Eletromagnetismo II Aula 21 Os potenciais de Lienard-Wiechert - IFSC

Eletromagnetismo II
Aula 21
Os potenciais de Lienard-Wiechert (continuação)
Na aula passada, obtivemos os potenciais de Lienard-Wiechert, que podem ser
escritos como
φ (r, t) = 1
q
4πε 0 |r − r 0 (t R )| − [r − r 0 (t R )] · v(t R)
c
e, analogamente,
onde
A (r, t) = µ 0
4π
qv (t R )
|r − r 0 (t R )| − [r − r 0 (t R )] · v(t R)
c
t R = t − |r − r 0 (t R )|
.
c
Para simplificar a notação, definimos
R = r − r 0 (t R ) ,
R = |R| ,
,
ˆR = R R ,
e
v = v (t R )
= dr 0 (t R )
dt R
= ṙ 0 (t R )
β = v c .
Com essas definições, podemos simplificar as expressões dos potenciais assim:
φ (r, t) = 1 ( )
q
,
4πε 0 R − R · β
A (r, t) = µ ( )
0 qv
4π R − R · β
1

e
t R = t − R c .
Vamos agora calcular os campos B e E. Começamos com o cálculo de B:
ou, em termos de componentes,
B i =
B = ∇ × A
3∑
j=1
3∑
ε ijk ∂ j A k ,
onde ε ijk é o tensor de Levi-Civita, que é dado por
⎧
⎪⎨ 1, se (i, j, k) for uma permutação par de (1, 2, 3) ,
ε ijk = 0, se pelo menos dois dos índices i, j, k forem iguais e
⎪⎩
−1, se (i, j, k) for uma permutação ímpar de (1, 2, 3) .
Também utilizamos a notação
k=1
∂ j = ∂
∂x j
,
para j = 1, 2, 3. A convenção de Einstein para somas permite que escrevamos
B i = ε ijk ∂ j A k ,
onde subentendemos que os índices j e k estão somados de 1 a 3, porque aparecem
repetidos no mesmo termo. Temos, assim,
∂ j A k = µ ( )
0q
4π ∂ v k
j
R − R · β
= µ [
( )]
0q ∂ j v k
4π R − R · β + v 1
k∂ j
R − R · β
= µ [
]
0q ∂ j v k
4π R − R · β − v k
(R − R · β) 2 (∂ jR − β · ∂ j R − R · ∂ j β) .
Também,
∂ j v k = dv k
dt R
∂ j t R
= a k ∂ j t R ,
2

Façamos agora o cálculo de ∂ j t R :
∂ j t R = ∂ j
(
t − R c
= − 1 c ∂ jR
)
= − 1 c ˆR · ˆx j + ˆR · β∂ j t R ,
ou seja,
( )
1 − ˆR · β ∂ j t R = − 1 c ˆR · ˆx j ,
resultando em
∂ j t R
= − 1 ˆR · ˆx
( j
).
c 1 − ˆR · β
Portanto,
∂ j v k
= − a k
c
ˆR · ˆx
( j
),
1 − ˆR · β
∂ j R = ∂ j r − ∂ j r 0 (t R )
= ˆx j − dr 0 (t R )
∂ j t R
dt R
= ˆx j + v 1 ˆR · ˆx
( j
)
c 1 − ˆR · β
ˆR · ˆx j
= ˆx j + β(
),
1 − ˆR · β
3

∂ j R = 1
2R ∂ jR 2
= 1
2R ∂ j (R · R)
= R R · ∂ jR
ˆR · ˆx j
= ˆR · ˆx j + ˆR · β(
)
1 − ˆR · β
)
ˆR · ˆx j
(1 − ˆR · β + ˆR · β ˆR · ˆx j
=
( )
1 − ˆR · β
= ˆR · ˆx j − ˆR · ˆx j ˆR · β + ˆR · β ˆR · ˆx
( )
j
1 − ˆR · β
e
onde denotamos
e
=
ˆR · ˆx
( j
)
1 − ˆR · β
∂ j β =
= 1 c
1 c ∂ jv
dv
dt R
∂ j t R
= − a ˆR · ˆx
( j
),
c 2 1 − ˆR · β
a k = dv k
dt R
a =
dv
dt R
.
4

Assim,
∂ j A k = µ 0q
4π
= µ 0q
4π
= µ 0q
4π
[
∂ j v k
R − R · β −
⎡
⎢
⎣
R
⎡
⎢
⎣
R
∂ j v
( k
1 − ˆR · β
∂ j v
( k
1 − ˆR · β
Substituindo as derivadas parciais, temos
⎡
onde
]
v k
(R − R · β) 2 (∂ jR − β · ∂ j R − R · ∂ j β)
)
⎤
v k
(∂ j R − β · ∂ j R − R ˆR · ∂ j β
)
⎥
−
) 2 ⎦
R
(1 2 − ˆR · β
⎤
v
) k ˆR · ∂ j β
+ ( ) 2
− v k (∂ j R − β · ∂ j R) ⎥
) 2 ⎦ .
R 1 − ˆR · β R
(1 2 − ˆR · β
∂ j A k = µ 0q ⎢ −a k ˆR · ˆx j
⎣ ( )
4π
2
− v ˆR k · a ˆR · ˆx j
) 3
Rc 1 − ˆR · β Rc
(1 2 − ˆR · β
⎛
v k
−
) ⎝( ) ⎞⎤
1 − β
2 ˆR · ˆx j
2
( ) − β j
⎠⎥
⎦
R
(1 2 − ˆR · β 1 − ˆR · β
β j = v j
c .
Em termos vetoriais, podemos escrever
⎡
B =
−
µ 0q
4π
⎢
⎣
Rc
− ˆR × a
(
1 − ˆR · β
⎤
⎥
) 3 ⎦ ,
(
1 − β
2 ) ˆR × v
R 2 (1 − ˆR · β
ˆR · a ˆR × v
) 2
−
Rc
(1 2 − ˆR · β
onde o termo proporcional a β × v se anula. Podemos ainda escrever
⎡ ( )
B =
µ (
0q
4π ˆR ⎢
−a 1 − ˆR · β − ˆR · aβ
) ⎤
1 − β
2
v ⎥
× ⎣ ( ) 3
−
) 3 ⎦
Rc 1 − ˆR · β R
(1 2 − ˆR · β
⎡ ( ) ( )
= µ (
0q
4π ˆR ⎢
−a ˆR · ˆR − β + ˆR · a ˆR − β
) ⎤
1 − β
2
v ⎥
× ⎣
( ) 3
−
) 3 ⎦ ,
Rc 1 − ˆR · β
R
(1 2 − ˆR · β
) 3
5

onde adicionamos um termo proporcional a ˆR entre colchetes, que não contribui
para B, pois é multiplicado vetorialmente pelo ˆR que aparece fora dos colchetes.
Notamos agora que
( )
−a ˆR · ˆR − β
( )
+ ˆR · a ˆR − β
[( ) ]
= ˆR × ˆR − β × a .
Logo,
B =
µ 0q
4π ˆR ×
⎧
⎪⎨
⎪⎩
[( )
ˆR × ˆR − β
Rc
(
1 − ˆR · β
]
× a
) 3
−
( ) ⎫
1 − β
2 ⎪⎬
v
) 3
.
R
(1 2 ⎪
− ˆR · β ⎭
Exercício proposto
Mostre que
⎡( (1
E =
q ⎢ ˆR − β) ) ( ) ⎤
− β
2 ˆR − β ˆR · a
a ⎥
⎣
)
4πε 3
+
) 3
−
) 2 ⎦
0
R
(1 2 − ˆR · β Rc
(1 2 − ˆR · β Rc
(1 2 − ˆR · β
⎡( (1
= q ⎢ ˆR − β) ) ( ) ( ) ⎤
− β
2 ˆR − β ˆR · a − a 1 − ˆR · β
⎥
⎣
)
4πε 3
+
) 3 ⎦
0
R
(1 2 − ˆR · β
Rc
(1 2 − ˆR · β
⎡( (1
= q ⎢ ˆR − β) ) [( ) ] ⎤
− β
2 ˆR × ˆR − β × a
⎥
⎣
)
4πε 3
+
) 3 ⎦
0
R
(1 2 − ˆR · β Rc
(1 2 − ˆR · β
e que, portanto,
B =
ˆR
c × E.
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