Eletromagnetismo II Aula 20 Exercícios: faça os problemas ... - IFSC

Eletromagnetismo IIAula 20Exercícios: faça os problemas numerados de 9 a 11 do Capítulo 20 do livro-texto.Os potenciais de Lienard-WiechertNesta aula introduzimos os cálculos dos potenciais escalar e vetorial de umapartícula carregada executando um movimento com trajetória dada. Como queremosos campos causados pela partícula, utilizamos as soluções retardadas dospotenciais no calibre de Lorentz:eφ (r, t) = 14πε 0ˆV ∞d 3 r ′ ρ ()r ′ , t − |r−r′ |c|r − r ′ |( )A (r, t) = µ ˆ J r ′ , t − |r−r′ |0d 3 r ′ c.4π V ∞|r − r ′ |Para uma carga q descrevendo uma trajetóriatemosepara quaisqueronder 0 (t) ,ρ (r ′ , t ′ ) = qδ (3) (r ′ − r 0 (t ′ ))J (r ′ , t ′ ) = qv (t ′ ) δ (3) (r ′ − r 0 (t ′ )) ,r ′ e t ′ ,v (t ′ ) = dr 0 (t ′ )dt ′ .Assim, o potencial escalar, por exemplo, fica( ( ))φ (r, t) = 1 ˆd 3 r ′ qδ(3) r ′ − r 0 t − |r−r′ |c.4πε 0 V ∞|r − r ′ |1

O problema é integrarmos( ( ))ˆd 3 r ′ δ(3) r ′ − r 0 t − |r−r′ |c.V ∞|r − r ′ |Para tal proeza, há um truque: é óbvio que a integral acima pode ser escrita comoˆ +∞ ˆdt ′ d 3 r ′ δ(3) (r ′ − r 0 (t ′ ())δ t ′ − t + |r − )r′ |−∞ V ∞|r − r ′ |ce, portanto, integrando sobre a variáveltemos( ( ))ˆd 3 r ′ δ(3) r ′ − r 0 t − |r−r′ |cV ∞|r − r ′ |A seguir, tomamos como fixose introduzimos a funçãor ′ ,=r e tˆ +∞−∞f (t ′ ) = t ′ − t + |r − r 0 (t ′ )|.cPortanto, temos a seguinte integral para calcular:ˆ +∞−∞dt ′ δ (f (t ′ ))|r − r 0 (t ′ )| .Das propriedades da função delta de Dirac, podemos escreverˆ +∞−∞dt ′ δ (f (t ′ ))|r − r 0 (t ′ )|= ∑ kˆ +∞−∞()dt ′δ t ′ − t + |r−r 0(t ′ )|c.|r − r 0 (t ′ )|dt ′ δ (t ′ − t k )∣|r − r 0 (t ′ )|∣ df(t′ ) ∣∣t′,dt ′ =t konde ossão os instantes de tempo em quet k ’sf (t k ) = 0.Em outras palavras, queremos os instantes de tempot k ’s2

tais quet k = t − |r − r 0 (t k )|. (1)cO fato é que só há um instante de tempo para essa relação valer. Para vermosisso, suponhamos que existam dois instantes,comtais queet 1 e t 2 ,t 1 ≠ t 2 ,t 1 = t − |r − r 0 (t 1 )|ct 2 = t − |r − r 0 (t 2 )|.cSem perda de generalidade, suponhamos queLogo,Mas,Assim,t 2 > t 1 .c (t 2 − t 1 ) = |r − r 0 (t 1 )| − |r − r 0 (t 2 )| .|r − r 0 (t 1 )| − |r − r 0 (t 2 )| |r − r 0 (t 1 ) − (r − r 0 (t 2 ))|implicando que a partícula deveria ir de= |r 0 (t 2 ) − r 0 (t 1 )| .c |r 0 (t 2 ) − r 0 (t 1 )|t 2 − t 1,r 0 (t 1 ) até r 0 (t 2 )com uma velocidade média maior ou igual à velocidade da luz no vácuo. Como,por hipótese, estamos considerando uma partícula massiva, de massam > 0,3

concluímos que há, no máximo, um instante de tempo em que a Eq. (1) vale edefinimos esse instante como o tempo retardado:t R = t − |r − r 0 (t R )|.cO resultado da integral acima pode ser escrito em termos do tempo retardadocomoˆ +∞−∞dt ′ δ (f (t ′ ))|r − r 0 (t ′ )|==ˆ +∞−∞dt ′ δ (t ′ − t R )|r − r 0 (t ′ )| ∣1∣|r − r 0 (t R )|∣ df(t′ )∣ df(t′ )dt ′dt ′ ∣ ∣∣t′=t R.∣ ∣∣t′=t RCalculemos, explicitamente, a derivada temporal da função f:df (t ′ )= d (t ′ − t + |r − r 0 (t ′ ))|dt ′ dt ′ c= 1 + 1 d |r − r 0 (t ′ )|.c dt ′Notemos quePortanto,Comod |r − r 0 (t ′ )|dt ′ =ˆ +∞−∞=dt ′ δ (f (t ′ ))|r − r 0 (t ′ )|1 d |r − r 0 (t ′ )| 22 |r − r 0 (t ′ )| dt ′12 |r − r 0 (t ′ )|d [r − r 0 (t ′ )] · [r − r 0 (t ′ )]dt ′= [r − r 0 (t ′ )]|r − r 0 (t ′ )| · d [r − r 0 (t ′ )]dt ′= − [r − r 0 (t ′ )]|r − r 0 (t ′ )| · dr 0 (t ′ )dt ′= − [r − r 0 (t ′ )]|r − r 0 (t ′ )| · v (t′ ) .=1∣∣|r − r 0 (t R )| − [r − r 0 (t R )] · v(t R).∣∣ v ∣ < 1,cc4

temosˆ +∞−∞dt ′ δ (f (t ′ ))|r − r 0 (t ′ )|e os potenciais podem ser escritos comoe, analogamente,ondeφ (r, t) = 14πε 0A (r, t) = µ 04π=1|r − r 0 (t R )| − [r − r 0 (t R )] · v(t R)cq|r − r 0 (t R )| − [r − r 0 (t R )] · v(t R)cqv (t R )|r − r 0 (t R )| − [r − r 0 (t R )] · v(t R)ct R = t − |r − r 0 (t R )|.cEsses são os chamados potenciais de Lienard-Wiechert.,5