2/1/2013 – CDI-I: Tabela geral de Derivadas

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Resumindo ainda mais (se fazendo valer i , ii e iii ), dizemos que: A derivada da inversa é igual ao inverso da derivada. GUIDG.COM 8 *Este teorema é importante para a definição das derivadas de funções trigonométricas inversas, por isso deve ser compreendido. ** Este teorema foi resumido, no caso de obscuridade procure a demonstração em um dos livros citados em referências bibliográficas e leitura complementar.
3 REGRAS DE DERIVAÇÃO GUIDG.COM 9 Agora já podemos seguir para as regras de derivação, e serão enunciadas a baixo, onde o sinal numérico # indica a ordem na tabela geral de derivadas elementares que pode ser vista na primeira página. As regras de derivação existem com o único objetivo de tornar o método de diferenciação mais eficiente, visto que o uso da definição é extenso e desnecessário para os próximos casos. 3.1 Derivada da função composta (regra da cadeia) Se y = f u ` a e u = g x ` a b ` ac são funções deriváveis, e f g x = fN g x ` a está definida, então a derivada de fN g x ` a é dada por: b c fN g. x ` a b ` ac = f. g x ` a A g. x Aplicando a notação definida em 1.3 temos: dy dx f = dy du fduf A dx Exemplo: Derive a função y = ln x 2 b c + 1 : Solução: Para este exemplo precisamos conhecer primeiramente a derivada da função logaritmo natural. Fazendo u = x 2 + 1 , temos y = ln u ` a , então: y. = dy du f = 1 u Aplicando a regra dy dx dy dx f = 1 u f duf , u. = = 2x dx f A 2x = 2x u f = dy du fduf A temos: dx f 2 dyf 2x , como u = x + 1 , então = dx x 2 f A + 1 * Não precisamos dar nomes as funções como fizemos, a importância da regra é quanto a cadeia, ou seja, quando tratamos de funções compostas: a derivação começa com a aplicação das regras externamente em direção as funções internas, e por isso o nome. A demonstração foi omitida. 3.2 Derivada de uma constante A derivada da função constante é zero por que a reta tangente à curva é paralela ao eixo x , logo não existe inclinação, e se a derivada é a inclinação, então não existe a derivada. 3.3 Derivada de funções polinomiais de primeiro grau A derivada de uma variável independente qualquer com expoente um, é um. Exemplo: Se x , y , z são variáveis independentes então suas derivadas são um, respectivamente. A prova desta regra é obtida derivando-se pela definição a função f (x) = x .
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