31/12/2012 – CDI: Resumo de limites.

...
Com isso temos que lim 1 +
xQ1 1
f g
f
x
x
= e .
9) lim
xQ 0
10) lim
xQ 0
lim
xQ 0
ax@ 1f
= ln a
x
` aa
1 + x
` aa
1 + x
x
x
@ 1f
= a
` aa
@ 1f
1 + 0
=
0
@ 1f
1
= a @ 1f
0
=
0 0
f
GUIDG.COM 10
Indeterminação do tipo 0/0 , logo podemos aplicar a regra de L’Hospital para resolver, contudo a regra
não deve ser utilizada se o estudante ainda não entrou no estudo da Derivada e Diferencial.
a) Para aqueles que já conhecem a regra:
lim
xQ 0
` aa
1 + x
x
@ 1f
0
=
0
f
Definindo o numerador como f e o denominador como g , diferenciando em relação à x ,
independentemente o quociente temos:
L = lim
xQ 0
= aA 1
f
g
` aa@ 1
f f. f a 1 + x
= lim = lim
xQ 0 g. xQ 0
` aa@ 1
= aA1 a A1 @ 1 = a
b) Demonstração por propriedades:
` a
I – Multiplicando e dividindo por ln 1 + x ;
II – Alternando a ordem dos fatores;
lim
xQ 0
` aa
1 + x
x
@ 1f
A
z~ I |~x
` a
ln 1 + x f
` a
ln 1 + x
= lim
xQ 0
` a
A 0 + 1 @ 0
1
f ` aa@ 1
= lim a 1 + x
xQ 0
z ~ II | ~x
` a ` aa
ln 1 + x f 1 + x @ 1f
A ` a
x ln 1 + x
III – Propriedade de logaritmos, a fração 1/x sobe como expoente de (1 + x) ;
IV – Propriedade de limites, o limite de um produto é o produto dos limites;
lim ` a
xQ 0 ln 1 + x
1
z~ III |~x`
aa
1 + x @ 1 fA
` a
x ln 1 + x
z ~ IV | ~x
f = lim
xQ 0 ln 1 + x
` a 1
` aa
f 1 + x
xA
lim
xQ 0
@ 1f
` a
ln 1 + x
V – Propriedade de limites, o limite de um logaritmo é o logaritmo do limite;
VI – Limite fundamental 7 ;
VII – Equivalência fundamental de logaritmos, ln e = log e e^e x = e , x = 1 ;
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