Eletromagnetismo I Aula 8 Exercícios: faça os problemas ... - IFSC

Eletromagnetismo IAula 8Exercícios: faça os problemas numerados de 1 a 4 do Capítulo 3 do livro-texto.A Equação de Poisson∇ · E = 4πkρ∇ × E = 0∃φ (r) tal que E = −∇φ−∇ · (∇φ) = 4πkρ= 4π 14πε 0ρ= ρ ε 0∴ ∇ 2 φ = − ρ ε 0A Equação de LaplaceSe ρ = 0 em uma região V , então∇ 2 φ = 0em V .Teorema I:Se φ 1 , φ 2 , . . ., φ n são soluções da equação de Laplace, entãoφ = C 1 φ 1 + C 2 φ 2 + . . . + C n φ n ,onde os C’s são constantes arbitrárias, também é solução.Prova:∇ 2 φ = ∇ 2 (C 1 φ 1 + C 2 φ 2 + . . . + C n φ n )= C 1 ∇ 2 φ 1 + C 2 ∇ 2 φ 2 + . . . + C n ∇ 2 φ n= C 1 0 + C 2 0 + . . . + C n 0 = 0.1

Teorema II: O Teorema da Unicidade Dois potenciais eletrostáticos, ambos soluçõesda equação de Laplace em uma região V , que satisfazem as mesmas condições decontorno na fronteira S de V , são iguais para a condição de Dirichlet e podemdiferir, no máximo, por uma constante aditiva para a condição de Neumann.Prova: Tomemos como hipótese a negação da tese do teorema e procuremos poruma contradição como conseqüência lógica. Assim, suponhamos que∇φ 1 ≠ ∇φ 2em V , isto é, φ 1 e φ 2 não diferem apenas por uma constante aditiva. Além disso,também suponhamos que φ 1 e φ 2 são soluções da equação de Laplace em V :∇ 2 φ 1 = ∇ 2 φ 2 = 0,com φ 1 e φ 2 satisfazendo as mesmas condições de contorno em S (V ), onde S (V )é a fronteira de V . Ou seja, mais especificamente, sejaS= S A ∪ S Bcomφ 1 = φ 2em S A eˆn · ∇φ 1 = ˆn · ∇φ 2em S B . Notemos que estamos também incluindo os casos em queque é o problema de Dirichlet, e(S A , S B ) = (S, Ø) ,(S A , S B ) = (Ø, S) ,que é o problema de Neumann.Construamos, portanto, a função diferença:Evidentemente,em S A eU = φ 1 − φ 2 .U = 0ˆn · ∇U = 02

em S B . Também é claro que∇ 2 U = 0em V . Calculemos, portanto, usando o Teorema da Divergência de Gauss:ˆ˛d 3 r ∇ · (U∇U) = da U ˆn · ∇UVS(V )ˆ= da U ˆn · ∇U +Sˆ A+ da U ˆn · ∇U.Porém,porque U = 0 em S A eporqueem S B . Portanto,Comoem V , pois nessa regiãosegue queMasˆˆˆVS BS Ada U ˆn · ∇U = 0S Bda U ˆn · ∇U = 0ˆn · ∇U = 0d 3 r ∇ · (U∇U) = 0.∇ · (U∇U) = (∇U) · (∇U) + U∇ · ∇Uˆ0 =V= |∇U| 2 + U∇ 2 U= |∇U| 2∇ 2 U = 0,d 3 r ∇ · (U∇U) =|∇U| 2 0ˆVd 3 r |∇U| 2 .3

Neste curso trataremos apenas problemas com simetria esférica azimutal, isto é,o potencial φ não depende da variável azimutal, ϕ:φ (r) = φ (r, θ) ,ou seja,∂φ∂ϕ = 0.Temos, então, a equação diferencial parcial:[ ]1 ∂r2∂φ (r, θ)+ 1r 2 ∂r ∂r r 2 sin θ∂∂θ[sin θ]∂φ (r, θ)∂θ= 0.O Método da Separação de VariáveisEsse método consiste em supor que φ (r, θ) pode ser escrita como um produtode duas funções, uma somente dependente de r e outra dependente apenas de θ.Assim, escrevemos:φ (r, θ) = R (r) Θ (θ) .É claro que a solução para um problema específico pode não ter essa forma, maso método de separação de variáveis permite encontrar um conjunto completo defunções do tipo proposto acima, que são individualmente soluções da equaçãode Laplace. Basta então fazermos uma combinação linear adequada das funçõesbásicas e impormos as condições de contorno do problema para determinar os coeficientesda combinação. Vamos, então, ilustrar o método na prática. Comecemospela substituição do ansatz acima na equação de Laplace:1 ∂r 2 ∂r[rΘ (θ)r 2]2∂R (r) Θ (θ)∂r[ ]dr2dR (r)dr dr+1r 2 sin θ+ R (r)r 2 sin θ[]∂ ∂R (r) Θ (θ)sin θ =∂θ ∂θ[ ]d dΘ (θ)sin θ = 0.dθ dθPodemos, agora, dividir por R (r) Θ (θ) e multiplicar por r 2 essa equação paraobter:[ ][ ]1 dr2dR (r) 1 d dΘ (θ)+sin θ = 0.R (r) dr dr sin θΘ (θ) dθ dθO primeiro termo do membro esquerdo é uma função que só depende de r, enquantoque o segundo termo depende apenas de θ. Como r e θ são variáveis5

independentes, podendo assumir quaisquer valores, segue que a única forma determos a soma dessas duas funções igual a zero é se ambas forem constantes:[ ][ ]1 dr2dR (r)1 d dΘ (θ)= −sin θ = α,R (r) dr dr sin θΘ (θ) dθ dθonde α é a chamada constante de separação. Assim, temos agora duas equaçõesdiferenciais ordinárias para resolver:[ ]dr2dR (r)= αR (r) ,dr dr[ ]1 d dΘ (θ)sin θ = −αΘ (θ) .sin θ dθ dθConsideremos a funçãoR l (r) = A l r l + B lr l+1,onde A l e B l são constantes arbitrárias. Essa função, se l for escolhido tal quel (l + 1) = α,é solução da primeira equação diferencial acima. Para verificarmos isso, calculemos:Logo,e, portanto,dR l (r)drr 2dR l (r)dr[dr 2dR ]l (r)dr dr= lA l r l−1 − (l + 1) B lr l+2.= lA l r l+1 − (l + 1) B lr l= l (l + 1) A l r l + l (l + 1) B l[= l (l + 1) A l r l + B ]lr l+1= l (l + 1) R l (r) = αR l (r) .Essa solução é a solução geral da equação diferencial de segunda ordem para R (r)acima, pois tem duas constantes arbitrárias. Resta agora encontrarmos a soluçãoda equação diferencial para Θ (θ). Para nossos interesses neste curso, procuramospor soluções fisicamente válidas quando θ = 0 e θ = π. Logo, as soluções queprocuramos são os chamados polinômios de Legendre:Θ (θ) = P l (cos θ) , com l = 0, 1, 2, . . . .r l+16

Alguns exemplos são:P 0 (cos θ) = 1,P 1 (cos θ) = cos θ,P 2 (cos θ) = 1 (3 cos 2 θ − 1 ) ,2P 3 (cos θ) = 1 (5 cos 3 θ − 3 cos θ ) ,2.Assim, encontramos um conjunto completo de funções de (r, θ), cada uma satisfazendoa equação de Laplace:(φ l (r, θ) = A l r l + B )lPr l+1 l (cos θ) , para l = 0, 1, 2, . . . .A solução geral para a equação de Laplace em um problema com simetria azimutalé uma combinação linear das funções básicas acima:∞∑(φ (r, θ) = A l r l + B )lPr l+1 l (cos θ) .l=0A utilização das condições de contorno é que deve especificar os coeficientes A l eB l paral = 0, 1, 2, . . . .7