Eletromagnetismo I Aula 8 Exercícios: faça os problemas ... - IFSC

Neste curso trataremos apenas problemas com simetria esférica azimutal, isto é,o potencial φ não depende da variável azimutal, ϕ:φ (r) = φ (r, θ) ,ou seja,∂φ∂ϕ = 0.Temos, então, a equação diferencial parcial:[ ]1 ∂r2∂φ (r, θ)+ 1r 2 ∂r ∂r r 2 sin θ∂∂θ[sin θ]∂φ (r, θ)∂θ= 0.O Método da Separação de VariáveisEsse método consiste em supor que φ (r, θ) pode ser escrita como um produtode duas funções, uma somente dependente de r e outra dependente apenas de θ.Assim, escrevemos:φ (r, θ) = R (r) Θ (θ) .É claro que a solução para um problema específico pode não ter essa forma, maso método de separação de variáveis permite encontrar um conjunto completo defunções do tipo proposto acima, que são individualmente soluções da equaçãode Laplace. Basta então fazermos uma combinação linear adequada das funçõesbásicas e impormos as condições de contorno do problema para determinar os coeficientesda combinação. Vamos, então, ilustrar o método na prática. Comecemospela substituição do ansatz acima na equação de Laplace:1 ∂r 2 ∂r[rΘ (θ)r 2]2∂R (r) Θ (θ)∂r[ ]dr2dR (r)dr dr+1r 2 sin θ+ R (r)r 2 sin θ[]∂ ∂R (r) Θ (θ)sin θ =∂θ ∂θ[ ]d dΘ (θ)sin θ = 0.dθ dθPodemos, agora, dividir por R (r) Θ (θ) e multiplicar por r 2 essa equação paraobter:[ ][ ]1 dr2dR (r) 1 d dΘ (θ)+sin θ = 0.R (r) dr dr sin θΘ (θ) dθ dθO primeiro termo do membro esquerdo é uma função que só depende de r, enquantoque o segundo termo depende apenas de θ. Como r e θ são variáveis5