou-se as propriedades de limites junto com a aplicação
de limites fundamentais.
3.15 Função co-seno
*Demonstração em breve.
3.16 Função tangente
*Demonstração em breve.
3.17 Função co-tangente
*Demonstração em breve.
3.18 Função secante
*Demonstração em breve.
3.19 Função co-secante
*Demonstração em breve.

3.20 Função arco seno
A função f(x) = arc sin x é definida no intervalo D: [-1 , 1] em IM: [-π/2 , π/2] .
1 f
Então y = f(x) é derivável em (-1 , 1) e y. = .
q w
1@x 2
A demonstração é trivial, por aplicação do teorema da inversa (2.5) :
Se y = arcsin x então:
` a
α x = sin y , procuramos pela derivada da inversa, então por T5:
b c
@ 1 x
. =
1
b c
siny
sin 2 y + cos 2 y = 1
.
b c
f
[ β
cos 2 y = 1@sin 2 y [ γ
por α
substituindo em γ
b c
@ 1 x . = 1 f
cos y
w
` a 2
cos y = q1@sin y
` a temos: x = siny [ x 2 = sin 2 y
cos y = 1@ x 2 q w
` a :
b c
substituindo em β
b c
@ 1 x
. = y. =
1
:
q f
w
1@x 2
* Neste caso x@ 1 ≠ 1f
@ 1 , x e está indicando a inversa da funçãoA
x
3.21 Função arco co-seno
*Demonstração em breve.
3.22 Função arco tangente
*Demonstração em breve.
3.23 Função arco co-tangente
*Demonstração em breve.
3.24 Função arco secante
*Demonstração em breve.
3.25 Função arco co-secante
*Demonstração em breve.
GUIDG.COM 12

3.26 Função seno hiperbólico
GUIDG.COM 13
*As derivadas das funções hiperbólicas, são as derivadas de suas respectivas funções exponenciais.
3.27 Função co-seno hiperbólico
*Demonstração em breve.
3.28 Função tangente hiperbólica
*Demonstração em breve.
3.29 Função co-tangente hiperbólica
*Demonstração em breve.
3.30 Função secante hiperbólica
*Demonstração em breve.
3.31 Função co-secante hiperbólica
*Demonstração em breve.
3.32 Função argumento seno hiperbólico
*As derivadas das funções hiperbólicas inversas, são as derivadas dos argumentos das funções
hiperbólicas.
3.33 Função argumento co-seno hiperbólico
*Demonstração em breve.
3.34 Função argumento tangente hiperbólica
*Demonstração em breve.
3.35 Função argumento co-tangente hiperbólica
*Demonstração em breve.
3.36 Função argumento secante hiperbólica
*Demonstração em breve.
3.37 Função argumento co-secante hiperbólica
*Demonstração em breve.

4 REVISÕES DE TEOREMAS E NOTAÇÕES
GUIDG.COM 14
Nesta seção agrupamos mais alguns teoremas com observações importantes para a uma otimização do
estudo de derivadas.
4.1 Derivadas Sucessivas (derivadas de ordem superior)
Seja f uma função derivável, e se a própria derivada de f for derivável, então chamamos esta de
derivada segunda. Se a derivada segunda for derivável, esta se chamará derivada terceira, e assim
sucessivamente.
Notações extras:
y. = f. x
` a [ dyf
d
=
dx dx
y. = f. x
y/ = f/ x
(
` a [ d2 y
dx 2
` a [ d3 y
dx 3
b
f ` ac
f x
f b ` acg
f df
df
= f x
dx dx
f d
=
dx
h
f d 2
j
dx 2
i
b c
f ` a
f x
Em geral isto pode ser resumido como:
y n
` a
= f n
` a`
a d
x [ n y
dx n
f d
= n
dx n
b
f ` ac
f x
= d2
dx 2
k= d3
dx 3
b
f ` ac
f x
b
f ` ac
f x
Lê-se: A derivada n-ésima de y = a derivada n-ésima de f (x).
Por razões de interpretação, para n > III' , utiliza-se números naturais dentro de parênteses:
f. , f. , f/ , f 4
` a
, f 5
` a
, f 6
` a
4.2 A derivada num ponto
, f 7
` a
, f n
` a
…
A seguir veremos a notação para a derivada de uma função num ponto, a partir da notação de Leibniz.
Neste caso k sendo uma constante, que seria substituída na variável x da função y já derivada. Assim
obtendo o valor da derivada neste ponto.
Esta notação é uma variação da notação convencional, isto é:
ou
= y. x
` a = f. x
` a para x = k
Isto será muito aplicado na derivada na forma paramétrica, na forma implícita e principalmente na taxa de
variação e taxas relacionadas, com o intuito de aliviar a notação.

4.3 Acrécimos (incrementos)
GUIDG.COM 15
Seja f (x) uma função, então sempre podemos considerar uma variação de x . Se fizermos x variar de
x1 até x2 , definimos o acrécimo de x e denotamos por ∆x.
Δx = x 2 @ x 1
A variação de x origina uma correspondente variação de y , denotada por:
` a ` a
Δy = y2@ y1 = f x2@ f x1
Mas x 2 = x 1 + Δx , então substituindo em ∆y:
b c ` a
Δy = f x1 + Δx @ f x1 4.4 Diferencial
Com base em 4.3 , entraremos na definição de diferencial.
Seja y = f (x) uma função derivável, e ∆x um acrécimo de x , então:
I) A diferencial de x (variável independente), denota-se dx = Δx
II) Já a diferencial de y é dependente, é só existe devido a derivada, denota-se:
dy = f. x
` a A Δx ou dy = f. x
` a A dx
III) Então com base em 1.2 e 1.3 , re-defimos a derivada como o quociente entre duas diferenciais:
dy
Δx
f dyf
` a
= = f. x
dx
4.4.1 Os significados geométricos
O acrécimo dx = Δx , ocorre no eixo das abscissas (eixo x ).
dy ≠ Δy mas dy ≈ Δy se ∆x for considerado um valor pequeno.
O acrécimo Δy , ocorre no eixo das ordenadas (eixo y);
Mas o acrécimo dy é um produto, e ocorre devido a variação da reta tangente (isto é de sua inclinação).
É importante lembrar que Δy
f g
f Δyf
dyf
não é a derivada em si ≠ . Mas pode ser interpretado
Δx
Δx dx
geometricamente como a inclinação da reta secante definida pelos dois pontos.

4.4.2 Derivada, re-definição
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Em 1.1 fizemos uma observação que a derivada seria redefinida quando chegássemos em diferenciais, e
agora estamos aptos para esta re-definição (que não tem tantas mudanças, apenas na interpretação):
dyf
Δyf
= lim = lim
dx ΔxQ 0 Δx ΔxQ 0
b c
f x1 + Δx @ f x1 Δx
` a
f
Portanto a derivada é o limite do quociente ∆y / ∆x , quando ∆x tende a zero.
4.5 Diferenciação sucessiva (diferencial de ordem superior)
Com base em 4.4 – II , seja y = f x
` a temos que dy = f. x
` a A dx , então se a diferencial da função y for
diferenciável, temos d 2 y = f. x
` a A dx 2 e esta se chamará a diferencial segunda, se novamente for
diferenciável teremos a diferencial terceira dada por d 3 y = f/ x
` a A dx 3 , e assim sucessivamente.
A diferencial n-ésima de y é dada por: d n y = f n
` a`
a n
xA
dx .
Veja que isso esta baseado na manipulação algébrica da derivada de ordem superior, isto é, para a função
y = f x
` a , seja # a ordem da operação, temos:
# As derivadas sucessivas: As diferenciais sucessivas:
1
dyf
` a
= f. x
dx
dy = f. x
` a A dx
2
d 2 y
3
dx 2
d 3 y
dx 3
f ` a 2 ` a 2
= f. x
d y = f. xA
dx
f ` a 3 ` a 3
= f/ x
d y = f/ xA
dx
... ... ...
n
d n y
dx n
` a
f n`
a
= f x
n n
d y = f
` a`
a n
A dx
x

4.6 Aproximação linear local
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A partir de 1.4 , definimos a aproximação linear local. Intuitivamente esta é uma ferramenta que nos dará
a partir de dados conhecidos, valores próximos a estes. Para uso por exemplo na resolução de problemas
3q como: 65,5
w ` a
, tan 45º4. 30. , etc.
b c ` a ` a
f x1 + Δx ≈ f. x1A Δx + f x1
Demonstração: Partindo de 1.4 (a equação da reta tangente), saímos de α e seguimos:
` a
α
b c
β
` a
y@ y1 = m x@ x1 ` a ` a
y@ f x1 = m x@ x1
` a ` a
mas: x@ x1 = Δx , y = f x e m = f. x1 ` a
então: γ f x
` a ` a ` a
@ f x1 = f. x1A
Δx
` a
logo: δ f x
` a ` a ` a
= f. x1A Δx + f x1
novamente: x@ x1 = Δx [ x = x1 + Δx
Agora substituindo em δ chegamos exatamente aonde queremos, ou seja:
` a
ε
b c ` a ` a
f x1 + Δx ≈ f. x1A Δx + f x1
` a
Veja que o sinal de igualdade muda, por estarmos tratando de uma aproximação, por que y = f x
somente para valores próximos de x1 , e é a melhor medida que podemos obter a partir de x1 .
A interpretação de ε : Podemos interpretar a aproximação linear local da seguinte maneira, dado um
valor conhecido x 1 , então se estivermos buscando por um valor x próximo de x 1 , isto é x = x 1 + Δx ,
então podemos utilizar (ε) a aproximação linear local para determina-lo, visto que temos x 1 e a
aproximação Δx .

4.7 Taxa de variação
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Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma função y = f(x) , quando a
variável independente varia de x à x + ∆x , existe uma correspondente variação de y dada por
∆y = f (x + ∆x) – f (x) . ∆y que definimos em 1.1 e por equivalência chegou a esta última forma.
Com isto definimos genericamente:
I - Taxa de variação média:
Δy
` a ` a
f f x + Δx @ f x f
=
Δx Δx
* Interpretação informal:
Δy
Δx
f = variação de y
variação de x
f y final@ yinicialf =
x final@ xinicial Isto é, com esse quociente podemos definir a média da variação de alguma coisa em relação à outra
variação, independente do que seja. Veja a interpretação mecânica.
II - Taxa de variação instantânea ou simplesmente Taxa de Variação, que é a própria derivada:
f. x
` a = lim
ΔxQ 0
Δyf
= lim
Δx ΔxQ 0
` a ` a
f x + Δx @ f x
Δx
4.7.1 Interpretação mecânica e nomes especiais
f
I - Velocidade média: Podemos definir com um exemplo prático. Se a distância de um ponto A até
outro B é 80Km , e uma partícula viajou de A para B , em uma hora, então sua velocidade média é
80Km/h (lê-se quilômetros por hora), mesmo que durante o percurso ela tenha acelerado ou freado.
II - Velocidade instantânea: Esta pode ser vista no painel de um automóvel em movimento, que
significa é a taxa de variação do espaço em relação ao tempo (este medido num intervalo muito curto, por
isso emprega-se o limite da função para ∆x tendendo a zero, ∆x é a variação do tempo.
III - Aceleração: é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo.
IV - Densidade Linear: Em fios elétricos, por exemplo, é a taxa de variação da massa em relação ao
comprimento do fio.
V - Vazão: Em uma torneira, por exemplo, é a taxa de variação do volume de água despejado em relação
ao tempo.
A aplicação se estende em diversas áreas.

5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E LEITURA COMPLEMENTAR
(1) Diva Marilia Flemming - Cálculo A (5ª edição) ;
(2) Paulo Boulos - Cálculo diferencial e integral Vol.1 ;
(3) Louis Leithold – O cálculo com geometria analítica Vol.1 ;
(4) W.A. Granville – Elementos de Cálculo Diferencial e Integral ;
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(5) Apostila de Cálculo Diferencial e Integral 2010/1 – Departamento de Matemática (UDESC – CCT)