2/1/2013 – CDI-I: Tabela geral de Derivadas

4.4.2 Derivada, re-definição
GUIDG.COM 16
Em 1.1 fizemos uma observação que a derivada seria redefinida quando chegássemos em diferenciais, e
agora estamos aptos para esta re-definição (que não tem tantas mudanças, apenas na interpretação):
dyf
Δyf
= lim = lim
dx ΔxQ 0 Δx ΔxQ 0
b c
f x1 + Δx @ f x1 Δx
` a
f
Portanto a derivada é o limite do quociente ∆y / ∆x , quando ∆x tende a zero.
4.5 Diferenciação sucessiva (diferencial de ordem superior)
Com base em 4.4 – II , seja y = f x
` a temos que dy = f. x
` a A dx , então se a diferencial da função y for
diferenciável, temos d 2 y = f. x
` a A dx 2 e esta se chamará a diferencial segunda, se novamente for
diferenciável teremos a diferencial terceira dada por d 3 y = f/ x
` a A dx 3 , e assim sucessivamente.
A diferencial n-ésima de y é dada por: d n y = f n
` a`
a n
xA
dx .
Veja que isso esta baseado na manipulação algébrica da derivada de ordem superior, isto é, para a função
y = f x
` a , seja # a ordem da operação, temos:
# As derivadas sucessivas: As diferenciais sucessivas:
1
dyf
` a
= f. x
dx
dy = f. x
` a A dx
2
d 2 y
3
dx 2
d 3 y
dx 3
f ` a 2 ` a 2
= f. x
d y = f. xA
dx
f ` a 3 ` a 3
= f/ x
d y = f/ xA
dx
... ... ...
n
d n y
dx n
` a
f n`
a
= f x
n n
d y = f
` a`
a n
A dx
x