5/10/2012 – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares.

Prova de 1 (Exemplo 18) :
.
Prova de 5 (Exemplo 19) :
A + B = B + A
A + B = A mBn + B mBn = a ij
kA A + B
B C
= a ij + b ij
mBn
B C B C
+ bij mBn mBn
B C B C
= b ij + a ij
= B mBn + A mBn = B + A
mBn
= b ij
mBn
B C
+ aij mBn
GUIDG.COM 20
d
` a B C B C e B C B C
= k aij + bij = k aij + bij = kAa ij + kAb ij
mBn mBn
mBn
mBn
B C B C
= kAa ij
mBn
+ kAb ij
mBn
= kA A + kA B
Prova de 10 (Exemplo 20) : Sejam B e C matrizes de ordem n×p e A de ordem m×n . Então existem
os produtos AB e AC , pois A mBnAB nBp = D mBp e A mBnAC nBp = E mB p
@ A
Logo existe a matriz resultante da soma D + E = AB + AC .
mBp
B C B C B C
Agora considere A = aij , B = bij e C = cij , queremos mostrar que as entradas da matriz A(B + C)
são iguais as entradas de AB + AC . Pelas definições das operações com matrizes temos que
B ` aC
8 i e j , A B + C
ij
b c b c
= ai1 b1j + c1j + ai2 b2j + c2j b c
= ai1 b1j + ai2 b2j + …+ aim bmj @ A @ A @ A
= AB + AC = AB + AC
ij
ij
ij
b c
+ …+ aim bmj + cmj b c
+ ai1 c1j + ai2 c2j + …+ aim cmj E ainda podemos expandir para uma soma ou produto de mais termos, pois as leis da associatividade (2)
e (12) garantem que o resultado final é sempre o mesmo.
Justificativa de 21 (Exemplo 21) : Vamos justificar a propriedade 21 através da ordem das matrizes.
` aT
Suponha que queremos transpor o seguinte produto de matrizes: AB , isto é, AB
produto AB exista temos:
` aT
b cT
AB = AmBn BnBq
, mas para que o
(O nº de colunas de A deve ser igual ao nº de linhas de B )
b cT b cT
Sabendo que AmBn = AnBm e BnBq = BqBn , se transpormos diretamente as matrizes já haveria o
problema da ordem, veja:
z essa igualdade ~ | é falsa ~x
` aT
AB
= A nBm B qBn
( m ≠ q , logo o produto não pode existir )