5/10/2012 – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares.

1.30.4 Determinante da matriz inversa
Se a matriz A é inversível, seu determinante é diferente de zero e vale a seguinte relação:
[2.4.8.2 Teorema de Binet]
det A @ 1 = 1 f
^ det A ≠ 0
det A
GUIDG.COM 26
1.30.5 Matriz não-singular
É a matriz cujo determinante difere de zero, ou seja, matrizes inversíveis são também chamadas de
matrizes não-singulares.
1.30.6 Matriz singular
É a matriz cujo determinante é zero. A matriz singular não admite inversa (é não inversível).
1.30.7 Unicidade da matriz inversa
Se a matriz A for inversível ( detA ≠ 0 ) então a inversa A @ 1 é única.
Demonstração: Consideremos a existência de duas matrizes inversas de A , sendo A 1 e A 2 , então:
Prova 1:
A A 1 = I e A A 2 = I
A A1 = A A2 A A1@ A A2 = 0
b c
A A1@ A2 = 0
Considerando a existência da inversa, então esta não pode ser nula, isto é, A ≠ 0 , logo só nos resta que
A 1 @ A 2 = 0 e assim A 1 = A 2 . Isto garante que se existe a matriz inversa de A , então ela é única.
Prova 2: Como A 1 é uma inversa de A , temos que:
A 1 A = I
Multiplicando ambos os lados pela direita por A 2 :
A1 A
b c
A2 = IA2 = A2 b c b c
A1 A A2 = A1 AA2 = A1 I = A1 Logo A 1 = A 2 e assim, se existe a inversa de A , ela é única.