31/12/2012 â CDI: Resumo de limites.
Antiga tabela básica de limites agora atualizada para um resumo dos conceitos notáveis e regras gerais (listagem dos teoremas de limites) necessários no estudo de limites, uma peça fundamental e complicada no curso de Cálculo Diferencial e Integral.
Antiga tabela básica de limites agora atualizada para um resumo dos conceitos notáveis e regras gerais (listagem dos teoremas de limites) necessários no estudo de limites, uma peça fundamental e complicada no curso de Cálculo Diferencial e Integral.
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<strong>31</strong>/<strong>12</strong>/20<strong>12</strong> – <strong>CDI</strong>: <strong>Resumo</strong> <strong>de</strong> <strong>limites</strong>.<br />
Tags: <strong>Resumo</strong>, manual, guia, informal tabelado para <strong>de</strong>finições, Limites notáveis, proprieda<strong>de</strong>s e regras gerais, com <strong>de</strong>monstrações.<br />
GUIDG.COM 1<br />
I – Esse estudo requer um entendimento <strong>de</strong> vários conceitos <strong>de</strong> matemática. Trata-se <strong>de</strong> um guia <strong>de</strong> proprieda<strong>de</strong>s<br />
com <strong>de</strong>monstrações, não serve como material didático completo.<br />
II – Se houver dúvidas quanto aos significados dos símbolos consulte “Notação Matemática” no arquivo do site.<br />
1 INTRODUÇÃO...................................................................................................................................................................2<br />
1.1 Limites laterais ............................................................................................................................................................2<br />
1.2 Teorema da Unicida<strong>de</strong> ................................................................................................................................................3<br />
2 LIMITES, DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................................3<br />
2.1 Limites no infinito.......................................................................................................................................................3<br />
2.2 Limites infinitos ..........................................................................................................................................................4<br />
2.3 Limites infinitos no infinito.........................................................................................................................................4<br />
2.4 Limites no infinito, Teorema auxiliar I .......................................................................................................................4<br />
2.5 Limites infinitos, Teorema auxiliar II .........................................................................................................................5<br />
2.6 Limites no infinito, notações.......................................................................................................................................5<br />
2.7 In<strong>de</strong>terminações, introdução .......................................................................................................................................5<br />
2.8 In<strong>de</strong>terminações e proprieda<strong>de</strong>s dos <strong>limites</strong> infinitos: ................................................................................................6<br />
2.9 Proprieda<strong>de</strong>s imediatas................................................................................................................................................6<br />
2.10 Proprieda<strong>de</strong>s dos Limites ............................................................................................................................................7<br />
3 LIMITES NOTÁVEIS (FUNDAMENTAIS) ...................................................................................................................8<br />
4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E LEITURA COMPLEMENTAR .................................................................<strong>12</strong>
1 INTRODUÇÃO<br />
GUIDG.COM 2<br />
Não está em nosso objetivo introduzir os conceitos iniciais <strong>de</strong> <strong>limites</strong>, a nossa introdução se refere as<br />
notações matemáticas. Para iniciarmos está revisão <strong>de</strong> conteúdo será importante relembrarmos como se<br />
faz a correta leitura dos símbolos abaixo:<br />
f (x) , lê-se “f <strong>de</strong> x” e significa “função <strong>de</strong> x”.<br />
xQ a , lê-se “x ten<strong>de</strong> à a”.<br />
lim<br />
xQ a<br />
f x<br />
` a = b , lê-se: O limite <strong>de</strong> f (x) quando x ten<strong>de</strong> à a é igual a b .<br />
1.1 Limites laterais<br />
ou: O limite <strong>de</strong> f (x) é b quando x ten<strong>de</strong> à a .<br />
xQ a + , lê-se “x ten<strong>de</strong> à a pela direita”.<br />
xQ a @ , lê-se “x ten<strong>de</strong> à a pela esquerda”.<br />
a) lim<br />
xQ a +<br />
f x<br />
` a = L<br />
Dizemos que o limite <strong>de</strong> uma função quando x ten<strong>de</strong> à a pela direita (na reta real, dos valores maiores<br />
para os menores), é L . Então L é o limite á direita.<br />
b) lim f x @ xQ a ` a = L<br />
Dizemos que o limite <strong>de</strong> uma função quando x ten<strong>de</strong> à a pela esquerda (na reta real, dos valores<br />
menores para os maiores), é L . Então L é o limite á esquerda.<br />
c) Teorema do limite bilateral:<br />
Se f(x) é <strong>de</strong>finida em um intervalo aberto contendo a , exceto possivelmente no ponto a , então:<br />
lim f x<br />
xQ a ` a = L^ lim<br />
xQ a +<br />
f x<br />
` a = lim f x @ xQ a ` a = L<br />
Ou seja, o limite bilateral existe se, e somente se os <strong>limites</strong> laterais existirem e forem iguais.
1.2 Teorema da Unicida<strong>de</strong><br />
Se lim f x<br />
xQ a ` a = b1 e lim f x<br />
xQ a ` a = b2 então b1 = b2 .<br />
2 LIMITES, DEFINIÇÃO<br />
GUIDG.COM 3<br />
Seja f(x) <strong>de</strong>finida num intervalo aberto I , contendo a , exceto possivelmente no próprio a . Dizemos<br />
que o limite <strong>de</strong> f(x) quando x aproxima-se <strong>de</strong> a é L , e escrevemos que:<br />
lim f x<br />
xQ a ` a L<br />
= L se 8 ε > 0 ,9 δ > 0 | L f x<br />
L<br />
` a M<br />
@ L<br />
M < ε sempre queL x@ aM<br />
< δ .<br />
Lê-se: O limite <strong>de</strong> f(x) quando x ten<strong>de</strong> à a é igual a L se para todo épsilon maior que zero, existe um<br />
<strong>de</strong>lta maior que zero tal que o módulo <strong>de</strong> f(x) – L é menor que épsilon sempre que o módulo <strong>de</strong> x – a<br />
for menor que <strong>de</strong>lta.<br />
Amplamente isto significa que através do estabelecimento <strong>de</strong> uma relação entre as <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s<br />
propostas, po<strong>de</strong>-se obter uma prova matemática para a existência do limite.<br />
Para que se entenda a <strong>de</strong>finição é necessário enten<strong>de</strong>r o significado geométrico.<br />
Uma explicação para os símbolos é vista em “Notação Matemática” no arquivo do site.<br />
2.1 Limites no infinito<br />
` a<br />
a) Seja f(x) uma função <strong>de</strong>finida em um intervalo aberto a, +1 . Escrevemos:<br />
lim f x<br />
xQ +1 ` a L<br />
= L se8ε > 0 ,9 A > 0 | Lf<br />
x<br />
L<br />
` a M<br />
@ L<br />
L<br />
M < ε sempre que x > A .<br />
b c<br />
b) Seja f(x) uma função <strong>de</strong>finida em um intervalo aberto @1 , b . Escrevemos:<br />
lim f x<br />
xQ@1 ` a L<br />
= L se8ε > 0 ,9 B < 0 | Lf<br />
x<br />
L<br />
` a M<br />
@ L<br />
M < ε sempre que x < B .<br />
Ou seja, os <strong>limites</strong> existem se satisfazerem cada um à sua condição dada.<br />
Obs.: Veja a seção 2.4 , irá ajudar muito no cálculo <strong>de</strong> <strong>limites</strong> no infinito.<br />
M
2.2 Limites infinitos<br />
GUIDG.COM 4<br />
a) Seja f(x) uma função <strong>de</strong>finida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em x = a.<br />
Dizemos que:<br />
lim f x<br />
xQ a ` a = +1 se8M > 0 ,9 δ> 0 | f x<br />
` a L M<br />
> M sempre queL x@ a<br />
M< δ .<br />
b) Seja f(x) uma função <strong>de</strong>finida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em x = a.<br />
Dizemos que:<br />
lim f x<br />
xQ a ` a =@1 se8N < 0 ,9 δ> 0 | f x<br />
2.3 Limites infinitos no infinito<br />
` a L M<br />
< N sempre queL x@ a<br />
M< δ .<br />
Havendo uma boa interpretação <strong>de</strong> <strong>limites</strong> no infinito e <strong>limites</strong> infinitos, as <strong>de</strong>mais <strong>de</strong>finições po<strong>de</strong>m ser<br />
facilmente <strong>de</strong>duzidas:<br />
a) lim f x<br />
xQ +1 ` a = +1 se8M > 0 ,9 N > 0 | f x<br />
` a > M sempre que x > N .<br />
Ou seja, o limite <strong>de</strong> uma função vai positivamente para o infinito, se para todo M maior que zero (no<br />
eixo das or<strong>de</strong>nadas) existir um N maior que zero (no eixo das abscissas), por maior que M seja sempre<br />
teremos uma f(x) > M sempre que x > N .<br />
Da mesma forma se <strong>de</strong>duz os próximos três casos:<br />
b) lim f x<br />
xQ +1 ` a =@1 se8M < 0 ,9 N > 0 | f x<br />
` a < M sempre que x > N .<br />
c) lim f x<br />
xQ@1 ` a = +1 se8M > 0 ,9 N < 0 | f x<br />
` a > M sempre que x < N .<br />
d) lim f x<br />
xQ@1 ` a =@1 se8M < 0 ,9 N < 0 | f x<br />
` a < M sempre que x < N .<br />
2.4 Limites no infinito, Teorema auxiliar I<br />
O próximo teorema irá ajudar no cálculo <strong>de</strong> <strong>limites</strong> no infinito.<br />
a) lim<br />
xQ +1<br />
b) lim<br />
xQ@1<br />
1<br />
x n<br />
f<br />
= 0<br />
1<br />
x n<br />
f<br />
= 0<br />
+<br />
Sendo n2ZC .<br />
“Sendo n pertencente ao conjunto dos números inteiros positivos exceto por n igual à zero.
2.5 Limites infinitos, Teorema auxiliar II<br />
O próximo teorema irá ajudar no cálculo <strong>de</strong> <strong>limites</strong> infinitos.<br />
a) lim<br />
xQ 0 +<br />
b) lim<br />
xQ 0 @<br />
1<br />
x n<br />
f<br />
= +1<br />
1<br />
x n<br />
V<br />
f +1, se n é par<br />
=<br />
@1 , se n é impar<br />
2.6 Limites no infinito, notações<br />
Quando apresentarmos a notação<br />
lim<br />
xQ1<br />
` a<br />
f x<br />
GUIDG.COM 5<br />
Isto é, o limite <strong>de</strong> uma função quando x ten<strong>de</strong> ao infinito, estamos procurando pelo limite da função<br />
quando xQ +1 e xQ@1 , ou seja, são dois <strong>limites</strong>:<br />
lim<br />
xQ +1<br />
f x<br />
` a e lim<br />
xQ@1<br />
` a<br />
f x<br />
2.7 In<strong>de</strong>terminações, introdução<br />
Quando chegamos à alguma das sete formas abaixo, dizemos que chegamos a uma in<strong>de</strong>terminação.<br />
0f<br />
1<br />
,<br />
0 1<br />
f ,1@1 , 0A1 ,0 0 ,1 0 ,1 1<br />
Isto significa que nada se po<strong>de</strong> dizer sobre o limite sem um estudo mais profundo <strong>de</strong> cada caso, que por<br />
sua vez é feito com o auxilio da equivalência entre funções.<br />
Convém ainda lembrar que @1 e +1 não são números, são conceitos.<br />
Dizer que xQ@1 ou xQ +1 indica o comportamento da variável x . Assim x nunca chega à<br />
um limite numérico, por isso diz-se que ten<strong>de</strong> ao infinito. Diferente <strong>de</strong> quando dizemos por exemplo, que<br />
xQF 10 , aqui o limite <strong>de</strong> x existe, mesmo que f(x) não esteja <strong>de</strong>finida neste ponto.
2.8 In<strong>de</strong>terminações e proprieda<strong>de</strong>s dos <strong>limites</strong> infinitos:<br />
A tabela a seguir resume os casos principais para os <strong>limites</strong> infinitos, on<strong>de</strong> se po<strong>de</strong> ter:<br />
xQ a , xQ a + , xQ a @ , xQ +1 ou xQ@1 .<br />
GUIDG.COM 6<br />
0 + indica que o limite é zero quando x ten<strong>de</strong> à zero pela direita (por valores positivos), e 0 @ indica que<br />
o limite é zero quando x ten<strong>de</strong> a zero pela esquerda (por valores negativos).<br />
* Para os quatro primeiros casos citados em 2.7 .<br />
lim f x<br />
` a lim g x<br />
` a h(x)= lim h x<br />
` a simbolicamente<br />
01 F1 F1 f(x) + g(x) F1 F1 F1 = F1<br />
02 * +1 +1 f(x) – g(x) ? ( +1) – (+1) é in<strong>de</strong>terminação<br />
03 +1 k f(x) + g(x) +1 +1 + k = +1<br />
04 @1 k f(x) + g(x) @1 @1 + k = @1<br />
05 +1 +1 f(x) . g(x) +1 ( +1) . (+1) = +1<br />
06 +1 @1 f(x) . g(x) @1 ( +1) . (@1) = @1<br />
07 +1 k > 0 f(x) . g(x) +1 +1 . k = +1<br />
08 +1 k < 0 f(x) . g(x) @1 +1 . k = @1<br />
09 * F1 0 f(x) . g(x) ? F1 . 0 é in<strong>de</strong>terminação<br />
10 k F1 f(x) / g(x) 0 k /F1 = 0<br />
11 * F1 F1 f(x) / g(x) ? F1 / F1 é in<strong>de</strong>terminação<br />
<strong>12</strong> k > 0 0 + f(x) / g(x) +1 k / 0 + = +1<br />
13 +1 0 + f(x) / g(x) +1 +1 / 0 + = +1<br />
14 k > 0 0 @ f(x) / g(x) @1 k / 0 @ = @1<br />
15 +1 0 @ f(x) / g(x) @1 +1 / 0 @ =@1<br />
16 * 0 0 f(x) / g(x) ? 0 / 0 é in<strong>de</strong>terminação<br />
2.9 Proprieda<strong>de</strong>s imediatas<br />
a) Se a , m e n são números reais, então:<br />
lim<br />
xQ a<br />
` a<br />
mx + n = ma + n<br />
Decorrências imediatas: Se c é um número real qualquer, então:<br />
b) lim<br />
xQ a c = c<br />
c) lim<br />
xQ a x = a
2.10 Proprieda<strong>de</strong>s dos Limites<br />
Vejamos as principais proprieda<strong>de</strong>s usadas na manipulação algébrica e no cálculo <strong>de</strong> <strong>limites</strong>.<br />
Os 10 primeiros são mais <strong>de</strong>dutíveis enquanto os 4 restantes em mais <strong>de</strong>staque.<br />
Sejam as funções f(x) e g(x) , para as quais existem os <strong>limites</strong> lim f x<br />
xQ a ` a e lim g x<br />
xQ a ` a , então:<br />
01 - lim<br />
xQ a<br />
f x<br />
` a B ` aC<br />
F g x = lim f x<br />
xQ a ` a ` a<br />
F lim g x<br />
xQ a<br />
B C<br />
` a<br />
02 - lim kA f x<br />
xQ a<br />
03 - lim<br />
xQ a<br />
` a<br />
= kA lim f x<br />
xQ a<br />
f x<br />
` a B ` aC<br />
A g x = lim f x<br />
xQ a ` a ` a<br />
A lim g x<br />
xQ a<br />
H ` aI<br />
f x<br />
04 - limJ<br />
f<br />
` aK=<br />
xQ a g x<br />
lim<br />
` a<br />
f x<br />
xQ a f<br />
` a , se lim g x<br />
g x xQ a ` a ≠ 0<br />
B ` aCn<br />
05 - lim f x<br />
xQ a<br />
06 - lim<br />
xQ a<br />
` a<br />
07 - lim ln f x<br />
xQ a<br />
lim<br />
xQ a<br />
B Cn<br />
` a<br />
= lim<br />
xQ a f x<br />
nq<br />
` a<br />
f x<br />
w ` w<br />
= nq<br />
a<br />
lim f x<br />
xQ a<br />
B C<br />
B C<br />
` a<br />
08 - lim sin f x<br />
xQ a<br />
B C<br />
` a<br />
09 - lim cos f x<br />
xQ a<br />
` a<br />
f x<br />
10 - lim e<br />
xQ a<br />
B ` aC<br />
= ln lim<br />
xQ a f x<br />
= e lim<br />
xQ a<br />
B ` aC<br />
= sin lim<br />
xQ a f x<br />
= cos lim<br />
xQ a f x<br />
b ` ac<br />
f x<br />
, com n2N<br />
B ` aC<br />
, se lim f x<br />
xQ a ` a > 0<br />
11 - Se f x<br />
` a > 0 , e o lim f x<br />
xQ a ` a = b , então b > 0<br />
Ou seja, se a função assume valores positivos, então o limite será positivo.<br />
<strong>12</strong> - Proprieda<strong>de</strong> do Confronto: Se f(x) e g(x) são funções tais que: lim f x<br />
xQ a ` a = lim g x<br />
xQ a ` a = b<br />
E se h(x) é uma função tal que: f x<br />
` a ≤ h x<br />
` a ≤ g x<br />
` a , então lim h x<br />
xQ a ` a = b .<br />
Esta proprieda<strong>de</strong> é <strong>de</strong>monstrada como prova do primeiro limite fundamental (3-1).<br />
GUIDG.COM 7
13 - Proprieda<strong>de</strong> para funções polinomiais: Seja f x<br />
` a = a0 x n + a1 x n@ 1 + …+ an então:<br />
X<br />
\<br />
a) lim f x<br />
xQ +1 ` a = +1, se a0 > 0<br />
Z@1<br />
, se a0 < 0<br />
b) lim f x<br />
xQ@1 ` a = +1, se a X<br />
\<br />
0 > 0 e n par<br />
Za0<br />
< 0 e n ímpar<br />
c) lim f x<br />
xQ@1<br />
` a =@1 , se a 0<br />
X<br />
\ > 0 e n ímpar<br />
Za0<br />
< 0 e n par<br />
GUIDG.COM 8<br />
14 – Limites no infinito do quociente <strong>de</strong> funções polinomiais: Se P x<br />
` a = a0 x n + a1 x n@ 1 + …+ an<br />
e Q x<br />
` a = b0 x m + b1 x m@ 1 + …+ bm , então:<br />
` a<br />
P x f<br />
lim ` a = lim<br />
xQ1 Q x<br />
xQ1<br />
a0 x n<br />
b0 x m<br />
f<br />
3 LIMITES NOTÁVEIS (FUNDAMENTAIS)<br />
As próximas proposições são conhecidas como <strong>limites</strong> fundamentais, ou notáveis. Estas proposições irão<br />
nos auxiliar no cálculo <strong>de</strong> <strong>limites</strong> quando estivermos diante <strong>de</strong> casos particulares tais como<br />
0f<br />
1 0 , 1 e 1<br />
0<br />
.<br />
Também é interessante lembrar que os itens 1, 8 e 9 são as proposições que caracterizam os <strong>limites</strong><br />
fundamentais.<br />
1) lim<br />
xQ 0<br />
2) lim<br />
xQ 0<br />
3) lim<br />
xQ 0<br />
sinxf<br />
= 1<br />
x<br />
x f<br />
= 1<br />
sinx<br />
` a<br />
sin axf<br />
= a<br />
x<br />
` a<br />
sin axf<br />
af<br />
4) lim ` a =<br />
xQ 0 sin bx b<br />
5) lim<br />
xQ 0<br />
6) lim<br />
xQ 0<br />
1@ cos xf<br />
= 0<br />
x<br />
tan xf<br />
= 1<br />
x<br />
` a 1<br />
7) lim<br />
xQ 0 1 + x<br />
x<br />
f<br />
= e
f g<br />
1f<br />
8) lim 1 +<br />
xQF1 x<br />
x<br />
= e<br />
GUIDG.COM 9<br />
O interessante neste limite é o surgimento da in<strong>de</strong>terminação 1 1 . Torna-se então evi<strong>de</strong>nte a dificulda<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong> provar que 1 1 = 1 , como vemos a função nos leva a acreditar que o resultado seria 1 (uma vez que a<br />
parte fracionária da função torna-se nula), entretanto po<strong>de</strong>mos provar que seu resultado é o número<br />
irracional e = 2,7182... indo assim contra o senso comum. A prova matemática não viola nenhum dos<br />
axiomas e teoremas matemáticos, isto é, chega-se a este resultado por uma forma transitiva (usando<br />
artifícios matemáticos) já que não po<strong>de</strong>mos prová-la diretamente.<br />
lim<br />
xQF1<br />
f g<br />
1f<br />
1 +<br />
x<br />
x<br />
` a1<br />
= 1 + 0 =1 1 (conclusão imediata, resultado in<strong>de</strong>terminação)<br />
Em 2.8 vimos que 1 1 é uma in<strong>de</strong>terminação.<br />
A prova formal <strong>de</strong>ste teorema envolve noções <strong>de</strong> séries, por este motivo será omitida.<br />
Com isso só nos resta provar este limite usando a Regra <strong>de</strong> L’Hospital.<br />
Demonstração <strong>de</strong> 8 por L’Hospital:<br />
Queremos provar que lim 1 +<br />
xQ1 1<br />
f g<br />
f<br />
x<br />
x<br />
= e , usando proprieda<strong>de</strong>s e a regra <strong>de</strong> L’Hospital:<br />
lim<br />
xQ1<br />
e<br />
...<br />
f g<br />
1f<br />
1 +<br />
x<br />
x<br />
xA ln 1 +<br />
lim<br />
xQ1<br />
1<br />
H d eI<br />
f<br />
L<br />
x M<br />
L fM<br />
L M<br />
L x f M<br />
J 1 K<br />
f<br />
x<br />
= lim<br />
xQ1 e<br />
= e lim<br />
xQ1<br />
H I<br />
f gx<br />
1f<br />
lnJ 1 +<br />
x<br />
ln 1 + 1<br />
H d eI<br />
f<br />
L M<br />
L x f<br />
M<br />
J K<br />
@ 1 x<br />
^\<br />
Definindo as funções no limite<br />
Então pela regra <strong>de</strong> L’Hospital:<br />
ln 1 +<br />
lim<br />
xQ1<br />
e 1<br />
H d eI<br />
f<br />
L M<br />
L x f<br />
M<br />
J K<br />
@ 1 x<br />
e lim<br />
d e<br />
x f<br />
xQ1 x + 1<br />
h<br />
j<br />
= e lim<br />
xQ1<br />
` ai<br />
f. x f<br />
` ak<br />
g. x<br />
= e<br />
K<br />
= lim<br />
xQ1 e<br />
X<br />
^Z<br />
H I<br />
f g<br />
1f<br />
xA lnJ 1 + K<br />
x<br />
f x<br />
` a = ln 1 + 1<br />
f g<br />
f<br />
x<br />
= e lim<br />
xQ1<br />
H I<br />
f g<br />
J<br />
1f<br />
xA ln 1 + K<br />
x<br />
[ f. x<br />
` a =<br />
@ 1<br />
x2 f<br />
1 + 1<br />
x<br />
g x<br />
` a = x@ 1 [ g. x<br />
` a @ 2 =@ x<br />
h<br />
1 i<br />
f<br />
@ ` a<br />
l x x + 1 fm<br />
l lim m<br />
j xQ1 @ 2 k<br />
@ x<br />
Aplicando novamente a regra <strong>de</strong> L’Hospital:<br />
...<br />
e lim<br />
xQ1<br />
d e<br />
x f<br />
x + 1<br />
= e lim<br />
xQ1 1<br />
` a<br />
= e<br />
= e<br />
lim<br />
xQ1 @<br />
Hh<br />
i I<br />
1 f<br />
b c<br />
Lj<br />
` ak<br />
2 M<br />
J A @ x K<br />
x x + 1<br />
f @ 1 f<br />
= ` a<br />
f x x + 1
...<br />
Com isso temos que lim 1 +<br />
xQ1 1<br />
f g<br />
f<br />
x<br />
x<br />
= e .<br />
9) lim<br />
xQ 0<br />
10) lim<br />
xQ 0<br />
lim<br />
xQ 0<br />
ax@ 1f<br />
= ln a<br />
x<br />
` aa<br />
1 + x<br />
` aa<br />
1 + x<br />
x<br />
x<br />
@ 1f<br />
= a<br />
` aa<br />
@ 1f<br />
1 + 0<br />
=<br />
0<br />
@ 1f<br />
1<br />
= a @ 1f<br />
0<br />
=<br />
0 0<br />
f<br />
GUIDG.COM 10<br />
In<strong>de</strong>terminação do tipo 0/0 , logo po<strong>de</strong>mos aplicar a regra <strong>de</strong> L’Hospital para resolver, contudo a regra<br />
não <strong>de</strong>ve ser utilizada se o estudante ainda não entrou no estudo da Derivada e Diferencial.<br />
a) Para aqueles que já conhecem a regra:<br />
lim<br />
xQ 0<br />
` aa<br />
1 + x<br />
x<br />
@ 1f<br />
0<br />
=<br />
0<br />
f<br />
Definindo o numerador como f e o <strong>de</strong>nominador como g , diferenciando em relação à x ,<br />
in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntemente o quociente temos:<br />
L = lim<br />
xQ 0<br />
= aA 1<br />
f<br />
g<br />
` aa@ 1<br />
f f. f a 1 + x<br />
= lim = lim<br />
xQ 0 g. xQ 0<br />
` aa@ 1<br />
= aA1 a A1 @ 1 = a<br />
b) Demonstração por proprieda<strong>de</strong>s:<br />
` a<br />
I – Multiplicando e dividindo por ln 1 + x ;<br />
II – Alternando a or<strong>de</strong>m dos fatores;<br />
lim<br />
xQ 0<br />
` aa<br />
1 + x<br />
x<br />
@ 1f<br />
A<br />
z~ I |~x<br />
` a<br />
ln 1 + x f<br />
` a<br />
ln 1 + x<br />
= lim<br />
xQ 0<br />
` a<br />
A 0 + 1 @ 0<br />
1<br />
f ` aa@ 1<br />
= lim a 1 + x<br />
xQ 0<br />
z ~ II | ~x<br />
` a ` aa<br />
ln 1 + x f 1 + x @ 1f<br />
A ` a<br />
x ln 1 + x<br />
III – Proprieda<strong>de</strong> <strong>de</strong> logaritmos, a fração 1/x sobe como expoente <strong>de</strong> (1 + x) ;<br />
IV – Proprieda<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>limites</strong>, o limite <strong>de</strong> um produto é o produto dos <strong>limites</strong>;<br />
lim ` a<br />
xQ 0 ln 1 + x<br />
1<br />
z~ III |~x`<br />
aa<br />
1 + x @ 1 fA<br />
` a<br />
x ln 1 + x<br />
z ~ IV | ~x<br />
f = lim<br />
xQ 0 ln 1 + x<br />
` a 1<br />
` aa<br />
f 1 + x<br />
xA<br />
lim<br />
xQ 0<br />
@ 1f<br />
` a<br />
ln 1 + x<br />
V – Proprieda<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>limites</strong>, o limite <strong>de</strong> um logaritmo é o logaritmo do limite;<br />
VI – Limite fundamental 7 ;<br />
VII – Equivalência fundamental <strong>de</strong> logaritmos, ln e = log e e^e x = e , x = 1 ;<br />
...
...<br />
` a1 z ~ V | ~x<br />
h z VI ~ = F7 = | e ~x i<br />
l<br />
j<br />
m<br />
k<br />
ln<br />
lim 1 + x<br />
xQ 0<br />
f<br />
x<br />
A lim<br />
xQ 0<br />
Portanto resumimos para: lim<br />
xQ 0<br />
` aa<br />
1 + x<br />
d<br />
t<br />
e<br />
@ 1 VII<br />
f<br />
` a =<br />
ln 1 + x ln e<br />
` aa<br />
1 + x<br />
@ 1<br />
` a<br />
ln 1 + x<br />
f<br />
A lim<br />
xQ 0<br />
` aa<br />
1 + x<br />
@ 1<br />
` a<br />
ln 1 + x<br />
VIII – Multiplicando e dividindo por a ;<br />
IX – Novamente a proprieda<strong>de</strong> <strong>de</strong> logaritmos, a sobe como expoente <strong>de</strong> (1 + x) ;<br />
` aa<br />
X – Definindo 1 + x = u , temos que se xQ 0 , uQ1 ;<br />
lim<br />
xQ 0<br />
` aa<br />
z VIII|x<br />
1 + x @ 1 d e<br />
f<br />
` a A af<br />
ln 1 + x a<br />
= lim<br />
xQ 0<br />
B` aa<br />
C z ~ X | ~x<br />
a 1 + x @ 1 ` a<br />
f<br />
b ` aa<br />
c = a u@ 1 f<br />
lim<br />
ln 1 + x<br />
uQ 1<br />
{ ~ } ~y ln u<br />
IX<br />
XI – Definindo u – 1 = y , temos que se uQ1 , yQ0 , u = 1 + y ;<br />
XII – Dividindo o numerador e o <strong>de</strong>nominador por y ;<br />
XIII – Proprieda<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>limites</strong>; o limite <strong>de</strong> um quociente é o quociente dos <strong>limites</strong>;<br />
XIV – Proprieda<strong>de</strong> <strong>de</strong> logaritmos, a fração 1/y sobe como expoente <strong>de</strong> (1 + y) ;<br />
z ~ XI | ~x<br />
ay f<br />
b c<br />
ln 1 + y<br />
lim<br />
yQ 0<br />
= lim<br />
yQ 0<br />
z~ XII|~x<br />
a f<br />
b c<br />
ln 1 + y<br />
f=<br />
y<br />
z ~ XIII|<br />
~x<br />
d e<br />
lim<br />
yQ 0<br />
lim<br />
yQ 0 a<br />
b c 1f<br />
y<br />
ln 1 + y<br />
{~ }~y<br />
XV – Proprieda<strong>de</strong> que <strong>de</strong>corre da <strong>de</strong>finição, 2.9-b;<br />
XVI – Proprieda<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>limites</strong>, o limite <strong>de</strong> um logaritmo é o logaritmo do limite;<br />
XVII – Novamente o limite fundamental 7 ;<br />
lim<br />
yQ 0 a<br />
z~ XV = a|~x<br />
d e<br />
b c 1<br />
f a f<br />
h i = = a<br />
ln e f<br />
l<br />
y m<br />
{ ~ } ~y<br />
k<br />
{ ~ } ~y<br />
lnl j lim 1 + y<br />
yQ 0<br />
XVII = F7 = e<br />
XVI<br />
Portanto o limite 10 esta provado.<br />
11) lim<br />
xQ 0<br />
a x @ b x<br />
x<br />
f af<br />
= ln<br />
b<br />
XIV<br />
f<br />
f<br />
GUIDG.COM 11
4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E LEITURA COMPLEMENTAR<br />
(1) Paulo Boulos - Cálculo diferencial e integral Vol.1;<br />
(2) Diva Marilia Flemming - Cálculo A;<br />
(3) Louis Leithold - O cálculo com geometria analítica Vol.1;<br />
(4) Apostila/Livro <strong>de</strong> <strong>CDI</strong>-1 UDESC 2010-1.<br />
GUIDG.COM <strong>12</strong>