PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3o ... - Colégio Anchieta

PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3 o ANO DO ENSINO MÉDIO
COLÉGIO ANCHIETA-BA - ABRIL DE 2012.
ELABORAÇÃO: PROFESSORES ADRIANO CARIBÉ
E WALTER PORTO.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
QUESTÃO 01) - (UEMS) Uma concessionária A tem em seu estoque 25 carros de um modelo B. A tabela abaixo divide os
25 carros disponíveis em tipo de motor e cor.
Um carro do modelo B foi comprado nessa concessionária. Dado que esse carro é de cor prata, qual a probabilidade que seu
motor seja 1.0?
01) 12
5
02) 10
5
5
03) 25
5
04) 22
05) 6
5
RESOLUÇÃO:
Motor
Cor
Branca Preta Prata Vermelha
1.0 2 2 5 1
1.6 1 1 4 1
2.0 2 2 3 1
TOTAL 5 5 12 3
Seja E (espaço amostral) o conjunto das diferentes maneiras de se escolher um carro prata. Então, n(E) = 12.
Seja A o conjunto dos casos possíveis de se escolher um carro prata com motor 1.0. Então, n(A) = 5.
n(A) 5
p = = .
n(E) 12
RESPOSTA: Alternativa 01.
QUESTÃO 02)
Dentre os candidatos inscritos num concurso, 40% são homens e 60% são mulheres. Destes já tem emprego 30% dos homens
e 10% das mulheres. Sabendo que o número de candidatos empregados é 90, determine quantas mulheres desempregadas se
inscreveram no concurso.
01) 135 02) 180 03) 225 04) 270 05) 315
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado

RESOLUÇÃO:
Seja x o número de candidatos inscritos no concurso.
Número total N o dos empregados N o dos não empregados
Homens 0,4x 0,3×0,4x = 0,12x 0,7×0,4x = 0,28x
Mulheres 0,6x 0,1×0,6x = 0,06x 0,9×0,6x = 0,54x
Como o número de candidatos empregados é 90, 0,12x + 0,06x = 90 ⇒ 0,18x = 90 ⇒ x = 500
Desses 500 candidatos, 0,54x = 0,54 × 500 = 270 é o número de mulheres desempregadas.
RESPOSTA: Alternativa 04.
QUESTÃO 03) (FEPECS) Seis médicos M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 e M 6 participam de um sorteio para compor a equipe de três
médicos de um plantão de sábado em uma clínica. A probabilidade de que M 1 seja sorteado e M 5 não seja sorteado é de:
01) 3
1
02) 4
1
03) 5
2
04) 5
3
05) 10
3
RESOLUÇÃO:
Número do espaço amostral (equipes de três médicos que podem ser formadas com os seis médicos):
6 × 5×
4
n(E) = C6,3 = = 20
3×
2×
1
Para considerar todas as diferentes equipes nas quais M 1 foi sorteado e M 5 não foi sorteado, calcula-se o número de
combinações que podem ser formadas com os médicos M 2 , M 3 , M 4 e M 6 tomados dois a dois:
4 × 3
n(A) = C4,2 = = 6 .
2 × 1
n(A) 6 3
A probabilidade pedida é: p = = = .
n(E) 20 10
RESPOSTA; Alternativa 05.
QUESTÃO 04) Em um aquário, há peixes amarelos e vermelhos: 80% são amarelos e 20% são vermelhos. Uma misteriosa
doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi controlada, verificou-se que 60% dos
peixes vivos, no aquário, eram amarelos. Sabendo-se que nenhuma outra alteração foi feita no aquário, o percentual de peixes
amarelos que morreram foi de:
01) 20% 02) 25% 03) 37,5 % 04) 62,5% 05) 75%
RESOLUÇÃO:
Considerando como 100 o total de peixes do aquário, dos quais 80 são amarelos e 20 são vermelhos.
Sabendo que não morreu nenhum peixe vermelho, todos os x peixes que morreram eram amarelos. Como depois que a
doença foi controlada, verificou-se que 60% dos peixes vivos, no aquário:
80 − x
50
= 0,6 ⇒ 80 − x = 60 − 0,6x ⇒ 0,4x = 20 ⇒ x = 50 ⇒ = 0,625 .
100 − x
80
RESPOSTA: Alternativa 04.
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2

QUESTÃO 05) (FGV) Uma empresa tem n vendedores que, com exceção de dois deles, podem ser promovidos a duas vagas
de gerente de vendas. Se há 105 possibilidades de se efetuar essa promoção, então o número n é igual a
01) 10 02) 11 03) 13 04) 15 05) 17
RESOLUÇÃO:
Tendo a empresa n vendedores, e sabendo que (n – 2) deles, podem ser promovidos concorrendo a duas vagas de gerente de
vendas, e havendo 105 possibilidades de se efetuar essa promoção, então:
( n − 2) × ( n − 3)
2
2
C(n
−2),
2 =
= 105 ⇒ n − 5n + 6 = 210 ⇒ n − 5n − 204 = 0 ⇒
2 × 1
5 ± 25 + 816 5 ± 29
n = ⇒ n = ⇒ n = 17 .
2
2
RESPOSTA: Alternativa 05
QUESTÃO 06) Uma pessoa aplicou metade do seu capital à taxa de 30% ao semestre no regime de juros compostos e a outra
metade à taxa de 27% ao quadrimestre no sistema de juros simples e obteve ao final de um ano um motante de R$4.200,00.
Qual o capital inicial desta pessoa?
01) 2400 02) 2500 03) 2600 04) 2700 05) 2800
RESOLUÇÃO:
Considerando que o capital da pessoa é x reais, e que a pessoa aplicou 0,5x à taxa de 30% ao semestre no regime de juros
compostos e 0,5x à taxa de 27% ao quadrimestre no sistema de juros simples, obtendo ao final de um ano um motante de
R$4.200,00:
1,3 2 . 0,5x + (1+3.0,27).0,5x = 4200 ⇒ 0,845x + 0,905x = 4200 ⇒ 1,75x = 4200 ⇒ x = 2400 .
RESPOSTA: Alternativa 01.
QUESTÃO 07) (UNIFOR-Adaptada) Para que o coeficiente do termo médio do desenvolvimento do binômio
segundo as potências crescentes de x, seja igual a 160, o valor da constante k deve ser:
01) um número primo
02) um múltiplo de 5
03) um quadrado perfeito
04) um cubo perfeito
05) um dos divisores de 30
RESOLUÇÃO:
⎛
2
⎜
x
⎝ 2
6
k ⎞
+ ⎟ ,
x
⎠
6
⎛
2
x k ⎞
O desenvolvimento do binômio ⎜ ⎟
7 + 1
+ tem 6 + 1 = 7 termos, sendo o seu termo médio, o de número = 4 .
2 x
⎝ ⎠
2
Como o termo geral do desenvolvimento de ( x + a) n
n−p
p
é dado pela relação T = C × x × b
p+ 1 n,p :
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3

6−3
3
3
⎛
2
x ⎞
6
3
3
⎛ k ⎞ 6 × 5×
4 ⎛ 1 ⎞ 3⎛
x ⎞ 5k 3 5k
3
T4 = T3
1 = C6,3
× ⎜ ⎟
k ⎜ ⎟
⎜ ⎟ × ⇒ T4
= x ⇒ = 160 ⇒ k = 64 ⇒ k = 4
3
2
× ⎜ ⎟ = ×
⎝ x ⎠ 3×
2 × 1 ⎝ 2 ⎠
x
⎝ ⎠
⎝ ⎠ 2 2
+ .
RESPOSTA:Alternativa 03.
QUESTÃO 08) (UFTM) Um saco continha 20 bolas, entre brancas e azuis. Desse modo, havia uma probabilidade p de se
retirar ao acaso 1 bola azul. Foram retiradas 2 bolas ao acaso e verificou-se que uma era azul e a outra, branca. A
1
probabilidade de se tirar ao acaso 1 bola azul passou a ser de p − . O número inicial de bolas azuis no saco era
36
01) 15 02) 12 03) 8 04) 5 05) 2
RESOLUÇÃO:
Considerando que o saco continha 20 bolas, das quais x eram brancas e y eram azuis, a probabilidade de se retirar ao acaso
x
uma bola azul era p =
20
Como foram retiradas 2 bolas ao acaso e verificou-se que uma era azul e a outra, branca, a probabilidade de se tirar ao acaso
x −1
1 x −1
36p −1
1 bola azul passou a ser de = p − ⇒ = ⇒ 2x − 2 = 36p −1
⇒ 2x = 36p + 1
20 − 2 36 18 36
x
Nessa última igualdade, substituindo p pelo seu valor : 20
⎛ x ⎞ 9x
2x = 36⎜
⎟ + 1 ⇒ 2x = + 1 ⇒ 10x = 9x + 5 ⇒ x = 5
⎝ 20 ⎠
5
RESPOSTA: Alternativa 04.
QUESTÃO 09) Um capital aplicado no prazo de dois anos, a uma taxa de juros compostos de 60% ao ano, resulta em um
certo montante.
Qual a taxa anual de juros simples que, aplicada ao mesmo capital durante o mesmo prazo, resultará no mesmo montante?
01) 30% 02) 66% 03) 69% 04) 75% 05)78%
RESOLUÇÃO:
Seja x o capital aplicado por dois anos, a uma taxa de 605 ao ano.
O montante resultante dessa aplicação foi 1,6 2 x = 2,56x .
O mesmo capital aplicado por dois anos a uma taxa anual de i% ao ano, renderá um montante de
Como os montantes devem ser iguais:
( 1+
2i) x ⇒ 2,56 = 1+
2i ⇒ 2i = 1,56 ⇒ i 0,78
2,56x = = .
RESPOSTA: Alternativa 05.
(1+ 2i)x .
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4

QUESTÃO 10) Um Relógio é vendido por R$ 1.000,00 a vista ou então financiado em dois pagamentos iguais de R$ 550,00,
sendo o primeiro como entrada e o segundo um mês após a compra. A taxa mensal de juros do financiamento é igual a:
01) 10%
02) Aproximadamente 11,1%
03) 20%
04) Aproximadamente 22,2%
05) 23%
RESOLUÇÃO:
Como as duas prestações são iguais com a primeira a ser paga no ato da compra e a segunda um mês após a compra:
p
550 550 11
Valor financiado = p + ⇒ 1000 = 550 + ⇒ = 450 ⇒ = 9 ⇒ 9 + 9i = 11 ⇒ 9i = 2 ⇒ i = 0,2222..
(1+
i)
1+
i 1+
i 1+
i
RESPOSTA: Alternativa 04.
QUESTÃO 11) Uma pessoa toma hoje um empréstimo de X reais para ser quitado em quinze parcelas iguais e mensais no
valor de R$2.000 cada, vencendo a primeira daqui a 30 dias, com uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. Calcule o valor
de X. (Dado: (1,02) -15 = 0,74).
01) 30.000 02) 28.000 03) 27.500 04) 26.000 05)25.000
RESOLUÇÃO:
Como o empréstimo de X reais deve ser quitado em quinze parcelas iguais e mensais no valor de R$2.000 cada, vencendo a
primeira daqui a 30 dias
⎛
X = 2000
⎜
⎝
1
1,02
1
+
1,02
1
+ ... +
1,02
⎛ 0,26 ⎞
X = 2000⎜
⎟ ⇒ X = 2000×
13 = 26000
⎝ 0,02 ⎠
RESPOSTA: Alternativa 04.
2
15
⎛
⎜
⎞
X 2000⎜
⎟ ⇒ =
⎠
⎜
⎜
⎝
1
1,02
−15
⎞ ⎛ 1
( 1,02 −1) ⎟ ⎜ ( 0,74 −1)
1
−1
1,02
⎟ 1,02
= 2000⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜ −
⎠ ⎝
0,02
1,02
⎞
⎟
⎟ ⇒
⎟
⎟
⎠
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5

QUESTÃO 12) Chico Porto deseja ter R$40.000,00 no dia 05 de fevereiro de 2018 para gastar numa viagem para a copa de
2018 que será realizada na Rússia. Para isso ele vai fazer 70 depósitos mensais e iguais numa aplicação que rende juros
compostos de 1% ao mês, sendo o primeiro no dia 05 de maio de 2012 e o último no dia 05 de fevereiro de 2018. Calcule o
valor de cada depósito.
Dados: (1,01) 70 = 2
01) R$ 200 02) R$ 285 03) R$ 400 04) R$ 525 05) R$ 550
RESOLUÇÃO:
Os depósitos de x reais serão feitos todo dia 05 a partir de maio de 2012 até 05 de janeiro de 2018:
Como o valor futuro deve ser R$40.000,00:
2 3
69
( 1,01+
1,01 + 1,01 + .... + 1,01 ) = 40000
05 de maio de 2012 a 05 de maio de 2013 13 meses
05 de junho de 2013 a 05 de maio de 2014 12 meses
05 de junho de 2014 a 05 de maio de 2017 36 meses
05 de junho de 2017 a 05 de fevereiro de 2018 9 meses
TOTAL
70 meses
x 1+ .
O coeficiente de x é a soma dos termos de uma P.G. de 70 termos com primeiro termo igual a 1 e razão 1,01, logo:
( ) 70
−1
⎞
⎟
x
= 40000 ⇒ = 40000 ⇒ x = 400
⎛11,01
x⎜
⎝ 1,01−1
⎟
⎠
0,01
RESPOSTA: Alternativa 03.
.
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