Eletromagnetismo I Aula 8 Exercícios: faça os problemas ... - IFSC

Teorema II: O Teorema da Unicidade Dois potenciais eletrostáticos, ambos soluçõesda equação de Laplace em uma região V , que satisfazem as mesmas condições decontorno na fronteira S de V , são iguais para a condição de Dirichlet e podemdiferir, no máximo, por uma constante aditiva para a condição de Neumann.Prova: Tomemos como hipótese a negação da tese do teorema e procuremos poruma contradição como conseqüência lógica. Assim, suponhamos que∇φ 1 ≠ ∇φ 2em V , isto é, φ 1 e φ 2 não diferem apenas por uma constante aditiva. Além disso,também suponhamos que φ 1 e φ 2 são soluções da equação de Laplace em V :∇ 2 φ 1 = ∇ 2 φ 2 = 0,com φ 1 e φ 2 satisfazendo as mesmas condições de contorno em S (V ), onde S (V )é a fronteira de V . Ou seja, mais especificamente, sejaS= S A ∪ S Bcomφ 1 = φ 2em S A eˆn · ∇φ 1 = ˆn · ∇φ 2em S B . Notemos que estamos também incluindo os casos em queque é o problema de Dirichlet, e(S A , S B ) = (S, Ø) ,(S A , S B ) = (Ø, S) ,que é o problema de Neumann.Construamos, portanto, a função diferença:Evidentemente,em S A eU = φ 1 − φ 2 .U = 0ˆn · ∇U = 02