Eletromagnetismo I Aula 8 ExercÃcios: faÃ§a os problemas ... - IFSC

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independentes, podendo assumir quaisquer valores, segue que a única forma determos a soma dessas duas funções igual a zero é se ambas forem constantes:[ ][ ]1 dr2dR (r)1 d dΘ (θ)= −sin θ = α,R (r) dr dr sin θΘ (θ) dθ dθonde α é a chamada constante de separação. Assim, temos agora duas equaçõesdiferenciais ordinárias para resolver:[ ]dr2dR (r)= αR (r) ,dr dr[ ]1 d dΘ (θ)sin θ = −αΘ (θ) .sin θ dθ dθConsideremos a funçãoR l (r) = A l r l + B lr l+1,onde A l e B l são constantes arbitrárias. Essa função, se l for escolhido tal quel (l + 1) = α,é solução da primeira equação diferencial acima. Para verificarmos isso, calculemos:Logo,e, portanto,dR l (r)drr 2dR l (r)dr[dr 2dR ]l (r)dr dr= lA l r l−1 − (l + 1) B lr l+2.= lA l r l+1 − (l + 1) B lr l= l (l + 1) A l r l + l (l + 1) B l[= l (l + 1) A l r l + B ]lr l+1= l (l + 1) R l (r) = αR l (r) .Essa solução é a solução geral da equação diferencial de segunda ordem para R (r)acima, pois tem duas constantes arbitrárias. Resta agora encontrarmos a soluçãoda equação diferencial para Θ (θ). Para nossos interesses neste curso, procuramospor soluções fisicamente válidas quando θ = 0 e θ = π. Logo, as soluções queprocuramos são os chamados polinômios de Legendre:Θ (θ) = P l (cos θ) , com l = 0, 1, 2, . . . .r l+16
Alguns exemplos são:P 0 (cos θ) = 1,P 1 (cos θ) = cos θ,P 2 (cos θ) = 1 (3 cos 2 θ − 1 ) ,2P 3 (cos θ) = 1 (5 cos 3 θ − 3 cos θ ) ,2.Assim, encontramos um conjunto completo de funções de (r, θ), cada uma satisfazendoa equação de Laplace:(φ l (r, θ) = A l r l + B )lPr l+1 l (cos θ) , para l = 0, 1, 2, . . . .A solução geral para a equação de Laplace em um problema com simetria azimutalé uma combinação linear das funções básicas acima:∞∑(φ (r, θ) = A l r l + B )lPr l+1 l (cos θ) .l=0A utilização das condições de contorno é que deve especificar os coeficientes A l eB l paral = 0, 1, 2, . . . .7
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Page 3: em S B . Também é claro que∇ 2

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