31/12/2012 – CDI: Resumo de limites.

f g
1f
8) lim 1 +
xQF1 x
x
= e
GUIDG.COM 9
O interessante neste limite é o surgimento da indeterminação 1 1 . Torna-se então evidente a dificuldade
de provar que 1 1 = 1 , como vemos a função nos leva a acreditar que o resultado seria 1 (uma vez que a
parte fracionária da função torna-se nula), entretanto podemos provar que seu resultado é o número
irracional e = 2,7182... indo assim contra o senso comum. A prova matemática não viola nenhum dos
axiomas e teoremas matemáticos, isto é, chega-se a este resultado por uma forma transitiva (usando
artifícios matemáticos) já que não podemos prová-la diretamente.
lim
xQF1
f g
1f
1 +
x
x
` a1
= 1 + 0 =1 1 (conclusão imediata, resultado indeterminação)
Em 2.8 vimos que 1 1 é uma indeterminação.
A prova formal deste teorema envolve noções de séries, por este motivo será omitida.
Com isso só nos resta provar este limite usando a Regra de L’Hospital.
Demonstração de 8 por L’Hospital:
Queremos provar que lim 1 +
xQ1 1
f g
f
x
x
= e , usando propriedades e a regra de L’Hospital:
lim
xQ1
e
...
f g
1f
1 +
x
x
xA ln 1 +
lim
xQ1
1
H d eI
f
L
x M
L fM
L M
L x f M
J 1 K
f
x
= lim
xQ1 e
= e lim
xQ1
H I
f gx
1f
lnJ 1 +
x
ln 1 + 1
H d eI
f
L M
L x f
M
J K
@ 1 x
^\
Definindo as funções no limite
Então pela regra de L’Hospital:
ln 1 +
lim
xQ1
e 1
H d eI
f
L M
L x f
M
J K
@ 1 x
e lim
d e
x f
xQ1 x + 1
h
j
= e lim
xQ1
` ai
f. x f
` ak
g. x
= e
K
= lim
xQ1 e
X
^Z
H I
f g
1f
xA lnJ 1 + K
x
f x
` a = ln 1 + 1
f g
f
x
= e lim
xQ1
H I
f g
J
1f
xA ln 1 + K
x
[ f. x
` a =
@ 1
x2 f
1 + 1
x
g x
` a = x@ 1 [ g. x
` a @ 2 =@ x
h
1 i
f
@ ` a
l x x + 1 fm
l lim m
j xQ1 @ 2 k
@ x
Aplicando novamente a regra de L’Hospital:
...
e lim
xQ1
d e
x f
x + 1
= e lim
xQ1 1
` a
= e
= e
lim
xQ1 @
Hh
i I
1 f
b c
Lj
` ak
2 M
J A @ x K
x x + 1
f @ 1 f
= ` a
f x x + 1