5/10/2012 – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares.

Vamos ver como fica quando inserimos números.
D E
Se A =
2 5
, escreva A como a soma S + N .
1 3
S = S T [ S = s11 s F G
12
s12 s22 e N =@ N T [ N =
Temos a equação matricial A = S + N para resolver:
D E
2 5
1 3
F G
+ J
= s 11 s 12
s 12 s 22
H
De onde vem o sistema:
X
^\
^Z
s11 = 2
s12 + n12 = 5
s 12 @ n 12 = 1
s 22 = 0
I
H
0 n12K= @ n12 0
s11 + 0 s12 + n J
12
s12@ n12 s22 + 0
I
K
H
J
I
0 n12K ,
@ n12 0
GUIDG.COM 22
Somando a segunda equação com a terceira obtemos 2s12 = 6 e portanto s12 = 3 , decorre então
que n12 = 2 . Assim obtemos os valores de S e de N .
S =
D E
2 3
3 0
e N =
D
0
E
2
@ 2 0
Portanto A = S + N , sendo S simétrica e N anti-simétrica, como queríamos demonstrar. E ainda, o
resultado pode ser expandido para matrizes quadradas de ordem n , entretanto o sistema à ser resolvido
terá n variáveis imediatas (da matriz simétrica, conseqüência da diagonal principal da matriz antisimétrica
ser nula) mais n variáveis a serem calculadas (da matriz simétrica) e n variáveis decorrentes
(da matriz anti-simétrica), lembrando que nenhuma entrada dessas duas matrizes são aleatórias, são todos
números bem definidos, pois o sistema é definido (SPD).