Faça o download da tese completa na versão em PDF - A Biblioteca ...

Os algoritmos de Verlet são os mais rápidos para implementação numérica, porém como
vimos as expressões são obtidas a partir de expansões de Fourier e os erros associados para
as posições e velocidades são da ordem de ∆t 4 e ∆t 2 , respectivamente, relacionados com os
termos mais altos da expansão não incluídos nas equações.
Apesar da grande velocidade dos métodos de Verlet, o primeiro método apresenta um
dificuldade inicial, pois necessita das posições no tempo t − ∆t, o que não está disponível se
iniciamos o sistema em um tempo inicial t. Um estratégia para contornar essa dificuldade
é utilizar um método de integração tipo Runge-Kutta [23] para obter as posições iniciais e
depois utilizar o método de Verlet, uma vez que o método de Runge-Kutta demanda maior
esforço para ser calculado. Como já foi dito, o método Velocity Verlet já corrige este problema.
Outros algoritmos de integração [23–25] como o Runge-Kutta, preditor-corretor e o de Beeman
também são utilizados, porém não serão expostos aqui.
Do processo de integração são obtidas as velocidades e posições que definem a energia
cinética e o potencial do sistema para um tempo t + ∆t. Em um o ensemble canônico (NVT,
número de partículas, volume e temperatura constantes), a temperatura é diretamente relacionada
com a energia cinética ( ⃗ K) do sistema e normalizada pelo teorema da equipartição
de energia, de acordo com a equação 2.13. O lado esquerdo da equação 2.13 representa a
energia cinética e o direito a equipartição de energia, em que a m é a massa, v a velocidade,
N o número de partículas, k b a constante de Boltzman e T a temperatura. A velocidade (eq.
2.5), a massa, o número de partículas, e a constante de Boltzman são dados conhecidos do
problema e a temperatura o alvo no qual desejamos alcançar durante a simulação.
N∑
i
1
2 m i⃗v 2 i = 3 2 Nk bT (2.13)
A implementação que torna a temperatura constante durante uma simulação é relatado
como um banho térmico no sistema. A maneira mais simples em que o banho térmico pode
estar presente nas simulações é quando são feitos o escalamento das velocidades de tempos
em tempos durante a evolução temporal do sistema. Antes do início da simulação pode ser
adquirido o valor da energia cinética através da equação 2.13 para uma dada temperatura.
Esse valor adquirido inicialmente pode ser o valor base que será mantido constante durante
toda a simulação. Na expressão da energia cinética a massa é constante e para mantermos
T constante (na equação 2.13) a variável a ser trabalhada será a velocidade (⃗v).
Assim
é possível perceber que as velocidades sempre estão sofrendo alterações devido à ação do
potencial e também sempre retornando à um valor base determinado pela temperatura.
No ensemble microcanônico (NVE) a simulação é mantida com energia constante. Neste
caso a temperatura é variável e pode ser escalada periodicamente, no caso de se querer chegar
a temperatura alvo ou para não ocorrer grandes variações.
11