31/12/2012 â CDI: Resumo de limites.

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13 - Propriedade para funções polinomiais: Seja f x ` a = a0 x n + a1 x n@ 1 + …+ an então: X \ a) lim f x xQ +1 ` a = +1, se a0 > 0 Z@1 , se a0 < 0 b) lim f x xQ@1 ` a = +1, se a X \ 0 > 0 e n par Za0 < 0 e n ímpar c) lim f x xQ@1 ` a =@1 , se a 0 X \ > 0 e n ímpar Za0 < 0 e n par GUIDG.COM 8 14 – Limites no infinito do quociente de funções polinomiais: Se P x ` a = a0 x n + a1 x n@ 1 + …+ an e Q x ` a = b0 x m + b1 x m@ 1 + …+ bm , então: ` a P x f lim ` a = lim xQ1 Q x xQ1 a0 x n b0 x m f 3 LIMITES NOTÁVEIS (FUNDAMENTAIS) As próximas proposições são conhecidas como limites fundamentais, ou notáveis. Estas proposições irão nos auxiliar no cálculo de limites quando estivermos diante de casos particulares tais como 0f 1 0 , 1 e 1 0 . Também é interessante lembrar que os itens 1, 8 e 9 são as proposições que caracterizam os limites fundamentais. 1) lim xQ 0 2) lim xQ 0 3) lim xQ 0 sinxf = 1 x x f = 1 sinx ` a sin axf = a x ` a sin axf af 4) lim ` a = xQ 0 sin bx b 5) lim xQ 0 6) lim xQ 0 1@ cos xf = 0 x tan xf = 1 x ` a 1 7) lim xQ 0 1 + x x f = e
f g 1f 8) lim 1 + xQF1 x x = e GUIDG.COM 9 O interessante neste limite é o surgimento da indeterminação 1 1 . Torna-se então evidente a dificuldade de provar que 1 1 = 1 , como vemos a função nos leva a acreditar que o resultado seria 1 (uma vez que a parte fracionária da função torna-se nula), entretanto podemos provar que seu resultado é o número irracional e = 2,7182... indo assim contra o senso comum. A prova matemática não viola nenhum dos axiomas e teoremas matemáticos, isto é, chega-se a este resultado por uma forma transitiva (usando artifícios matemáticos) já que não podemos prová-la diretamente. lim xQF1 f g 1f 1 + x x ` a1 = 1 + 0 =1 1 (conclusão imediata, resultado indeterminação) Em 2.8 vimos que 1 1 é uma indeterminação. A prova formal deste teorema envolve noções de séries, por este motivo será omitida. Com isso só nos resta provar este limite usando a Regra de L’Hospital. Demonstração de 8 por L’Hospital: Queremos provar que lim 1 + xQ1 1 f g f x x = e , usando propriedades e a regra de L’Hospital: lim xQ1 e ... f g 1f 1 + x x xA ln 1 + lim xQ1 1 H d eI f L x M L fM L M L x f M J 1 K f x = lim xQ1 e = e lim xQ1 H I f gx 1f lnJ 1 + x ln 1 + 1 H d eI f L M L x f M J K @ 1 x ^\ Definindo as funções no limite Então pela regra de L’Hospital: ln 1 + lim xQ1 e 1 H d eI f L M L x f M J K @ 1 x e lim d e x f xQ1 x + 1 h j = e lim xQ1 ` ai f. x f ` ak g. x = e K = lim xQ1 e X ^Z H I f g 1f xA lnJ 1 + K x f x ` a = ln 1 + 1 f g f x = e lim xQ1 H I f g J 1f xA ln 1 + K x [ f. x ` a = @ 1 x2 f 1 + 1 x g x ` a = x@ 1 [ g. x ` a @ 2 =@ x h 1 i f @ ` a l x x + 1 fm l lim m j xQ1 @ 2 k @ x Aplicando novamente a regra de L’Hospital: ... e lim xQ1 d e x f x + 1 = e lim xQ1 1 ` a = e = e lim xQ1 @ Hh i I 1 f b c Lj ` ak 2 M J A @ x K x x + 1 f @ 1 f = ` a f x x + 1
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Page 5 and 6: 2.5 Limites infinitos, Teorema auxi
Page 7: 2.10 Propriedades dos Limites Vejam
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