5/10/2012 – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares.

GUIDG.COM 30
1.30.12 Fórmula da inversa da matriz de ordem três (cálculo do elemento da inversa)
Uma fórmula mais complexa pode ser deduzida para a inversa de matrizes de ordem três, veremos que
através dessa fórmula podemos chegar ao cálculo do elemento da matriz inversa.
H I
a b c
L M b c
Seja A uma matriz inversível, isto é A = L
Jd
e fM
K e det A = aei + bfg + dhc@ ceg + fha + dbi ≠ 0
g h i
A fórmula para a inversa de A pode ser obtida analogamente como fizemos para a inversa da matriz de
ordem dois, mas desta vez omitimos o passo a passo para não estender demais este assunto.
A @ 1 = 1
det A
H I
ei@hf hc@bi bf@ ec
f
L M
L gf@ di ai@gc dc@ afM
J K
{ dh@ ge gb@ ~ ah } ae@db~y
B é matriz adjunta de A
A partir da dedução chega-se aos próximos resultados, na matriz B note que os elementos:
b11 = ei – hf é o determinante da submatriz..................... A 11
b12 = hc – bi é o oposto do determinante da submatriz... A 21
b13 = bf – ec é o determinante da submatriz.................... A 31
b21 = gf – di é o oposto do determinante da submatriz.... A 12
b22 = ai – gc é o determinante da submatriz.................... A 22
b23 = dc – af é o oposto do determinante da submatriz.... A 32
b31 = dh – ge é o determinante da submatriz.................... A 13
b32 = gb – ah é o oposto do determinante da submatriz... A 23
b33 = ae – db é o determinante da submatriz.................... A 33
O oposto do determinante é o determinante com sinal trocado, isto é, calcule o determinante e o resultado
obtido fica multiplicado por (–1) . Daí que obtemos o seguinte esquema de troca de sinais:
H
L
J
I
a11 a12 a13 a21 a22 a M
23K=
a31 a32 a33 H
L
J
+ @ +
@ + @
+ @ +
Para não memorizar o diagrama, veja que o sinal de cada elemento pode ser obtido com a seguinte regra:
` ai + j
aij =@ 1
` a1 + 1 ` a1 + 2 ` a1 + 3
assim a11 =@ 1 = 1 , a12 =@ 1 =@1 , a13 =@ 1 = 1 , …
Além disso, note que cada elemento bij é inicialmente o determinante da submatriz Aji , então podemos
finalizar a nossa análise com uma regra para o cálculo de cada elemento da matriz inversa:
b c
Sendo a matriz A = a ij
n
b c
e B = b ij
bij = 1 ` ai + j f@ 1
det A
n
I
M
K
a matriz inversa, então os elementos da matriz B são dados por:
d b ce
det sub A ji
{ ~ } ~y
b c
cof a ji
= 1
det A
b c
f
A cof a ji