Mecânica - IFSC - USP

Mecânica
Esmerindo Bernardes 1
L.I.A. – Laboratório de Instrumentação Algébrica
Departamento de Física e Ciência dos Materiais
Instituto de Física de São Carlos
Universidade de São Paulo
www.lia.if.sc.usp.br
18 de Junho de 2010
1 email: sousa@if.sc.usp.br

Conteúdo
1 Introdução 1
2 Cinemática 3
2.1 O espaço Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Vetor posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Trajetórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Velocidade e aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7 Espaço percorrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Translações 25
3.1 Os princípios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 As forças da natureza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Aplicações da segunda lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.1 Forças constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.2 Forças dependentes da velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.3 Forças dependentes da posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Leis de conservação I 45
4.1 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Energia cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Energia potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4 Energia mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
iii

CONTEÚDO
CONTEÚDO
4.5 Períodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.6 Comentários gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5 Rotações 61
5.1 Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Energia rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3 Dinâmica rotacional e leis de conservação II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.4 As equações de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6 Gravitação 83
6.1 Um sistema de dois corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2 A energia potencial de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3 Trajetórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.4 O campo gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5 Correções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7 Relatividade restrista 93
7.1 Transformações de Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2 Transformações de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.3 Mecânica relativística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A Análise dimensional 99
B Séries de Taylor 101
B.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
C Coordenadas polares 103
iv

Capítulo 1
Introdução
Estas notas de aulas não pretendem substituir
qualquer livro texto sobre mecânica Newtoniana.
Elas existem apenas como uma forma de organização
de vários tópicos importantes que são comumente
abordados em um primeiro curso sobre as
leis de Newton para o movimento e suas aplicações.
Como tal, elas pretendem ser concisas e enfatizar
apenas conceitos fundamentais, indispensáveis
à aquisição e manipulação de muitos outros conceitos
físicos utilizados em Ciências.
Cabe a você estudante ser extremamente crítico
e procurar pela coerência de cada informação contida
nestas notas. Além disto, estas notas de aulas
devem ser usadas como uma extensa lista de
exercícios. O caminho para chegar nos resultados
exibidos é sempre comentado, cabendo a você a
tarefa de executar os passos intermediários. Assim,
você saberá exatamente de onde veio qualquer
resultado, fórmula ou teorema, bem como suas
condições de validade. Em geral, cada resultado é
válido em um determinado contexto, o qual é revelado
durante a execussão dos passos intermediários.
Outro benefício decorrente da execussão dos passos
intermediários é o aumento da nossa capacidade intelectual
para lidar com conhecimentos novos.
Adotaremos uma abordagem construtivista onde
as leis da mecânica serão derivadas de observações
meticulosas da natureza através de experimentos
simples, porém extremamente ilustrativos. Numa
etapa seguinte, iremos analisar os resultados das
observações realizadas e propor modelos que os descrevam
de forma acurada. Para que estes modelos
possam ser descritos de forma elegante, prática e
com capacidade de fazer previsões, construiremos
diversas “ferramentas matemáticas”, as quais farão
parte do conjunto de ferramentas de trabalho de
qualquer profissional em Ciências Exatas. Todas
estas ferramentas serão estudadas em detalhes nos
cursos de Geometria, Cálculo Diferencial e Integral,
Equações Diferenciais, Eletromagnetismo e Termodinâmica.
Desta forma, estas notas de aula pretendem
criar um laboratório para promover a integração
de todos os demais cursos do Ciclo Básico
em Ciências. Estes cursos estão todos entrelaçados,
interligados por conduítes que permitem entrada e
saída de conhecimentos.
Em geral, desejamos usar conhecimentos adquiridos
para tornar nossa sociedade mais agradável,
justa e auto-suficiente. Hoje, vivemos em um momento
da história do conhecimento humano onde
a taxa de transferência de conhecimentos básicos
para o setor produtivo está crescendo rapidamente.
Apesar deste crescimento, ainda encontramos uma
distância muito longa entre a aquisição de conhecimentos
e o uso destes. Treinamento é uma
forma bastante eficaz de encurtar esta distância.
Vários exercícios são propostos no final de cada
capítulo para ressaltar aspectos importantes dos
resultados obtidos, além de evidenciar como estes
resultados devem ser utilizados. Na medida do
possível, procuraremos realizar exercícios de empreendimento
e transferência de conhecimento construindo
máquinas simples e/ou fazendo simulações
computacionais. Procuraremos construir máquinas
simples cujos princípios de funcionamento dependam
exclusivamente das leis de Newton para o
movimento, como foguetes de água e giroscópios.
Também simularemos via computação algébrica
(ou simbólica) o movimento de objetos sujeitos
às forças elástica, gravitacional e eletromagnética,
sempre agregando alguns efeitos realistas como dissipações
e ressonâncias.
1

Capítulo 1. Introdução
Várias rotinas em computação algébrica serão
criadas, passo a passo, para implementarem os conhecimentos
adquiridos através dos textos de referência
e notas de aula bem como aqueles adquiridos
em sala de aula. Computação algébrica é sem
dúvida uma ferramenta indispensável ao ensino e
pesquisa. Além disto, assim como os atuais estudantes,
este curso pretende ser pós-computadores.
Os computadores serão usados para executar tarefas
que nos tomariam muito tempo, nos liberando
para construir modelos e analisar seus resultados,
exercitando assim ainda mais a nossa capacidade
intelectual. Mais especificamente, usaremos
o computador para resolver as equações diferenciais
decorrentes das leis de Newton, desenhar
as trajetórias decorrentes e realizar as animações
correspondentes. Derivadas, integrais e soluções
numéricas de equações diferenciais serão efetuadas
computacionalmente por um processo similar
ao uso de calculadoras de bolso na realização de
operações aritméticas.
Não basta sabermos resolver determinados
exercícios, em geral com o intuito de sermos aprovados
em um determinado curso. Devemos aprender a
aplicar nossos conhecimentos adquiridos num contexto
mais amplo. Também não podemos esperar
por um momento mágico para começarmos a desenvolver
nossa capacidade empreendedora. O melhor
momento para isto é agora. Ao estudar as leis de
Newton para o movimento e suas aplicações, desenvolva
concomitantemente a sua capacidade empreendedora.
Imagine o computador a sua fábrica e
uma determinada linguagem de programação como
matéria prima. Você é capaz de produzir com seus
conhecimentos adquiridos? Simular o movimento
de uma simples bolinha de gude sob ação da gravidade
(com alguma dissipação) é um excelente produto.
O objetivo deste curso é oferecer oportunidades,
através de exemplos e exercícios, para que
você aprenda a aprender. Assim, você estará caminhando
na direção de se tornar uma pessoa e
um profissional crítico, analítico, com capacidade
de absorver, gerar e transmitir conhecimentos, conforme
requer o projeto pedagógico desta universidade.
Nestas notas, abordaremos os tópicos seguintes:
1. Cinemática. Iniciaremos estudando as propriedades
básicas do espaço Euclidiano, palco
de quase todos os movimentos que iremos estudar.
Precisaremos saber como representar
pontos (objetos) e curvas (trajetórias) neste
espaço. Para tal, teremos que construir sistemas
de coordenadas, vetores e algumas ferramentas
específicas, como os produtos escalar
e vetorial, para lidar com vetores. Mais
detalhes serão vistos no curso de Geometria
Analítica. Em seguida, construiremos mais
ferramentas específicas (derivadas e integrais)
para lidarmos com velocidades, acelerações,
forças e trajetórias. Mais detalhes sobre derivadas
e integrais serão vistos nos diversos cursos
de Cálculo. Finalmente, faremos uso de
computao (algébrica ou simbólica) para simular
objetos reais em movimento. Estes tópicos
estão discutidos no Cap. 2 (Cinemática) das
notas de aulas.
2. Dinâmica. Estabeleceremos aqui as leis que
governam um movimento geral (translação +
rotação). Iniciaremos pelas leis que governam
as translações. Utilizaremos de alguns
experimentos para estabelecermos tais leis.
Em seguida, construiremos uma estrutura matemática
para expressarmos e manipularmos
tais leis. Esta estrutura matemática, como
veremos, será auto-consistente, elegante e capaz
de fazer previsões. Em seguida, estudaremos
as leis que governam as rotações. Veja os
Caps. 3 (Translações), 4 (Rotações) e 5 (Leis
de Conservação) das notas de aulas.
3. Gravitação. Veremos como Newton usou
o conceito de força, recém inventado por
ele mesmo, para explicar como objetos são
atraídos pela Terra, bem como nossos planetas
orbitão o Sol. Também deduziremos as leis
de Kepler da força da gravidade proposta por
Newton. Finalizaremos nossas discussões estudando
os fundamentos da Relatividade Restrita.
Veja o Cap. 6 (Gravitação).
Além das notas de aulas, as seguintes referências
podem ser úteis:
1. Herch Moysés Nussenzveig – Curso de Física
Básica: Mecânica.
2. Alaor Silvério Chaves – Curso Básico para Estudantes
de Ciências Físicas e Engenharias.
Vol. 1: Mecânica.
2

Capítulo 2
Cinemática
Estudaremos aqui os conceitos de posição, velocidade
e aceleração, sem nos preocupar com as
suas causas, ao invés, procuraremos construir ferramentas
matemáticas adequadas a uma descrição
elegante e prática destas grandezas físicas.
Em geral, um objeto qualquer move-se em um
determinado espaço. Portanto, precisaremos construir
uma forma efetiva de representar posição, velocidade
e aceleração deste objeto em cada instante
de tempo neste espaço. Para efetuarmos esta
construção, denominada de sistemas de coordenadas,
iremos precisar de ferramentas matemáticas.
Precisaremos de pontos para localizar nossos objetos
físicos e de curvas para representar suas trajetórias.
Precisaremos também de vetores (por
exemplo, os vetores posição, velocidade, aceleração
e forças) bem com de matrizes (por exemplo, momento
de inércia) para representar diversas quantidades
físicas. Também iremos construir ferramentas
específicas, como derivadas e integrais, além de
produtos escalares e vetorias, para modificarmos
quantidades físicas.
2.1 O espaço Euclidiano
O que é o espaço? Pode parecer inacreditável,
mas ainda não dispomos de uma resposta concreta
a esta pergunta e, talvez, nunca venhamos tê-la.
No entanto, veremos que, mesmo desprovidos de
uma definição, seremos capazes de usar o espaço de
forma operacional. Encontraremos outras duas situações
análogas envolvendo os conceitos de tempo
e massa. Esta capacidade de operar com conceitos
desprovidos de uma definição única é, sem dúvidas,
uma das grandes conquistas humanas.
Por enquanto vamos admitir a “existência” de
um espaço caracterizado pelas seguintes qualidades:
(i) a soma dos espaços das partes é igual ao
espaço do todo contendo estas partes; (ii) o espaço
é desprovido de matéria e, portanto, desprovido de
qualquer propriedade que possa influenciar no movimento
dos corpos; (iii) o espaço é homogêneo, isto
é, qualquer posição ao longo de uma determinada
direção é sempre igual às demais; (iv) o espaço é
isotrópico, isto é, estando em uma posição fixa, todas
as direções são idênticas; (v) o espaço apresenta
três dimensões independentes (por exemplo,
largura, profundidade e altura) e é infinito. Como
veremos a seguir, estas propriedades tornam operacional
o conceito de espaço.
Tendo estabelecido estas propriedades, podemos
afirmar que objetos podem ser localizados neste
espaço através de coordenadas, medidas em relação
a alguma posição fixa, previamente escolhida, a
qual chamaremos de referencial. Note, portanto,
que coordenadas são medidas relativas de distância.
Também é importante mencionar que espaço e
tempo são conceitos distintos: relógios sincronizados
podem ser colocados simultaneamente em
qualquer posição neste espaço que estamos considerando.
Desta forma, trabalharemos com a noção
de tempo absoluto, ou seja, relógios sincronizados
sempre marcarão os mesmos intervalos de tempo
em qualquer posição do espaço. Discutiremos as
propriedades operacionais da noção de tempo na
segunda parte contendo as leis de Newton.
É importante ter em mente que o conceito de
espaço que estamos usando aqui, comumente denominado
de espaço Euclidiano, uma homenagem
ao matemático grego Euclides que viveu no Séc. III
a.c., considerado o fundador da geometria plana, foi
estabelecido somente a partir do Séc. XIV. As principais
propriedades dos objetos geométricos da geo-
3

2.1. O espaço Euclidiano Capítulo 2. Cinemática
metria Euclidiana serão estudadas detalhadamente
no curso de Geometria Analítica. No entanto, usaremos
aqui as noções de ponto como sendo um objeto
adimensional, de curva como sendo um objeto
unidimensional (tendo apenas comprimento, como
retas, parábolas, circunferências, elipses, espirais,
etc.) e de superfície como sendo um objeto bidimensional
(tendo apenas área, como planos, cascas
esféricas e cilíndricas, etc.). Também utilizaremos
a noção de vetor como sendo uma flecha
(segmento de reta) tendo comprimento, direção e
sentido. Também assumiremos que o teorema de
Pitágoras 1 para triângulos retângulos seja conhecido.
Muito bem, tendo estabelecido as principais propriedades
do espaço Euclidiano, o qual está prontinho
para receber objetos, devemos fixar uma
notação para as coordenadas que irão localizar um
determinado objeto. A Figura 2.1 ilustra uma
situação típica: um ponto m, com coordenadas
m(x, y, z), representado em um sistema de coordenadas
com eixos X, Y e Z mutuamente perpendiculares
(ortogonais), conhecido como sistema de
coordenadas cartesiano, introduzido por René Descartes
no Século XVII. Os números reais (x, y, z)
são determinados graficamente da seguinte forma:
primeiro traçamos uma reta paralela ao eixo Z passando
por m até interceptarmos o plano XY . Passando
por este ponto de intersecção, traçamos retas
paralelas aos eixos Y e X, as quais interceptam os
eixos X e Y em x e y, respectivamente. A coordenada
z é obtida traçando uma reta paralela ao
plano XY até interceptarmos o eixo Z em z.
É possível calcular a distância entre dois pontos,
digamos A(x a , y a , z a ) e B(x b , y b , z b ), neste espaço
Euclidiano usando somente suas coordenadas, sem
a necessidade de uma régua? Sim, é perfeitamente
possível. Uma possível maneira é definir a distância
entre dois pontos como sendo o comprimento do
segmento de reta que os une. Por exemplo, o
segmento de reta que une a origem O(0, 0, 0) e
o ponto m(x, y, z) na Figura 2.1 tem um comprimento
igual a √ x 2 + y 2 + z 2 , como podemos obter
aplicando o teorema de Pitágoras duas vezes (faça
o Exercício 2). Assim, a distância entre a origem
O e o ponto m é √ x 2 + y 2 + z 2 . Este exemplo nos
ensina que em geral a distância d(A, B) entre dois
1 A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado
da hipotenusa.
X
x
î
z
ˆk
O
Z
Figura 2.1: Um objeto m localizado no espaço Euclidiano
XY Z pelo vetor posição ⃗r com coordenadas
(x, y, z). Os versores î, ˆȷ e ˆk são ortogonais e
estão normalizados a unidade.
pontos quaisquer A(x a , y a , z a ) e B(x b , y b , z b ) pode
ser calculada através de suas coordenadas por
d(A, B) =
⃗r
ĵ
= √ (x b − x a ) 2 + (y b − y a ) 2 + (z b − z a ) 2 . (2.1)
Como um vetor é formado por dois pontos no
espaço (origem e ponta), então podemos usar a expressão
da Eq. (2.1) para calcularmos o comprimento
de vetores (faça os Exercícios 1–3).
2.1.1 Exercícios
Exercício 1
Use o teorema de Pitágoras para determinar o comprimento
do vetor ⃗ρ no plano XY na Figura 2.1 em
termos das coordenadas x e y.
Exercício 2
Use o resultado do exercício anterior e novamente
o teorema de Pitágoras para determinar o comprimento
do vetor ⃗r na Figura 2.1.
Exercício 3
Mostre que o comprimento do vetor ⃗r calculado no
exercício anterior também pode ser obtido pela expressão
dada na Eq. (2.1) com o ponto A sendo a
⃗ρ
m
y
Y
4

Capítulo 2. Cinemática
2.2. Vetor posição
origem O e o ponto B sendo o ponto m (veja a
Figura 2.1).
2.2 Vetor posição
Na Figura 2.1 estamos usando o vetor ⃗r para indicar
a posição do objeto m. Um vetor com a origem
fixa na origem de um sistema de coordenadas
e com a ponta na posição de um objeto (em movimento
ou não) é denominado de vetor posição. Em
princípio não precisamos usar um vetor para localizar
um ponto no espaço. No entanto, a noção de
velocidade requer a presença de um vetor posição,
isto é, requer a especificação de uma direção e de
um sentido, além do seu valor. Quando há movimento,
é importante especificar também a direção
e o sentido deste movimento. Em outras palavras,
precisamos saber para onde estamos indo, literalmente.
Como veremos, vetores constituem uma
linguagem matemática extremamente concisa, elegante
e prática para descrevermos posições, velocidades,
acelerações e outras quantidades físicas,
como forças, que necessitam de direção e sentido,
além de intensidade, para serem especificadas completamente.
Em geral, quando a origem de um vetor estiver
na origem de um sistema de coordenadas, escreveremos
um vetor como uma matriz linha, ⃗r = (x, y, z),
formada pelas componentes x, y e z da ponta do
vetor. Note que as coordenadas (x, y, z) do vetor
⃗r são as mesmas coordenadas do ponto m. Isto
ocorre toda vez que colocamos a origem de qualquer
vetor na origem do sistema de coordenadas. As coordenadas
(x, y, z) do vetor ⃗r representam as suas
projeções (ortogonais) sobre os três eixos ortogonais
X, Y e Z, respectivamente (veja a Figura 2.1).
Também devemos lembrar que as propriedades de
homogeneidade (o epaço é o mesmo ao longo de
uma dada direção) e isotropia (o espaço é o mesmo
em todas as direções) nos permitem fixar a origem
do sistema de coordenadas em qualquer posição do
espaço, ou, equivalentemente, nos podemos sempre
transladar nossos vetores sem girá-los. Observe que
esta translação deve ser feita de tal forma a manter
o vetor na nova posição, sempre paralelo ao vetor
original. Esta translação sem rotação é conhecida
por transporte paralelo.
Essencialmente, o que estamos fazendo é usando
vetores para representar posições. vejamos então
algumas propriedades importantes sobre vetores.
Primeiro, vamos denotar por ˆr um vetor de comprimento
unitário, o qual chamaremos de versor.
Sendo r o comprimento do vetor ⃗r, então ˆr = ⃗r/r.
Observe na Figura 2.1 que o teorema de Pitágoras
para triângulos retângulos nos permite escrever ⃗ρ =
xî+yˆȷ, bem como ⃗r = ⃗ρ+zˆk, ou seja ⃗r = xî+yˆȷ+zˆk.
Este resultado está nos informando que podemos
fazer combinações lineares de vetores, isto é, multiplicação
de vetores por números 2 e soma entre vetores.
Seja α e β dois números reais e ⃗r 1 = (x 1 , y 1 , z 1 )
e ⃗r 2 = (x 2 , y 2 , z 2 ) dois vetores (posição). Então,
somando componentes multiplicadas por números,
podemos formar um terceiro vetor,
⃗r 3 = α⃗r 1 + β⃗r 2
= (αx 1 + βx 2 , αy 1 + βy 2 , αz 1 + βz 2 ). (2.2)
Note que combinação linear é uma operação entre
dois vetores (operação binária), fornecendo um terceiro
vetor. Esta propriedade, compartilhada por
todos os vetores, é fundamental para atribuirmos
ao conjunto dos vetores a condição de “espaço vetorial”,
um dos tópicos centrais do curso de Álgebra
Linear.
Outra característica de um vetor, muito importante
para a Física, é o seu comportamento em
relação a rotações em torno de um eixo fixo e à
inversões espaciais. Quando um vetor é rodado em
torno de um eixo fixo, o comprimento do vetor não
é alterado. Apenas a sua direção (e sentido) é alterada.
Inversão espacial significa trocar simultaneamente
o sinal de todas as coordendas (“virar ao
avesso”). Portanto, uma inversão espacial mantém
a direção e muda apenas o sentido do vetor. Um
candidato a vetor (que tem comprimento, direção e
sentido) que permanece invariante a uma inversão
espacial é denominado de pseudo-vetor (exemplos
de pseudo-vetores serão apresentados na Sec. 2.4,
após estudarmos o produto vetorial). Por falar em
vetor e pseudo-vetor, o vetor resultante ⃗r 3 em (2.2)
tem o mesmo comportamento que os vetores ⃗r 1 e
⃗r 2 mediante rotações e inversões espaciais?
2 Números também são conhecidos por escalares, ou seja,
quantidades que precisam apenas de sua magnitude para
serem especificados completamentes.
5

2.3. Produto escalar Capítulo 2. Cinemática
2.2.1 Exercícios
Exercício 4
Desenhe os vetores posição R ⃗ 1 = (1, 2, 1) e R ⃗ 2 =
(1, 1, 2) em um mesmo sistema cartesiano de coordenadas
(ortonormal). Determine as coordenadas
da soma R ⃗ 1 + R ⃗ 2 e da diferença R ⃗ 1 −R ⃗ 2 e representeos
no mesmo sistema de coordenadas anterior. Use
o teorema de Pitágoras para determinar o comprimento
de cada vetor. Repita este procedimento
para outras combinações lineares.
2.3 Produto escalar
Há outras operações binárias que podemos realizar
com vetores, além da combinação linear (2.2)? É
possível inventar uma operação entre dois vetores
que nos dê informações sobre seus comprimentos
e o ângulo entre eles? Sim, é possível. Vejamos
como.
Também podemos realizar uma operação binária
envolvendo dois vetores cujo resultado é um número
real. Esta operação binária entre os vetores ⃗r 1 e ⃗r 2 ,
denotada por ⃗r 1 · ⃗r 2 , será denominada de produto
escalar. O produto escalar é definido requerendo
que ele satisfaça quatro propriedades: que ele seja
simétrico e linear,
⃗r 1 · ⃗r 2 = ⃗r 2 · ⃗r 1 ∈ R, (2.3)
⃗r 3 · (α⃗r 1 + β⃗r 2 ) = α ⃗r 3 · ⃗r 1 + β ⃗r 3 · ⃗r 2 , (2.4)
respectivamente, onde α e β são são números reais;
que ele seja positivo definido,
{
= 0 se ⃗r = ⃗0
⃗r · ⃗r
; (2.5)
> 0 se ⃗r ≠ ⃗0
e que o comprimento r de um vetor ⃗r qualquer
possa ser calculado por
r = ||⃗r|| = √ ⃗r · ⃗r. (2.6)
A propriedade (2.3) nos diz que o produto escalar
é uma operação binária simétrica (ou comutativa).
A propriedade (2.4) significa que o produto escalar
é linear, pois obedece a propriedade distributiva.
Note que os número α e β no lado direito de (2.4)
podem ser retirados de dentro dos produtos escalares.
A propriedade (2.5) nos garante que o produto
escalar é bem comportado (não-degenerado), pois
ela evita que o produto escalar de um vetor com ele
mesmo seja nulo sem que o vetor seja nulo. A propriedade
(2.6) nos diz que o comprimento, também
conhecido por módulo ou norma, pode ser calculado
pelo produto escalar. Podemos notar então
que a propriedade (2.5) está em sintonia com a
definição (2.6) de comprimento como sendo uma
quantidade real positiva ou nula. Nula quando, e
somente quando, o vetor for nulo.
Uma questão importante é: como realizar esta
operação binária, denominada de produto escalar,
em termos de coordenadas? ou seja, como tornar o
produto escalar operacional? Graças à propriedade
distributiva (2.4), basta conhecermos todos os produtos
escalares possíveis entres os versores î, ˆȷ e ˆk,
colocados ao longo dos três eixos independentes do
espaço Euclidiano (veja a Figura 2.1). Desta forma,
teremos, em princípio, nove produtos escalares a serem
determinados, pois cada vetor pode ser escrito
como uma combinação linear dos versores î, ˆȷ e ˆk
do sistema de coordenadas escolhido. No entanto,
a propriedade de simetria, presente na definição do
produto escalar em (2.3), reduz para seis o número
de produtos escalares que devemos conhecer. Uma
forma eficiente de guardarmos estes produtos escalares
é utilizando um arranjo matricial, isto é, numa
matriz 3 × 3,
⎛
î · î î ·ˆȷ î · ˆk ⎞
g = ⎝ˆȷ · î ˆȷ · ˆȷ ˆȷ · ˆk ⎠ . (2.7)
ˆk · î ˆk ·ˆȷ ˆk · ˆk
Utilizando a matriz (2.7), contendo todos os produtos
escalares entre os versores de base, denominada
de métrica, podemos mostrar que o produto
escalar entre dois vetores quaisquer é calculado
em termos de suas componentes da seguinte
forma (faça o Exercício 5),
⃗r 1 · ⃗r 2 = ⃗r 1 g ⃗r T 2 , (2.8)
na qual ⃗r 2
T é uma matriz coluna, obtida da matriz
linha representando o vetor ⃗r 2 pela transposição de
suas linhas por colunas. As operações matriciais
em (2.8) são totalmente equivalentes ao uso da propriedade
de linearidade (2.4) com os vetores escritos
explicitamente em termos de seus versores (tenho
certeza que você irá verificar isto). Esta parece
uma estória sem fim. Afinal de contas, como poderemos
calcular os produtos escalares que aparecem
na métrica (2.7)? Não podemos! Estes produtos
escalares devem ser fornecidos. Decepcionado?
6

Capítulo 2. Cinemática
2.3. Produto escalar
Para entendermos melhor esta situação, devemos
nos perguntar: qual é o significado geométrico do
produto escalar?
ĵ
(a)
î + ĵ
î
⃗C
Ĉ
θ
ˆB
(b)
Figura 2.2: O produto escalar está associado com
a projeção geométrica de um vetor sobre o outro.
Veja os teoremas 1 e 2.
Para entendermos melhor o significado
geométrico do produto escalar, devemos calcular
primeiro o produto escalar entre dois vetores
perpendiculares (ortogonais). Vamos usar os versores
î e ˆȷ como dois representantes típicos de vetores
ortogonais. Como indicado na Figura 2.2 (a), o
comprimento da soma vetorial î + ˆȷ é a hipotenusa
do triângulo retângulo formado pelos versores
î e ˆȷ. Como os versores possuem comprimento
unitário, por definição, então a hipotenusa pode
ser calculada usando o teorema de Pitágoras,
||î +ˆȷ|| 2 = ||î|| 2 + ||ˆȷ|| 2 . (2.9)
Sim, você tem razão. Naturalmente, o valor da
hipotenusa também pode ser calculado usando somente
a ferramenta (2.6) para calcular o comprimento
de um vetor,
||î+ˆȷ|| 2 = (î+ˆȷ)·(î+ˆȷ) = ||î|| 2 +||ˆȷ|| 2 +2î·ˆȷ, (2.10)
onde usamos também a propriedade distributiva do
produto escalar. Comparando estes dois resultados,
(2.9) e (2.10), podemos concluir que î · ˆȷ = 0.
Isto significa que o produto escalar entre dois vetores
ortogonais é nulo. Caso os vetores não sejam
unitários, seguindo o mesmo raciocínio anterior,
este resultado continua valendo. Portanto ele
é um teorema:
Teorema 1
Sejam ⃗ A e ⃗ B dois vetores perpendiculares. Então,
⃗A · ⃗B = 0 ⇔ ⃗ A ⊥ ⃗ B. (2.11)
⃗A
⃗B
Portanto, já sabemos o significado e o valor de
cada elemento na diagonal da métrica (2.7) associada
ao sistema de coordenadas cartesiano da Figura
2.1, pois nossos versores î, ˆȷ e ˆk possuem comprimentos
iguais a um (são unitários). E quando
os vetores não são perpendiculares? qual é o significado
do produto escalar? Considere dois vetores
arbitrários A ⃗ e B, ⃗ formando um ângulo θ entre eles.
Dois vetores sempre estão em um plano, como mostrado
na Figura 2.2 (b). Escolha neste plano um vetor
C ⃗ perpendicular a B. ⃗ Naturalmente, os versores
ˆB e Ĉ formam uma base ortonormal para o vetor A, ⃗
isto é, podemos escrever A ⃗ = A cos θ ˆB + A sin θ Ĉ.
Efetue agora o produto escalar A ⃗ · ˆB e use o Teorema
1. Resulta que A cos θ = A ⃗ · ˆB. Isto é exatamente
a projeção do vetor A ⃗ sobre o vetor B ⃗ (ou
na direção do vetor B). ⃗ Note na Figura 2.1 que
⃗r · î = x, ⃗r · ˆȷ = y e ⃗r · ˆk = z. Naturalmente, os papeis
de ⃗ A e ⃗ B podem ser perfeitamente invertidos.
Assim, temos um segundo teorema:
Teorema 2
Sejam ⃗ A e ⃗ B dois vetores formando um ângulo θ entre
eles. Então,
⃗A · ⃗B = AB cos θ. (2.12)
Note que este teorema nos permite calcular o produto
escalar entre dois vetores sem a necessidade
de escrevê-los em um determinado sistema de coordenadas,
basta conhecermos seus comprimentos e
o ângulo entre eles. Em geral, escreveremos nossos
vetores em algum sistema de coordenadas (ortonormal,
de preferência) e usaremos (2.12) para calcular
o ângulo entre eles.
Resumindo: além do comprimento, o produto escalar
nos dá também uma informação sobre a orientação
relativa entre vetores. Também é importante
notar que a expressão (2.12) nos fornece uma
forma operacional para calcularmos o produto escalar
entre vetores quando seus comprimentos e o
ângulo entre eles são conhecidos previamente.
Voltemos ao nosso problema original: o sistema
cartesiano da Figura 2.1. Nele, escolhemos os três
versores î, ˆȷ e ˆk mutuamente ortogonais (perpendiculares),
isto é, os ângulos entre estes versores é
de 90 graus. Portanto, usando o Teorema 2, nossa
métrica (2.7) pode ser escrita explicitamente,
⎛
î · î î ·ˆȷ î · ˆk ⎞ ⎛
g = ⎝ˆȷ · î ˆȷ ·ˆȷ ˆȷ · ˆk ⎠ = ⎝ 1 0 0 ⎞
0 1 0⎠ , (2.13)
ˆk · î ˆk · ˆȷ ˆk · ˆk 0 0 1
7

2.4. Produto vetorial Capítulo 2. Cinemática
ou seja, ela é a matriz identidade. Isto simplifica
muito nossa vida e explica a importância prática de
usarmos sistemas ortonormais (versores ortogonais
e unitários) de coordenadas. Assim, podemos escrever
o produto escalar entre dois vetores arbitrários
⃗A = (A x , A y , A z ) e ⃗ B = (B x , B y , B z ), usando a
prescrição (2.8), em um sistema de coordenadas ortonormal
cartesiano como (verifique)
⃗A · ⃗B = ⃗ Ag ⃗ B T = A x B x + A y B y + A z B z . (2.14)
Use (2.14) para calcular o comprimento do vetor
posição ⃗r da Figura 2.1 e veja que é o mesmo valor
obtido diretamente das projeções indicadas na
mesma figura.
Também é importante ter em mente que a expressão
(2.14) é válida somente em um sistema ortonormal
de coordenadas. Caso a base não seja
ortonormal, devemos usar a métrica (2.7) em todas
as operações envolvendo o produto escalar, como
em (2.8). Também devemos ter em mente que a
métrica vem junto com a base, ela é um conjunto de
“especificações técnicas” sobre a base, uma espécie
de “manual de instruções”. Se alguém lhe vender
uma base sem a métrica, entre em contato com o
Procon mais próximo.
2.3.1 Exercícios
Exercício 5
Usando a propriedade distributiva (2.4) escreva
explicitamente o produto escalar entre os vetores
⃗r 1 = (x 1 , y 1 , z 1 ) e ⃗r 2 = (x 2 , y 2 , z 2 ). Verifique que
este resultado é idêntico às operações matriciais do
lado direito da Eq. (2.8).
Exercício 6
Efetue o produto escalar entre os vetores posição
⃗R 1 = (1, 2, 1) e ⃗ R 2 = (1, 1, 2). Calcule também o
comprimento de cada um deles bem como o ângulo
entre eles. Repita este procedimento para os vetores
resultantes da soma e da diferença entre ⃗ R 1 e
⃗R 2 . Considere um sistema ortonormal de coordenadas.
Exercício 7
Escreva uma rotina em computação algébrica para
calcular o comprimento de um vetor a partir de suas
componentes em uma base ortonormal. Use uma
estrutura do tipo lista (list) para estocar as coordenadas
de um vetor. Escreva também uma rotina
para calcular o ângulo em radianos e em graus entre
dois vetores a partir de suas coordenadas. Verifique
o funcionamento de suas rotinas comparando
os resultados delas com os resultados do exercício
anterior.
Exercício 8
Refaça as duas rotinas do exercício anterior assumindo
que a base seja arbitrária, definida pela
métrica (2.7). Use uma estrutura do tipo matriz
(Matrix) para estocar a métrica.
Exercício 9
Suponha que uma determinada base tenha a seguinte
métrica:
⎛
1 0.5
⎞
0
g = ⎝0.5 1 0⎠ . (2.15)
0 0 1
Determine os ângulos entre os versores desta base
e desenhe-a. Suponha que ⃗ R 1 = (1, 2, 1) e ⃗ R 2 =
(1, 1, 2) sejam dois vetores escritos nesta base. Determine
seus comprimentos e o produto escalar entre
eles. Desenhe-os nesta base.
2.4 Produto vetorial
Há uma outra operação binária com vetores que
é muito importante. Trata-se do produto vetorial.
Neste tipo de operação, defini-se um novo produto
entre os vetores ⃗ A e ⃗ B, denotado por ⃗ A × ⃗ B (ou
⃗A ∧ ⃗ B), denominado de produto vetorial de ⃗ A por
⃗B, do qual resulta um novo vetor. Lembre-se que o
produto escalar produz um número (escalar) real.
O produto vetorial é definido pelas seguintes propriedades:
⃗A × ⃗ B = − ⃗ B × ⃗ A, (2.16)
⃗C × (α ⃗ A + β ⃗ B) = α( ⃗ C × ⃗ A) + β( ⃗ C × ⃗ B), (2.17)
⃗A × ⃗ B = ⃗ C ⇔ ⃗ C · ⃗A = ⃗ C · ⃗B = 0, (2.18)
( ⃗ A, ⃗ B, ⃗ A × ⃗ B) : destrogiro. (2.19)
A propriedade (2.16) significa que o produto vetorial,
ao contrário do produto escalar, é antisimétrico
(troca de sinal). A propriedade (2.17)
significa que o produto vetorial, assim como o produto
escalar, é linear. Note que os escalares α e
β no lado direito de (2.17) podem ser retirados de
8

Capítulo 2. Cinemática
2.4. Produto vetorial
dentro do produto vetorial. A propriedade (2.18)
significa que o vetor resultante ⃗ A × ⃗ B é, simultaneamente,
perpendicular aos vetores ⃗ A por ⃗ B. A
propriedade (2.19) significa que o sentido do vetor
resultante ⃗ C = ⃗ A× ⃗ B é indicado pelo nosso polegar
direito quando movimentamos os demais dedos da
mão direita no sentido de ⃗ A para ⃗ B (regra da mão
direita; veja a Figura 2.3).
⃗C
θ
⃗A
Figura 2.3: O produto vetorial está associado com
a área do paralelogramo formado pelos vetores ⃗ A e
⃗B. O sentido do vetor resultante ⃗ C = ⃗ A× ⃗ B é dado
pela regra da mão direita.
Como podemos calcular as componentes do vetor
resultante C ⃗ = A× ⃗ B ⃗ a partir das componentes dos
vetores A ⃗ = (A x , A y , A z ) e B ⃗ = (B x , B y , B z )? Isto
pode ser feito em duas etapas. Primeiro observe
que a propriedade (2.18) nos fornece as seguintes
relações (verifique):
C x A x + C y A y + C z A z = 0, (2.20)
C x B x + C y B y + C z B z = 0. (2.21)
Note que estamos pressupondo que estes vetores estejam
decompostos numa base ortonormal. Caso
a base não seja ortonormal, devemos efetuar os
produtos escalares usando a métrica apropriada.
Das relações (2.20) e (2.21) podemos escrever, por
exemplo, as componentes C x e C y em função de C z
(verifique),
⃗B
C x = A yB z − A z B y
A x B y − A y B x
C z , (2.22)
C y = A zB x − A x B z
A x B y − A y B x
C z . (2.23)
Naturalmente, podemos re-escrevê-las na forma
(verifique)
C x
A y B z − A z B y
=
C y
A z B x − A x B z
C z
=
= β. (2.24)
A x B y − A y B x
Estas razões devem ser válidas para quaisquer vetores
A ⃗ e B. ⃗ Desta forma, temos as componentes
do vetor C, ⃗ resultante do produto vetorial A ⃗ × B, ⃗
em termos das componentes dos vetores A ⃗ e B ⃗ e da
constante arbitrária β. Mas como esta constante β
é arbitrária, então podemos escolher um valor para
ela: β = 1. Não se assuste, como veremos adiante,
há várias razões práticas para tal escolha. Com
β = 1 em (2.24), temos:
Teorema 3
As componentes do vetor ⃗ C = ⃗ A × ⃗ B são
C x = A y B z − A z B y ,
C y = A z B x − A x B z ,
C z = A x B y − A y B x .
(2.25)
Como veremos através de vários exemplos, escolher
β como sendo um número positivo está condizente
com a propriedade (2.19) (regra da mão
direita). Caso tivéssemos escolhido um número
negativo para β, teríamos que usar uma regra
da mão esquerda. Note que a disposição dos
índices x, y e z nas expressões dadas no Teorema
3 segue uma ordem cíclica, com valores positivos
no sentido horário, {(x, y, z), (z, x, y), (y, z, x)},
e com valores negativos no sentido anti-horário,
{(x, z, y), (y, x, z), (z, y, x)}. Veja a Figura (2.4)
com (i, j, k) trocados por (x, y, z).
Tendo as componentes (2.25), podemos calcular
o módulo do vetor C ⃗ usando o produto escalar
(2.6). Após um pouco de paciência (Faça o
Exercício 10; use computação algébrica para checar
os resultados), encontraremos
C 2 = A 2 B 2 − ( ⃗ A · ⃗B) 2 , (2.26)
a qual pode ser perfeitamente re-escrita, usando a
propriedade (2.12), em termos do ângulo θ entre ⃗ A
e ⃗ B,
C 2 = A 2 B 2 − A 2 B 2 cos 2 θ = (AB) 2 sin 2 θ. (2.27)
Portanto, temos:
9

2.4. Produto vetorial Capítulo 2. Cinemática
Teorema 4
O módulo do vetor ⃗ C = ⃗ A × ⃗ B pode ser convenientemente
calculado por
î
C = AB |sin θ|. (2.28)
ˆk
+
ĵ
+
Assim, este Teorema 4 nos permite calcular o comprimento
do vetor resultante de um produto vetorial
a partir dos comprimentos dos vetores iniciais e
do ângulo entre eles, sem a necessidade de escrevêlos
em um sistema de coordenadas. Esta situação
é análoga àquela relacionada com o Teorema 2.
Vimos anteriormente que um produto escalar
está associado com a projeção de um vetor sobre
o outro. E o produto vetorial? ele tem alguma
interpretação geométrica relevante? Sim, ele tem.
Note que a expressão (2.28) é numericamente igual
à área do paralelogramo formado pelos vetores ⃗ A
e ⃗ B (veja a Figura 2.3 para se convencer disto e
faça o Exercício 13). Esta propriedade será usada
para derivarmos uma das leis de Kepler para o movimento
planetário.
Vejamos outras conseqüências do Teorema 4. A
propriedade (2.28) significa que o produto vetorial
entre dois vetores paralelos (ou anti-paralelos) resulta
em um vetor nulo, pois neste caso o ângulo
entre eles é 0 graus (ou 180 graus). Esta propriedade,
juntamente com a regra da mão direita nos
permite calcular todos os produtos vetoriais entre
os versores î, ˆȷ e ˆk de uma base ortonormal:
î = ˆȷ × ˆk, ˆȷ = ˆk × î, ˆk = î × ˆȷ. (2.29)
Notas: (1) observando os produtos vetoriais (2.29),
percebemos que a regra da mão direita é equivalente
a efetuarmos permutações circulares nos versores
î, ˆȷ e ˆk, tomando o sentido horário como positivo,
como indicado na Figura (2.4); (2) podemos
ver em (2.29) que a escolha β = 1 em (2.24) garante
que o versor resultante î = ˆȷ × ˆk seja unitário; (3)
usando (2.29) e a propriedade de linearidade (2.17),
podemos calcular o produto vetorial entre dois vetores
arbitrários escritos explicitamente em termos
de uma base ortonormal (faça o Exercício 14).
Figura 2.4: O sentido do produto vetorial é dado
pela regra da mão direita. Esta regra é equivalente
à execução de permutações circulares dos versores
î, ˆȷ e ˆk: î ׈ȷ = ˆk, ˆȷ × ˆk = î e ˆk × î = ˆȷ.
Há muitas outras propriedades importantes envolvendo
simultaneamente produtos escalares e
produtos vetoriais (numa base ortonormal) as quais
serão estudadas no curso de Geometria Analítica.
Entretanto, iremos precisar em breve de uma
operação envolvendo três vetores. Nesta nova
operação iremos usar um produto vetorial e um
produto escalar. Por isto ela será denominada de
produto misto. A sua definição é: dado três vetores
⃗A, B ⃗ e C ⃗ quaisquer, o produto misto é um número
definido por C ⃗ · ( A ⃗ × B) ⃗ (veja a Figura 2.5). Note
que temos de executar primeiro o produto vetorial
⃗A × B, ⃗ o qual resultará em um vetor, para depois
calcularmos o produto escalar com C. ⃗ Que acontece
se as posições dos três vetores no produto misto
⃗C·( A× ⃗ B) ⃗ forem modificadas simultaneamente, por
exemplo para B ⃗ · ( C ⃗ × A)? ⃗ Nada! O produto misto
é invariante por permutações circulares das letras
A, B e C,
⃗A · ( ⃗ B × ⃗ C) = ⃗ C · ( ⃗ A × ⃗ B) = ⃗ B · ( ⃗ C × ⃗ A). (2.30)
Portanto, do ponto de vista operacional, o produto
misto está muito bem compreendido. E o significado
geométrico do produto misto? Muito bem,
você está aprendendo rápido as regras do nosso
jogo. O produto misto é numericamente igual ao
volume do paralelepípedo formado pelos três vetores
A, ⃗ B ⃗ e C ⃗ conforme ilustrado pela Figura 2.5
(estude a Figura 2.5 e faça o Exercício 16).
Algumas observações importantes sobre produtos
escalares e vetoriais a serem lembradas sempre:
(1) o produto escalar é um número real e, geometricamente,
está associado à projeção de um vetor sobre
o outro; (2) o produto vetorial fornece um novo
10

Capítulo 2. Cinemática
vetor (na verdade, um pseudo-vetor) cuja norma
(módulo) é numericamente igual à área do paralelogramo
subentendido pelos dois vetores que foram
usados no produto vetorial.
Mencionamos na Seção 2.2 que um pseudo-vetor
não inverte o seu sentido perante uma inversão espacial.
Desta forma, pseudo-vetores podem ser produzidos
através de produtos vetoriais, pois invertendo
os sentidos de A ⃗ e B, ⃗ simultaneamente, o
produto vetorial A ⃗ × B ⃗ não altera o seu sentido,
isto é, C ⃗ = A ⃗ × B ⃗ é um pseudo-vetor. Em Física,
temos vários pseudo-vetores importantes. Iremos
trabalhar com dois deles em Mecânica: momentum
angular L ⃗ = ⃗r × ⃗p e torque ⃗τ = ⃗r × F ⃗ , onde ⃗r é o
vetor posição, ⃗p é o momentum linear (⃗p = m⃗v) e
⃗F é a força resultante atuando no centro de massa
de um objeto de massa m. Nas nossas aplicações
iremos usar a força de Lorentz, F ⃗ L = (q/c)⃗v × B, ⃗
produzida por um campo magnético B ⃗ sobre uma
carga q em movimento com uma velocidade ⃗v, como
exemplo de outro pseudo-vetor importante.
2.4.1 Exercícios
Exercício 10
Use as componentes dadas em (2.25) para verificar
(ou provar, demonstrar) que a expressão em (2.26)
está correta.
Exercício 11
Efetue o produto vetorial entre os vetores posição
⃗R 1 = (1, 2, 1) e R ⃗ 2 = (1, 1, 2). Calcule também
o comprimento do vetor resultante deste produto
vetorial usando (2.6) e (2.28). Calcule explicitamente
o produto escalar deste vetor resultante com
os vetores posição R ⃗ 1 e R ⃗ 2 . Considere um sistema
ortonormal de coordenadas.
Exercício 12
Escreva uma rotina em computação algébrica para
calcular as componentes do vetor resultante de um
produto vetorial em termos das componentes dos
vetores originais. Considere uma base ortonormal.
Verifique o funcionamento de suas rotinas
comparando-as com os resultados do exercício anterior.
Exercício 13
Calcule a área do paralelogramo formado pelos vetores
⃗ A e ⃗ B mostrados na Figura 2.3 em termos dos
comprimentos A e B e do ângulo θ entre ⃗ A e ⃗ B.
2.4. Produto vetorial
Exercício 14
Efetue o produto vetorial entre ⃗ A = A x î+A yˆȷ+A zˆk
e ⃗ B = B x î+B yˆȷ+B zˆk explicitamente, usando apenas
a propriedade distributiva (2.17) e os produtos
vetoriais (2.29). Mostre que este procedimento nos
possibilita re-obter as expressões (2.25).
Exercício 15
Verifique que as componentes (2.25) também podem
ser calculadas através do determinante
∣
⃗A × B ⃗ î ˆȷ ˆk ∣∣∣∣ =
A
∣ x A y A z . (2.31)
B x B y B z
Refaça o Exercício 11 usando este método para calcular
o produto vetorial.
Exercício 16
Calcule o volume do paralelepípedo formado pelos
vetores A, B e C da Figura 2.5 e mostre que este
volume é numericamente igual ao produto misto
⃗C · ( A ⃗ × B). ⃗ Portanto, o produto misto está relacionado
com volume. Calcule o produto misto
entre os vetores posição ⃗ A = (1, 2, 1), ⃗ B = (1, 1, 2)
e ⃗ C = (1, 1, −1) mostrados na Figura 2.5.
β
⃗A× ⃗ B
⃗C
α
⃗B
Figura 2.5: O produto misto ⃗ C·( ⃗ A× ⃗ B) é numericamente
igual ao volume do paralelepípedo tracejado
formado pelos vetores A, B e C.
⃗A
11

2.5. Trajetórias Capítulo 2. Cinemática
2.5 Trajetórias
Tendo estabelecido propriedades importantes sobre
o espaço Euclidiano, temos que precisar a noção
de trajetória de um objeto em movimento neste
espaço. Qual é a noção cotidiana de trajetória
que temos? Eu a vejo como um seqüência de
fotografias de um objeto em movimento, tiradas
em intervalos de tempo muito pequenos, com as
posições do objeto ligadas por retas. Se os intervalos
de tempo são muito pequenos, a trajetória terá
a aparência de uma curva suave em três dimensões.
Isto é tudo que precisamos para estabelecer uma estrutura
matemática geral para qualquer trajetória.
Portanto, nosso problema agora é como representar
uma curva no espaço Euclidiano de forma eficiente,
i.e., tendo um sistema de coordenadas Cartesiano
(de preferência ortonormal), temos de encontrar
uma forma adequada (para a Mecânica) para
representarmos analiticamente uma curva em termos
de coordenadas.
Vamos iniciar pelo começo: com uma reta. E
bem no começo: com uma reta no plano XY . Estamos
bem familiarizados com uma reta no plano?
Sim, uma reta no plano XY é descrita pela equação
y = a + bx, (2.32)
introduzir um parâmetro real, o qual denotaremos
por t, da seguinte forma. Primeiro, faça x = t.
Então, de (2.32) devemos ter y = a + bt. Desta
forma, para cada valor do parâmetro t no intervalo
real [t 0 , t 1 ], teremos um ponto (x(t), y(t)) entre os
pontos (x 0 , y 0 ) e (x 1 , y 1 ) do plano XY . Assim, a
reta (2.32) pode ser re-escrita como
x(t) = t, y(t) = a + bt, t ∈ [t 0 , t 1 ]. (2.34)
Esta é a forma paramétrica de uma reta no plano
XY . Por exemplo, a reta y = 2x entre os pontos
(0, 0) e (2, 4) pode ser representada na forma paramétrica
por x = t e y = 2t, na qual t ∈ [0, 2].
Sim, de fato esta representação paramétrica parece
ser desnecessária, pelo menos para uma reta.
Entretanto, esta forma paramétrica é natural em
Mecânica, pois em geral a posição de um objeto
em movimento será uma função do tempo. Veja
uma outra situação, ainda no plano, na qual a representação
paramétrica é inerentemente de grande
valia.
y
y 0
R θ
na qual b é conhecido como o coeficiente angular
da reta. Ele é calculado conhecendo-se dois pontos
quaisquer (x 0 , y 0 ) e (x 1 , y 1 ) da reta,
b = y 1 − y 0
x 1 − x 0
. (2.33)
Naturalmente, temos nenhuma dificuldade em representar
graficamente uma reta no plano desde
que as constantes a e b da equação (2.32) sejam
dadas. Para cada valor de x, há um único valor de
y. Desta forma, vários pontos (x, y) pertencentes
à reta (2.32) podem ser encontrados rapidamente.
Por ser uma relação direta entre as coordenadas x
e y, a Eq. (2.32) é conhecida por forma direta da
equação da reta em duas dimensões (mais detalhes
serão vistos no curso de Geometria Analítica).
Apesar de não haver dificuldades em calcular os
pontos da reta (2.32), podemos interpretar este
processo computacional de forma ligeiramente diferente,
a qual será muito útil quando tivermos de
lidar com curvas tridimensionais. Esta nova maneira
de ver uma reta consiste simplesmente em
Figura 2.6: Uma circunferência de raio R centrada
em (x 0 , y 0 ).
Vamos considerar agora uma curva fechada no
plano XY . Algum palpite para uma curva fechada?
Isto mesmo, uma circunferência como aquela mostrada
na Figura 2.6. Conta-se que Giotto, considerado
o mais importante pintor da pré-renascença,
ao ser indagado sobre o que é simetria, desenhou
uma circunferência perfeita (a mão-livre, naturalmente).
A equação de uma circunferência de raio
R, centrada no ponto (x 0 , y 0 ), é bem conhecida,
x 0
(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 = R 2 , (2.35)
onde (x, y) são as coordenadas de um ponto sobre
a circunferência. Como proceder agora para repre-
x
12

Capítulo 2. Cinemática
2.5. Trajetórias
sentar esta circunferência graficamente? Uma dificuldade
em fazer este desenho surge por não dispormos
no momento de uma prescrição única de
como escrever os valores de x e y que irão satisfazer
(2.35). Tentar isolar y em função de x,
t 1
t 0
y = y 0 ± √ R 2 − (x − x 0 ) 2 , (2.36)
⃗r 1
⃗r 0
não ajuda muito, pois não é qualquer valor de x que
torna a raiz quadrada real em (2.36). A solução é
representar a circunferência (2.35) numa forma paramétrica.
Isto é feito como indicado na Figura 2.6
com θ = ωt e t ∈ [0, 2π/ω],
x − x 0 = R cos(ωt), y − y 0 = R sin(ωt). (2.37)
Assim, para cada valor do parâmetro t no intervalo
[0, 2π/ω] teremos uma circunferência completa.
Esta é a forma mais eficiente de desenhar
uma circunferência. Faça um exemplo.
Sumariando: uma trajetória é representada matematicamente
por uma curva γ no espaço Euclidiano
(mais tópicos de Geometria Analítica). Em
geral, a representação paramétrica
Figura 2.7: Uma trajetória entre os instantes t 0 e
t 1 representada como uma curva suave no espaço
Euclidiano.
Uma questão importante: como determinar
a equação de uma reta tangente em um dado ponto
da curva γ? Outra questão importante: como
determinar o comprimento da trajetória entre os
instantes t 0 e t 1 na Figura 2.7?
Veja como estes problemas são resolvidos na
seção seguinte. As soluções destes dois problemas
nos fornece uma forma eficiente para calcularmos a
velocidade (bem como sua aceleração) instantânea
e o espaço percorrido por um objeto conhecendose
a forma paramétrica de sua trajetória. As
soluções destes problemas marcou o início (Newton,
novamente) do Cálculo Diferencial e Integral
no Século XVII.
γ : t → ( x(t), y(t), z(t) ) , t ∈ [t 0 , t 1 ], (2.38)
é a forma mais eficiente de lidarmos com tais curvas
(veja a Figura 2.7). Além disto, a representação paramétrica
é natural em Mecânica com o parâmetro
t desempenhando o papel do tempo e com as coordenadas
( x(t), y(t), z(t) ) de um ponto na curva
identificadas com as coordenadas do vetor posição
⃗r(t) = ( x(t), y(t), z(t) ) do objeto no instante t.
Note que cada coordenada é também uma função
do tempo quando a posição é escrita em termos de
coordenadas. Assim, o tempo (mecânico) desempenha
naturalmente o papel de um parâmetro na
forma paramétrica de uma curva.
2.5.1 Exercícios
Exercício 17
Use computação algébrica para desenhar as seguintes
trajetórias: (1) circular (partícula carregada
em um campo magnético uniforme perpendicular
ao vetor velocidade), x = cos(2πt), y = sin(2πt),
z = 0; (2) elíptica (um planeta e um satélite),
x = 2 cos(2πt), y = 3 sin(2πt), z = 0; (3) helicoidal
(partícula carregada em um campo magnético uniforme),
x = cos(2πt), y = sin(2πt), z = t; (4) parabólico
(massa na presença da gravidade), x = t,
y = t, z = 20t − 5t 2 . Em cada caso, indique no
mesmo gráfico o vetor posição em três instantes
distintos: no início, no final e em algum instante
intermediário.
13

2.6. Velocidade e aceleração Capítulo 2. Cinemática
2.6 Velocidade e aceleração
O que são velocidade e aceleração? É a velocidade
a taxa de variação do espaço percorrido no devido
intervalo de tempo? ou é ela a taxa de variação
temporal do vetor posição? No primeiro caso ela
é um escalar enquanto que no segundo caso ela é
um vetor. Em ambos os casos a velocidade tem
dimensão de comprimento por tempo. Veremos
que estas duas definições estão corretas e intimamente
relacionadas entre si. No entanto, por ser
mais completa, vamos iniciar nossa discussão com
a definição vetorial para a velocidade ⃗v de um objeto
entre os instantes t 0 e t 1 , como mostrado na
Figura 2.7,
⃗v = ⃗r 1 − ⃗r 0
t 1 − t
( 0
x1 − x 0
= , y 1 − y 0
, z )
1 − z 0
.
t 1 − t 0 t 1 − t 0 t 1 − t 0
(2.39)
Agora observe a Figura 2.7 e compare o comprimento
do vetor diferença ∆⃗r = ⃗r 1 − ⃗r 0 com o comprimento
real da trajetória percorrida entre os instantes
t 0 e t 1 , o qual podemos chamar de ∆S. Estes
comprimento são iguais em geral? Qual é a única
situação em que eles são exatamente os mesmos?
Sim, numa trajetória retilínea. Estas observações
nos revela que ∆S > ||∆⃗r||, tornando assim a definição
escalar incompatível com a definição vetorial
para a velocidade.
Como podemos proceder para compatibilizar as
duas definições de velocidade? A resposta está nas
mesmas observações anteriores. A única maneira de
compatibilização é fazermos com que a definição vetorial
forneça como seu módulo a definição escalar.
Isto ocorrerá somente quando fixarmos o instante
t 0 e permitirmos que o instante t 1 se aproxime indefinidamente
de t 0 . Quando ∆⃗r = ⃗r 1 − ⃗r 0 for muito
pequeno, devido ao vetor posição ⃗r 1 estar muito
próximo do vetor posição inicial ⃗r 0 , certamente o
comprimento de ∆⃗r será confundido com o comprimento
da trajetória. Portanto, a velocidade no
instante t 0 deve ser definida através de um processo
limite (um tópico do curso de Cálculo),
⃗r 1 − ⃗r 0 ∆⃗r
⃗v(t 0 ) = lim = lim ∣
t 1 →t 0 t 1 − t 0 ∆t→0 ∆t
⃗r(t + ∆t) − ⃗r(t)
= lim
∆t→0 ∆t
∣
t=t0
∣ ,
t=t0
(2.40)
na qual estamos escrevendo também t 0 = t e
t 1 = t 0 + ∆t. Qual é o significado geométrico da
expressão (2.40)? Como podemos torná-la operacional?,
isto é, dada a dependência temporal das coordenadas
do vetor posição descrevendo a trajetória
de um determinado movimento, como podemos determinar
as respectivas componentes do vetor velocidade
em qualquer instante de tempo? Ainda relacionada
com a questão operacional: o limite (2.40)
realmente existe? Esta pergunta é pertinente pois,
se ∆t tende a zero a trajetória também tende a zero
(repouso). Assim, quem vai a zero primeiro, o numerador
∆⃗r ou o denominador ∆t? Numerador e
denominador ambos indo a zero resultará em uma
razão mensurável?
Não devemos esquecer que há três limites a serem
calculados em (2.40), pois a velocidade é um vetor.
Entretanto, basta usarmos uma componente, digamos
a componente X, para exemplificarmos como
aqueles limites devem ser calculados. Também não
precisamos substituir t = t 0 imediatamente após o
limite ter sido calculado. Assim, temos que entender
o limite
d
x(t + ∆t) − x(t)
x(t) = ẋ(t) = lim
dt ∆t→0 ∆t
(2.41)
do ponto de vista geométrico e torná-lo operacional.
Note que estamos usando uma notação especial
para representar este limite, denominada de
derivada de x(t) em relação a t. Importante: o
símbolo d/dt deve ser entendido como um símbolo
único, contendo o argumento da função sendo derivada
no denominador. Caso tivéssemos que derivar
a função f(x), escreveríamos d/dx. Vamos tornar
a derivada operacional através de alguns exemplos.
Suponha que a equação horária no eixo X seja
uma constante, x(t) = a, isto é, repouso. Então,
levando a função constante x(t) = a em (2.41), teremos
d
x(t + ∆t) − x(t)
x(t) = lim
dt ∆t→0 ∆t
= lim
∆t→0
a − a
∆t
= lim
∆t→0
(2.42)
0
∆t = 0,
pois o numerador já era nulo antes de executarmos
o limite. Acabamos de aprender que a derivada
de uma função constante é nula. Do ponto
de vista geométrico, devemos perceber que uma
função constante é uma reta paralela ao eixo X.
14

Capítulo 2. Cinemática
2.6. Velocidade e aceleração
Assim, qualquer função constante tem uma inclinação
(ângulo formado com o eixo X) nula, cuja
tangente (coeficiente angular) também é nula. Portanto,
o coeficiente angular de uma reta paralela ao
eixo X, x(t) = a, é numericamente igual à sua derivada
em qualquer ponto, ou seja, nulo. Vejamos
se esta relação entre derivada e tangente é mantida
em um outro exemplo.
Considere agora uma equação horária linear no
tempo, x(t) = a + bt, correspondendo a um movimento
uniforme. Então, levando a função x(t) =
a + bt em (2.41), teremos
d
x(t + ∆t) − x(t)
x(t) = lim
dt ∆t→0 ∆t
{a + b(t + ∆t)} − {a + bt} (2.43)
∆t
b = b,
∆t→0
= lim
∆t→0
= lim
pois o numerador já era igual a b antes de executarmos
o limite. Portanto, aprendemos que a
derivada de uma função linear é igual ao seu coeficiente
angular, confirmando assim nossa conjectura
que a derivada calculada em um ponto t é numericamente
igual ao coeficiente angular da reta
tangente à função x(t) (no mesmo ponto t). Note
que a reta tangente de uma reta coincide com a
própria reta. Para confirmar esta conjectura sobre
a interpretação geométrica da derivada, vejamos o
próximo exemplo.
Considere agora uma função quadrática para a
equação horária, x(t) = a+bt+ct 2 , correspondendo
a um movimento com aceleração constante. Então,
levando esta função em (2.41), teremos
d
x(t + ∆t) − x(t)
x(t) = lim
dt ∆t→0
(
∆t
)
= lim b + 2ct + c∆t (2.44)
∆t→0
= b + 2ct + lim c∆t = b + 2ct,
∆t→0
pois o limite do termo c∆t é obtido substituindo
∆t = 0. Uma regra para calcular limites: simplifique
antes suas expressões. Até aqui aprendemos
que a derivada de um polinômio t n parece obedecer
à regra nt n−1 . Também nos parece que a derivada
do produto de uma função f(t) por uma constante
c obedece à regra c df(t)/dt, isto é, a constante
pode sair para fora da derivada. Ao compararmos
o resultado em (2.43) com o resultado
(2.44) podemos conjecturar que a derivada obedece
a propriedade de linearidade, d(f(t) + cg(t))/dt =
df(t)/dt+c dg(t)/dt. De fato, estas conjecturas podem
ser provadas (no curso de Cálculo). Em geral,
as propriedades seguintes nos permitem calcular a
derivada de qualquer função suave.
Derivada de uma constante:
Linearidade:
d
a = 0, (2.45)
dt
d ( ) d
f(t) + bg(t) =
dt
dt f(t) + b d g(t), (2.46)
dt
Regra do produto:
d ( ) d
f(t)g(t) = g(t)
dt
dt f(t)
Regra da função composta:
d
dt f( g(t) ) =
+ f(t) d g(t), (2.47)
dt
[ ] d d
dg f(g) g(t). (2.48)
dt
Em particular, usaremos com freqüência derivadas
de funções elementares:
d
dt tn = nt n−1 ,
d
dt et = e t ,
d
d
sin t = cos t,
dt
d
ln t = 1/t,
(2.49)
dt
dt cos t = − sin t.
Estas propriedades e resultados serão demonstrados
no curso de Cálculo. Até lá, use-as e memorizeas.
Por exemplo, suponha y = sin(2t 2 ). Esta é uma
função composta na forma y = f(g(t)), na qual
f(g) = sin(g) e g(t) = 2t 2 . Assim, devemos usar a
regra da função composta, (2.48), para efetuar sua
derivada,
ẏ = dg
dt
df
dg = (4t) cos(g) = 4t cos(2t2 ). (2.50)
Vejamos este outro exemplo: y = cos(2t)e t2 .
Desta vez temos um produto de duas funções (um
15

2.6. Velocidade e aceleração Capítulo 2. Cinemática
cosseno vezes uma exponencial), na qual cada parcela
é uma função composta. Assim, devemos usar
primeiro a regra do produto, (2.47), e depois a regra
da função composta, (2.48),
{ }
{ }
d d
ẏ =
dt cos(2t) e t2 + cos(2t)
dt et2
= −2 sin(2t) e t2 + cos(2t)2t e t2
= 2 [ t cos(2t) − sin(2t) ] e t2 .
(2.51)
Invente outros exemplos. Use computação
algébrica para checar seus resultados. Pratique a
vontade. Faça a primeira parte do Exercício 18.
E sobre a interpretação geométrica de derivada?
Para fazermos esta interpretação corretamente, devemos
resolver um outro problema (geométrico).
Como determinar a equação da reta tangente em
um dado ponto t 0 de uma dada curva x(t)? Veja
a Figura 2.8. A única informação que temos é
que esta reta tangente deve passar pelo ponto
(t 0 , x(t 0 )), e somente por este ponto numa vizinhança
muito pequena em torno de t 0 . No entanto,
sabemos que precisaremos conhecer também o coeficiente
angular desta reta tangente e que para isto
precisaremos de um segundo ponto. Isto mesmo,
o problema é que não temos este segundo ponto.
Que fazer? A única atitude sensata é usar um outro
ponto, digamos t 1 , da curva x(t), como indicado
na Figura 2.8.
x 1
x
x(t)
De fato, esta reta secante não é a mesma reta tangente
que estamos procurando, mas se mantivermos
t 0 fixo e aproximarmos t 1 de t 0 , obteremos o coeficiente
angular da reta tangente que procuramos,
tan θ 0 = lim
t 1→t 0
x 1 − x 0
t 1 − t 0
. (2.53)
Assim, como este processo limite é o mesmo processo
limite usado para definir a velocidade instantânea
(2.40), podemos concluir que a derivada
nos dá informação sobre retas tangentes de curvas:
a derivada de uma função qualquer f(t) é numericamente
igual ao coeficiente angular da reta tangente
passando por (t, f(t)). De fato, isto é uma generalização
do problema matemático de encontrar a
reta tangente a uma curva plana (veja a Figura 2.8).
Uma aplicação imediata desta interpretação
geométrica: ela é muito útil para determinarmos os
pontos extremos (máximos e mínimos) de funções,
pois, nestes pontos de máximos e mínimos, a reta
tangente é sempre horizontal (logo o seu coeficiente
angular é nulo). Portanto, a derivada deve ser nula
nestes pontos extremos (faça o Exercício 19).
Esta interpretação geométrica de derivada é
muito importante também para a Mecânica, pois
ela afirma que qualquer vetor velocidade
θ 0
θ 1
x 0
t 0 t 1
t
⃗v(t) = d dt ⃗r(t)
= d dt x(t) î + d dt y(t)ˆȷ + d z(t) ˆk
dt
(2.54)
Figura 2.8: A secante de uma trajetória entre os
instantes t 0 e t 1 e a sua reta tangente em t 0 .
O coeficiente angular da reta secante passando
pelos pontos x 0 = x(t 0 ) e x 1 = x(t 1 ) é
tan θ 1 = x 1 − x 0
t 1 − t 0
. (2.52)
será sempre tangente à trajetória definida pelo vetor
posição ⃗r(t). Então devemos repetir os passos
anteriores e mostrar que o vetor velocidade (2.54)
está sobre a reta tangente à trajetória definida pelo
vetor posição ⃗r(t).
16

Capítulo 2. Cinemática
2.6. Velocidade e aceleração
1
0.8
0.6
0.4
0.2
z
0 0
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
z
0
0.2
x
0.2
y
0.4
0.4
0.6
0.6
0.8
0.8
1 0
0.2
0.8
0.4
0.6
0.6
y
0.8
0.2
0.4
x
Figura 2.9: As secantes da trajetória ⃗r(t) =
(t 2 , t 3 , t) coincidirão com o vetor velocidade em
t = 0.25 s.
A Figura 2.9 mostra a trajetória definida pelo
vetor posição ⃗r(t) = (t 2 , t 3 , t) entre os instantes
t = 0 s e t = 1 s. Esta figura também mostra
o vetor velocidade em t 0 = 0.25 s (calcule este vetor).
Esta mesma figura também mostra duas retas
secantes passando por t 0 = 0.25 s (mantido fixo),
t 1 = 0.5 s e t 1 = 0.75 s. Como no caso bidimensional,
à medida que t 1 se aproxima de t 0 , a secante
se aproxima do vetor velocidade. Note que a trajetória
da Figura 2.9 não é uma reta e nem é plana.
Como podemos mostrar matematicamente o que
estamos vendo na Figura 2.9? Estamos vendo na
Figura 2.9 que o vetor velocidade se aproxima da
reta tangente em t 0 à medida que t 1 se aproxima
de t 0 . Comecemos com a equação da reta em três
dimensões na forma paramétrica (mais Geometria
Analítica):
¯x(t) = b 1 t + c 1 ,
ȳ(t) = b 2 t + c 2 ,
¯z(t) = b 3 t + c 3 ,
1
0
(2.55)
na qual ¯x, ȳ e ¯z representam as coordenadas de uma
reta arbitrária. Os três números b i são os coeficientes
angulares desta reta. Note que as funções do
parâmetro t em (2.55) são lineares. Cada ponto na
trajetória tem coordenadas ⃗r(t) = (x(t), y(t), z(t)).
O nosso problema agora é: dado um ponto na trajetória,
digamos em t = t 0 , qual é a reta tangente
(em três dimensões) passando por este ponto?
Qualquer reta, mesmo em três dimensões, é determinada
por dois pontos. Um ponto foi dado em t 0 ,
(x 0 , y 0 , z 0 ). Como no caso bidimensional, vamos
escolher (note bem, estamos fazendo uma escolha)
um segundo ponto também sobre a trajetória em
t = t 1 , com t 1 > t 0 , (x 1 , y 1 , z 1 ). Levando estes dois
pontos nas equações (2.55), podemos determinar os
coeficientes angulares (faça os detalhes):
b 1 = x 1 − x 0
t 1 − t 0
,
b 2 = y 1 − y 0
t 1 − t 0
,
b 3 = z 1 − z 0
t 1 − t 0
.
(2.56)
Estes são os coeficientes angulares de uma reta secante
passando pelos pontos da trajetória determinados
por t = t 0 e t = t 1 . Matendo t 0 fixo e permitindo
que t 1 se aproxime indefinidamente de t 0 ,
encontraremos a reta tangente que estamos procurando.
Note que este processo envolve três limites
idênticos ao limite (2.41) que usamos para definir
o operador derivada. Portanto, os coeficientes angulares
da reta tangente que estamos procurando
podem ser calculados por derivadas,
b 1 = d dt x(t) ∣
∣∣∣t=t0
,
b 2 = d dt y(t) ∣
∣∣∣t=t0
,
b 3 = d dt z(t) ∣
∣∣∣t=t0
.
(2.57)
Os coeficientes angulares (2.57) são da reta tangente
à trajetória ⃗r(t) = (x(t), y(t), z(t)) no ponto
t = t 0 . Em qualquer instante de tempo, o vetor
velocidade desta trajetória arbitrária é ⃗v(t) =
(ẋ(t), ẏ(t), ż(t)), isto é, a derivada do vetor posição.
Podemos observar agora que os coeficientes angulares
(2.57) são exatamente iguais às componentes
do vetor velocidade avaliado em t = t 0 , mostrando
assim que o vetor velocidade está de fato sobre a
reta tangente em t = t 0 , mesmo em três dimensões.
17

2.6. Velocidade e aceleração Capítulo 2. Cinemática
De forma análoga à definição de velocidade, a
aceleração (instantânea) é a taxa de variação temporal
do vetor velocidade,
⃗a(t) = d dt
d2
⃗v(t) = ⃗r(t), (2.58)
dt2 ou, equivalentemente, a derivada segunda do vetor
posição. Note como a derivada segunda é indicada
em (2.58). A taxa de variação temporal do
vetor aceleração não tem um nome específico, pois
é apenas a aceleração que aparece explicitamente
na segunda lei de Newton, a qual estabelece uma
relação entre cinemática e dinâmica (forças), formando
assim a mecânica. Faça a segunda parte do
Exercício 18.
Questões são sempre bem vindas. Qual é a interpretação
geométrica da aceleração? Vamos tentar
entender esta pergunta estudando alguns exemplos.
Primeiro, consideremos uma trajetória retilínea:
⃗r = (t, 1+t, 0). Os vetores velocidade e aceleração
são ⃗v = (1, 1, 0) e ⃗a = (0, 0, 0), respectivamente.
Obviamente, o produto vetorial ⃗v×⃗a é nulo.
Vejamos se este mesmo produto vetorial é nulo para
uma trajetória que não é retilínea. Consideremos
a parábola ⃗r = (t, 1 + t 2 , 0) com ⃗v = (1, 2t, 0) e
⃗a = (0, 2, 0). Desta vez, o produto vetorial ⃗v × ⃗a
não é nulo, ⃗v × ⃗a = (0, 0, 2) (faça a terceira parte
do Exercício 18). A quantidade escalar
κ =
||⃗v × ⃗a||
v 3 , v = ||⃗v||, (2.59)
denominada de curvatura, com dimensão de inverso
de comprimento, é nula para uma reta (qualquer)
e vale κ = 2/ √ 1 + 4t 2 para a parábola ⃗r =
(t, 1+t 2 , 0). Note que uma parábola se aproxima de
retas (assímptotas) para valores muito grandes de t
(t ≫ 1) e que a curvatura κ = 2/ √ 1 + 4t 2 é nula no
limite t → ∞. Note também que κ(0) = 2. Faça o
Exercício 21 para perceber o significado geométrico
da curvatura: a parábola ⃗r = (t, 1 + t 2 , 0) se aproxima
muito de uma circunferência de raio 1/κ(0),
centrada em (0, 3/2), na região em torno de t = 0.
Assim, a curvatura em t = 0 está nos informando
o quanto a parábola se desvia de uma reta.
A curvatura tem uma interpretação bastante
simples e direta em uma trajetória circular. Em
geral,
⃗r = (R cos ωt, R sin ωt, 0) (2.60)
representa uma circunferência de raio R, centrada
na origem. Conseqüentemente (faça o
Exercício 22),
⃗v = (−ωR sin ωt, ωR cos ωt, 0), (2.61)
⃗a = (−ω 2 R cos ωt, −ω 2 R sin ωt, 0). (2.62)
Assim, recuperamos três informações importantes
sobre um movimento circular qualquer: (i) a aceleração
em um movimento circular é voltada para o
centro (centrípeta), pois ⃗a = −ω 2 ⃗r; (ii) o vetor velocidade
é sempre perpendicular ao vetor posição
⃗r · ⃗v = 0; e (iii) os módulos dos vetores posição
(R), velocidade (Rω) e aceleração (v 2 /R) permanecem
constantes durante o movimento (apenas
suas direções e sentidos é que variam no tempo).
A informação (ii) é equivalente à interpretação
geométrica do vetor velocidade como sendo tangente
à trajetória. A curvatura (2.59) neste caso
é (faça o Exercício 22)
κ = 1 R . (2.63)
Note que a curvatura é constante e seu inverso é
igual ao raio da trajetória circular. Desta forma,
podemos afirmar que a curvatura é um escalar que
mede o quanto uma curva desvia-se de uma reta, a
qual possui uma curvatura nula (raio infinito). Há
uma outra maneira de ver a relação entre curvatura
e aceleração ainda mais frutífera (veja as discussões
subsequentes).
Seja v o módulo do vetor velocidade e ˆv o seu
versor, ⃗v = vˆv. Note que o versor ˆv é sempre tangente
à trajetória ⃗r, pois ⃗v = ˙⃗r (derivada do vetor
posição). Por isso, ˆv também é conhecido por versor
tangente da curva ⃗r. Então, o vetor aceleração
correspondente, calculado pela derivada do vetor
velocidade, é
⃗a = ˙⃗v = d dt (vˆv) = ˙vˆv + v ˙ˆv. (2.64)
Embora não esteja indicado, mas todas as quantidades
aqui dependem explicitamente do tempo.
Podemos ver em (2.64) que a aceleração possui
uma componente tangencial (na direção do versor
tangente) igual a ˙v. Em que direção está a derivada
˙ˆv do versor tangente? Podemos encontrar
esta direção facilmente se usarmos o fato de que ˆv
é um versor, ˆv · ˆv = 1, pois derivando os dois lados
desta igualdade, temos
d
dt (ˆv · ˆv) = 2ˆv · ˙ˆv = 0. (2.65)
18

Capítulo 2. Cinemática
2.6. Velocidade e aceleração
Este resultado nos mostra que ˙ˆv é perpendicular a
ˆv. Note que este resultado vale para qualquer versor
(dependente do tempo), ou para qualquer vetor
cujo módulo não varia com o tempo. É comum denominarmos
de normal a direção perpendicular ao
versor tangente. O versor ˆn na direção normal é conhecido
por versor normal. Como o versor normal
ˆn e a derivada ˙ˆv são paralelos, podemos esolher
˙ˆv = vκˆn, (2.66)
onde κ é um escalar, em geral dependente do
tempo, denominado de curvatura, o mesmo escalar
dado em (2.59). Portanto, a aceleração (2.64)
pode ser re-escrita como
⃗a = ˙⃗v = ˙v ˆv + v 2 κ ˆn. (2.67)
Fizemos acima a escolha (2.66). Vejamos como esta
escolha é compatibilizada com a expressão (2.59)
para a curvatura. Multiplique vetorialmente os dois
lados da aceleração (2.67) por ⃗v. Como o produto
vetorial entre vetores paralelos é nulo, então
⃗v × ⃗a = ˙v ⃗v × ˆv + v 2 κ ⃗v × ˆn = v 3 κ ˆb, (2.68)
onde fizemos ˆb = ˆv × ˆn, (versor binormal). Assim,
calculando o módulo dos dois lados, podemos isolar
a curvatura para re-obter a expressão (2.59).
Como vimos anteriormente, a curvatura de uma
circunferência é o inverso de seu raio (κ = 1/R).
Lembrando que o módulo do vetor velocidade não
muda em um movimento circular, então ˙v = 0.
Desta forma, para um movimento circular, a aceleração
(2.67) reduz-se à aceleração centrípeta ⃗a =
−(v 2 /R)ˆr, com ˆn = −ˆr.
Curvas também podem ser classificadas como
pertencentes a um plano, como uma circunferência
ou uma parábola, para citar dois exemplos conhecidos,
ou não pertencentes a um plano, como uma
hélice, outro exemplo bem conhecido. Considere
novamente uma trajetória circular. Nela, o vetor
velocidade (tangencial) é sempre perpendicular ao
vetor aceleração (centrípeta), ambos contidos no
plano da trajetória circular. Desta forma, o produto
vetorial entre os versores tangencial (velocidade)
e normal (aceleração centrípeta) do movimento
circular é sempre perpendicular ao plano da
trajetória, portanto nunca muda de direção. Sendo
um pouco mais preciso, é a taxa de variação do
versor binormal ˆb = ˆv × ˆn que mede o quanto uma
determinada curva afasta-se de um plano. Elaborando
um pouco mais este exemplo, podemos construir
uma ferramenta para medir o quanto uma
curva se afasta de um plano, ou seja, para medir
o grau de torcimento de uma curva espacial.
Antes de mais nada, é importante notar que os
três versores ˆv, ˆn e ˆb, com ˆb = ˆv × ˆn, são ortonormais
e obedecem a regra da mão-direita, assim
como os versores î, ĵ e ˆk de um sistema ortonormal
de coordenadas. Os três versores {ˆv, ˆn, ˆb} são
conhecidos por tríade de Frenet. Note que estes versores
são funções (vetoriais) do tempo, ou seja, ao
contrário dos versores {î, ĵ, ˆk} que estão fixos, a
tríade de Frenet é móvel. Note também que os
versores da tríade de Frenet são linearmente independentes.
Sendo linearmente independentes, podemos
escrever a primeira derivada de qualquer um
deles como uma combinação linear deles mesmos,
como fizemos em (2.66). Como eles são versores,
então podemos usar o que aprendemos em (2.65),
isto é, ˙ˆn · ˆn = 0 (perpendiculares). Assim, ˙ˆn deve
ser uma combinação linear da forma ˙ˆn = αˆv + βˆb,
com α e β sendo dois números reais. Multiplicando
escalarmente esta combinação linear por ˆv, obteremos
α = ˙ˆn · ˆv = −ˆn · ˙ˆv = −vκ, onde usamos
também a derivada (2.66). De forma análoga, multiplicando
˙ˆn = αˆv + βˆb escalarmente por ˆb, obteremos
β = ˙ˆn · ˆb = −ˆn · ˙ˆb. Infelizmente ainda não
decompusemos a derivada ˙ˆb em termos da tríade de
Frenet.
Procedendo de forma similar ao parágrafo anterior,
sabemos que ˙ˆb · ˆb = 0. Assim, devemos ter
˙ˆb = ᾱˆv+ ¯βˆn. Multiplicando escalarmente esta combinação
linear por ˆv obteremos ᾱ = ˙ˆb · ˆv = −ˆb · ˙ˆv =
−vκˆb · ˆn = 0, onde usamos também a derivada
(2.66). Portanto, ˙ˆb = ¯βˆn. Levando esta informação
em β = −ˆn· ˙ˆb, obtida no final do parágrafo anterior,
teremos que β = − ¯β. Desta forma, temos que fazer
uma escolha para ¯β. A mais utilizada é ¯β = −vτ,
˙ˆb = −vτ ˆn, (2.69)
onde o número τ, geralmente uma função do tempo,
é conhecido por torção da curva ⃗r. Tendo escolhido
o valor de ¯β, a primeira derivada ˙ˆn torna-se em
˙ˆn = −vκ ˆv + vτ ˆb. (2.70)
As equações (diferenciais) (2.66), (2.69) e (2.70) são
19

2.7. Espaço percorrido Capítulo 2. Cinemática
conhecidas por equações de Frenet. Elas determinam
univocamente uma curva a partir do conhecimento
de apenas duas funções escalares: a curvatura
κ = κ(t) e da torção τ = τ(t).
Podemos deduzir uma expressão bastante conveniente
para calcular a torção de forma análoga
à expressão (2.59), usada para calcular a curvatura.
Para isto, precisamos da derivada do vetor
aceleração,
˙⃗a = (¨v − κ 2 v 3 )ˆv + [ κv ˙v + d dt (κv2 ) ]ˆn
+ κτv 3ˆb. (2.71)
Multiplicando escalarmente esta expressão por ⃗v ×
⃗a = v 3 κ ˆb, obtida em (2.68), teremos
τ =
⃗v × ⃗a · ˙⃗a
v 6 κ 2 , (2.72)
ou, numa forma mais simétrica,
⃗v × ⃗a · ˙⃗a
τ =
||⃗v × ⃗a|| 2 = ˙⃗r × ¨⃗r · ...
⃗r
|| ˙⃗r
. (2.73)
× ¨⃗r||
2
Faça o Exercício 23 para ver que a torção de curvas
planas (retas, parábolas, circunferências, etc.)
é nula, como deveríamos esperar. No entanto, note
que a torção de uma curva como uma hélice é diferente
de zero.
Estes conceitos bastante intuitivos de curvatura e
torção são fundamentais na concepção moderna de
espaço e tempo. Como você está percebendo, existe
uma relação muito íntima entre Física e Geometria.
Esta relação é confirmada em muitas outras áreas
da Física e atinge seu clímax na Teoria da Relatividade
Geral elaborada por Albert Einstein.
2.6.1 Exercícios
Exercício 18
(1) Calcule os vetores velocidades, e seus respectivos
módulos, usando todos os vetores posição do
Exercício 17. (2) Calcule os vetores acelerações, e
seus respectivos módulos, usando todos os vetores
posição do Exercício 17, ou, equivalentemente, os
vetores velocidades do item anterior. (3) Calcule
também os produtos vetoriais entre os vetores velocidade
e aceleração. As trajetórias planas estão
relacionadas de que forma com estes produtos vetoriais?
Reveja a discussão apresentada no parágrafo
anterior.
Exercício 19
Determine os pontos extremos da função f(t) =
1 − t + 2t 2 + t 3 . Desenhe esta função e localize
estes pontos extremos e classifique-os (máximos ou
mínimos). Observe o valor da segunda derivada de
f(t) nestes pontos.
Exercício 20
Determine, usando derivadas e condições físicas,
o tempo gasto para um objeto atingir a altura
máxima na trajetória parabólica do Exercício 17.
Exercício 21
Desenhe a curva ⃗r = (t, 1 + t 2 , 0) (parábola)
no intervalo t ∈ [−0.5, 0.5] e guarde este desenho
na variável g1. Desenhe a circunferência de
raio 1/κ(0), com κ(t) = 2/ √ 1 + 4t 2 , centrada em
(0, 3/2), e guarde este desenho numa variável g2
(coloque este desenho no plano z = 0.1). Mostre
estes dois desenhos simultaneamente e tire suas
conclusões a respeito da curvatura em t = 0.
Exercício 22
Deduza as expressões (2.61)–(2.62) diretamente de
(2.60). Determine o ângulo entre os vetores ⃗r e ⃗v
dados em (2.60) e (2.61), respectivamente. Calcule
a curvatura (2.59) para estes dois vetores. Com
base no exercício anterior e neste, interprete a curvatura
geometricamente.
Exercício 23
Use a expressão (2.73) para calcular a torção da
circunferência ⃗r(t) = (R cos(ωt), R sin(ωt), 0) e da
hélice circular ⃗r(t) = (R cos(ωt), R sin(ωt), αt).
2.7 Espaço percorrido
Pronto para o nosso último problema? Estabelecer
uma ferramenta eficiente para determinar o
espaço percorrido. Observe a trajetória da Figura
2.7. A não ser no caso de uma trajetória retilínea,
em geral o comprimento de uma trajetória
(espaço percorrido) não é obtido calculando-se o
módulo da diferença entre vetores posição. No
entanto, podemos subdividir a trajetória em muitos
pedaços pequenos de forma que cada pedaço
possa ser considerado um trajetória retilínea muito
pequena. Sendo retilíneos, podemos calcular seus
comprimentos através do módulo do vetor diferença
associado a cada um deles. O comprimento total
20

Capítulo 2. Cinemática
2.7. Espaço percorrido
da trajetória será a soma desses inúmeros comprimentos
retilíneos pequenos (veja a Figura 2.10).
Pode não parecer, talvez por envolver uma soma
com muitos termos, mas este mecanismo é extremamente
eficiente. Vamos torná-lo operacional.
Para isto precisaremos de um intervalo pequeno da
trajetória, digamos, entre os instantes t e t + ∆t,
com ∆t muito pequeno, ∆⃗r(t) = ⃗r(t + ∆t) − ⃗r(t).
Para ∆t infinitesimalmente pequeno (isto significa
que a trajetória foi dividida em infinitas partes) é
razoável imaginarmos que este trecho da trajetória
será praticamente retilíneo (veja a Figura 2.10).
Assim, seu comprimento será praticamente igual
ao módulo de ∆⃗r,
||∆⃗r(t)|| = √ ∆⃗r · ∆⃗r = √ ⃗v · ⃗v ∆t
= ||⃗v|| ∆t,
(2.74)
na qual aproveitamos para introduzir o vetor velocidade
no instante t, ⃗v = ∆⃗r/∆t. É na verdade
uma velocidade média, mas será a velocidade instantânea
no limite ∆t → 0.
Agora estamos numa posição muito confortável,
pois o comprimento total da trajetória entre os instantes
t 0 e t 1 pode ser obtido somando-se todos os
intervalos (2.74). Esta soma pode ser efetuada no
limite ∆t → 0, ou seja, sub-dividindo a trajetória
em infinitos intervalos. A nossa capacidade em executar
estas somas infinitas é simplesmente incrível.
Como estamos lidando com uma soma muito especial,
precisaremos de uma notação especial. Esta
soma será denominada de integral e denotada por
S 01 =
∫ t1
t 0
v(t) dt = S(t)
∣
1
0
= S(1) − S(0), (2.75)
onde fizemos ||⃗v|| = v(t). Note que o limite ∆t → 0
foi indicado simplesmente por dt. O símbolo dt (diferencial)
em (2.75) indica que a integral (soma)
está sendo feita na variável t (variável de integração).
A integral (2.75) é denominada de definida,
t 0 indicando o limite inferior e t 1 indicando o
limite superior. Sem os limites de integração, uma
integral é denominada de indefinida e, em geral,
fornece uma nova função da variável de integração.
Vejamos um exemplo. Suponha que o movimento
seja em uma dimensão, ⃗r = x(t) î com x(t) = t
(movimento uniforme). Portanto, usando (2.54),
o vetor velocidade é ⃗v = ẋ î com ẋ = 1. Assim,
v(t) = ||⃗v|| = 1 e o espaço percorrido (em metros)
entre os instantes t 0 = 0 e t 1 = 1 (em segundos) é
∫ 1 ∫ 1
1
S 01 = v(t) dt = dt = t
∣ (2.76)
0
= 1 − 0 = 1.
Note que este resultado coincide com o módulo da
diferença entre os vetores posição nos instantes inicial
e final, S 01 = x(1) − x(0) = 1 − 0 = 1, pois a
trajetória aqui é retilínea.
Suponha agora que a trajetória seja uma
parábola no plano XY , ⃗r = t î + (1 + t 2 ) ĵ. Assim,
o vetor velocidade é ⃗v = î + 2t ĵ, cujo módulo é
v(t) = √ 1 + 4t 2 . Quem é o espaço percorrido entre
os instantes t 0 = 0 s e t 1 = 1 s? Devemos efetuar a
integral (2.75) (via computação algébrica),
S 01 =
∫ 1
0
v(t) dt =
= 1.479 m.
∫ 1
0
0
0
√
1 + 4t2 dt
(2.77)
Note agora que este espaço percorrido é diferente
de ||⃗r(1) − ⃗r(0)|| = 1.414 m, pois a trajetória não é
linear como no exemplo anterior. Espero que este
exemplo tenha mostrado a importância desta ferramenta
nova, denominada de integral (mais detalhes
no curso de Cálculo).
f(t i )
f(t)
•
•
•
•
•
•
t 0 t i t i + ∆t
t 1
•
Figura 2.10: A área total abaixo das retas secantes
se aproxima cada vez mais da área abaixo da curva
f(t), entre t 0 e t 1 , à medida que o número N de
sub-intervalos aumenta (N → ∞).
Opa! Espere um pouco. Como as integrais em
(2.76) e (2.77) foram efetuadas? Será que não podemos
apreender como executá-las, pelo menos em
t
21

2.7. Espaço percorrido Capítulo 2. Cinemática
algumas situações simples? Muito bem. Precisamos
Portanto, iremos calcular integrais respondendo
Então,
onde calculamos o espaço percorrido na trajetória
d
dt F (t) = f(t). (2.81) ⃗r = t î + (1 + t 2 )ˆȷ [confira novamente a integral
em (2.77)], não podemos adivinhar que a integral
saber como calcular uma integral. Também à seguinte pergunta: “quem é a função F (t) cuja
precisamos saber qual é a interpretação geométrica
de uma integral.
Vamos continuar na mesma linha de raciocínio
usada anteriormente onde fizemos v(t) = ||⃗v||. Vejamos
primeiro a interpretação geométrica. A Figura
2.10 mostra um trecho de uma função arbitrária
derivada é igual ao integrando f(t) em (2.80)?”.
Isto significa que primeiro devemos saber derivar
para depois efetuarmos uma integral. Note também
que o resultado de uma integral indefinida como
em (2.80) pode muito bem conter uma constante
aditiva, pois a derivada de qualquer constante é
f(t) a ser integrada entre t 0 e t 1 , dando zero. A integral definida é efetuada da seguinte
destaque para o i-ésimo sub-intervalo compreendido
forma:
entre t i e t i + ∆t. Como podemos ver, este
∫
sub-intervalo é um retângulo de altura f(t i ) e base
t1
t 1
f(t) dt = F (t)
∆t, cuja área é f(t i ) ∆t. Portanto, a área A abaixo
∣ = F (t 1 ) − F (t 0 ).
t 0
t 0
da curva f(t), entre t 0 e t 1 , é aproximadamente a
(2.82)
soma das N áreas f(t i ) ∆t de cada retângulo, Vejamos alguns exemplos. Primeiro um exemplo
onde o resultado é bem conhecido: a área de um
N∑
A ≈ f(t i ) ∆t. (2.78)
triângulo reto, de base 1 e altura 1, é 1/2. Esta é
a área delimitada pela curva f(t) = t entre t = 0 e
i=1
t = 1. Usando (2.79) e o Teorema (5),
No limite ∆t → 0 ou, equivalentemente, no limite
de haver infinitos sub-intervalos (N → ∞), a área
∫ 1
( )∣ t
2 ∣∣∣
1
A abaixo da curva f(t) será calculada exatamente A = t dt =
0 2 + C 0
por uma soma infinita, denominada de integral (definida)
da função f(t) entre t 0 e t 1 ,
1 0
( ) ( )
=
2 + C −
2 + C = 1 (2.83)
2 .
N∑
∫ t1
A = lim f(t i ) ∆t = f(t) dt. (2.79) A área debaixo de uma parábola, f(t) = t 2 ,
N→∞
i=1
t 0
é outro exemplo no qual o resultado é desconhecido
(pelo menos para os normais). Assim, usando
Desta forma, uma integral está relacionada com a
área abaixo de uma curva.
(2.79) e o Teorema (5), a área abaixo da parábola
Newton (1665–1666) e Leibniz (1684-1686) são
f(t) = t 2 no intervalo t = 0 e t = 2 pode ser calculada
facilmente,
considerados os fundadores do cálculo diferencial
(derivadas) e do cálculo integral (integrais). Eles
∫ 1
( )∣
já conheciam a inter-relação entre derivadas (tangentes)
e integrais (áreas) devido aos trabalhos de
0 3 + C 0
t
A = t 2 3 ∣∣∣
2
dt =
( ) ( )
Barrow (1663-1669) relacionando tangentes de curvas
com áreas delimitadas por estas mesmas cur-
= 8 0
3 + C −
3 + C = 8 3 .
vas. Esta relação é conhecida hoje como o teorema
(2.84)
fundamental do cálculo. Hoje, este teorema é enunciado
da seguinte forma:
Naturalmente, resolvemos estas duas integrais
respondendo uma pergunta: “Quem é a função F (t)
cuja derivada é igual ao integrando f(t) em (2.80)?”
Teorema 5 (Teorema Fundamental)
simplesmente porque já sabíamos da resposta, consultando
as derivadas elementares (2.49). No en-
Seja f(t) uma função contínua e F (t) a sua integral
(indefinida),
∫
tanto, nem sempre, mesmo em situações relativamente
f(t) dt = F (t). (2.80)
simples, poderemos ter este mesmo êxito.
Por exemplo, no exemplo do parágrafo anterior
22

Capítulo 2. Cinemática
2.7. Espaço percorrido
indefinida correspondente é
∫ √1
+ 4t2 dt = 1 2 t√ 1 + 4t 2
+ 1 4 sinh−1 (2t). (2.85)
Por isto é que existe um conjunto muito grande
de regras para nos ajudar a calcular integrais. Estas
regras serão exploradas durante os vários cursos
de Cálculo. Entretanto, ao contrário de derivadas,
deve ser mencionado que nem sempre temos
êxito em resolver uma integral. Neste caso, devemos
usar diretamente a definição (2.83) (executando
uma soma) em um ambiente de computação
(numérica ou algébrica) para obtermos valores de
integrais definidas.
2.7.1 Exercícios
Exercício 24
Calcule as integrais indefinidas de 2t + sin(t), t 2 +
e −t , te −t2 .
Exercício 25
Calcule o espaço percorrido na trajetória circular
⃗r(t) = (R cos(2πt), R sin(2πt), 0) entre os instantes
t = 0 e t = t. Compare este resultado com a
expressão que é conhecida para o comprimento de
uma circunferência de raio R.
Exercício 26
Calcule o espaço percorrido na trajetória parabólica
⃗r(t) = (t, t, 20t − 5t 2 ) (mks) entre os instantes t =
0 s e t = 4 s. Qual é a distância no plano XY (solo)
entre o ponto de lançamento (t = 0 s) e o ponto de
chegada (t = 4 s)?
Exercício 27
Faça um programa para calcular numericamente
uma derivada e uma integral (definida). Consulte
seu professor para obter as devidas ferramentas
computacionais.
23

2.7. Espaço percorrido Capítulo 2. Cinemática
24

Capítulo 3
Translações
3.1 Os princípios
Que é uma lei (ou princípio)? No que diz respeito
às leis da natureza, o dicionário nos diz que uma
lei (da natureza) é “aquilo que se impõe ao homem
por sua razão, consciência ou por determinadas
condições ou circunstâncias”. Em outras palavras,
uma lei física é uma afirmação fundamental,
passível de verificação, formando a base de uma teoria.
Portanto, uma teoria é um conjunto de leis.
É importante fazermos um paralelo entre Física e
Matemática. Em Matemática, o postulado é o equivalente
de uma lei em Física, porém com uma diferença
muito importante: um postulado nem sempre
está sujeito à verificação. Por estarem sempre sujeitas
a verificações, as leis físicas estão sempre em
estado de alerta.
A história tem nos mostrado que uma lei física
não é imutável. Basta uma única experiência
bem sucedida que mostre claramente a violação de
uma determinada lei para que ela seja abandonada
ou corrigida. Por exemplo, até a década de 60,
acreditava-se que um processo físico e a sua imagem
(como num espelho) fossem idênticos, isto é,
produzissem os mesmos resultados. Esta lei ficou
conhecida como a lei da conservação da paridade
(sem distinção entre direito e esquerdo; similaridade).
Todavia, dois jovens físicos, C. N. Yang e
T. D. Lee, fizeram em 1956 uma previsão (ou observação)
onde esta lei da conservação da paridade
pudesse ser violada em processos de desintegração
nuclear (decaimento beta). Esta previsão foi confirmada
em 1957 em um belíssimo experimento conduzido
por Madame Wu (C. S. Wu). Neste caso, a
conservação da paridade foi descartada como uma
lei.
Um outro exemplo: a teoria Newtoniana da gravitação
é capaz de explicar razoavelmente bem,
usando a lei da gravitação Newtoniana, o comportamento
mecânico do nosso sistema solar, ou seja,
reproduz as leis de Kepler. Todavia, existem alguns
efeitos minuciosos que a teoria Newtoniana
da gravitação não consegue explicar (reproduzir).
Dois deles, o desvio da luz ao passar próxima de
um corpo estelar como o nosso sol e a precessão
do periélio do planeta Mercúrio (voltaremos a estes
dois casos mais tarde), quando calculados com
a teoria Newtoniana não concordam plenamente
com as observações. A reconciliação entre teoria
e experimento só é possível no contexto da relatividade
geral de Einstein (1915). Neste caso, a teoria
Newtoniana foi corrigida pela relatividade geral.
Mesmo as leis de Newton para o movimento translacional
que estamos prestes a discutir valém somente
para velocidades baixas em comparação com
a velocidade da luz. Para velocidades comparáveis
à da luz, a mecânica Newtoniana é corrigida pela
mecânica relativística (Einstein, 1905), como veremos
mais tarde.
Que acontece se alguém viola uma lei? Se você
viola uma lei na nossa sociedade atual, você sofre
as devidas punições (pelo menos deveria). No
entanto, Yang e Lee dividiram um prêmio de um
milhão de dólares (prêmio Nobel) ao violarem uma
lei em Física. Moral: caso precise quebrar alguma
lei, quebre uma lei física! E aproveite o prêmio
para praticar um pouco de filantropia. Por outro
lado, aprofundamos nossos conhecimentos sobre
nossa natureza. Por exemplo, além de corrigir
a mecânica Newtoniana, a relatividade especial de
Einstein nos revelou a fusão entre espaço e tempo
(o tempo não é absoluto como na mecânica Newto-
25

3.1. Os princípios Capítulo 3. Translações
niana) bem como entre energia e massa (E = mc 2 ).
A relatividade geral nos revelou que a matéria (e/ou
energia) diz ao espaço-tempo como se deformar
(curvar e torcer) e, por sua vez, o espaço deformado
dita à matéria como ela deve se mover. Em
outras palavras, evoluímos, ficamos mais próximos
da humanidade.
Estudamos até o momento o movimento de um
ponto material. Sabemos construir sua trajetória
usando curvas espaciais em um espaço Euclidiano
tridimensional. Também sabemos determinar velocidade
e aceleração, bem como o espaço percorrido,
em qualquer instante de tempo. Portanto, é hora de
passarmos ao estudo das leis físicas que determinam
e controlam o movimento de corpos macroscópicos
(que não sejam muito mais massivos que o Sol)
com velocidades muito inferiores à velocidade da
luz no vácuo (aproximadamente 300 000 km/s). Estas
leis são conhecidas por “leis de Newton” do
movimento. As duas restrições mencionadas (corpos
macroscópicos de baixa massa e com baixas
velocidades) são importantes, pois as leis Newtonianas
deixam de ser válidas em três ocasiões: (1) no
mundo microscópico de dimensões atômicas (neste
caso as leis Newtonianas são corrigidas pelas leis da
física quântica), (2) quando as velocidades envolvidas
são comparáveis à velocidade da luz no vácuo
(neste caso as leis Newtonianas são corrigidas pelas
leis da relatividade especial de Einstein) e (3)
para corpos extremamente massivos , como estrelas
de nêutrons (neste caso as leis Newtonianas são
corrigidas pela relatividade geral de Einstein).
A seguir, apresentaremos os dois princípios que
governam o movimento. Iremos reservar a palavra
lei (sinônimo de princípio) para as três leis Newtonianas,
as quais são equivalentes aos dois princípios
apresentados abaixo. Deve ser enfatizado que estas
leis têm sido submetidas a verificações refinadas por
séculos sem qualquer contradição, exceto no mundo
microscópico, ou no regime de altas velocidades, ou
no caso de corpos extremamente massivos.
Princípio 1
Existem certos referenciais, denominados de inerciais
(no sentido de incapacitados), com as seguintes propriedades.
1. Cada corpo isolado move-se em uma linha reta
neste referencial inercial.
2. A noção de tempo pode ser quantificada: uma
unidade de tempo pode ser definida através do
movimento uniforme de um corpo isolado neste
referencial inercial.
3. Cada corpo isolado move-se com uma velocidade
constante neste referencial inercial.
Note que estas três propriedades definem um referencial
inercial. Note também que um corpo isolado
não tem aceleração em um referencial inercial.
Assim, podemos definir, pelo menos operacionalmente,
tempo como sendo um parâmetro t proporcional
ao comprimento s da trajetória de um corpo
isolado (velocidade constante) em um referencial
inercial:
∆s(t) =
∫ ∆t
0
v dt = v ∆t ⇒ ∆t = ∆s
v . (3.1)
Naturalmente, qualquer outro parâmetro t ′ definido
como tempo, usando um outro corpo isolado,
estará relacionado de forma linear com o
primeiro parâmetro t, pois os comprimentos de
duas trajetórias quaisquer são sempre proporcionais.
Note também que podemos medir apenas
intervalos de tempo, proporcionais ao comprimento
da trajetória, e nunca os valores absolutos
do “tempo”.
Como vimos anteriormente, o comprimento de
uma trajetória é calculado através de uma integral.
Assim, usar o comprimento de uma trajetória para
medir intervalos de tempo não é prático. Desde há
muito tempo, temos usado o movimento de rotação
da Terra em torno de seu próprio eixo, praticamente
constante, como um instrumento (relógio)
para medir intervalos de tempo. Qualquer processo
repetitivo, com uma freqüência praticamente
constante, pode ser usado como um relógio. Os
relógios mais precisos que dispomos no momento
são os chamados “relógios atômicos”, baseados na
impressionante regularidade de certos processos nucleares
(portanto, pertencentes ao domínio da física
quântica). Em um relógio destes, o erro é de apenas
um segundo em um milhão de anos. Um fato importante:
embora não sabemos exatamente o que é
o tempo, sabemos operar com ele, isto é, sabemos
medir intervalos de tempo.
Princípio 2
Considere dois corpos isolados dos demais, mas nãoisolados
entre si, sendo observados em um referencial
26

Capítulo 3. Translações
3.1. Os princípios
inercial. Isto significa que estes dois corpos poderão
interagir entre si. Em geral, não podemos afirmar que
o movimento deles será uniforme, pois, podendo interagir,
eles poderão alterar suas velocidades, as quais
denotaremos por ⃗v i (t), i = 1, 2. Então as duas propriedades
seguintes se verificam.
1. Existem experimentos (colisões) envolvendo estes
dois corpos cujos resultados podem ser expressados
como
⃗v 1 (t) + µ 12 ⃗v 2 (t) = ⃗ P 12 . (3.2)
Caso estes experimentos sejam realizados usando
o corpo 1 e um terceiro corpo 3, ou usando o
corpo 2 e um terceiro corpo 3, sob condições
idênticas, resultados similares são obtidos,
⃗v 1 (t) + µ 12 ⃗v 2 (t) = ⃗ P 12 ,
⃗v 2 (t) + µ 23 ⃗v 3 (t) = P ⃗ 23 , (3.3)
⃗v 3 (t) + µ 31 ⃗v 1 (t) = P ⃗ 31
nos quais, os escalares µ ij e os vetores P ⃗ ij são
constantes, isto é, são independentes do tempo.
Mais importante, as constantes escalares µ ij são
positivas e não dependem do experimento e nem
do referencial inercial. Elas dependem apenas
dos dois corpos envolvidos. A situação é bem
diferente para as constantes vetoriais P ⃗ ij : elas
dependem do experimento, do referencial inercial
e dos dois corpos envolvidos.
2. As constantes (escalares) µ ij > 0, obtidas em experimentos
diferentes, estão relacionadas da seguinte
forma:
µ 12 µ 23 µ 31 = 1. (3.4)
Algumas observações são necessárias. Observe
que devido ao fato das constantes µ ij > 0 obedecerem
à condição (3.4), elas podem ser escritas numa
forma racional µ ij = m j /m i , com m i > 0 (faça o
Exercício 28). Em termos destas novas constantes,
os resultados (3.3) podem ser re-escritos como
m i ⃗v i (t) + m j ⃗v j (t) = ⃗p ij , ⃗p ij = m i
⃗ Pij . (3.5)
A quantidade vetorial
m i ⃗v i (t) ≡ ⃗p i (t) (3.6)
é denominada de momentum linear (ou quantidade
de movimento) do i-ésimo corpo. Note que (3.6) é
uma definição. A constante vetorial ⃗p ij = ⃗p i (t) +
⃗p j (t) é o momentum linear total dos dois corpos
envolvidos em cada experimento e é uma constante
quando estes dois corpos estão isolados. A constante
m i > 0 é denominada de carga inercial (ou
massa inercial, ou simplesmente massa, por razões
históricas). Note que apenas a razão µ ij é determinada
pelo experimento. Portanto, podemos determinar
apenas razões entre massas, µ ij = m j /m i .
Isto significa que temos de eleger um corpo padrão,
cuja massa deve ser assumida como uma unidade
de massa, digamos m i = 1 kg. Então a massa
m j = µ ij é determinada univocamente do experimento.
Novamente, mesmo não sabendo o que
é massa, somos capazes de operar com ela, escolhendo
um padrão e realizando comparações.
Como nestes experimentos o momentum linear
total ⃗p ij = ⃗p i (t) + ⃗p j (t) é constante, então, derivando
os dois lados desta expressão, sabendo que
as massas m i são constantes, temos
m i ⃗a i (t) + m j ⃗a j (t) = 0. (3.7)
Apesar dos dois corpos estarem isolados, eles interagem
entre si no momento da colisão. Esta interação
produz mudanças nas velocidades (ou na
quantidade de movimento) acarretando na relação
(3.7). Naturalmente, as acelarações em (3.7) são diferentes
de zero apenas durante o (curto) intervalo
de tempo da colisão. Como temos apenas dois corpos,
isto significa que cada parcela em (3.7) deve
ser idêntica à interação sofrida por um dos corpos
no momento da colisão. Esta interação, capaz
de mudar o vetor velocidade, denominaremos
de força. Assim, podemos concluir que uma força
⃗f i (t) agindo num objeto de massa m i (constante)
altera seu movimento de acordo com
⃗f i (t) = m i ⃗a i (t) = d dt ⃗p i. (3.8)
No nosso experimento, esta é a forma com que a
força devida ao j-ésimo objeto atua sobre o i-ésimo
objeto durante a colisão. Note que, ao contrário
da definição (3.6) do momentum linear, a Eq. (3.8)
não é uma definição de força. A Eq. (3.8) é o resultado
de uma observação experimental. Então, o
resultado experimental (3.7) pode ser re-escrito na
forma
⃗F R = f ⃗ ij (t) + f ⃗ ji (t) = 0. (3.9)
27

3.1. Os princípios Capítulo 3. Translações
Note que f ⃗ ij (t) = m i ⃗a i (t) é a força que o corpo j faz
no corpo i e f ⃗ ji (t) = m j ⃗a j (t) é a força que o corpo
i faz no corpo j, portanto elas atuam em corpos diferentes.
Ainda mais, a soma vetorial nula em (3.9)
implica em | f ⃗ ij | = | f ⃗ ji | e f ⃗ ij // − f ⃗ ji (vetores antiparalelos).
Conseqüentemente, (3.9) expressa a terceira
lei de Newton (ação e reação). Aprendemos
também com estes experimentos que é necessário
um agente físico (força) para alterar o estado de
movimento de um corpo material e que esta força
é a taxa de variação do momentum linear (segunda
lei de Newton).
Vimos também, através do Princípio 2, que tanto
o momentum linear total em (3.5) quanto a força
total (ou resultante) em (3.9) são obtidos somando
todas as contribuições individuais, soma esta que
é uma combinação linear de vetores. Em Física,
quantidades que são determinadas através de combinações
lineares de outras são ditas satisfazerem o
princípio de superposição.
E as famosas três leis de Newton para o movimento?
Onde estão? Elas estão contidas nestes
dois princípios. A primeira lei de Newton, ou
lei da inércia está contida no Princípio 1. Uma
partícula isolada em um referencial inercial ou
está em repouso ou está em movimento uniforme.
Note que não estamos usando o conceito de forças
no Princípio 1. Não devemos esquecer que o
Princípio 1 também nos dá uma definição operacional
de tempo.
A segunda lei de Newton está contida no
Princípio 2,
⃗F R = d ⃗p, ⃗p = m⃗v, (3.10)
dt
onde ˙⃗p = m⃗a para massas constantes. Em geral,
a força resultante F ⃗ R é conhecida independentemente
do momentum linear, ou seja, a segunda
lei de Newton não é uma mera definição de força.
Ela representa um fato experimental: uma força
muda o estado de movimento de uma massa m de
acordo com a expressão em (3.10). A terceira lei de
Newton também está contida no Princípio 2 [veja
a Eq. (3.9)].
Note o papel do momentum linear na definição
de força (3.10): se a força é nula, então o momentum
linear é constante. Uma quantidade constante
no tempo é denominada de quantidade conservada.
Então temos nosso primeiro teorema, denominado
de teorema de conservação do momentum linear:
Teorema 6
Se a força resultante em um sistema físico é nula em
um referencial inercial, então o momentum linear total
deste sistema é conservado (não varia no tempo).
A utilidade de uma quantidade conservada reside
no fato dela possuir os mesmos valores em
tempos diferentes. Por exemplo, a quantidade de
movimento total ⃗p ij (t) em (3.5) é conservada no
nosso experimento. Então, se denotarmos por t 1
um tempo antes da colisão e por t 2 um tempo depois
da colisão, teremos ⃗p ij (t 1 ) = ⃗p ij (t 2 ), a qual
pode ser usada para determinar alguma quantidade
desconhecida contida nela (faça o Exercício 29).
É importante frisar que todas as medidas (experimentos)
estão sendo realizadas em um referencial
inercial. Caso contrário, a segunda lei de Newton
(3.10) não é válida, ou seja, em um referencial nãoinercial
a segunda lei de Newton precisa ser corrigida
(veremos isto ao estudarmos as leis que governam
o movimento rotacional). Naturalmente,
o momentum linear tem um papel importante na
mecânica Newtoniana. Esta importância é devida
ao Teorema 6 sobre a conservação do momentum linear.
Portanto, podemos dizer que a sua definição
em (3.6) está justificada pelo seu conteúdo físico.
Note que o Teorema 6 é uma conseqüência direta
da relação (3.10) entre força e momentum linear.
Além disto, a relação (3.10) permite que a segunda
lei de Newton possa ser usada para descrever sistemas
com massas variáveis, como em um foguete,
por exemplo.
Qual é a importância da massa m que aparece
na quantidade conservada em (3.5)? Lá, o experimento
nos revelou que o momentum linear total
do sistema (isolado) formado apenas pelos corpos
i e j é constante. Se fizermos m j = 0, então resulta
que ⃗v i é também uma constante, ou seja, o
corpo i está em movimento uniforme. No entanto,
se este mesmo corpo i também tivesse uma massa
nula, m i = 0, então a sua quantidade de movimento
seria nula. Isto nos sugere que é necessário
que um corpo tenha massa não-nula para poder
ter uma quantidade de movimento não-nula. Desta
forma, podemos afirmar que a condição de estar em
movimento uniforme em um referencial inercial depende
exclusivamente de ter uma massa não-nula.
Vale mencionar que até a época de Newton (até o
Séc. 16, portanto um pouco mais de 2000 anos depois
de Aristóteles) acreditava-se que era necessário
28

Capítulo 3. Translações
3.1. Os princípios
uma força para manter um corpo em movimento,
mesmo em movimento uniforme. Assim, a massa
m em (3.10) passou a ser conhecida também por
massa inercial. Em (3.10) podemos ver que aumentando
a massa, devemos aumentar também a
intensidade da força para manter a intensidade da
aceleração constante. Isto significa que temos de esforçar
mais para mudar o estado de movimento de
um corpo com uma maior massa. Esta resistência
em mudar o estado de movimento é quantificada
pela massa inercial. Em outras palavras, a massa
inercial mede a resistência de um corpo em mudar
seu estado de movimento. A massa inercial é uma
propriedade intrínsica de qualquer objeto.
Qual é a importância do vetor força, definido em
(3.8)? Qual é o seu conteúdo físico? Observamos
que na imensa maioria dos casos é a força que é conhecida
em primeira mão, independentemente da
aceleração. Veremos vários exemplos logo em seguida.
Em geral, para massas constantes, esta força
dependerá da posição, da velocidade e do próprio
tempo,
⃗F ( ⃗r, d⃗r
dt ; t) = m d2 ⃗r
dt 2 . (3.11)
Assim, esta equação (segunda lei de Newton) envolve
o vetor posição ⃗r e suas duas primeiras derivadas
d⃗r/dt e d 2 ⃗r/dt 2 . É por isto que as quantidades
cinemáticas (posição, velocidade e aceleração)
terminam na aceleração.
E o que nós queremos de um sistema físico do
ponto de vista da mecânica? Queremos caracterizar
o seu comportamento mecânico. Que significa
isto? Isto significa que dado uma força resultante,
a posição inicial ⃗r 0 = ⃗r(t 0 ) e a velocidade inicial
⃗v 0 = ⃗v(t 0 ), queremos determinar a posição ⃗r(t) em
qualquer instante de tempo posterior ao instante
inicial t 0 . Isto significa que (3.11) é uma equação
que determina ⃗r(t). Como aparece nela também as
derivadas de ⃗r(t), então esta equação é uma equação
diferencial para ⃗r(t). É uma equação diferencial de
segunda ordem, pois a derivada de ordem maior
é a derivada segunda no tempo. A pergunta que
temos de responder é: dado o lado esquerdo de
(3.11), isto é, a força externa resultante, e esta informação
deve ser obtida de experimentos, quem
é ⃗r(t) satisfazendo as condições iniciais impostas
sobre a posição e a velocidade? Note que (3.11) é
uma equação diferencial vetorial, ou seja, há de fato
três equações diferenciais a serem resolvidas, uma
para cada componente nos eixos X, Y e Z (faça o
Exercício 31).
Bem, temos uma equação diferencial de segunda
ordem a ser resolvida para encontramos as componentes
do vetor posição em função do tempo.
Esta equação é o conteúdo da segunda lei de Newton.
Conhecendo as forças que agem em um determinado
sistema, bem como técnicas matemáticas
necessárias para resolver uma equação diferencial
de segunda ordem, determinamos o vetor posição.
Então, devemos perguntar: a equação diferencial
(3.11) admite uma solução? se admitir, esta solução
é única? Sim, sob certas condições, a equação diferencial
(3.11) admite uma solução única. É necessário
apenas fornecermos duas informações [note
que a ordem da equação diferencial (3.11) também é
dois]. Estas duas informações podem ser, por exemplo,
os valores da posição ⃗r 0 = ⃗r(t 0 ) e da velocidade
⃗v 0 = ⃗v(t 0 ) em algum instante inicial t 0 . Dado estas
informações, denominadas de condições iniciais,
existirá uma solução única, ⃗r(t), t >= t 0 , para a
equação diferencial (3.10) (faça o Exercício 30).
Então estamos numa posição bastante confortável.
Dado as condições iniciais, ⃗r 0 = ⃗r(t 0 )
e ⃗v 0 = ⃗v(t 0 ), determinamos ⃗r(t) e, conseqüentemente,
⃗v(t) [a aceleração ⃗a(t) já está determinada
em (3.11)]. Isto significa que podemos prever todo o
comportamento do nosso sistema em qualquer instante
de tempo t >= t 0 . Desta forma, podemos
afirmar que a física Newtoniana é completamente
determinística. Mas existe alguma área da Física
que não é determinística? Sim, há pelo menos duas:
a mecânica estatística, a qual é muito importante
em termodinâmica, e a física quântica, a qual descreve
os fenômenos do mundo microscópico.
Embora a mecânica Newtoniana (também denominada
de mecânica clássica) seja determinística,
ela pode apresentar comportamentos caóticos.
Para entendermos este comportamento caótico devemos
perguntar o quão estável são as soluções de
(3.11). Para examinarmos esta questão, suponha
que temos a disposição duas soluções para (3.11):
uma solução ⃗r 1 (t) determinada pelas condições iniciais
⃗r 1 (t 0 ) e ⃗v 1 (t 0 ), e uma segunda solução ⃗r 2 (t) determinada
pelas condições iniciais ⃗r 2 (t 0 ) = ⃗r 1 (t 0 )+
δ⃗r(t 0 ) e ⃗v 1 (t 0 ). O termo δ⃗r(t 0 ) na condição inicial
⃗r 2 (t 0 ) significa que ⃗r 2 (t 0 ) está muito próxima de
⃗r 1 (t 0 ). Assim, é razoável supor que as duas soluções
⃗r 1 (t) e ⃗r 2 (t) estarão muito próximas, ⃗r 2 (t) = ⃗r 1 (t)+
δ⃗r(t), pelo menos nos instantes próximos a t 0 . Mas
29

3.2. As forças da natureza Capítulo 3. Translações
a medida que o tempo passa, como será o comportamento
de δ⃗r(t)? Aumentará indefinidamente?
Permanecerá pequeno? ou diminuirá até anularse?
Em outras palavras, estas duas trajetórias
com condições iniciais muito próximas permanecerão
sempre muito próximas? ou a separação entre
elas poderá oscilar? ou quem sabe aumentar indefinidamente?
Uma solução de uma equação diferencial
é denominada de solução estável se a separação
δ⃗r(t) aproximar-se de zero ou permanecer constante
e de solução instável quando esta separação aumentar
indefinidamente com o tempo t. Vamos pensar
em termos práticos: em geral é impossível fornecer
as condições iniciais com uma precisão absoluta,
pois nossos instrumentos de medidas sempre possuem
uma precisão limitada. Portanto, o estudo
da estabilidade das soluções de equações diferenciais
é indispensável e é hoje uma área de pesquisa
em desenvolvimento.
Sistemas caóticos, pois é, vamos a eles. Suponha
por um momento que exista um sistema tal que
dado as condições iniciais a (uma notação simplificada
para os valores da posição e da velocidade
inicial) ele atinja um estado A (ou seja, depois de
certo tempo ele terá uma posição e uma velocidade
final). Suponha também que dado outra condição
inicial b, ele atinja o estado B. Então se houver uma
região onde as condições iniciais a e b estejam misturadas,
o sistema pode exibir instabilidades (no
sentido definido acima). De fato há sistemas onde
as condições estão inextrincavelmente misturadas:
em cada sub-região, não importa o quão pequena
ela seja, sempre haverá condições iniciais dadas pela
superposição de a e b. Estes sistemas são denominados
de caóticos. Isto significa que precisaremos conhecer
as condições iniciais em um sistema caótico
com uma precisão infinita para que o estado final
possa ser predito com exatidão, o que é impossível.
3.1.1 Exercícios
Exercício 28
Escreva as constantes µ ij > 0 numa forma racional
µ ij = m j /m i , com m i > 0 e mostre que elas satisfazem
a relação (3.4). Estas constantes positivas
m i > 0 são denominadas de “massas”.
Exercício 29
Sabendo que as quantidades P ⃗ ij em (3.3) são conservadas,
determine as constantes µ ij em termos
das velocidades antes e depois das colisões, as quais
são medidas (conhecidas). Sugestão: se uma quantidade
(vetorial ou escalar) A(t) é conservada, então
A(t 1 ) = A(t 2 ).
Exercício 30
Resolva as equações diferenciais contidas em ⃗ F =
m¨⃗r, com ⃗ F independente do tempo, da posição e da
velocidade. Assuma que o corpo esteja em repouso
na origem no instante inicial. Sugestão: re-escreva
esta equação diferencial em coordenadas e resolva
cada uma delas sepradamente por tentativas.
Exercício 31
Faça um paralelo entre uma equação diferencial e
uma equação polinomial. O que você quer determinar
em ambos os casos?
Exercício 32
Quais são as inconsistências presentes na forma tradicional
de apresentação das leis de Newton? Como
estas inconsistências são resolvidas pelos Princípios
1 e 2?
3.2 As forças da natureza
Exemplos de forças? sim podemos examinar alguns
exemplos. Durante esta apresentação, consulte
também o Apêndice A, no qual há discussões
importantes acerca das dimensões das quantidades
presentes nas forças apresentadas nos exemplos
subseqüentes.
Em muitas situações práticas, principalmente
nas engenharias Mecânica e Civil, as forças encontradas
são constantes, F ⃗ = F ⃗ 0 , isto é, independentes
da posição, velocidade e do tempo. Geralmente
estas forças constantes são forças de contato entre
corpos, geralmente de origem eletromagnética.
Como a força resultante é constante (independente
do tempo, da posição e da velocidade), o vetor aceleração
em (3.11) fica determinado e é também uma
constante, ⃗a = F ⃗ 0 /m. Desta forma, a equação diferencial
resultante da segunda lei de Newton [veja
a Eq. (3.11)] que temos de resolver é
d 2
dt 2 ⃗r(t) = ⃗ F 0
m . (3.12)
Naturalmente, com uma integração, podemos determinar
o vetor velocidade. Finalmente, integrando
o vetor velocidade, podemos obter o vetor
30

Capítulo 3. Translações
3.2. As forças da natureza
posição. Faça tudo isto usando componentes (reveja
o Exercício 30 e faça o Exerçício 33).
A força elástica é também uma força de contato,
de origem elétrica, mas não é constante. Ela mede
como um corpo reage a deformações (compressões
ou distensões). Não havendo deformações permanentes,
o corpo reage no sentido de restaurar a deformação
sofrida. Vamos quantificar isto. Seja x a
deformação sofrida ao longo do eixo X. Por simplicidade
vamos considerar que a deformação seja
apenas ao longo do eixo X. Então, experimentos
nos revela que a força restauradora produzida pelo
corpo em resposta a esta deformação (pequena) é
⃗F (x) = −k x î, (3.13)
na qual k é uma constante característica do material
(independente de sua massa) e é determinada
experimentalmente. Esta força é conhecida como
lei de Hooke. Assim, usando a segunda lei de Newton
(3.11) e a lei de Hooke (3.13), devemos encontrar
uma função x(t) cuja derivada segunda seja
proporcional a ela mesma,
ou
d 2
− k x = m d2
x, (3.14)
dt2 dt 2 x(t) = − k x(t). (3.15)
m
A solução desta equação diferencial é discutida no
Exercício 34.
Vejamos mais alguns exemplos importantes.
Sim, podemos ver agora alguns exemplos de forças
que não são forças de contato. Por exemplo, as
forças elétrica e magnética. Coulomb observou que
a força elétrica entre duas cargas elétricas Q e q é
Qq
⃗F e = C e
r 2 ˆr = C Qq
e ⃗r, (3.16)
r3 na qual ˆr é um versor ao longo da reta que une
as duas cargas (veja a Figura 3.1). Lembre-se que
cargas elétricas podem ser positivas ou negativas.
Q
ˆr
Figura 3.1: Duas cargas elétricas exercem uma
força entre elas, como foi observado primeiramente
por Coulomb.
r
⃗ Fe
q
Para simplificar, podemos colocar uma das duas
cargas na origem, digamos Q. Então a distância r
entre elas é r = √ x 2 + y 2 + z 2 , sendo ⃗r = (x, y, z)
o vetor posição da outra carga q. Se a carga Q
permanecer fixa na origem e se a carga q for suficientemente
pequena (infinitesimalmente pequena)
para não perturbar Q, então podemos usar a segunda
lei para determinar o vetor posição de q em
função do tempo. Nestas condições, esta carga q, a
única carga em movimento, é denominada de carga
de prova (ou teste). Neste caso, temos uma carga
de prova q movimentando-se numa região onde ela
sente uma força elétrica criada pela carga Q (denominada
de fonte).
Para não termos de falar sobre a fonte ao determinarmos
o movimento da carga de prova, podemos
introduzir um novo vetor,
Q
⃗E = C e ˆr, (3.17)
r2 denominado de campo elétrico, tal que ⃗ F e = q ⃗ E.
De forma similar, podemos ter a presença de um
vetor campo magnético ⃗ B, o qual também produz
uma força em um corpo com carga elétrica q
movimentando-se com velocidade ⃗v,
⃗F m = q ⃗v × ⃗ B, (3.18)
na qual o campo magnético pode depender da
posição e do tempo. Esta força é conhecida como
força de Lorentz. Portanto, em geral, o movimento
de uma carga q será determinado pela segunda lei
de Newton (3.11),
⃗F R = q ⃗ E ( ⃗r, t ) + q ˙⃗r × ⃗ B ( ⃗r, t ) = m¨⃗r. (3.19)
Faça o Exercício35.
Estas duas forças, elétrica e magnética, estão presentes
em quase tudo ao nosso redor, como em tubos
de televisores, equipamentos médicos, aceleradores
de partículas, câmaras para resfriamento de
átomos e moléculas, etc. Também vale ressaltar
que estas duas forças atuam a distância, isto é, não
precisam de contato. Outra observação importante
(ou intrigante?): até o presente, ainda não observamos
a presença de cargas magnéticas na nossa
natureza.
Outra força que estamos talvez ainda mais habituados
é a força gravitacional. Ela é muito parecida
com a força elétrica entre duas cargas elétricas.
31

3.2. As forças da natureza Capítulo 3. Translações
São tão parecidas que podemos usar a mesma Figura
3.1, trocando as cargas elétricas por cargas
gravitacionais, as quais serão denotadas por M g e
m g . Newton observou que a força entre as cargas
gravitacionais M g e m g é dada por
⃗F g = −C g
M g m g
r 2 ˆr = m g
⃗ Eg . (3.20)
Em (3.20), da mesma forma que a carga Q é a
fonte do campo elétrico E ⃗ em (3.17), M g é a fonte
do campo gravitacional Eg ⃗ . Estas cargas gravitacionais
não devem ser confundidas com as cargas
inerciais introduzidas no Princípio 2. De fato,
as constantes m em (3.5) e em (3.10) são cargas
inerciais, pois elas nos permitem relacionar forças
que não são de natureza eletromagnética ou gravitacional
com aceleração. Para sermos completos,
também devemos tomar cuidados para não confundirmos
cargas elétricas com cargas inerciais e gravitacionais.
Outra observação importante: a expressão (3.20)
é válida somente para uma fonte com o formato
esférico de raio R, com a distância r > R medida
desde o centro da fonte até a carga gravitacional
de prova m g . Por exemplo, podemos considerar
a Terra como esférica com uma boa aproximação.
Neste caso, fazendo r = R, com R sendo o raio
médio da Terra, o campo gravitacional E ⃗ g (R) terá o
seu módulo constante na superfície da Terra (onde
nos estamos neste momento). Vamos agora levar
esta situação para a segunda lei de Newton (3.11),
m g
⃗ Eg (R) = m I ⃗a, (3.21)
na qual fizemos m = m I para ressaltar o caráter
inercial da massa m, como definido no Princípio 2.
Agora vem a parte mais interessante. Tanto o valor
do campo gravitacional na superfície da Terra,
⃗E g (R), quanto a aceleração de uma carga gravitacional
m g com uma massa inercial m I , colocada
próxima à superfície da Terra, digamos em cima
do nosso edifício central conhecido como E1, podem
ser medidas independentemente. Surpreendentemente,
resulta que ⃗a = E ⃗ g (R). Isto significa
duas coisas: (1) que a carga gravitacional
é igual, dentro da precisão experimental,
à carga inercial, m g = m I = m e (2) todos
os corpos caem com a mesma aceleração
na superfície da Terra. Esta igualdade entre
massa gravitacional e massa inercial foi conjecturada
por Galileu, verificada por Newton e muitos
outros desde então. A precisão deste experimento
chega hoje a uma parte em 10 16 .
Esta igualdade entre massa inercial (capaz de
produzir uma quantidade de movimento) e massa
gravitacional (capaz de produzir e sentir uma força
gravitacional) implica que todos os corpos são
atraídos pela Terra com a mesma aceleração, independentemente
de suas massas (gravitacionais ou
inerciais). Assim, no vácuo, uma bolinha de tênis
e o porta-aviões Minas Gerais gastam o mesmo
tempo para percorrerem a mesma distância em
direção ao centro da Terra (queda livre). Este fato
também está entre os mais marcantes acerca da
nossa natureza. Vale mencionar também que não
há uma igualdade entre massa inercial (ou gravitacional)
e carga elétrica. Também não há cargas
magnéticas na nossa natureza, ou pelo menos nunca
foram vistas.
Note também que a igualdade m g = m I = m
implica que o campo gravitacional Eg ⃗ tenha dimensões
de aceleração. Na superfície da Terra, o
seu módulo é E g (R) = g = 9.81 m/s 2 . Mais uma
observação igualmente intrigante: no caso da força
gravitacional, por mais estranho que possa parecer,
é a aceleração E g que é conhecida em primeira mão.
Faça os Exercícios 36 e 37.
Falando em forças, quais são as forças conhecidas
na nossa natureza? A força gravitacional
com certeza é a mais popular. Na física Newtoniana,
ela é responsável pela atração entre duas
massas. Ela atua a distância e de forma instantânea.
No entanto, ela, segundo a Relatividade
Geral, não é exatamente uma força: ela é o
efeito de estarmos em movimento em um espaçotempo
curvo. Falaremos mais sobre isto mais adiante.
Temos também a força eletromagnética.
Ela também atua a distância mas, diferentemente
da força gravitacional Newtoniana, ela não age
instantaneamente, pois o efeito de uma carga sobre
uma outra, colocadas no vácuo, propaga-se
na velocidade da luz. A força eletromagnética
é responsável tanto por fenômenos macroscópicos
quanto microscópicos. Ela é a única força que sobrevive
nestes dois mundos.
Estas duas primeiras forças são de longo alcance,
ou seja, a dependência com o inverso do
quadrado da distância possibilita que elas sejam
32

Capítulo 3. Translações
3.2. As forças da natureza
sentidas mesmo quando os corpos estão separados
por uma distância considerável. Vejamos algumas
distâncias interessantes (em ordens de grandeza).
A distância média entre a Terra e o Sol é de aproximadamente
10 11 m, uma distância denominada
de “unidade astronômica”. O diâmetro do Sol é
1.3 × 10 9 m. A distância Terra-Lua é 3.8 × 10 8 m.
O diâmetro da Lua é 1/4 do diâmetro da Terra
que é 1.28 × 10 7 m. Portanto, a razão entre os
diâmetros do Sol e da Terra é cerca de 111. A razão
entre a distância Terra-Sol e o diâmetro do Sol é
da ordem de 100. Façamos estas mesmas análises
para o átomo de hidrogênio. A distância elétronpróton
no átomo de hidrogênio é aproximadamente
10 −15 m. O diâmetro do próton é da ordem de
10 −10 m. Portanto, temos agora 10 5 para a razão
entre a distância elétron-próton pelo diâmetro do
próton. Note que temos muito mais (proporcionalmente)
espaço vazio no interior do átomo de hidrogênio
do que no espaço entre o Sol e a Terra.
Além das forças gravitacional e eletromagnética,
temos mais duas outras e somente duas: a força
forte e a força fraca. A força forte mantém os
prótons e nêutrons unidos no interior do núcleo
atômico. Ela atua a distância e é de curto alcance,
restringindo-se ao interior do núcleo (cerca
de 10 −15 m). A força fraca atua entre partículas
elementares confinadas em regiões muito pequenas,
como aquelas que existem no interior de prótons e
nêutrons (numa região menor que 10 −15 m). Ela
também é de curto alcance. Ela é responsável por
alguns processos radiotivos como o decaimento beta
(um núcleo do átomo de lítio).
É muito interessante fazermos uma comparação
entre as intensidades destas quatro forças fundamentais.
Qual delas você acha que tem a maior intensidade
relativa? Vamos estabelecer intensidade
igual a 1 para a força nuclear forte. Então a força
nuclear fraca terá uma intensidade relativa de 10 −5 .
A força eletromagnética terá uma intensidade relativa
de 10 −2 . A força gravitacional, surpreendentemente,
terá uma intensidade relativa de 10 −39 .
Faça o Exerçicio 38.
3.2.1 Exercícios
Exercício 33
Verifique que
⃗r(t) = ⃗c + ⃗v t + 1 2 ⃗a t2 , (3.22)
com ⃗a sendo o vetor aceleração, ⃗v sendo o vetor
velocidade e ⃗r 0 sendo a posição inicial em t = 0,
todos constantes, é uma solução da equação diferencial
(3.12). Reveja o Exercício 30.
Exercício 34
Verifique que
x(t) = x 0 cos ( ωt + ϕ ) , ω 2 = k m , (3.23)
com ϕ sendo uma constante, é uma solução da
equação diferencial (3.15). Qual é a dimensão da
constante ω (consulte o Apêndice A)? A constante
ϕ é denominada de constante de fase, enquanto que
θ(t) = ωt + ϕ é a fase. A constante ω é denominada
de freqüência angular ou velocidade angular da
fase θ(t), pois ω = ˙θ. Invente condições iniciais e
desenhe a equação horária x(t).
Exercício 35
Considere ⃗ E = 0 e ⃗ B = B 0 ˆk, com B0 constante.
Determine de (3.19) as equações diferenciais (decorrentes
da segunda lei de Newton) que controlam o
movimento de um corpo com uma carga elétrica q e
uma massa m na presença de um campo magnético
constante. Veremos mais tarde que a trajetória correspondente
é uma circunferência e o movimento
será (circular) uniforme.
Exercício 36
Refaça o Exercício 33 considerando que F ⃗ 0 =
mE ⃗ g (R) = −mg ˆk, com E ⃗ g sendo o campo gravitacional
definido em (3.20) e R o raio médio da
Terra. Compare seus resultados com o movimento
uniformemente variado que você já conhece.
Exercício 37
Use R = 6.37 × 10 6 m e M = 5.98 × 10 24 kg como
o raio médio e a massa da Terra para calcular o
valor do campo gravitacional (definido em (3.20))
na superfície da Terra. Faça a mesma coisa para o
Sol (R = 6.96 × 10 8 m e M = 1.99 × 10 30 kg), para
a Lua (R = 1.74 × 10 6 m e M = 7.35 × 10 22 kg) e
para uma estrela de nêutrons (R = 1.50 × 10 4 m e
M = 2.80 × 10 30 kg). Compare os valores.
Exercício 38
Calcule as forças elétrica (3.16) e gravitacional
(3.20) entre um próton (1.67 × 10 −27 kg) e um
elétron (9.11 × 10 −31 kg) no átomo de hidrogênio
33

3.3. Aplicações da segunda lei de Newton Capítulo 3. Translações
(r = 5 × 10 −11 m). Use C e = 8.99 × 10 9 N·s 2 /C 2 e
C g = 6.67 × 10 −11 N·m 2 /kg 2 . Compare os valores.
3.3 Aplicações da segunda lei
de Newton
Antes de mais nada, é importante ficar claro que
para haver interação é necessário haver dois ou mais
corpos e que esta interação é representada matematicamente
pelo vetor “força”. A relação entre
força e movimento é caracterizada pela segunda lei
de Newton. A seguir vamos considerar algumas
aplicações importantes da segunda lei de Newton
(ou equação de Newton) (3.11). Nestas aplicações
queremos enfatizar a importância de uma equação
diferencial para compreendermos a dinâmica proveniente
da interação entre dois ou mais corpos.
Não apresentaremos técnicas sofisticadas para a resolução
de equações diferenciais por falta de espaço.
Entretanto, procuraremos desenvolver nossa habilidade
em adivinhar a solução de uma determinada
equação diferencial, uma das melhores técnicas.
Além disto, procuraremos usar rotinas em computação
algébrica para resolver nossas equações diferenciais.
Encare isto, por enquanto, como a utilização
de uma calculadora para efetuar operações
aritméticas e outros cálculos envolvendo funções
transcendentais como funções trigonométricas, exponenciais
e logarítmicas.
Procuraremos desenvolver nossas aplicações em
condições ideais (no vácuo) e também, sempre que
possível, na presença de forças dissipativas como
atrito e resistência de um fluido (gases e líquidos).
Ao introduzirmos estas forças dissipativas estaremos
trabalhando com um dos procedimentos mais
frutíferos em ciência: a idéia da elaboração de modelos.
Certamente uma descrição detalhada destas
forças dissipativas seria muito difícil ou mesmo
impossível. Imagine como deve ser o mecanismo
de ação de uma força de atrito, a qual resulta de
interações eletromagnéticas entre duas superfícies
em contato. Felizmente fomos capazes, enquanto
seres inteligentes, de superar tais dificuldades aparentes.
Criamos a idéia do modelo. Um modelo
não procura reproduzir todos os detalhes de
um determinado fenômeno, ao contrário, ele procura
incorporar apenas as características mais relevantes.
Em compensação, haverá constantes arbitrárias
nestes modelos que deverão ser determinadas
através de experimentos cuidadosamente preparados.
Por exemplo, na lei de Hooke para a deformação
elástica, há a constante elástica (ou constante
de mola) que precisa ser conhecida para cada
material antes que ela (a lei de Hooke) possa ser
usada.
Também é fundamental que você se envolva profundamente,
a fim de procurar entender todos os aspectos
discutidos nestas aplicações, fazendo e refazendo
os trabalhos manuais e computacionais, sempre
com um olhar inquisidor. Melhor que apresentar
um conjunto de exercícios para treiná-lo a fazer
uma boa prova, espero que possamos apresentar um
conjunto de aplicações que ilustrem bem o comportamento
crítico e analítico de um bom profissional.
Estas aplicações serão também fundamentais
para estabelecermos as leis de conservação, nosso
próximo assunto.
3.3.1 Forças constantes
Como já mencionamos, forças constantes, isto é,
independentes da posição e do tempo, são importantes.
As forças em uma determinada estrutura
mecânica são constantes. A força gravitacional na
superfície da Terra é praticamente constante. Vamos
considerar um corpo de massa m constante sujeito
a uma força ⃗ F 0 também constante na ausência
de efeitos dissipativos. De acordo com a segunda
lei (3.11), sendo a força uma constante, então a
aceleração também será uma constante. Portanto,
a equação diferencial que temos de resolver para
encontrarmos a equação horária ⃗r(t) deste corpo é
d 2
dt 2 ⃗r(t) = ⃗a 0, ⃗a 0 = ⃗ F 0
m . (3.24)
Note que estamos usando uma notação vetorial.
Como há três direções independentes, portanto temos
de resolver em geral três equações diferenciais,
d 2
dt 2 x(t) = a x0,
d 2
dt 2 y(t) = a y0,
d 2
dt 2 z(t) = a z0,
a x0 = F x0
m ,
a y0 = F y0
m , (3.25)
a z0 = F z0
m .
Como o lado direito destas equações diferenciais são
constantes, nós temos condições de compreender a
34

Capítulo 3. Translações
3.3. Aplicações da segunda lei de Newton
técnica de solução deste tipo de equação diferencial.
Que tipo de equação diferencial temos aqui?
Primeiro um pouco de nomenclatura: x(t), y(t)
e z(t) são funções de t, ou seja, elas são as variáveis
dependentes. O parâmetro t, nosso tempo, é a
variável independente. Então o tipo de equação diferencial
que estamos tratando aqui pode ser escrita
na forma onde o lado direito contenha apenas constantes,
como em (3.25), e/ou a variável independente
explicitamente. Este tipo de equação diferencial
deve ser resolvido por integrações (também
denominadas de quadraturas neste caso específico).
Observe com atenção o modelo a seguir. Para facilitar
nossa visão, vamos re-escrever as derivadas de
segunda ordem em x, y e z aparecendo em (3.25)
como derivadas de primeira ordem nas respectivas
componentes do vetor velocidade. Então o plano é
determinar primeiro as componentes do vetor velocidade:
d
dt v x(t) = a x0 ⇔ dv x = a x0 dt. (3.26)
As quantidades infinitesimais dv x e dt são denominadas
de diferenciais. Em (3.26), dizemos que os
diferenciais das variáveis dependente (v x ) e independente
(t) estão separados, completamente separados.
Neste caso, podemos integrar independentemente
os dois lados da última expressão em (3.26),
∫ ∫
dv x = a x0 dt
⇒
v x + C 1 = a x0 (t + C 2 )
⇔
v x (t) = a x0 t + C. (3.27)
Note que usamos integrais indefinidas. Note
também a presença das duas constantes de integração
C 1 e C 2 . Naturalmente, como a x0 também é
uma constante, fizemos C = a x0 C 2 −C 1 . Em suma,
determinamos a função v x (t). Resta descobrirmos
quem é a constante arbitrária C. Certamente, sem
uma informação adicional, não temos como descobrir
quem é esta constante. Devemos conhecer o
valor de v x (t) em algum instante particular, por
exemplo no início do movimento. Suponha que o
movimento comece em t = t 0 e que neste instante
inicial sabemos que v x (t 0 ) = v 0x seja conhecida.
Isto é uma condição inicial. Então, substituindo
esta condição inicial na última expressão em (3.27),
teremos
v x (t) = v 0x + a x0 (t − t 0 ). (3.28)
Como a velocidade é a derivada da posição, podemos
repetir o procedimento anterior e determinar
x(t) integrando (3.28),
v x (t) = dx
dt = a x0 t + v 0x − a x0 t 0 ⇒
dx = a x0 tdt + (v 0x − a x0 t 0 )dt. (3.29)
Integrando os dois lados desta última expressão,
temos
∫
dx = a x0
∫
∫
tdt + (v 0x − a x0 t 0 )
dt
⇒
x(t) = 1 2 a x0 t 2 + (v 0x − a x0 t 0 ) t + C. (3.30)
Note que já fizemos o truque de juntar todas as
constantes de integração em uma só. Novamente,
temos que usar uma condição inicial para determinar
a constante arbitrária C. Vamos supor que a
posição no eixo X seja conhecida no instante inicial
t 0 , x 0 = x(t 0 ). Então, após um pouco de álgebra
(faça todos os detalhes), temos (faça o Exercício 39)
x(t) = x 0 + v 0x (t − t 0 ) + 1 2 a x0(t − t 0 ) 2 . (3.31)
Naturalmente, há resultados similares nos demais
eixos (refaça-os):
y(t) = y 0 + v 0y (t − t 0 ) + 1 2 a y0(t − t 0 ) 2 , (3.32)
z(t) = z 0 + v 0z (t − t 0 ) + 1 2 a z0(t − t 0 ) 2 . (3.33)
Podemos até re-escrever estas funções do tempo de
volta numa notação vetorial,
⃗r(t) = ⃗r 0 + ⃗v 0 (t − t 0 ) + 1 2 ⃗a 0 (t − t 0 ) 2 (3.34)
com ⃗r 0 , ⃗v 0 e ⃗a 0 constantes. Conclusão: quando a
força é constante, o movimento é parabólico, isto
é, a sua equação horária é uma função quadrática
(parábola) do tempo.
Um exemplo importante é o movimento de um
objeto de massa m próximo à superfície da Terra,
onde a força gravitacional é praticamente constante,
⃗ F 0 = −mg ˆk, g = 9.81 m/s 2 . Vamos ainda
supor a ausência de qualquer efeito dissipativo.
Note que escolhemos um referencial fixo na Terra
com o eixo Z passando pelos centros de massa da
35

3.3. Aplicações da segunda lei de Newton Capítulo 3. Translações
Terra e do corpo. Neste caso, o nosso vetor aceleração
em (3.24) é ⃗a 0 = −g ˆk. Podemos realizar
dois experimentos interessantes: (1) queda livre
e (2) lançamento oblíquo. Na queda livre, soltamos
o objeto de uma determinada altura h = z 0
(x 0 = y 0 = 0) com velocidade inicial nula. Levando
estas informações na solução vetorial (3.34),
teremos
⃗r(t) =
(h − 1 )
2 g t2 ˆk ⇒
z(t) = h − 1 2 g t2 , x(t) = y(t) = 0. (3.35)
Note que o movimento é vertical. Note também que
o corpo chega ao solo (z = 0) após um certo intervalo
de tempo com uma velocidade diferente de zero
(faça o Exercício 40). Também podemos ver que
o módulo do vetor velocidade é sempre crescente
no tempo (faça o Exercício 40). No lançamento
oblíquo, o corpo é lançado com uma velocidade inicial
diferente de zero. Para simplificar um pouco,
vamos supor t 0 = 0 no instante do lançamento e
que x 0 = y 0 = z 0 = 0 (origem). Então, de (3.34)
temos
⃗r(t) = ⃗v 0 t − 1 2 g t2 ˆk, (3.36)
ou, em termos de componentes,
x(t) = v 0x t,
y(t) = v 0y t,
z(t) = v 0z t − 1 2 g t2 .
(3.37)
Isto significa que o movimento é acelerado apenas
ao longo do eixo Z. Vale observar que a altura
máxima atingida (acima do plano XY ) pode ser determinada
calculando o ponto de máximo da função
z(t),
v z (t) = d dt z(t) = v 0z − g t ∴ v z (t M ) = 0
⇒
t M = v 0z
g , z M = 1 v0z
2
2 g . (3.38)
Note que do ponto de vista de Cálculo, o máximo da
função z(t) é determinado pela condição ż(t M ) = 0,
com o ponto especificando a derivada no tempo, ou
seja, a reta tangente a z(t) em t M deve ser horizontal.
Acontece que do ponto de vista da Mecânica,
ż é justamente a componente ao longo do eixo Z
do vetor velocidade, a qual deve ser nula no ponto
mais alto. Isto é mais uma demostração de que a
base matemática da mecânica está muito bem estabelecida
(faça o Exercício 41).
3.3.2 Forças dependentes da velocidade
Que tal um toque de realismo? Você já deve ter sentido
o quão difícil é caminhar dentro de uma piscina
cheia de água, embora a água esteja tranqüilamente
em repouso. Também podemos notar neste experimento
que é mais difícil correr que caminhar na
água. Na prática, isto significa duas coisas: (1) a
água nos aplica uma força contrária ao nosso movimento,
portanto uma força dissipativa (cujo significado
preciso será entendido mais tarde, após uma
discussão sobre o conceito de energia), e (2) esta
força dissipativa deve ser proporcional à nossa velocidade.
Agora vem a essência do modelo: não importa
o quão complicada seja nossa interação com
a água, o efeito pode ser modelado por uma força
dissipativa proporcional à velocidade,
⃗F d = −b⃗v = −b d ⃗r(t), (3.39)
dt
onde o parâmetro b é uma característica do meio
e deve ser determinado experimentalmente (como
a constante de mola da lei de Hooke). Note que
estamos supondo uma dependência linear na velocidade.
Reconsiderando os exemplos discutidos anteriomente
na Seção 3.3.1, temos agora duas forças
agindo no nosso corpo de testes, a força constante
⃗F 0 e a força dissipativa F ⃗ d definida em (3.39),
⃗F 0 + ⃗ F d = m⃗a. (3.40)
Note que a aceleração não é mais uma constante.
Isto significa que teremos de resolver agora
equações diferenciais ligeiramente mais complicadas.
Este modelo descreve muito bem corpos pequenos
como partículas de poeira no ar ou de corpos
não muito extensos a baixas velocidades como uma
bolinha de gude caindo em um fluido qualquer (gás
ou líquido). Façamos alguns exemplos.
Partícula em suspensão
Primeiro vamos considerar uma situação mais simples:
queda livre ao longo do eixo Z. Na queda
36

Capítulo 3. Translações
3.3. Aplicações da segunda lei de Newton
livre, podemos escolher F ⃗ 0 = −mg ˆk. Portanto, o Veja que interessante: τ é uma quantidade positiva.
v z (t) = −gτ ( 1 − e −t/τ ) , τ = m microscópicos a interação entre um corpo em movimento
e o fluido no qual ele está imerso.
b . (3.47)
movimento é unidimensional, ao longo do eixo Z,
e a equação diferencial (3.40) pode ser re-escrita
como (faça o Exercício 42)
Então, após um intervalo de tempo maior que
τ a velocidade em (3.47) é praticamente igual −gτ,
ou seja, independente do tempo, pois a exponential
− mg − bż = m¨z ⇒
decresce rapidamente a zero. O módulo deste valor
constante para a velocidade é conhecido como
¨z + 1 τ ż + g = 0, τ = m b . (3.41)
“velocidade terminal”,
V T = gτ = gm b . Neste caso, não podemos mais usar a técnica de
(3.48)
separação de variáveis, pois aparece uma derivada Faça um gráfico da velocidade (3.47). Note também
primeira e uma derivada segunda. No entanto, que se a velocidade terminal (3.48) for substituída
podemos tentar determinar primeiro a velocidade
v z (t) = ż ao longo do eixo Z,
na segunda lei (3.41) (faça ż = V T ), a aceleração
torna-se nula. Isto significa que a velocidade terminal
é atingida quando a força dissipativa, a
˙v z + 1 τ v z + g = 0, v z = ż. (3.42)
qual está aumentando sua intensidade proporcionalmente
à velocidade, iguala à força gravitacional.
Atingida a velocidade terminal, não tem mais
Esta equação pode ser resolvida através de uma
mudança da variável dependente v z para u =
aceleração. Experimente em casa usando uma pequena
bolinha em queda livre em um líquido qual-
τ −1 v z + g. Assim,
quer. Talvez seja necessário usar óleo para observar
u = 1 τ v z + g, ˙v z = τ ˙u. (3.43)
o efeito da velocidade terminal. E a equação
horária deste movimento? Podemos usar a velocidade
Levando estes resultados de volta em (3.42), teremos
(3.47) para determinarmos z(t),
˙u + 1 v
u = 0. (3.44) z (t) = dz
dt = −gτ( 1 − e −t/τ )
⇒
τ
dz = −gτ ( 1 − e −t/τ ) dt. (3.49)
Agora esta equação diferencial pode ser resolvida
pela técnica de separação de variáveis,
Integrando independentemente os dois lados desta
última expressão, obteremos (faça o Exercício 43)
du
dt + 1 τ u = 0 ⇔ du u = − 1 τ dt
z(t) = −gτ ( C + t + τe −t/τ ) . (3.50)
⇒ ln u = − t τ + C′ . (3.45) Vamos supor que o corpo seja solto de uma altura
h em t = 0, z(0) = h. Então, usando esta condição
Invertendo o logaritmo na última expressão em
(3.45), determinamos a função intermediária u(t)
inicial em (3.50) determinamos C = −τ − h/(gτ)
(faça o Exercício 43),
e depois, usando a última expressão em (3.43), determinamos
v z (t),
z(t) = h − gτ t + gτ 2( 1 − e −t/τ ) . (3.51)
Note que para um tempo t > τ, ou seja, após o
ln u = − t τ + C′ ⇒ u(t) = Ce −t/τ
corpo ter alcançado sua velocidade terminal, esta
equação horária é praticamente linear no tempo,
⇒ v z (t) = Cτe −t/τ − gτ. (3.46) como deve ser, pois não há mais aceleração. Estas
observações que fizemos são verificadas na prática
A constante de integração C é determinada, como e confirmam a validade do modelo que foi feito.
sempre, pelas condições iniciais. Na queda livre, De novo, devemos frisar a importância do modelo
podemos supor v z (0) = 0. Esta condição inicial para ultrapassarmos a enorme barreira apresentada
pela tentativa de entendermos em nos fornece C = g (faça o Exercício 42). Assim,
detalhes
37

3.3. Aplicações da segunda lei de Newton Capítulo 3. Translações
Para-quedas
Vale a pena fazermos duas observações: (1) em
√ g e 2t/τ − 1
v z (t) = ż(t) = −
η e 2t/τ + 1 . (3.57) Da definição de forçaSegunda Lei de Newton, F ⃗ B =
m¨⃗r, teremos as seguintes equações diferenciais (faça
ambos os casos de queda livre na presença da atmosfera,
o empuxo não foi levado em consideração.
Nosso primeiro modelo descreve bem corpos pequenos
com velocidades baixas. E corpos extensos
Como será visto em nossos estudos com fluidos, o
como um pára-quedas em queda livre? Neste caso,
empuxo faz com que o “peso aparente” torne-se um
também um movimento unidimensional, o modelo
pouco menor. (2) Até aqui, supusemos uma densidade
constante ρ = ρ
que funciona melhor tem uma força dissipativa com
uma dependência quadrática com a velocidade de
0 . No entanto, a densidade
atmosférica varia com a altura z. Em um modelo
queda,
⃗F δ = 1 2 ρδA v2 ˆk,
simplificado podemos escrever
z (3.52)
ρ(z) = ρ
na qual ρ é a densidade do ar (ou de um fluido qualquer),
0 e −z/H , (3.58)
δ é uma grandeza adimensional, denominada
com ρ
de coeficiente de arrasto, relacionada com a forma
0 = 1.25 kg/m 3 no nível do mar e H =
8 × 10
geométrica e A é a área da seção reta do corpo em
m. Levando esta dependência da densidade
com a altura z(t), a equação diferencial (3.53)
queda livre. O coeficiente de arrasto para corpos
torna-se em
arrendondados é 0.5, aproximadamente. Note em
(3.52) que a força é dissipativa, isto é, contrária
ao sentido do vetor velocidade. Neste caso, devemos
resolver uma equação diferencial um pouquinho
¨z − η ż 2 e −z/H + g = 0, η = ρ 0δA
2m . (3.59)
mais complicada. Fazendo F ⃗ 0 = −mgˆk, temos
de resolver
Neste caso, não temos uma solução analítica conhecida
como (3.56). Nossa única opção é fazer uso de
⃗F 0 + F ⃗ δ = m⃗a ⇒
técnicas numéricas para resolver a equação diferencial
(3.59). Note também que a velocidade terminal
¨z − η ż 2 + g = 0, η = ρδA
2m . (3.53) (¨z = 0) não é mais uma constante,
√ √ (
g g
Neste caso, também não podemos usar diretamente V T =
o método da separação de variáveis porque temos
η ez/2H ≃ 1 + z )
, (3.60)
η 2H
derivadas de ordens diferentes. Também não ajuda
muito tentar resolver primeiro a equação diferencial
na qual estamos supondo z ≪ H.
para a velocidade,
˙v z = −g + η vz, 2 v z = ż, (3.54)
Partícula carregada em um campo eletromagnético
pois não podemos imaginar uma mudança experta
na variável dependente que nos possibilite usar o Vejamos mais um exemplo importante no qual a
método da separação de variáveis. No entanto, podemos
usar a equação diferencial (3.54) para deter-
um corpo de massa m e carga Q no vácuo. Supo-
força também depende da velocidade. Considere
minarmos a velocidade terminal,
nha também que no instante inicial t 0 = 0 ele esteja
√ na posição inicial ⃗r 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) e com velocidade
g
V T =
η . (3.55) inicial ⃗v 0 = (v 0x , v 0y , v 0z ), em relação a um sistema
de coordenadas ortonormal (fixo). Suponha
também que um determinado campo magnético,
A solução da equação diferencial em (3.53) é
z(t) = 1 [
hη + ln(2) + t ]
⃗B = (0, 0, B 0 ), com B 0 constante, esteja presente.
η
τ − ln(1 + Então, este corpo sentirá o efeito da força de Lorentz,
e2t/τ ) , (3.56)
com τ = 1/ √ gη e η = ρδA/2m. A derivada primeira
desta função nos dá a velocidade instantânea,
⃗F B = Q⃗v × B ⃗ = Q ( v y B 0 , −v x B 0 , 0 ) . (3.61)
38

Capítulo 3. Translações
3.3. Aplicações da segunda lei de Newton
o Exercício 43),
mẍ = +QB 0 ẏ ⇒ ẍ = ωẏ, ω = QB 0
m (3.62)
mÿ = −QB 0 ẋ ⇒ ÿ = −ωẋ, (3.63)
m¨z = 0 ⇒ ¨z = 0. (3.64)
Note que temos uma novidade: as equações diferenciais
(3.62) e (3.63) estão acopladas, isto é, as
derivadas das variáveis dependentes x(t) e y(t) aparecem
misturadas nestas duas equações. No entanto,
esta mistura é linear nestas derivadas. Esta
linearidade faz com que possamos resolver este sistemas
de duas equações diferenciais de uma forma
muito simples. Derive a equação diferencial (3.62)
em relação ao tempo e use a equação diferencial
(3.63) para eliminar ÿ. Depois introduza a velocidade
v x = ẋ,
¨v x = −ω 2 v x , v x = ẋ. (3.65)
Note que esta equação diferencial (EDO) para v x (t)
tem a mesma forma da EDO do sistema massamola
(oscilador harmônico) apresentada em (3.15)
com ω 2 = k/m (reveja o Exercício 34). Conseqüentemente,
a EDO (3.65) para v x pode ser resolvida
facilmente respondendo a pergunta “Quem é a
função cuja derivada sengunda é proporcional a ela
mesma?” Conhecemos duas candidatas: funções
trigonométricas (senos e cossenos) e a função exponencial.
Vamos usar um seno na forma
v x (t) = −ωA sin(ωt + ϕ), (3.66)
com A (amplitude) e ϕ (fase) constantes, as
quais devem ser determinadas com o auxílio das
condições iniciais. Note que esta solução também
pode ser escrita na forma (faça o Exercício 49)
v x (t) =
− ωA ( cos(ϕ) sin(ωt) + sin(ϕ) cos(ωt) )
= C 1 sin(ωt) + C 2 cos(ωt). (3.67)
É importante observar também que: (1) a solução
de uma equação diferencial de segunda ordem sempre
terá duas constantes arbitrárias e (2) se duas
funções independentes satisfazem a mesma equação
diferencial, então a solução mais geral será uma
combinação linear delas. A solução (3.67) é uma
combinação linear de duas soluções independentes.
E a função exponencial? Ela não é uma terceira
solução? Não, ela é de fato equivalente à solução
(3.67) (faça o Exercício 49). Tendo determinado
v x (t), podemos usar (3.62) para determinar v y (t),
v y (t) = 1 ω ˙v x = −ωA cos(ωt + ϕ). (3.68)
O próximo passo é integrar as velocidades (3.66)
e (3.68) para obtermos as respectivas equações
horárias:
x(t) = A cos(ωt + ϕ) + C 1 , (3.69)
y(t) = −A sin(ωt + ϕ) + C 2 , (3.70)
z(t) = C 3 + C 4 t, (3.71)
onde aproveitamos também para resolver a equação
diferencial (3.64). Todas as seis constantes aparecendo
em (3.69)–(3.71) devem ser determinadas a
partir de seis condições iniciais,
⃗r(0) = ( x 0 , y 0 , z 0
)
, ⃗v(0) =
(
vx0 , v y0 , v z0
)
. (3.72)
Usando estas informações, teremos (faça o
Exercício 50)
√
tan ϕ = v x0 vx0 2 , A =
+ v2 y0
v y0 ω 2 (3.73)
e
C 1 = x 0 − A cos ϕ, C 2 = y 0 + A sin ϕ,
C 3 = z 0 , C 4 = v z0 . (3.74)
Qual é a trajetória determinada pelas equações
horárias (3.69)–(3.71)? Podemos notar que no
plano XY , a trajetória é uma circunferência de raio
A, centrada em (C 1 , C 2 ), pois
(x − C 1 ) 2 + (y − C 2 ) 2 = A 2 . (3.75)
Portanto, temos duas possibilidades: (1) se a velocidade
inicial no eixo Z for nula, v z0 = 0, então
a trajetória será uma circunferência no plano XY
(faça o Exercício 51); (2) se a velocidade inicial no
eixo Z não for nula, então a trajetória será uma
hélice de base circular e passo uniforme ao longo
do eixo Z. Note o seguinte: no caso da trajetória
ser circular, teremos
A = v ω
⇒ Q m = v
AB 0
, (3.76)
39

3.3. Aplicações da segunda lei de Newton Capítulo 3. Translações
√
com v = vx0 2 + v2 y0 . Também fizemos uso da definição
da freqüência ω dada em (3.62). Note que
a última expressão em (3.76) nos permite calcular
a razão entre a carga e a massa de um elétron, por
exemplo, em função do raio A da trajetória, o qual
é determinado pela velocidade inicial e pelo valor
do campo magnético.
3.3.3 Forças dependentes da posição
k
k
0 x
Figura 3.2: Uma massa m é presa a uma mola de
constante k e deformada por x.
Forças dependentes da posição constituem outra
classe importante. Iremos considerar aqui dois sistemas
importantes sob a ação de forças dependentes
da posição: uma massa presa a uma mola e um
pêndulo simples.
Oscilador Harmônico
Considere uma mola como sendo um corpo fixo capaz
de reagir a pequenas deformações oferecendo
uma força restauradora linearmente proporcional à
deformação ∆⃗r (lei de Hooke),
⃗F = −k x ∆x î − k y ∆yˆȷ − k z ∆z ˆk, (3.77)
na qual (k x , k y , k z ) são constantes características do
corpo, denominadas de constantes de mola. Considere
agora um corpo de massa m preso a esta mola.
Despreze a ação de quaisquer outras forças. Situação
ideal. Suponha também que este corpo produza
uma deformação na mola em algum instante
inicial e que permaneça preso à mola nos instantes
posteriores. Como será o movimento do corpo de
massa m? Para facilitar um pouco, vamos supor
que a deformação na mola ocorra apenas ao longo
do eixo X, k x = k, k y = k z = 0, e que a origem
F
m
do sistema de coordenadas coincida com a extremidade
da mola não-deformada, assim ∆x = x (veja a
Figura 3.2). Portanto, da segunda lei (já re-escrita
em componentes) temos
da qual resulta a EDO
− k x = mẍ, (3.78)
ẍ + ω 2 0x = 0, ω 0 =
√
k
m . (3.79)
Esta EDO aparece em muitas situações e, por isso,
é uma das equações diferenciais fundamentais em
ciências. Ela é denominada de EDO do oscilador
harmônico.
Como a equação diferencial (3.79) tem a mesma
estrutura da equação diferencial (3.65), então
x(t) = A cos(ω 0 t + ϕ), ω 0 =
√
k
m , (3.80)
com A e ϕ sendo duas constantes arbitrárias,
as quais serão determinadas de acordo com as
condições iniciais dadas (posição e velocidade iniciais).
Note que a massa m oscila harmonicamente (a
função cosseno é uma função harmônica de período
2π) entre −A e A, indefinidamente (veja a Figura
3.3(a)), com o período 2π/ω 0 . Por isto, este
sistema massa-mola é também conhecido por oscilador
harmônico. A constante ω 0 é a freqüência
(angular) natural 1 deste oscilador harmônico. A
constante A é denominada de amplitude e a constante
ϕ é denominada de constante de fase. A fase é
ω 0 t+ϕ = θ(t). Dado as condições iniciais x(0) = x 0
e ẋ(0) = ẋ 0 , a amplitude e a fase ficam determinadas
(faça o Exercício 51),
√
ẋ0
tan ϕ = − , A =
ω 0 x 0
x 2 0 + (
ẋ0
ω 0
) 2
. (3.81)
A Figura 3.3 mostra em 3.3(a) a equação horária
(3.80) com A = 1, ϕ = 0 e ω 0 = 2π (unidades
arbitrárias) juntamente com a velocidade correspondente,
ẋ(t). Você deve interpretar esta Figura
3.3(a) em termos da força elástica, acompanhando
o gráfico da equação horária e da velocidade
e imaginando como é a ação da força elástica
1 Há dois tipos de freqüência em um movimento periódico:
uma freqüência que é o inverso do período, f = 1/P, medida
em Hertz (Hz), e a freqüência angular, ω = 2πf, medida em
rad/s. O movimento periódico de um determinado sistema
é harmônico quando a sua freqüência angular for igual a
freqüência angular natural deste sistema.
40

Capítulo 3. Translações
3.3. Aplicações da segunda lei de Newton
em cada instante. A Figura 3.3(b) exibe a curva
(
x(t), ẋ(t), 0
)
, parametrizada pelo tempo. Este
plano x × ẋ é denominado de espaço de fase. No
caso do oscilador harmônico, podemos mostrar explicitamente
que esta curva é uma elipse, com o
semi-eixo maior a = 1 e semi-eixo menor b = ω 0
(faça o Exercício 52). Esta informação geométrica,
que a curva no espaço de fase é uma elipse, pode ser
usada para caracterizar um movimento harmônico.
Uma curva fechada no espaço de fase x × ẋ caracteriza
um movimento periódico.
x
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-4
-0.8
x(t)
-1
ẋ(t)
-6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
8
(a)
6
4
2
0
-2
ẋ
coordenadas) e com uma massa m presa na outra
extremidade, conforme indicado na Figura 3.4.
Neste sistema temos apenas as forças da gravidade
⃗F = mg î agindo na massa m e a tensão ⃗ T na haste.
Deslocando a massa de sua posição de equilíbrio (na
vertical) por um ângulo θ, imediatamente a força
gravitacional faz com que o sistema retorne à sua
posição de equilíbrio. Nosso objetivo é descrever o
movimento desta massa m, ou seja, encontrar como
o ângulo θ (ou fase) varia com o tempo. Note que,
embora o movimento ocorra no plano (dois graus
de liberdade), temos um movimento com apenas
um grau de liberdade, pois a condição de inflexibilidade
da haste impõe que x 2 (t) + y 2 (t) = l 2 , com
x(t) e y(t) dependentes do tempo e l independente
do tempo. Naturalmente, a equação horária para
o ângulo θ = θ(t) deve ser encontrada resolvendo
a equação diferencial proveniente da segunda lei de
Newton,
⃗F R = ⃗ F + ⃗ T = m⃗a. (3.82)
O
θ
l
y
ĵ
6
4
2
x
⃗T
ẋ
0
-2
-4
-6
-8
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
(b)
Figura 3.3: Equação horária x(t), velocidade ẋ(t)
e espaço de fase para o oscilador harmônico com
A = 1, ϕ = 0 e ω 0 = 2π (unidades arbitrárias).
Pêndulo simples
Vamos considerar agora um pêndulo ideal. Um
pêndulo ideal é formado por uma haste rígida, inflexível,
de massa nula e de comprimento l, com
uma das extremidades fixa em algum lugar (o qual
usaremos como origem para o nosso sistema de
î
⃗F
Figura 3.4: Pêndulo simples (ideal) de comprimento
l e massa m sob a ação da gravidade F ⃗ =
mg î.
Usando o sistema de coordenadas mostrado na
Figura 3.4, teremos
F Rx = mg − T cos θ
= mẍ = −ml¨θ sin θ − ml ˙θ 2 cos θ, (3.83)
F Ry = −T sin θ
= mÿ = ml¨θ cos θ − ml ˙θ 2 sin θ. (3.84)
Estas duas equações diferenciais são equivalentes a
uma equação diferencial para θ(t),
¨θ + ω 2 0 sin θ = 0, ω 0 =
√ g
l , (3.85)
41

3.3. Aplicações da segunda lei de Newton Capítulo 3. Translações
e uma equação para o módulo da tensão na haste,
T = mg ( ˙θ2 ω0
2 − ¨θ cot θ ) . (3.86)
Uma observação importante: note que a constante
ω 0 , a freqüência angular natural do pêndulo, em
(3.85) não depende da massa do m do pêndulo.
Assim, pêndulos construídos com uma bolinha de
tênis e um elefante terão a mesma equação horária.
A equação diferencial (3.85), aparentemente simples,
oferece muitas dificuldades para ser resolvida
analiticamente. Esta é uma situação onde é muito
mais conveniente usarmos métodos numéricos diretamente.
No entanto, podemos observar que, devido
à série de Taylor (Exercício 108) para a função
seno em torno de θ = 0, sin θ ≃ θ, a equação diferencial
(3.85) torna-se na equação diferencial de
um oscilador harmônico para pequenos valores de
θ (sempre em radianos),
¨θ + ω 2 0θ = 0, θ ≪ 1, ω 0 =
√ g
l . (3.87)
Assim, dentro da aproximação de ângulos pequenos,
podemos escrever
θ(t) = A cos(ω 0 t + ϕ), ω 0 =
√ g
l . (3.88)
Isto significa que o movimento do pêndulo será
harmônico para baixas amplitudes (ângulos) e que
a constante ω 0 será a sua freqüência natural, a
qual é independente da massa m. Tendo um bom
cronômetro e muita paciência podemos então calcular
o valor do módulo da aceleração da gravidade
no local do pêndulo. Portanto, esperamos
ver uma elipse no espaço de fase (θ × ˙θ) deste
pêndulo com ângulos (amplitudes) pequenos com
a razão entre seus semi-eixos igual à freqüência natural
ω 0 = √ g/l.
A Figura 3.5 mostra três equações horárias (unidades
MKS) para o mesmo pêndulo de freqüência
angular natural ω 0 = 2π rad/s. Estas três funções
do tempo foram obtidas resolvendo a equação diferencial
(3.85) numericamente. Estas equações
horárias diferem apenas pelas condições iniciais.
Como podemos ver na Figura 3.5, as duas primeiras
destas equações horárias representam um movimento
oscilatório (amplitude limitada). A terceira
equação representa um movimento de rotação
(faça o Exercício 54). Estes três movimento são
periódicos. Na Figura 3.5, cada curva foi devidamente
normalizada,
e
5
4
3
2
1
0
-1
Θ 1 = 20
π θ 1(t), ω 0 = 2π,
θ 1 (0) = π 20 , ˙θ1 (0) = 0,
Θ 2 = 2 π θ 2(t), ω 0 = 2π,
θ 2 (0) = π 2 , ˙θ2 (0) = 0,
Θ 3 = 1 π θ 3(t), ω 0 = 2π,
θ 3 (0) = 0, ˙θ2 (0) = 12.57 ≃ 4π.
Θ 1
Θ 2
Θ 3
(3.89)
(3.90)
(3.91)
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
t
Figura 3.5: Três equações horárias para o mesmo
pêndulo simples com ω 0 = 2π rad/s, diferindo apenas
pela escolha das condições iniciais dadas em
(3.89)–(3.91).
Podemos ver na Figura 3.5 que apenas a primeira
equação horária possui um período aproximadamente
igual a 1 s. Portanto, a frequência
angular correspondente é aproximadamente igual
a 2π rad/s (faça o Exercício 54). Ela também
possui uma amplitude inicial pequena π/20 rad.
Estes dois fatos siginificam que apenas a primeira
equação horária representa um movimento
harmônico, ou seja, ela também deve satisfazer a
equação diferencial (3.87) dentro de uma boa aproximação.
Os respectivos espaços de fase destes três
casos estão mostrados nas Figuras 3.6. Note que o
espaço de fase da terceira equação horária é bem diferente
dos demais. Este exemplo nos ensina que o
espaço de fase de sistemas que executam um movimento
oscilatório (confinado em uma certa região) é
42

Capítulo 3. Translações
3.3. Aplicações da segunda lei de Newton
uma curva fechada. O espaço de fase para rotações
é sempre uma curva aberta, como aquela mostrada
na Figura 3.6(b).
˙θ
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
Θ 1
Θ 2
-8
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
θ
˙θ
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
(a)
0
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
θ
(b)
Figura 3.6: Três espaços de fases para o mesmo
pêndulo simples com ω 0 = 2π rad/s, diferindo apenas
pelas escolhas das condições iniciais dadas em
(3.89)–(3.91). Unidades MKS.
3.3.4 Exercícios
Exercício 39
Determine explicitamente as expressões (3.31)–
(3.33). Determine também as três componentes
do vetor velocidade a partir das expressões (3.31)–
(3.33).
Exercício 40
Determine o tempo de queda e a velocidade final
da queda livre descrita em (3.35).
Exercício 41
Determine as quantidades em (3.38).
Θ 3
Determine
também o tempo de retorno ao plano XY . Determine
também o alcance máximo deste lançamento.
Exercício 42
Determine as dimensões da constante τ em (3.41).
Determine a constante de integração C em (3.47)
usando a condição inicial v z (0) = 0.
Exercício 43
Determine a constante de integração C em (3.50)
usando a condição inicial z(0) = h. Verifique explicitamente
que a função z(t) em (3.51) satisfaz a
equação diferencial em (3.41).
Exercício 44
Determine as dimensões da constante η e da constante
τ em (3.56).
Exercício 45
Derive a solução z(t) em (3.56) para obter a velocidade
(3.57).
Exercício 46
Verifique explicitamente que a função z(t) em
(3.56) satisfaz a equação diferencial em (3.53).
Exercício 47
Determine a velocidade terminal efetuando diretamente
o limite
com v z (t) dada em (3.57).
V T = lim
t→∞
v z (t), (3.92)
Exercício 48
Determine a velocidade terminal em (3.59).
Exercício 49
Mostre que
v x (t) = B + e +iωt + B − e −iωt , i = √ −1, (3.93)
também satisfaz a equação diferencial (3.65). Use o
fato de que qualquer número complexo z = x + i y,
de módulo r = √ zz ∗ = √ x 2 + y 2 , com z ∗ = x −
i y (conjugado), pode ser representado por (faça o
Exercício 109)
z = re iθ = r ( cos θ + i sin θ), tan θ = y x , (3.94)
para mostrar que as soluções (3.67) e (3.93) são
idênticas. Determine as constantes C 1 e C 2 aparecendo
em (3.67) em função das constantes B ±
aparecendo em (3.93).
43

3.3. Aplicações da segunda lei de Newton Capítulo 3. Translações
Exercício 50
Determine explicitamente as constantes de integração
em (3.73)–(3.74).
Exercício 51
Obtenha explicitamente as constantes A e ϕ dadas
em (3.81) usando as condições iniciais x(0) = x 0
e ẋ(0) = ẋ 0 . Depois faça x 0 = 1, ẋ 0 = 0 (objeto
solto do repouso) e ω = 2π. Use o sistema MKS de
unidades.
Exercício 52
Considere a equação (forma direta) de uma elipse
de semi-eixo maior a e semi-eixo menor b,
X 2
a 2 + Y 2
= Cte. (3.95)
b2 ( Mostre que ) a curva (forma paramétrica) γ(t) =
x(t), ẋ(t), 0 , com x(t) dada em (3.80), satisfaz
(3.95) para qualquer instante de tempo, ou seja,
prove que γ é de fato uma elipse de semi-eixo maior
a = 1 e semi-eixo menor b = ω 0 . Faça a identificação
X = x(t) e Y = ẋ(t).
Exercício 53
Determine explicitamente as equações (3.83)–
(3.86).
Exercício 54
A partir dos gráficos mostrados na Figura 3.5, calcule
os respectivos períodos e freqüências angulares.
Descreva precisamente o movimento do pêndulo em
cada situação.
44

Capítulo 4
Leis de conservação I
4.1 Trabalho
Nós temos uma experiência cotidiana em lidar com
forças. Temos uma idéia clara que é mais fácil fazer
um pingüim de geladeira, feito de gesso e mal acabado,
deslizar sobre uma mesa do que deslizar um
monitor de computador. Também sabemos que é
mais cansativo transportar o monitor escada acima
we que este cansaço é (no mínimo) proporcional à
distância percorrida. A questão que devemos responder
é: como quantificar esta nossa noção cotidiana
acerca do nosso esforço quando debatemos
com uma determinada força? Em outras palavras,
como podemos combinar força e deslocamento, dois
vetores, para produzirmos um número, um escalar,
que possa ser usado para quantificar nosso esforço?
Apelando para a simplicidade, podemos tentar
um produto escalar entre força F ⃗ = (F x , F y , F z )
e deslocamento infinitesimal d⃗r = (dx, dy, dz) para
quantificar nosso esforço, F ⃗ · d⃗r. Somando todas
estas contribuições infinitesimais ao longo de uma
determinada trajetória entre as posições A e B,
∆W AB =
∫ B
A
⃗F · d⃗r, (4.1)
obtemos o número ∆W , denominado de trabalho.
Dizemos que este número W AB representa o trabalho
associado à força ⃗ F durante o movimento iniciado
em A e terminado em B, ao longo de uma
determinada trajetória descrita parametricamente
pelo vetor posição ⃗r(t) = (x(t), y(t), z(t)). Esta trajetória
foi produzida pela força resultante ⃗ F , través
da segunda lei de Newton.
Algumas observações importantes sobre como
calcular o trabalho usando a integral (4.1): (i) os
limites de integração A e B representam as posições
inicial A = ⃗r(t 0 ) = (x 0 , y 0 , z 0 ) em t = t 0 e final
B = ⃗r(t 1 ) = (x 1 , y 1 , z 1 ) em t = t 1 , sobre a
trajetória ⃗r(t) = (x(t), y(t), z(t)); (ii) a força pode
ser uma função da posição em geral, como a força
elástica, por exemplo; (iii) não podemos esquecer
que o produto escalar em (4.1) pode ser efetuado
de duas formas, através de coordenadas,
∆W AB =
=
∫ B
A
∫ B
A
⃗F · d⃗r
F x dx +
∫ B
A
∫ B
F y dy + F z dz, (4.2)
A
bem como através de normas (comprimentos),
∆W AB =
∫ B
A
⃗F · d⃗r =
∫ B
A
cos θ F dr, (4.3)
com F = || F ⃗ ||, dr = ||d⃗r|| e θ sendo o ângulo entre o
vetor força e o vetor deslocamento. Não podemos
esquecer que tanto o módulo F da força quanto
o ângulo θ podem depender da posição. Cada situação
exigirá a escolha de uma destas duas maneiras
de calcular o trabalho que tornará o cálculo
o mais simples possível.
Podemos notar que quanto maior a intensidade
da força, maior o trabalho. Em uma dimensão, digamos
ao longo do eixo X, qual é a interpretação
geométrica do trabalho (4.1)? É a mesma interpretação
geométrica de uma integral, ou seja, é a
área abaixo da curva F x (x). Muito bem! Isto é
importante, pois há muitas situações reais onde a
força é unidimensional e conhecemos somente seu
gráfico em função da posição. Mesmo não tendo
uma expressão analítica para F (x), a qual é absolutamente
necessária para efetuarmos a integral
45

4.1. Trabalho Capítulo 4. Leis de conservação I
(4.1), podemos calcular, aproximadamente, o valor
da área abaixo da curva F x (x) usando técnicas
geométricas, usando a definição de integral. No entanto,
lidaremos aqui apenas com situações onde
temos as devidas expressões analíticas.
Vejamos alguns exemplos. Considere um sistema
composto por um único corpo de massa m, o qual
está em movimento uniforme com uma velocidade
⃗v = v î. Suponha que uma força elástica externa
⃗F = −kx î (lei de Hooke) comece a agir neste corpo
no instante t = 0 (x = 0). Note que estamos usando
um sistema de coordenadas ortonormal no qual a
massa m está sendo localizada por ⃗r = x î. Conseqüentemente,
o vetor deslocamento infinitesimal
(diferencial do vetor posição) é d⃗r = dx î. Nossa
tarefa é calcular o trabalho feito por esta força
elástica (uma força externa) ao longo da trajetória
retilínea iniciando em x = 0 [ponto A = (0, 0, 0)]
e terminando em x = l [ponto B = (l, 0, 0)], sendo
l a distância máxima percorrida pela massa m até
parar (amplitude). Usando (4.2), o trabalho correspondente
é ∆W = −kl 2 /2 (Faça a parte (i) do
Exercício 55). Note que este trabalho é proporcional
à constante de mola k e à amplitude l, mas é
independente da massa m. Quanto maior a constante
de mola (mola mais dura), maior o trabalho.
Quanto maior a amplitude, maior o trabalho.
No entanto, o trabalho é o mesmo para qualquer
massa, fato este que está em desacordo com a nossa
experiência diária.
Considere novamente um sistema formado por
uma única massa m mantida em repouso a uma altura
h próxima à superfície da Terra. Portanto, de
acordo com a gravitação Newtoniana, esta massa
m está sujeita a uma força constante, F ⃗ = −mg ˆk.
A força gravitacional aqui é externa ao sistema.
Note que estamos usando um sistema de coordenadas
ortonormal no qual a massa m está localizada
por ⃗r = z ˆk. Conseqüentemente, o vetor deslocamento
infinitesimal (diferencial do vetor posição)
é d⃗r = dz ˆk. O trabalho efetuado por esta força
externa, calculado pela definição (4.2), para levar a
massa m de volta à superfície é ∆W = +mgh (Faça
a parte (i) do Exercício 56). Desta vez, o trabalho
depende não somente da distância percorrida, mas
também da massa m.
Note que, devido ao produto escalar presente na
definição de trabalho (4.1), o qual é nulo para vetores
perpendiculares, mantendo a força gravitacional
na vertical, podemos imaginar uma trajetória
horizontal na qual a força gravitacional não realiza
trabalho. Embora isto também esteja em desacordo
com nossa experiência cotidiana, temos aqui um resultado
importante acerca da força gravitacional: o
trabalho realizado por ela independe da trajetória
escolhida. O trabalho realizado pela força gravitacional
depende apenas da distância vertical correspondente
ao deslocamento da massa m.
Quais são as dimensões de trabalho? De acordo
com a definição (4.1), [W ] =ML 2 T −2 . Estas unidades
receberam o nome de Joule (J=N m). Note que
o Joule tem as mesmas dimensões do produto massa
por velocidade ao quadrado. Aviso importante: veremos
na próxima seção que o Joule é a unidade de
“energia” no sistema MKS. Entretanto, trabalho
não é energia, ou seja, não é correto afirmar que
um corpo tem trabalho. Trabalho é um processo
de troca de energia (como veremos adiante). Assim,
é correto dizer que um corpo realiza trabalho
ao se movimentar na presença de uma força.
Pense na seguinte situação: duas máquinas M 1 e
M 2 são usadas para elevar (adiabaticamente) uma
massa m a uma altura h acima da superfície da
Terra. Como vimos anteriormente, ambas realizam
a mesma quantidade de trabalho: mgh. No entanto,
observa-se que a máquina M 2 leva menos
tempo para executar esta tarefa. Isto significa que
esta máquina M 2 consegue trocar mais “energia”
por unidade de tempo através do mecanismo “trabalho”.
Sendo trabalho um mecanismo de troca de
energia, então é conveniente definirmos uma taxa
de variação temporal do trabalho realizado. Em um
certo intervalo de tempo dt, um corpo é deslocado
por d⃗r = ⃗vdt sob a ação de uma força F ⃗ . O trabalho
infinitesimal correspondente é dW = F ⃗ · ⃗vdt.
Assim, podemos definir
P = dW dt
= ⃗ F · ⃗v. (4.4)
Esta taxa temporal de energia é denominada de
potência. A unidade de potência em MKS é o Watt
(W=J/s). Você já reparou que a sua conta de luz
registra o seu consumo em kWh (kilowatt-hora)?
1 kWh=3, 6×10 6 J. Portanto, você paga pela energia
fornecida e não pela potência consumida.
46

Capítulo 4. Leis de conservação I
4.2. Energia cinética
4.1.1 Exercícios
Exercício 55
(i) Mostre que o trabalho (4.1) realizado pela força
elástica F ⃗ = −kx î durante o deslocamento de uma
massa m, localizada por ⃗r = x î, desde x 1 = 0 (velocidade
⃗v 1 = v 0 î) até x 2 = l (amplitude; velocidade
nula ⃗v 2 = 0) é ∆W = −kl 2 /2. Calcule também
o trabalho realizado pela força elástica no sentido
inverso (volta). Agora calcule o trabalho total realizado
na trajetória fechada (ida e volta). (ii) Mostre
também que o trabalho realizado na ida é igual à
variação de energia cinética T 2 − T 1 [confira (4.5)
e (4.6)]. Use o Teorema 7 para determinar a velocidade
final (em x 1 = 0) na volta. Esta velocidade
final é igual à inicial? Justifique.
Exercício 56
(i) Mostre que o trabalho (4.1) realizado pela força
gravitacional (na superfície da Terra) F ⃗ = −mgˆȷ
durante o deslocamento de um massa m, localizada
por ⃗r = yˆȷ, desde y 1 = 0 (velocidade inicial
⃗v 1 = v 0ˆȷ) até y 2 = h (velocidade nula ⃗v 2 = 0)
é ∆W = −mgh. Calcule também o trabalho realizado
pela força gravitacional no sentido inverso
(volta). Agora calcule o trabalho total realizado na
trajetória fechada (ida e volta). (ii) Mostre também
que o trabalho realizado na ida é igual à variação
de energia cinética T 2 − T 1 [confira (4.5) e (4.6)].
4.2 Energia cinética
De acordo com os dois exemplos apresentados na
seção anterior, a integral (trabalho) definida em
(4.1) atende muito bem aos quesitos iniciais, embora
produza alguns fatos em desacordo com nossa
experiência cotidiana. No entanto, veremos que a
definição (4.1) é muito mais importante que uma
simples quantificação do nosso esforço usual ou
do custo de produzir um determinado movimento.
Primeiramente, usando a segunda lei de Newton
⃗F = m⃗a, podemos re-escrever a integral (4.1), a
qual é uma integral na posição, numa integral na
velocidade ⃗v = ˙⃗r (Faça o Exercício 57),
∆W =
∫ B
A
∫ vB
⃗F · d⃗r = m ⃗v · d⃗v
v A
= 1 2 mv2 B − 1 2 mv2 A.
(4.5)
Isto significa que podemos calcular trabalho através
do módulo do vetor velocidade (velocidade escalar),
calculado apenas nos extremos da trajetória
percorrida. Este é um resultado muito importante
devido à sua praticidade de evitar a resolução de
integrais. Tão importante que iremos denominar a
quantidade
T = 1 2 mv2 , v = ||⃗v||, (4.6)
de energia cinética. Note que esta energia cinética
é uma quantidade inerente ao corpo de massa m
com um vetor velocidade ⃗v. Note também que as
dimensões de energia cinética são as mesmas de trabalho,
[T ] =ML 2 T −2 . Assim, podemos enunciar o
resultado (4.5) na forma de um teorema:
Teorema 7 (Energia cinética)
Quando o trabalho realizado em um sistema produz
modificações na velocidade, então
∆W = ∆T. (4.7)
Vejamos algumas aplicações deste teorema. Vamos
considerar novamente o sistema formado por
uma massa m na presença de uma força elástica
⃗F = −kx î produzida por uma mola ideal. A massa
m tem velocidade ⃗v A = v 0 î em x = 0 (ponto A
da trajetória). Ao atingir a posição x = l (ponto
B; distensão máxima; velocidade nula), a massa m
deve retornar. Retorno significa inverter o sentido
do vetor velocidade e isto significa que a velocidade
precisa ser nula em x = l, ⃗v 1 = 0. O trabalho realizado
pela força elástica nesta trajetória (ida de
x = 0 para x = l) é ∆W = −kl 2 /2, como calculado
anteriormente. Portanto, usando o Teorema 7, a
velocidade inicial (em x = 0) deve ser v 0 = ω 0 A,
ω0 2 = k/m (Faça a parte (ii) dos Exercícios 55–56).
Este sistema massa-mola ainda pode nos ensinar
muito mais. O trabalho realizado pela força
elástica é negativo no trajeto de ida (de x = 0
até x = l). Então estamos confirmando que uma
força externa realiza trabalho sobre a massa m e
produz uma alteração na energia cinética dela, isto
é, altera a sua velocidade. Neste exemplo que estamos
considerando, a energia cinética diminuiu,
passou de mv0/2 2 para 0, com v 0 = ω 0 A. Portanto,
a massa m perdeu energia cinética. Isto justifica
interpretarmos o trabalho como sendo um processo
de transferência de energia. Mas a massa m perde
47

4.3. Energia potencial Capítulo 4. Leis de conservação I
energia para quem? Além da massa, temos apenas
a mola ideal de constante k neste sistema. Então
é razoável imaginar a existência um mecanismo de
troca de energia entre a massa m e a mola ideal k.
Como esta energia é armazenada na mola? Embora
a mola apresente movimentos internos (compresão
e distensão), ela não se move como um todo. Então
esta energia armazenada na mola não pode ser na
forma cinética. Esta nova modalidade de energia, a
qual depende da disposição espacial da mola, será
discutida na próxima seção.
Algumas observações importantes. Inicialmente
dissemos que o trabalho serve muito bem para
quantificar nossos esforços da experiência cotidiana.
Na verdade, estamos vendo através destes
exemplos simples que a definição (4.1) nos revela
algumas surpresas que estão em desacordo ao nosso
senso comum. Por exemplo, ao transportarmos
um objeto perpendicularmente à força gravitacional
nas proximidades da superfície da Terra, certamente
ficamos exaustos. Então temos a sensação
de termos realizado “trabalho”. No entanto o trabalho
(4.1) é nulo nesta condição. Também sentimos
que estamos realizando trabalho ao mantermos
um objeto em equilíbrio a uma certa altura,
como um halterofilista mantendo pesos em
equilíbrio. No entanto, pelo Teorema 7, não havendo
modificações na energia cinética, não há trabalho.
Também é surpreendente que o trabalho realizado
em um sistema possa ser calculado usando-se
somente o módulo do vetor velocidade (velocidade
escalar). Isto significa que o trabalho é nulo em
um movimento circular uniforme, pois o módulo
do vetor velocidade é constante. Evidentemente,
todas as forças externas agindo numa massa m em
movimento circular são perpendiculares ao deslocamento
(tangente à trajetória circular). Desta
forma, a definição (4.1) de trabalho em mecânica
é bem diferente da nossa noção cotidiana de trabalho,
embora ela nos tenha servido como inspiração.
Algo que realmente não podemos fazer confusão:
trabalho não é uma modalidade de energia. Trabalho
é um mecanismo de troca de energia. Nesta troca
de energia pelo mecanismo de trabalho (4.1), há
variação de energia cinética (Teorema 7). Veremos
mais adiante que calor também é um mecanismo
de troca de energia envolvendo variação da energia
interna (proporcional à temperatura, a qual está ligada
à energia cinética média). Naturalmente, os
mecanismos de troca de energia (trabalho, calor,
etc.) possuem as mesmas unidades de energia e
isto nos leva a interpretar (erroneamente) estes mecanismos
como energia. Até mesmo na etimologia
(grega e latina) da palavra energia, força em ação
ou trabalho interno, já aparece a noção de trabalho.
A única quantidade que temos até o momento
que pode ser denominada de energia, é a energia
cinética (4.6). Então o Joule (J=N m) é uma unidade
de energia no sistema MKS. As dimensões de
energia, usando (4.6), são [T ] =ML 2 T −2 . É importante
mantermos em mente estas dimensões de
energia. Curiosidade: a energia cinética da Terra é
cerca de 3 × 10 33 J. A energia cinética de um atleta
corredor é aproximadamente 4 × 10 3 J.
4.2.1 Exercícios
Exercício 57
Faça explicitamente todas as passagens omitidas
em (4.5). Use a segunda lei de Newton e uma integração
por partes.
4.3 Energia potencial
Além da energia cinética, há um outro tipo de
energia relacionada com a definição (4.1) de trabalho.
Como sempre, vamos utilizar novamente a
força elástica e a força gravitacional para aprendermos.
Nosso sistema será formado por uma única
massa m. Neste sistema atuará uma força externa
(elástica ou gravitacional). Nós calculamos anteriormente
(Exercício 55) o trabalho realizado pela
força elástica sobre a massa m no trajeto de ida
(de x 1 = 0 até x 2 = l). Vamos denotar este trabalho
por ∆W 12 = −kl 2 /2. Note que a energia
cinética da massa m diminuiu. O trabalho realizado
no caminho inverso, de x 2 = A para x 1 = 0
é ∆W 21 = +kl 2 /2. Note que neste caso, a energia
cinética da massa m aumentou. Portanto, o
trabalho total realizado pela força elástica é nulo,
∆W = ∆W 12 + ∆W 21 = 0. Em outras palavras, o
trabalho realizado pela força elástica na massa m
ao longo de uma trajetória fechada (ida e volta) é
nulo. Este mesmo resultado também é válido para
a força gravitacional (verifique).
Se há forças que produzem um trabalho nulo em
trajetórias fechadas, isto significa que o trabalho realizado
por estas forças dependem apenas dos pontos
extremos das trajetórias. Note que isto está de
48

Capítulo 4. Leis de conservação I
4.3. Energia potencial
pleno acordo com o Teorema 7 da energia cinética:
o trabalho depende somente da velocidade escalar
calculada nas posições inicial e final da trajetória.
Denominaremos as forças com esta propriedade,
ou seja, trabalho nulo numa trajetória fechada, de
forças conservativas. As forças fundamentais da natureza
são conservativas. Naturalmente, quando há
qualquer tipo de atrito e/ou viscosidade, teremos
forças não-conservativas ou dissipativas.
Quando calculamos a variação de energia cinética
no sistema massa-mola, vimos que a energia
cinética diminuiu na ida e aumentou na volta. Concluímos
que a mola deve ter absorvido esta energia
perdida pela massa durante a ida e liberado a
mesma quantidade durante a volta. Também concluímos
que a mola não pôde ter armazenado esta
energia na forma de energia cinética, pois houve
apenas uma deformação da mesma, o que modificou
a intensidade da força elástica. No momento
em que a massa m está momentaneamente em repouso,
a força elástica (restauradora) é máxima.
Assim que a mola inicia sua volta ao seu comprimento
natural, a massa m entra em movimento (no
sentido oposto) e atinge sua velocidade máxima
quando o alongamento da mola é nulo. Nesta situação,
a mola cede para a massa m toda a energia
que havia armazenado anteriormente. O trabalho
é uma forma de quantificar esta troca de energias
entre a massa m e a mola, numa interação mediada
pela força elástica. Podemos concluir então que
esta nova modalidade de energia está associada com
a força elástica (produzida pela mola). Uma análise
similar, nos leva a concluir também a existência de
uma nova modalidade de energia associada com a
força gravitacional. Em ambos os casos, esta nova
modalidade de energia, através do trabalho, tem a
capacidade (potencial) de se transformar em energia
cinética. Por isso iremos denominá-la de energia
potencial e denotá-la por V .
Ainda considerando o mesmo sistema massamola
que temos usado até aqui, o trabalho realizado
pela força elástica na ida é negativo (∆W 12 =
−kl 2 /2). Vamos interpretar este sinal negativo
como uma representação da perda de energia
cinética pela massa m. Conseqüentemente, a mola
aumentou sua energia potencial, ∆V 12 = kl 2 /2 =
−∆W 12 . Pelo teorema da energia cinética e trabalho,
temos ∆W 12 = ∆T 12 . Portanto ∆V 12 =
−∆T 12 , ou, equivalentemente, ∆(T + V ) 12 = 0.
Na volta, podemos concluir que ∆(T + V ) 21 = 0.
Assim, temos dois resultados importantes: (i) podemos
aproveitar trabalho para calcular variações
de energia potencial,
V (⃗r) = −
∫ ⃗r
⃗r 0
⃗ F · d⃗r, (4.8)
a qual é uma função exclusivamente da posição final
⃗r = ⃗r(t), pois a força é conservativa, ou seja, a
integral (4.8) não depende da trajetória (caminho)
escolhido entre o ponto inicial ⃗r 0 = ⃗r(t 0 ) (mantido
fixo) e final ⃗r(t) (arbitrário).
Note também que a função potencial em (4.8)
está definida a menos de uma constante arbitrária
(devido ao limite inferior ocorrer em uma posição
⃗r(t 0 ) previamente escolhida). Deve ser mantido
em mente que a função energia potencial está definida
apenas para forças conservativas. Você ainda
lembra do teorema fundamental do cálculo? Teorema
5. Pois bem, usando este teorema nós
podemos responder a seguinte questão fundamental:
dado a energia potencial V = V (x, y, z) é
possível obter o vetor força (resultante)? Em outras
palavras, é possível inverter a relação (4.8)?
Sim é possível, graças ao Teorema Fundamental do
Cálculo, Teorema 5. Como os versores î, ˆȷ e ˆk são
constantes, então (verifique)
⃗F = − d
dx V î − d
dy V ˆȷ − d dz V ˆk = − ⃗ ∇V. (4.9)
Lembre-se que a força contém toda a informação
sobre o comportamento dinâmico de um sistema.
Ela é uma quantidade vetorial e, portanto, contém
três informações. Agora, usando (4.9), podemos
calcular a força derivando a energia potencial, a
qual é uma quantidade escalar (uma única informação).
Ganhamos em dobro: primeiro economizamos
dois terços na quantidade de informações
a serem armazenadas para descrevermos o comportamento
de qualquer sistema. Segundo, descobrimos
uma ferramenta matemática espetacular ( ∇), ⃗
pois ela tem a incrível capacidade de transformar
uma função escalar em uma função vetorial. Esta
ferramenta nova é denominada de operador gradiente
e é denotado por ∇, ⃗ onde o síbolo ∇ é conhecido
por nabla. O operador gradiente opera sempre
em funções escalares, como a energia potencial
V = V (⃗r) = V (x, y, z),
⃗∇V = ∂
∂x V î + ∂ ∂y V ˆȷ + ∂ ∂z V ˆk. (4.10)
49

4.3. Energia potencial Capítulo 4. Leis de conservação I
Entortamos um pouquinho o símbolo dos diferenciais.
Isto é para nos lembrar que cada derivada deve
ser efetuada em relação a uma variável, mantendo
as demais variáveis independentes fixas (fazem o
papel de parâmetros). Estes novos símbolos para
as derivadas são denominadas de derivadas parciais
(por razões óbvias).
Vejamos algumas aplicações. Adivinhe quem
será o primeiro sistema a ser usado? É impressionante
a quantidade de conceitos fundamentais
que podemos aprender com o oscilador harmônico.
Considere um oscilador harmônico como descrito
na Figura 3.2. Com a força elástica (lei de Hooke)
escrita na forma F ⃗ = −kx î e energia potencial na
forma V = V (x, y, z), então, de (4.9), temos
⃗F = −k x î
= − d
dx V î − d
dy V ˆȷ − d dz V ˆk,
(4.11)
a qual nos fornece três equações diferenciais de primeira
ordem,
∂V
∂x = k x,
∂V
∂y = 0,
∂V
∂z
= 0. (4.12)
As duas últimas equações diferenciais em (4.12) nos
diz que a função energia potencial depende apenas
da coordenada x, isto é, V = V (x) é independente
de y e z. Assim, levando esta informação na primeira
equação diferencial em (4.12), determinamos
(faça os detalhes)
V (x) = 1 2 kx2 + C, (4.13)
na qual C é uma constante arbitrária. Como observado
anteriormente, a energia potencial (4.8) está
definida a menos de uma constante arbitrária. O
valor desta constante pode escolhido. Então vamos
escolher C = 0 em x = 0. Assim, o potencial
harmônico é parabólico na posição (veja também a
Figura 4.2). Com ou sem a constante arbitrária,
a variação de energia potencial durante o deslocamento
da massa m desde x = 0 até x = l (trajeto
de ida) é ∆V = V (l) − V (0) = kl 2 /2, o qual é exatamente
o negativo do trabalho efetuado pela força
elástica neste mesmo trajeto, ∆V = −∆W .
Observe que a expressão no lado direito de (4.8)
é de fato uma função da posição, independente da
massa m e dependente da constante de mola k.
Por isto, costuma-se dizer que a energia potencial
está armazenada na mola (ideal, invisível). Mas é
importante termos em mente que é necessário termos
a massa m para observarmos qualquer movimento
proveniente desta energia potencial, através
da relação (4.11). Ou seja para haver um aproveitamento
da energia potencial, é necessário haver uma
interação (força). Note também que a aplicação do
operador gradiente (4.10) em (4.13), como indicado
em (4.9), realmente recupera a força elástica (faça
o Exercício 58).
Considere agora o sistema massa-Terra. Com a
força gravitacional (outra lei de Newton) escrita na
forma ⃗ F = −mg ˆk, a função energia potencial (4.8)
para o sistema massa-Terra é (faça os detalhes)
V (z) = mgz + C, (4.14)
na qual C é uma constante arbitrária. Vamos
escolher esta constante igual a zero na superfície
(z = 0). Podemos ver em (4.14) que esta energia
potencial depende da massa m e também da aceleração
da gravidade g, a qual depende da massa da
Terra. Portanto, não podemos afirmar que a energia
potencial deste sistema massa-Terra está localizada
em um dos dois corpos. A energia potencial
está associada à força gravitacional. Note também
que a aplicação do operador gradiente (4.10) em
(4.14), como indicado em (4.9), realmente recupera
a força gravitacional (faça o Exercício 59).
Considere agora o pêndulo simples mostrado na
Figura 3.4. Este é também um sistema com dois
corpos: uma massa m e a Terra. No entanto, a
massa m está obrigada a movimentar-se somente
ao longo de uma trajetória circular de raio l, o comprimento
do pêndulo. Portanto, este é um exemplo
contendo um vínculo, x 2 +y 2 = l 2 (usando o mesmo
sistema de coordenadas indicado na Figura 3.4).
Vamos calcular a energia potencial deste sistema
usando a definição (4.8). A primeira providência
é escrevermos os vetores força (resultante, F ⃗ ) e o
deslocamento (infinitesimal, d⃗r) em algum sistema
de coordenadas. Usando o mesmo sistema de coordenadas
indicado na Figura 3.4, a força resultante
agindo na massa m é
⃗F = (mg − T cos θ) î − T sin θˆȷ, (4.15)
na qual T é o módulo da tensão no fio. A massa m
está localizada na posição ⃗r = x î + yˆȷ. Escrevendo
as componentes x e y em função da posição angular
50

Capítulo 4. Leis de conservação I
4.3. Energia potencial
θ, o diferencial d⃗r pode ser calculado facilmente
(faça o Exercício 60),
d⃗r = −l sin θ dθ î + l cos θ dθˆȷ, (4.16)
onde l é o comprimento do pêndulo, l 2 = x 2 +
y 2 , mantido constante durante todo o movimento.
Então, levando as expressões (4.15) e (4.16) na definição
(4.8), temos (Exercício 61)
com
∫
V = −
⃗F · d⃗r = Iω 2 0
= Iω 2 0(1 − cos θ),
∫ θ
0
sin θ dθ
(4.17)
I = ml 2 , ω 0 =
√ g
l . (4.18)
A constante I = ml 2 é denominada de momento
de inércia do pêndulo. Ele mede a dificuldade de
alterarmos o movimento de rotação da massa m
em torno do eixo (fixo) onde está presa a outra
extremidade do pêndulo. Note a semelhança do
momento de inércia com a massa.
Observe que o produto Iω0
2 tem dimensões de
energia. De fato, veremos, durante nossos estudos
sobre o movimento de rotação em torno de um
eixo fixo, que a energia cinética de rotação será
Iω0/2.
2 Note a semelhança desta energia cinética
rotacional com a energia cinética (4.6) (translacional).
As características gerais do potencial (4.17)
estão mostradas na Figura 4.3. Ele é periódico de
período 2π, tem um mínimo em θ = 0 e um máximo
em θ = ±π/2. Note que este potencial depende
também da massa m, de g e do comprimento l.
Isto mostra que a energia potencial pertence ao sistema,
ou seja, ela não está localizada somente em
um dos dois corpos, a massa m ou a Terra.
Você notou que o módulo T da força tensão na
haste do pêndulo não aparece na expressão (4.17)
da energia potencial? Então quando usarmos o operador
gradiente (4.10) em (4.17), como indicado em
(4.9), não iremos recuperar a força resultante (4.15)
por completo. O que está acontecendo? O operador
gradiente não sabe mecânica e nem enxerga um
sistema físico como nós enxergamos. O operador
gradiente simplesmente sabe recuperar a parte de
uma força resultante que realiza trabalho conservativo.
Como indicado na Figura 3.4, o movimento
da massa m é circular (não é uniforme). Nesta trajetória
circular, a tensão é sempre perpendicular ao
vetor deslocamento, o qual é sempre tangente à trajetória.
Portanto, o trabalho realizado pela tensão é
nulo. Vale a mesma observação para a componente
da força peso ao longo da haste (componente radial).
Então, somente a componente da força peso
que é tangente à trajetória (componente tangencial)
é que realiza trabalho. Esta componente tangencial
pode ser escrita na forma F ⃗ θ = −mg sin θ ˆθ,
onde ˆθ é um versor na direção do ângulo θ. Vamos
denotar por d⃗s o deslocamento infinitesimal ao
longo trajetória circular. Assim, este deslocamento
infinitesimal d⃗s também é um vetor na direção do
versor ˆθ (tangente à trajetória), d⃗s = ldθ ˆθ (faça
o Exercício 62). Desta forma, estamos aprendendo
que o sistema cartesiano retangular nem sempre é o
melhor sistema de coordenadas. Para o pêndulo da
Figura 3.4, coordenadas polares é a melhor escolha
(veja o Apêndice C). Este é o sistema de coordenadas
que melhor se adapta à simetria circular da
trajetória da massa m do pêndulo. Entendido isto,
podemos usar o gradiente em coordenadas polares
(C.5), com r = l e ϕ = π/2 constantes, ou seja,
com dr = 0 e dϕ = 0, para re-obtermos a componente
tangencial da força peso segundo a prescrição
(4.9). Note então que a prescrição (4.9) recupera
somente a parte da força resultante que realmente
realiza trabalho. Nada é mais que perfeito.
Como já observamos, o pêndulo simples é um excelente
sistema para aprendermos mecânica. Vimos
em (3.87) que a equação diferencial de um pêndulo
simples se reduz à equação diferencial de um oscilador
harmônico quando o deslocamento angular é
pequeno, θ ≪ 1 rad. Então, para pequenas amplitudes,
o potencial (4.17) deve ser idêntico ao potencial
harmônico (4.13). Para θ ≪ 1 rad, a função
cosseno pode ser aproximada para cos θ ≃ 1 − θ 2 /2
(os dois primeiros termos da série de Taylor). Assim,
o potencial (4.17) torna-se em
V = Iω 2 0(1 − cos θ)
≃ 1 2 Iω2 0θ 2 = 1 2 mω2 0 (lθ) 2 .
(4.19)
Note que lθ é o comprimento do arco compreendido
pelo deslocamento angular θ e faz o papel
da distensão x em (4.13). Ainda mais surpreendente:
a última expressão em (4.19), quando comparada
com o potencial harmônico (4.13), fornece
uma “constante de mola” igual a mω0, 2 massa vezes
a freqüência (angular) natural, a mesma definição
para o sistema massa-mola.
51

4.4. Energia mecânica Capítulo 4. Leis de conservação I
Da geometria plana sabemos que o arco compreendido
4.3.1 Exercícios
⃗∇ = ˆθ d
l dθ . (4.22) E = T + V. (4.26)
pelo ângulo dθ numa circunferência de raio l
Exercício 58
Aplique o operador gradiente (4.10) em (4.13), é l dθ. Então, no sistema polar de coordenadas, o
como indicado em (4.9), e mostre que esta operação vetor deslocamento infinitesimal ao longo de uma
realmente recupera o vetor força elástica F ⃗ =
circunferência de raio l é d⃗s = ldθ ˆθ, um vetor
−kx î.
na direção do versor ˆθ (tangente à trajetória) de
módulo ldθ. Mostre que o vetor velocidade tangencial
é
Exercício 59
Aplique o operador gradiente (4.10) em (4.14),
⃗v = l ˙θ ˆθ. (4.23)
como indicado em (4.9), e mostre que esta operação
realmente recupera o vetor força gravitacional F ⃗ =
−mgˆȷ.
Seguindo este modelo, a componente tangencial da
força peso (a única parte da força resultante que
realmente realiza trabalho, pois a outra parte está
na direção radial, perpendicular ao deslocamento,
Exercício 60
pode ser escrita como F ⃗ θ = −mg sin θ ˆθ. Então
A massa m na Figura 3.4 está localizada na posição
⃗r = x î + yˆȷ. Mostre que o diferencial deste vetor
use a definição (4.8) para mostrar que a energia
potencial calculada por
posição é d⃗r = dx î + dyˆȷ. Agora vamos efetuar
∫ θ
uma mudança de coordenadas. Das coordenadas
V = −
cartesianas (x e y) para coordenadas polares (l e
0
⃗F θ · d⃗s (4.24)
θ): x = l cos θ, y = l sin θ, com l constante. Mostre é igual à energia potencial encontrada em (4.17).
que o diferencial do vetor posição torna-se Feito isto, use a prescrição (4.9), com o gradiente
d⃗r = −l sin θ dθ î + l cos θ dθˆȷ
na forma (C.5), para recuperar F ⃗ θ = −mg sin θ ˆθ.
= −y dθ î + x dθˆȷ. (4.20)
4.4 Energia mecânica
Calcule o vetor velocidade d⃗r/dt, dividindo o diferencial
da posição (4.20) pelo diferencial do tempo
dt. Mostre que este vetor velocidade é perpendicular
ao vetor posição ⃗r = x î + yˆȷ. Mostre que o
módulo deste vetor velocidade é
Considere um sistema contendo apenas forças conservativas.
Então, usando a definição (4.8) de energia
potencial, podemos substituir o trabalho pela
energia potencial correspondente (∆W = −∆V )
v = ∣ d⃗r
no Teorema 7 para obtermos
∣ = l
dt
(4.21)
∆T = ∆W = −∆V
Exercício 61
⇒ ∆T + ∆V = ∆(T + V ) = 0. (4.25)
Determine explicitamente a energia potencial Este resultado é simplesmente surpreendente pois,
(4.17) para o pêndulo simples.
em geral, tanto a energia cinética T quanto a energia
potencial V variam ao longo de uma determinada
Exercício 62
Considere a trajetória circular do pêndulo mostrado
na Figura 3.4. Esta trajetória pode ser descrita
usando o sistema polar (ou esférico) de coordenadas
apresentado no Apêndice C fazendo r = l e
ϕ = π/2. Como r e ϕ são constantes, então seus diferenciais
são nulos. Assim o operador gradiente em
coordenadas polares (C.5), adaptado à trajetória
circular de raio l no plano XY , pode ser re-escrito
como
trajetória, ou seja, são funções do tempo. A
última expressão em (4.25) está nos dizendo que a
soma T + V é uma constante. Além disso, como os
extremos de qualquer trajetória podem ser escolhidos
arbitrariamente, então a soma T + V deve ser
independente do tempo, ou seja, é uma quantidade
conservada. Encontrar uma quantidade conservada
é como encontrar uma agulha em um palheiro. Esta
quantidade conservada merece um nome próprio:
energia mecânica,
52

Capítulo 4. Leis de conservação I
4.4. Energia mecânica
Portanto, a energia mecânica de um sistema contendo
forças conservativas é uma quantidade conservada.
Isto justifica o adjetivo “conservativo”
para as forças conservativas. Um sistema contendo
somente forças conservativas será denominado
também de sistema conservativo. Bem, encontramos
então a outra lei de conservação (além
da conservação do momentum linear):
Teorema 8 (Energia mecânica)
A energia mecânica em um sistema conservativo é
uma quantidade conservada,
∆E = 0, E = T + V. (4.27)
Não podemos esquecer que a definição (4.8) de
energia potencial somente está estabelecida para
sistemas conservativos, ou seja, quando o trabalho
numa trajetória fechado qualquer é nulo. Para sistemas
não-conservativos, não é mais verdade que
o trabalho dependerá apenas das posições inicial
e final, impossibilitando assim a definição de uma
função (potencial) da posição. Além disto, não podemos
garantir que toda energia trocada com um
sistema não-conservativo será armazenda somente
nas formas de energia cinética e potencial, pois
pode haver perdas por qualquer processo dissipativo,
como atrito, por exemplo.
Exemplos, comentários e aplicações. Vamos
tomar novamente um oscilador harmônico constituído
por uma massa m e uma força elástica de
constante k como exemplo. Em um determinado
instante de tempo t qualquer, a energia mecânica
(4.26) deste sistema, juntando os resultados da
Seção 4.2, definição (4.6), e da Seção 4.3, expressão
(4.13), é
E = T + V = 1 2 mẋ2 + 1 2 kx2 , (4.28)
na qual fizemos a escolha V (0) = 0. Este sistema
é um excelente caso de estudo porque nós temos
a equação horária x(t) determinada como uma
função explícita do tempo, a expressão (3.80),
x(t) = A cos(ω 0 t + ϕ), ω 0 =
√
k
m . (4.29)
Podemos ver claramente que tanto a energia
cinética T quanto a energia potencial V estão variando
no tempo. No entanto, quando substituímos
(4.29) em (4.28) (faça o Exercício 63), obtemos
uma energia mecânica constante (independente do
tempo),
E = 1 2 kA2 = 1 2 mω2 0A 2 . (4.30)
Considere agora uma massa m em queda livre de
uma altura h acima da superfície da Terra. Despreze
qualquer tipo de dissipação. Em um determinado
instante de tempo t qualquer, a energia
mecânica (4.26) deste sistema, juntando os resultados
da Seção 4.2, definição (4.6), e da Seção 4.3,
expressão (4.14), é
E = T + V = 1 2 mż2 + mgz (4.31)
na qual fizemos a escolha V (0) = 0. Este sistema
também é um excelente caso de estudo, pois
também temos a equação horária z(t) determinada
como uma função explícita do tempo, expressão
(3.35),
z(t) = h − 1 2 g t2 . (4.32)
Podemos ver claramente que tanto a energia
cinética T quanto a energia potencial V estão variando
no tempo. No entanto, quando substituímos
(4.32) em (4.31) (faça o Exercício 64), obtemos
uma energia mecânica constante (independente do
tempo),
E = mgh. (4.33)
O pêndulo da Figura 3.4 é também um ótimo
exemplo de um sistema conservativo. O módulo do
vetor velocidade da massa m pode ser calculado seguindo
o procedimento descrito no Exercício (60).
A energia potencial deste pêndulo foi calculada anteriormente,
expressão (4.17). Então, a energia
mecânica deste pêndulo pode ser escrita na forma
com
E = T + V = 1 2 I ˙θ 2 + Iω 2 0(1 − cos θ), (4.34)
I = ml 2 , ω 0 =
√ g
l . (4.35)
Embora não tenhamos uma função simples para expressar
a equação horária θ(t) explicitamente em
função do tempo, como nos casos anteriores, para
verificarmos que a energia mecânica (4.34) é de fato
independente do tempo, isto pode ser verificado facilmente
calculando a equação horária θ(t) numericamente
(faça o Exercício 65).
53

4.4. Energia mecânica Capítulo 4. Leis de conservação I
Vimos que o Princípio 2 faz uso de uma quantidade
vetorial conservada (constante no tempo) durante
a interação entre dois ou mais corpos isolados.
Após a introdução do conceito operacional
de massa (inercial), esta quantidade conservada foi
denominada de momentum linear total do sistema
isolado. Vimos também, após a definição de força,
que a variação temporal do momentum linear individual
é igual à força agindo em um corpo. Portanto,
se a força atuando em um corpo é nula, podemos
afirmar que o vetor momentum linear deste
corpo é constante no tempo, ou seja, é uma quantidade
conservada. Este resultado está em pleno
acordo com o Princípio 1. Naturalmente, estaremos
interessados em um sistema físico constituído
por dois ou mais corpos interagindo entre si. No
entanto, por comodidade, vamos concentrar nossa
atenção em apenas dois corpos interagentes. Não
havendo forças externas, então a força resultante
é nula, pois as forças internas cancelam-se aos pares.
Entretanto, o momentum linear resultante não
é nulo, pois não há cancelamento por pares para
o momentum linear. Ao invés de cancelar, o momentum
linear resultante permanece constante no
tempo (veja o Teorema 6),
⃗F = d dt ⃗p ⇒ ⃗p(t 1) = ⃗p(t 2 ) se ⃗ F = ⃗0. (4.36)
Uma quantidade conservada é extremamente
útil. Vejamos alguns exemplos. Considere dois corpos
de massas iguais, m 1 = m 2 = m, movendo-se
na mesma direção, mas em sentidos opostos, com
velocidades ⃗v 2 = −⃗v 1 . Após um certo intervalo de
tempo, estes dois corpos irão colidir entre si. O que
sabemos? Sabemos que num certo instante t 1 , antes
da colisão, o momentum linear total era nulo,
⃗p(t 1 ) = ⃗p 1 (t 1 ) + ⃗p 2 (t 1 ) = m 1 ⃗v 1 (t 1 ) − m 2 ⃗v 1 (t 1 ) = 0.
Supondo que estes dois corpos estejam isolados,
então, devido à lei de conservação (4.36), o momentum
linear total após a colisão deve permanecer
com o mesmo valor que tinha antes da colisão.
Assim, num certo instante t 2 depois da colisão devemos
ter ⃗p(t 2 ) = 0. Portanto há duas possibilidades
para o movimento posterior à colisão: (1) os
dois corpos permanecem unidos em repouso (choque
perfeitamente inelástico), ou (2) os dois corpos
invertem completamente o sentido de suas velocidades,
as quais continuam tendo módulos iguais (choque
perfeitamente elástico).
Numa situação “simétrica” à anterior, imagine
um corpo em repouso. Para ser mais preciso, suponha
que este corpo seja a partícula sub-atômica
káon K 0 , a qual é eletricamente neutra (veja Aventuras
das Partículas). Expontaneamente, o káon
transforma-se (decai) em duas outras partículas,
K 0 → π + + π − , denominadas de píons (de cargas
opostas e massa iguais). Antes do decaimento, o
momentum linear é nulo (káon em repouso). Após
o decaimento, o momentum linear deve ser o mesmo
de antes, pois o processo de decaimento não envolve
forças externas. Portanto, os píons devem sair após
o decaimento com velocidades opostas. Isto é o que
observamos no laboratório.
Nos dois exemplos anteriores, todos os resultados
que obtivemos decorreram somente da lei de
conservação (4.36) para o vetor momentum linear,
independentemente do que ocorre exatamente no
momento de uma colisão ou de um decaimento (ou
de uma explosão). Se lembramos que os processos
físicos envolvidos no momento da colisão são terrivelmente
complexos, a lei de conservação (4.36) é
“A Ferramenta”. Na verdade são três leis de conservação:
uma para cada eixo independente. Entretanto,
nem sempre há conservação do momentum
linear nos três eixos simultaneamente. Pode haver
uma força externa agindo somente em um eixo,
ou somente em dois eixos. O resultado importante
a ser gravado é: se uma componente da força resultante
é nula, então o momentum linear naquela
direção é conservado:
F i = 0 ⇔ p i (t 1 ) = p i (t 2 )
ou mv i (t 1 ) = mv i (t 2 ). (4.37)
Esta é uma forma explícita do Teorema 6, isto é,
escrita em termos de componentes.
h
A
B
θ
g
v B
t = 0 t > 0
Figura 4.1: O corpo A escorrega sem atrito sobre o
corpo B, o qual desliza horizontalmente sem atrito.
Ambos estão sob a ação da gravidade.
v A
54

Capítulo 4. Leis de conservação I
4.5. Períodos
Como exemplo, considere o sistema mostrado na
Figura 4.1. Os dois corpos estão sob a ação da força
gravitacional e não há atrito entre as superfícies.
Então a força gravitacional agindo na vertical é a
única força externa. Portanto, segundo o teorema
da conservação do momentum linear na sua forma
explícita (4.37), haverá conservação da componente
horizontal do momentum linear,
m A v A + m B v B = 0, (4.38)
na qual v A e v B são as velocidades dos dois corpos
imediatamente após perderem o contato entre si.
Use agora a conservação da energia mecânica
(despreze todo tipo de atrito e viscosidade) para
encontrar outra relação que nos permita determinar
completamente as velocidades procuradas.
4.4.1 Exercícios
Exercício 63
Use a equação horária (4.29) de um oscilador
harmônico para escrever a dependência temporal
das energias cinética, potencial e mecânica. Mostre
que a energia mecânica (4.28) é uma constante,
(4.30). Faça um gráfico mostrando estas três energias
para os seus valores preferidos de m e k (em
MKS).
Exercício 64
Use a equação horária (4.32) de uma massa m em
queda livre para escrever a dependência temporal
das energias cinética, potencial e mecânica. Mostre
que a energia mecânica (4.31) é uma constante,
(4.33). Faça um gráfico mostrando estas três energias
para os seus valores preferidos de m e h (em
MKS).
Exercício 65
Resolva a equação diferencial (3.85) numericamente
para encontrar a equação horária θ(t) da massa m
no pêndulo mostrado na Figura 3.4. Mostre que a
energia mecânica (4.34) é uma constante. Faça um
gráfico mostrando as três energias, cinética, potencial
e mecânica, para os seus valores preferidos de
m e l (unidades em MKS).
4.5 Períodos
O oscilador harmônico e o pêndulo simples são
exemplos de sistemas que exibem movimentos
periódicos. A periodicidade destes movimentos são
devidas à forma da energia potencial destes sistemas.
Nem todo potencial produz movimentos
periódicos. A força gravitacional nas proximidades
da Terra, por exemplo, não produz um movimento
periódico. Veremos que o potencial de Kepler é
responsável pelo movimento periódico da Terra em
torno do Sol.
Naturalmente, quando temos a equação horária
de um movimento periódico, como mostrado na Figura
3.5, podemos determinar o seu período por
inspeção direta do gráfico da equação horária. Entretanto,
nem sempre é fácil determinar equações
horárias resolvendo a segunda lei de Newton, uma
equação diferencial de segunda ordem no tempo.
Felizmente, pelo menos para sistemas conservativos,
não precisamos resolver a segunda lei de Newton
para obtermos a equação horária e em seguida
obtermos períodos. Para sistemas conservativos,
podemos usar o fato de que a energia
mecânica é uma quantidade conservada para determinarmos
períodos. Para isto, é crucial vermos
que a expressão da energia mecânica constante é
uma equação diferencial de primeira ordem para a
posição. Ora, porque não utilizamos isto ao invés
da segunda lei? Primeiro, porque a segunda lei se
aplica sempre, enquanto que a conservação da energia
mecânica é válida somente em sistemas conservativos.
Segundo, embora esta equação diferencial
resultante da conservação da energia mecânica seja
de primeira ordem, ela é quadrática na primeira derivada
da posição, portanto não-linear. Equações
diferenciais não-lineares são mais “complicadas”.
Vejamos como este procedimento pode ser colocado
em prática. Vamos considerar inicialmente
um potencial V qualquer. Em geral, este procedimento
é muito utilizado quando o potencial
depende apenas de uma variável, digamos V =
V (x). Então, para sistemas conservativos, a energia
mecânica (4.26) pode ser re-escrita como
E = T + V = 1 2 m( dx) 2
+ V (x). (4.39)
dt
Como E é uma constante, então esta equação é uma
equação diferencial para x(t),
√
dx 2
dt = √
E − V (x). (4.40)
m
Esta equação pode ser resolvida pela técnica de se-
55

4.5. Períodos Capítulo 4. Leis de conservação I
paração de variáveis,
√ m
dt =
2
dx
√
E − V (x)
. (4.41)
Como o tempo aparece apenas no primeiro membro,
podemos integrar independentemente os dois
membros desta equação após especificarmos quem
é V (x). Vejamos alguns exemplos.
V (x)
E
x − 0 x
x
+
Figura 4.2: Pontos de retorno x ± = ± √ 2E/k para
o potencial harmônico V (x) = kx 2 /2, onde E é a
energia mecânica.
Vamos usar o oscilador harmônico para aprendermos
a usar este procedimento. O potencial
harmônico é V (x) = kx 2 /2 (Figura 4.2). Então,
substituindo este potencial na equação diferencial
(4.41), obtemos (faça o Exercício 66)
com
ω 0 =
dt = 1 ω 0
√
k
m ,
dx
√
ε2 − x 2 , (4.42)
ε2 = 2E
mω0
2 . (4.43)
Integrando os dois lados de (4.42), obtemos (faça o
Exercício 66)
x(t) = ε cos(ω 0 t + ϕ), (4.44)
na qual ϕ é uma constante. Lembrando que a energia
mecânica do oscilador harmônico é uma constante
que pode ser expressada em termos da amplitude
A, expressão (4.30), então ε = A. Assim,
re-obtivemos a equação horária (3.80) sem a necessidade
de resolvermos a segunda lei de Newton.
Isto justifica a importância dos teoremas de conservação.
Mas e o período? Observe o gráfico da energia
potencial mostrado na Figura 4.2. Neste gráfico,
também é mostrado a energia mecânica (4.39), a
qual é conservada na ausência de dissipações. Em
especial, podemos ver que há dois pontos, x ± , onde
a energia mecânica é igual à energia potencial. Nestes
pontos, a energia cinética é nula,
E = V (x ± ) = 1 2 kx2 ±
⇒ x ± = ±√
2E
k . (4.45)
Os pontos x ± satisfazendo E = V (x ± ) são denominados
de pontos de retorno. Nestas posições, o vetor
velocidade é nulo. No caso do sistema massa-mola,
os pontos de retorno são as amplitudes máximas,
x ± = ±A.
Vejamos algumas observações importantes sobre
pontos de retorno. (1) O vetor velocidade inverte
seu sentido nos pontos de retorno. Para inverter
o sentido, é necessário primeiro se anular. Assim,
o vetor velocidade se anula nos pontos de retorno.
(2) Havendo dois pontos de retorno, como mostrado
na Figura 4.2, o movimento fica confinado na região
delimitada pelos pontos de retorno.
Para o oscilador harmônico, devido à forma parabólica
do potencial, V (x) = kx 2 /k, quanto maior
a energia mecânica, maior a região de confinamento.
Devemos ressaltar que o valor da energia
mecânica E pode ser escolhido livremente. Desta
forma, para uma determinada energia mecânica
E, a massa m no sistema massa-mola (oscilador
harmônico) fica oscilando entre x − = −A e x + = A
(pontos de retorno) com uma freqüência angular
igual a ω 0 . Portanto, o período de uma oscilação é
exatamente o tempo da massa m sair de x − , ir até
x + e retornar a x − . Como o potencial é simétrico,
V (−x) = V (x), então o tempo de sair de x − e ir
até x + é metade do período. A equação diferencial
(4.42) pode ser usada para calcularmos o período
P (faça o Exercício (67)),
com
ω 0 =
P = 2 ω 0
∫ x+
√
k
m ,
e os pontos de retorno
x −
ε2 = 2E
mω 2 0
x ± = ±√
2E
k
dx
√
ε2 − x 2 , (4.46)
= 2E k , (4.47)
= ±ε. (4.48)
56

Capítulo 4. Leis de conservação I
4.5. Períodos
Esta integral pode ser resolvida efetuando a substituição
x = ε cos θ (faça o Exercício 66). O resultado
é o que esperávamos: P = 2π/ω 0 , ou seja, o sistema
oscila com um período correspondente à sua
freqüência angular natural ω 0 . Aprendemos então
que a conservação da energia mecânica pode ser
usada tanto para encontrarmos a posição em função
do tempo, quanto para calcularmos períodos.
O ponto x = 0 na Figura 4.2 é especial. Neste
ponto, a força elástica, a derivada primeira do potencial,
com o sinal trocado, F = −kx, é nula.
Então, x = 0 é um ponto de equilíbrio (força nula).
Também podemos ver que um deslocamento, tanto
para a direita quanto para a esquerda, resulta numa
força restauradora que tenta trazer a massa de
volta para a posição de equilíbrio. Um ponto de
equilíbrio com uma força restauradora agindo nas
vizinhanças deste ponto é denominado de ponto de
equiĺıbrio estável. Do ponto de vista matemático,
um ponto de equilíbrio estável é sempre um ponto
de mínimo da função energia potencial.
Vamos aplicar o procedimento anterior a outros
sistemas. Considere o pêndulo da Figura 3.4. A
energia mecânica deste sistema está calculada em
(4.34), a qual pode ser re-escrita numa forma mais
conveniente E = T + V , onde
com
T = ε ω 0 ˙θ2 , V = ε(1 − cos θ), (4.49)
ε = Iω 2 0, I = ml 2 , ω 0 =
√ g
l . (4.50)
Note que a quantidade ε = Iω 2 0 tem dimensões de
energia (faça o Exercício (67)). Veremos mais adiante,
quando estivermos estudando o movimento de
rotação em torno de um eixo fixo, que Iω 2 0/2 é a
energia cinética devido a rotação de um corpo com
momento de inércia I e velocidade angular ω 0 . Note
a semelhança com a expressão da energia cinética
mv 2 /2. Por isto, iremos usar ε como uma “ unidade”
de energia. Note também que a massa m do
pêndulo mostrado na Figura 3.4 executa um movimento
de rotação em torno do eixo fixo que passa
pela outra extremidade da haste do pêndulo.
V/ε
2
E/ε
−π
θ
θ − − π π
2
0
2
θ +
π
Figura 4.3: Pontos de retorno θ ± = ± cos −1 (−ϵ)
para o potencial (4.49) de um pêndulo simples.
A Figura 4.3 mostra os pontos de retorno,
θ ± = ± cos −1 (−ϵ), ϵ = E ε
1
− 1, (4.51)
para o potencial V (θ) = ε(1−cos θ) do pêndulo simples;
confira a energia mecânica em (4.49). Como
este potencial é periódico, apenas um período, contendo
a posição de equilíbrio estável θ = 0, é
mostrado na Figura 4.3. Note que este potencial
também é uma função par, V (−θ) = V (θ). Isto
nos permite calcular o período como o dobro do
tempo entre gasto entre θ − e θ − . Isolando a primeira
derivada em (4.49), assumindo uma energia
mecânica constante (sistema conservativo, sem dissipação),
temos
P =
√ ∫ 2
θ+
dθ
√ . (4.52)
ω 0 θ − ϵ + cos θ
Esta integral deve ser resolvida numericamente
(faça o Exercício 68).
Note que a integral (4.52) é uma função da constante
adimensional ϵ = E/ε − 1, a qual pode variar
no intervalo real desde ϵ = −1 (E = 0, equilíbrio
estável, fundo do potencial) até ϵ = 1 (E = 2ε,
equilíbrio instável, topo do potencial; veja a discussão
do próximo parágrafo). Esta integral é nula
para ϵ = −1 (período nulo) e é infinita para ϵ = 1
(período infinito). Portanto, em princípio, podemos
dar à massa m uma energia inicial (θ = 0)
exatamente igual a E = 2ε, a energia necessária
para que a massa m consiga chegar até a posição
de equilíbrio instável (θ = π). No entanto, a parte
divertida disto é que ela leva um tempo infinito
para chegar até lá! É muito interessante ver isto
nas simulações feitas em computação algébrica.
Para uma energia mecânica maior que a energia
potencial máxima, E > 2ε, o movimento do
57

4.5. Períodos Capítulo 4. Leis de conservação I
pêndulo deixa de ser oscilatório e passa a ser uma
rotação em torno de um eixo fixo. O período desta
rotação também pode ser calculado a partir da conservação
da energia mecânica (4.49) como sendo o
tempo de uma volta completa (faça o Exercício 68),
com
P =
√
2
2ω 0
∫ 2π
0
dθ
√
ϵ + cos θ
, (4.53)
ϵ = E − 1, E > 2ε. (4.54)
ε
Mencionamos logo acima o termo “equilíbrio
instável”. Vejamos o significado disto. Podemos
ver que o potencial mostrado na Figura 4.3 possui
mais de um ponto de equilíbrio (força nula). Em
θ = 0, ponto de mínimo do potencial, temos um
ponto de equilíbrio estável. Em θ = ±π, pontos
de máximos, temos um tipo de equilíbrio diferente
do estável. Segundo a discussão feita no final da
Seção 4.3 (reveja também o Exercício 62), a componente
tangencial da força peso (a única que realiza
trabalho) pode ser escrita na forma
⃗F θ = − ˆθ dV
l dθ = −ε l sin θ ˆθ = −mg sin θ ˆθ. (4.55)
Considere agora a vizinhança de θ = π. O versor
ˆθ aponta sempre no sentido horário, como indicado
pelo deslocamento do ângulo θ na Figura 4.3. Suponha
que a massa m esteja em repouso em θ = π.
Produza um deslocamento no sentido horário. Portanto
este deslocamento terá o mesmo sentido do
versor ˆθ. No entanto o ângulo θ será ligeiramente
maior que π. Isto resulta numa força tangencial, segundo
a expressão (4.55), no mesmo sentido do deslocamento
dado, afastando cada vez mais a massa
m da posição de equilíbrio θ = π. Produza agora
um deslocamento no sentido anti-horário. Este deslocamento
estará no sentido oposto ao versor ˆθ. No
entanto o ângulo θ será ligeiramente menor que π.
Isto resulta numa força tangencial, segundo a expressão
(4.55), no mesmo sentido do deslocamento,
afastando cada vez mais a massa m da posição de
equilíbrio θ = π. Assim, a força agindo nas vizinhanças
deste novo ponto de equilíbrio, θ = π, não
é restauradora. Muito pelo contrário, esta força
sempre afasta a massa m do ponto θ = π. Estas
observações também valem para θ = −π. Um
ponto de equilíbrio que não tem uma força restauradora
em suas vizinhanças é denominado de ponto
de equiĺıbrio instável.
Matematicamente falando, um ponto de
equilíbrio instável é um ponto de máximo da
função potencial. Há também um terceiro tipo
de equilíbrio, denominada de neutro (ou indiferente).
A força é nula nas vizinhanças de um
ponto de equilíbrio neutro. A diferença com o
ponto de equilíbrio estável está no tamanho do
deslocamento em torno do ponto de equilíbrio para
mudar o estado do corpo. No equilíbrio estável,
um deslocamento infinitesimal é suficiente para
recolocar o corpo em movimento. No equilíbrio
neutro, é necessário um deslocamento finito para
recolocar o corpo em movimento. Também vale
ressaltar que a função potencial deve exibir pelo
menos um ponto de equilíbrio estável para haver
um movimento periódico.
4.5.1 Exercícios
Exercício 66
(I) Resolva a equação diferencial (4.42) integrando
indefinidamente e independentemente os dois lados.
Calcule a integral na posição efetuando a substituição
x = ε cos θ. Não esqueça de colocar uma
constante de integração. Re-arranje tudo para obter
(4.44). (II) Efetue a integral definida (4.46)
fazendo x = ε cos θ e mostre que o resultado é
P = 2π/ω 0 .
Exercício 67
Mostre que as dimensões da quantidade ε = Iω 2 0,
definida em (4.49), tem as mesmas dimensões de
energia. Use a energia mecânica dada em (4.49)
para escrever as integrais (4.52) e (4.53) que calculam
o período para E ≤ 2ε e E > 2ε, respectivamente.
Exercício 68
Use a integral (4.52) para determinar o período do
pêndulo usado para a construção das duas primeiras
equações horárias mostradas na Figura 3.5. Depois
use a integral (4.53) para determinar o período
do pêndulo usado para a construção da terceira
equação horária mostrada na mesma Figura 3.5.
Use uma massa de 1 kg e demais valores contidos
na discussão da Figura 3.5. Note que você precisa
calcular a energia mecânica em cada caso. Despreze
qualquer tipo de dissipação. Uma integral numérica
no Maple deve ser feita usando o seguinte modelo:
∫ b
a
f(x)dx = evalf(Int(f(x), x = a..b)). (4.56)
58

Capítulo 4. Leis de conservação I
4.6. Comentários gerais
É imprescindível o uso da primeira letra maiúscula
na função “Int”.
4.6 Comentários gerais
Definimos potência em (4.4) e não a usamos desde
então. Potência é uma ferramenta fundamental em
engenharia. Por isso, ela merece todo o nosso respeito.
Vamos usar o pêndulo simples da Figura 3.4
para ilustrar o conceito de potência. Vamos considerar
duas situações: sem e com dissipação. Sem
dissipação, o pêndulo troca energia pelo trabalho
realizado pela componente tangencial (4.55) da
força gravitacional, F ⃗ θ = −mg sin θ ˆθ. O vetor velocidade
tangencial pode ser escrito na forma ⃗v = l ˙θ ˆθ
(Exercício 62). Então a potência instantânea associada
à força F ⃗ θ , segundo a definição (4.4), é
P θ = ⃗ F θ · ⃗v = −mgl sin θ ˙θ = −Iω 2 0 sin θ ˙θ. (4.57)
Esta é a mesma expressão que é obtida quando derivamos
o trabalho realizado pela força F ⃗ θ desde
θ = 0 até θ qualquer, pois este trabalho é menos
a energia potencial (4.17), W = −Iω0(1 2 − cos θ).
A potência (4.57) mede a taxa temporal da transferência
de energia potencial para a massa m, a qual
é transformada em energia cinética na mesma taxa
(com o sinal invertido). Neste caso, sem dissipação,
o sistema possui uma energia mecânica constante.
Isto significa que este sistema está isolado, ou seja,
não troca energia com o meio externo.
Quando o sistema tem dissipação, a situação
energética muda um pouco. Primeiro temos que
modelar uma dissipação para o nosso pêndulo. Por
conveniência, vamos usar uma força dissipativa proporcional
à velocidade tangencial,
⃗F d = −b⃗v = −bl ˙θ ˆθ (4.58)
Note que a constante b tem dimensões de massa por
tempo por comprimento. Com esta força dissipativa,
a equação diferencial (3.85) é alterada para
com
ω 0 =
¨θ + ω 2 0 sin θ + ω 1 ˙θ = 0, (4.59)
√ g
l , ω 1 = b ml = bl
I , I = ml2 . (4.60)
Usando a definição (4.4), podemos calcular a
potência associada à força dissipativa,
P = ⃗ F d · ⃗v = −bl 2 ˙θ2 = −Iω 1 l ˙θ 2 . (4.61)
Esta é a taxa temporal com que o pêndulo perde
energia para a sua vizinhança. Neste caso, a energia
mecânica não é mais uma constante,
dE
dt
= P. (4.62)
É muito interessante ver isto nas simulações feitas
em computação algébrica.
Em mecânica clássica (Newtoniana), a energia
mecânica é um número real, o qual pode variar
continuamente em um certo intervalo. No caso do
oscilador, E ∈ [0, ∞) (veja a Figura 4.2). Entretanto,
este quadro muda drasticamente no mundo
microscópico. O potencial harmônico, V (x) =
kx 2 /k, é uma primeira aproximação para modelar
uma ligação química em uma molécula diatômica:
dois núcleos presos por uma mola. De fato,
este modelo consegue explicar o comportamento
mecânico de uma molécula diatômica quando seus
núcleos estão em movimento em torno de suas
posições de equilíbrio com amplitudes muito pequenas.
Neste caso, estes movimentos serão oscilações
harmônicas. Até aqui, nada de surpresas. A surpresa
aparece quando olhamos para as possíveis
energias mecânicas de uma molécula diatômica:
seus possíveis valores formam um conjunto discreto
de valores, não são mais contínuas, livres para serem
escolhidas como no caso clássico. Esta discretização
da energia é denominada de quantização da
energia. As leis Newtonianas deixam de ser válidas
no mundo microscópico. Elas são corrigidas pelas
leis da mecânica quântica. No entanto, todas as leis
de conservação que aprendemos no mundo clássico
continuam válidas no mundo quântico. Isto reforça
ainda mais a importância das leis de conservação.
Veja só onde viemos dar água de beber aos nossos
burrinhos: começamos praticamente do nada,
procurando quantificar nossa noção intuitiva sobre
esforços. Definimos o trabalho (4.1), apelando
para a simplicidade. O trabalho mostrou-se mais
ou menos satisfatório quando comparamos seus resultados
com a nossa experiência cotidiana. No
entanto, aquela definição de trabalho nos revelou
ser melhor que a encomenda, pois conseguimos interpretá-la
como um mecanismo de troca de energia,
Teorema 7, nos possibilitando descobrir energia
cinética, (4.6). Além disto, trabalho também nos
revelou a energia potencial (4.8), para sistemas conservativos.
Em seguida, fizemos duas descobertas
magníficas: primeiro descobrimos que a força pode
59

4.6. Comentários gerais Capítulo 4. Leis de conservação I
ser obtida da energia potencial. Portanto, energia
potencial passa a ter um papel fundamental:
ela é responsável pelo comportamento dinâmico de
qualquer sistema. Depois, descobrimos a lei de conservação
da energia mecânica, a qual juntamente
com a lei de conservação do momentum linear nos
possibilita encontrar a solução de muitos problemas
importantes em mecânica. Além disto, as leis de
conservação são as únicas informações que aprendemos
no mundo clássico (sistemas macroscópicos)
que continuam válidas no mundo quântico (sistemas
microscópicos). Leis de conservação são robustas.
Solte a imaginação e formule muitas questões.
Por exemplo, se a soma E = T + V é uma quantidade
conservada em um sistema conservativo, e
somente esta soma foi encontrada até o momento
como uma quantidade conservada, o que podemos
dizer da diferença T − V ? É fazendo perguntas que
descobrimos o novo. A quantidade T − V tem uma
importância fundamental. Se é importante, merece
um nome: função Lagrangiana, L = T −V . vejamos
alguns exemplos.
A função Lagrangiana para o sistema massa-mola
(força elástica) é
é
L = T − V = 1 2 mż2 − mgz. (4.67)
Novamente, podemos ver que a segunda lei de Newton
pode ser obtida a partir das equações de Euler-
Lagrange (4.66), pois
∂L
= mż,
∂ż
(4.68)
∂L
= −mg.
∂x
(4.69)
Até aqui, as equações de Euler-Lagrange (4.66)
podem parecer apenas uma outra maneira de escrevermos
a segunda lei de Newton. No entanto, esta
formulação em termos da Lagrangiana L = T − V
é muito mais que uma forma alternativa. A importância
da formulação Lagrangiana reside no fato
dela ser usada integralmente na física quântica, em
substituição à segunda lei de Newton.
L = T − V = 1 2 mẋ2 − 1 2 kx2 . (4.63)
Agora considere (por um momento) x e ẋ como
variáveis independentes. Desta forma, a função Lagrangiana
(4.63) torna-se em uma função de duas
variáveis, L = L(x, ẋ). Assim, podemos calcular as
seguintes derivadas (parciais):
∂L
= mẋ,
∂ẋ
(4.64)
∂L
= −kx.
∂x
(4.65)
Note que a derivada temporal de (4.64) é a definição
de força mẍ e que (4.65) é exatamente a
força elástica. Portanto, a segunda lei de Newton
pode ser re-escrita na forma
( )
d ∂L
dt ∂ẋ
= ∂L
∂x . (4.66)
Esta forma de escrever a segunda lei de newton é
conhecida por equações de Euler-Lagrange.
Considere agora o caso da força gravitacional no
sistema massa-Terra. A Lagrangiana deste sistema
60

Capítulo 5
Rotações
5.1 Cinemática
Estudamos até então as leis que controlam um tipo
de movimento: o movimento de translação. No
entanto, o movimento mais geral é composto de
translação e rotação. Rotações estão presentes no
nosso cotidiano: o disco rígido do seu computador
está em rotação, as rodas de um automóvel estão
em rotação, as hélices de um ventilador ou de um
avião estão em rotação, a Terra está em rotação
neste exato instante. Quais são as leis que controlam
o movimento de rotação?
Vamos iniciar nossos estudos com a parte cinemática
do movimento de rotação. Precisaremos
definir três quantidades vetoriais: deslocamento
angular, velocidade angular e aceleração angular.
Para simplificar nossa tarefa, vamos considerar
um corpo rígido em rotação em torno de um
eixo fixo. Mais tarde, poderemos permitir que o
eixo de rotação esteja em movimento translacional.
Corpo rígido, o que é um corpo rígido? Um
corpo rígido é um sistema de partículas, discreto
ou contínuo, onde as distâncias relativas entre
partículas são mantidas fixas por forças internas. É
importante termos em mente que as partículas que
constituem um corpo rígido não apresentam qualquer
tipo de movimento relativo entre elas. Desta
forma, podemos nos concentrar em uma partícula
qualquer do corpo rígido para definirmos nossas
quantidades cinemáticas.
A Figura 5.1 mostra de forma esquemática um
corpo rígido em rotação em torno de um eixo
fixo. No momento, não importa escrever o eixo de
rotação em algum sistema de coordenadas. O fato
importante aqui é que este eixo de rotação define
uma direção particular no espaço. Vamos colocar
um versor ˆn ao longo do eixo de rotação, como indicado
na Figura 5.1.
ˆn
r
dm
dθ
t + dt
ds
t
ω
l.r.
Figura 5.1: Rotação de um corpo rígido em torno
de um eixo fixo. dm é uma quantidade infinitesimal
de massa deste corpo rígido. A linha de referência
(l.r.) é perpendicular ao eixo de rotação.
Além do eixo de rotação, também precisaremos
de um segundo eixo fixo, perpendicular ao eixo de
rotação, o qual denominaremos simplesmente de
“linha de referência” (l.r.). Esta linha de referência
é usada para medirmos o deslocamento angular θ
da seguinte forma: em um certo instante t, nós
prestamos atenção a uma determinada partícula de
massa dm, localizada a uma distância r do eixo
de rotação, como mostrado na Figura 5.1. Note
que r é a distância de um ponto a uma reta (passando
pelo eixo de rotação). Num instante posterior
t+dt, nossa partícula encontra-se numa posição
diferente, devido ao movimento de rotação. Como
esta partícula (bem como todas as outras) está fixa
no corpo rígido, a distância r dela até o eixo de
61

5.1. Cinemática Capítulo 5. Rotações
rotação não pode mudar. Assim, a nossa partícula
executa um movimento circular de raio r. Assim, a
posição de uma partícula qualquer no corpo rígido
pode ser especificada por um único número (um
grau de liberdade): o ângulo θ medido em radianos
a partir da linha de referência. Se este ângulo é
θ em t, então em t + dt ele é θ + dθ. Feito isto,
temos tudo que precisamos para definirmos nossas
grandezas cinemáticas.
O vetor deslocamento angular é definido como
sendo o vetor
⃗θ = θ ˆn, (5.1)
ou seja, um vetor na direção do eixo de rotação, de
módulo igual ao deslocamento angular. O sentido
do vetor deslocamento angular é dado pela regra
da mão direita onde o indicador indica o sentido
da rotação e o polegar indica o sentido do versor ˆn.
Não podemos esquecer que o deslocamento angular
deve ser calculado em radianos (π radianos = 180
graus).
Em geral, o ângulo de rotação θ = θ(t) terá uma
dependência temporal complicada. Conseqüentemente,
a taxa de variação temporal do vetor deslocamento
angular é a velocidade angular e a taxa de
variação temporal do vetor velocidade angular é a
aceleração angular,
⃗ω = d⃗ θ
dt = ˙θˆn,
⃗α = d⃗ω
dt = ¨θˆn, (5.2)
respectivamente. Observe que estes três vetores são
paralelos ao eixo de rotação. Note também que o
versor ˆn é independente do tempo (eixo de rotação
fixo). Tome cuidado para não confundir a direção e
o sentido do vetor velocidade angular com a própria
rotação. A unidade de velocidade angular é radianos
por segundo (rad/s) e da aceleração angular é
radianos por segundo por segundo (rad/s 2 ). Radiano
não tem dimensões; ele indica apenas que uma
circunferência de raio unitário tem 2π subintervalos
angulares medidos em radianos, equivalentes a 360
subintervalos angulares medidos em graus (faça o
Exercício 69).
Note a semelhança entre as quantidades cinemáticas
do movimento de translação com as
quantidades cinemáticas do movimento de rotação.
De fato, podemos ir além desta similaridade. Observe
novamente a Figura 5.1. Nela, o deslocamento
ds pode ser relacionado ao deslocamento angular dθ
pela geometria plana:
ds = r dθ. (5.3)
Assim, podemos relacionar o módulo da velocidade
tangencial v da nossa partícula com o módulo da
velocidade angular ω,
v = ds
dt = r dθ = rω. (5.4)
dt
Naturalmente, derivando mais uma vez em relação
ao tempo, lembrando que a distância r é independente
do tempo, obteremos uma relação similar entre
o módulo da aceleração tangencial a e o módulo
da aceleração angular α,
a = dv
dt = r dω = rα. (5.5)
dt
Como a nossa partícula não pode movimentar-se
na direção radial, a aceleração radial (centrípeta)
não precisa ser considerada.
Note que as relações (5.3), (5.4) e (5.5) são escalares.
Podemos obter uma versão vetorial para
elas? Certamente. Basta usarmos algumas propriedades
do produto vetorial. Primeiro, observe
que a velocidade tangencial e a velocidade angular
são vetores perpendiculares entre si. Mesma
observação para as acelerações. Podemos também
definir um vetor “distância” ⃗r = rˆr, com o versor
ˆr apontando (perpendicularmente) do eixo de
rotação para a partícula. Este versor ˆr é perpendicular
a todos os demais vetores (ˆr · ˆn = 0). Então
temos duas trincas de vetores mutuamente ortogonais,
{⃗v, ⃗r, ⃗ω} e {⃗a, ⃗r, ⃗α}. Também conhecemos a
relação entre seus módulos, (5.4) e (5.5). Portanto,
após um pouco de reflexão, podemos escrever
d⃗s = −⃗r × d ⃗ θ, ⃗v = −⃗r × ⃗ω, ⃗a = −⃗r × ⃗α. (5.6)
Certifique-se que as relações (5.4) e (5.5) podem
ser obtidas de (5.6) e que o sentido de ⃗v e
⃗a estão corretos. Vale observar que podemos escrever
também uma relação vetorial entre os vetores
deslocamentos somente numa forma infinitesimal.
Mantenha sempre em mente que r aqui é a
distância entre o ponto onde está a massa sendo observada
e o eixo de rotação (distância de um ponto
até uma reta). Lembre-se que também usamos r,
em outras ocasiões, para indicar o módulo do vetor
posição ⃗r em algum sistema de coordenadas. Deixaremos
claro quando estaremos usando o vetor ⃗r
62

Capítulo 5. Rotações
5.2. Energia rotacional
para indicar o vetor posição em relação a origem de
algum sistema de coordenadas.
Importante. Guarde a estrutura geral entre as
grandezas cinemáticas translacionais e rotacionais:
grandezas translacionais = produto vetorial entre
as grandezas cinemáticas rotacionais e o vetor
distância ⃗r, onde r = |⃗r| é a distância entre o eixo
de rotação e uma partícula do corpo rígido.
Não devemos esquecer que as grandezas cinemáticas
rotacionais são definidas em termos de
um eixo de rotação, o qual deve ser mantido fixo no
espaço. Também não deve ser esquecido que todas
as partículas do corpo rígido possuem as mesmas
grandezas cinemáticas rotacionais, mas podem ter
grandezas cinemáticas translacionais distintas. Por
exemplo, quanto mais distante do eixo de rotação,
maior é a velocidade tangencial de uma partícula.
Como exemplo, temos a agência espacial européia,
instalada na América do Sul (Guiana Francesa),
próxima ao equador. Assim, parte da velocidade
de escape será fornecida pelo movimento de
rotação da Terra. Esta contribuição é máxima no
equador.
Outra aplicação das relações (5.6) é na industria
fonográfica. No disco de vinil, a velocidade
angular é mantida constante. Isto significa que um
anel circular na borda interna contém o mesmo intervalo
de tempo de informação musical que um
anel na borda externa, pois ambos têm um deslocamento
angular igual a 2π radianos. Uma vez
que a velocidade angular é a mesma, o intervalo
de tempo também será o mesmo. A desvantagem
neste processo é a necessidade da informação no
anel interno ser comprimida, pois o comprimento
deste anel é menor. Em um CD, o mecanismo de
rotação é construído de tal forma a manter a velocidade
tangencial constante onde a leitura (via um
laser) está sendo feita. Desta forma, a informação
musical pode ser gravada de forma uniforme.
5.2 Energia rotacional
Se tem movimento, deve haver energia cinética.
Neste caso, energia cinética rotacional. Supondo
que o nosso corpo rígido da Figura 5.1 seja
contínuo (discreto), então a nossa partícula deve
ter uma massa infinitesimal (finita) dm (m i ) a uma
distância r (r i ) do eixo de rotação. Caso o corpo
rígido seja discreto, então ele é constituído por N
partículas de massa m i (i = 1, 2, . . . , N). Em qualquer
caso, a energia cinética total é a soma das
energias cinéticas de cada partícula,
T =
∫ 1
2 dm v2 =
∫ 1
2 dm (rω)2 = 1 2 Iω2 , (5.7)
com
∫ ∫
I = r 2 dm, dm = M (caso contínuo), (5.8)
I =
N∑
ri 2 m i ,
i=1
N∑
m i = M (caso discreto). (5.9)
i=1
A quantidade I é denominada de momento de
inércia.
Note a semelhança da última expressão em (5.7)
com a expressão da energia cinética de uma massa
m em um movimento translacional (T = mv 2 /2).
Desta semelhança aprendemos o significado físico
do momento de inércia: ele mede a inércia rotacional.
Quanto maior o momento de inércia de um
corpo, mais difícil é alterar seu estado de rotação.
Porém, temos aqui uma novidade importante: o
momento de inércia definido em (5.8) depende da
escolha do eixo de rotação (através da distância r
até o eixo). Portanto, ao contrário da massa m,
o momento de inércia I não é uma propriedade
intrínseca de um corpo.
Vejamos o que acontece quando nosso corpo
rígido é composto por uma única partícula (pontual)
de massa m. Neste caso o momento de inércia
(5.8) é I = mr 2 . A energia cinética rotacional (5.7)
pode ser escrita como 2T = mr 2 ω 2 = mv 2 , a qual
é a forma usual da energia cinética do movimento
translacional (circular). Lembre-se que o eixo de
rotação deve ser mantido fixo.
Vamos supor agora que o nosso corpo rígido contenha
duas partículas de massas m 1 e m 2 , separadas
por uma distância l. Vamos supor inicialmente
que o eixo de rotação passe pela partícula
m 1 . Neste caso, o momento de inércia deste sistema
é
I = m 1 0 2 + m 2 l 2 = m 2 l 2 . (5.10)
Conseqüentemente, a energia cinética rotacional (a
única energia cinética deste sistema) é
T = 1 2 Iω2 = 1 2 m 2l 2 ω 2 = 1 2 m 2v 2 2. (5.11)
Esta é a mesma energia cinética de uma única
partícula de massa m 2 girando a uma distância l
63

5.2. Energia rotacional Capítulo 5. Rotações
do eixo de rotação. Vamos agora mudar o eixo de
rotação para o centro de massa 1 do sistema, definido
pela posição média (com pesos dados pelas
massas)
⃗R = 1 M
(
m1 ⃗r 1 + m 2 ⃗r 2
)
, M = m1 + m 2 , (5.12)
onde ⃗r i são os vetores posições das massas m i em
relação a algum sistema de coordenadas previamente
escolhido de forma que |⃗r 1 − ⃗r 2 | = l Devemos
tomar o cuidado de manter este novo eixo de
rotação paralelo ao primeiro. Se os módulos r 1 e r 2
satisfazem l = r 1 +r 2 , isto significa que a origem do
nosso sistema de coordenadas foi colocada no centro
de massa, ⃗ R = 0 (faça o Exercício 70). Com esta
escolha, temos m 1 r 1 = m 2 r 2 (faça o Exercício 70).
Aqui, tanto r 1 quanto r 2 são constantes no tempo.
O momento de inércia neste caso,
I 0 = m 1 r 2 1 + m 2 r 2 2 = m 1
m 2
(m 1 + m 2 )r 2 1, (5.13)
é diferente do anterior calculado em (5.10), ou seja
(faça o Exercício 70),
I = I 0 + Mr 2 1. (5.14)
Este resultado é importante e é conhecido como o
teorema dos eixos paralelos. Como este sistema de
duas partículas que utilizamos tem nada de especial,
podemos esperar que este resultado seja válido
para qualquer outro sistema. De fato, sem nos preocuparmos
com uma demonstração formal, podemos
enunciá-lo de forma geral.
Teorema 9 (Eixos Paralelos)
Seja M a massa total de um corpo rígido (contínuo ou
discreto). Seja I 0 o momento de inércia em relação
a um eixo de rotação passando pelo centro de massa.
Seja I o momento de inércia em relação a um segundo
eixo de rotação paralelo ao primeiro. Seja l a distância
entre estes dois eixos de rotação. Então,
I = I 0 + Ml 2 . (5.15)
Note que o momento de inércia em relação ao
centro de massa é o menor valor do momento de
1 A importância do centro de massa é devido ao fato de
podermos descrever o movimento de um sistema com massa
total M sob a ação de uma força resultante (externa) ⃗ F
como o movimento de uma massa pontual M, localizada no
centro de massa, atuada por uma força ⃗ F = M ¨⃗ R
inércia que um determinado corpo rígido pode ter.
Note também o quanto estamos aprendendo usando
sistemas simples e revendo conceitos fundamentais
(cinemática e energia cinética). Por isto que conceitos
fundamentais são fundamentais: eles formam
a base do nosso conhecimento.
Que tal um pouquinho de exercício em cálculo
diferencial e integral usando integrais múltiplas?
A tarefa matemática que executaremos aqui é o
cálculo do momento de inércia de um corpo rígido
contínuo. Naturalmente, faremos isto usando sistemas
simples. A situação mais simples que podemos
encontrar é uma distribuição linear de massa.
Sendo mais específico, vamos considerar uma vareta
delgada (ou um fio muito fino) com dois formatos:
retilíneo e circular. Vamos considerar uma situação
ideal no seguinte sentido: a única dimensão que realmente
importa é o comprimento do fio, as outras
duas dimensões são muito pequenas e serão ignoradas.
Isto é o que é denominado de uma distribuição
linear de massa. Suponha que o fio tenha um comprimento
l e uma massa total M, independentemente
de seu formato. A densidade linear de massa
λ é definida da seguinte forma. Primeiro escolhemos
um comprimento infinitesimal ds em qualquer
lugar no fio. Neste comprimento infinitesimal ds
cabe uma quantidade também infinitesimal dm de
massa. A densidade linear de massa é definida pela
razão massa/comprimento,
λ = dm
ds . (5.16)
Conhecendo a densidade, podemos calcular imediatamente
a massa total do corpo,
∫ ∫ ∫
M = dm = λ ds = λ(s) ds. (5.17)
Esta integral deve ser ser feita em toda a região contendo
massa, como indicado nos exemplos abaixo.
Cabe aqui uma observação importante (independente
da forma do fio). Podemos encontrar duas
situações: uma onde a densidade linear λ = λ 0
é uma constante, ou seja, a massa total está distribuída
uniformemente sobre o fio, e uma outra
onde a densidade linear λ = λ(s) não é constante,
ou seja, a massa total não está distribuída de forma
uniforme sobre o fio. No primeiro caso, com λ = λ 0
constante, a massa total pode ser obtida imediata-
64

Capítulo 5. Rotações
5.2. Energia rotacional
mente,
∫ ∫ ∫ l
M = dm = λ 0 ds = λ 0 ds = λ 0 l. (5.18)
No segundo caso, densidade não-uniforme, a massa
total só pode ser calculada após conhecermos explicitamente
como a densidade depende do comprimento
s ao longo do fio. Como exemplo, suponha
que a densidade varie linearmente com o comprimento,
λ = b s. Então, usando (5.17),
∫ ∫ ∫ l
M = dm = b s ds = b s ds = 1 2 b l2 . (5.19)
Note que a integral indefinida em (5.17) torna-se
uma integral definida na região contendo massa.
Note também que obtivemos estes dois resultados
sem a necessidade de especificar a forma do fio. No
entanto, o formato do fio é indispensável no cálculo
do momento de inércia.
A fim de exemplificar o cálculo do momento de
inércia, vamos considerar um fio retilíneo com a
densidade não-uniforme λ = b s. Primeiramente,
temos de escolher um eixo de rotação. Vamos escolher
este eixo passando perpendicularmente por
uma das extremidades do fio. O próximo passo é a
escolha da origem de um bom sistema de coordenadas.
Vamos escolher um sistema de coordenadas
retangular (ortonormal) com a origem na intersecão
do eixo de rotação com o fio. Podemos até colocar
o fio sobre um dos eixos do nosso sistema de coordenadas,
digamos em cima do eixo X. Com esta
escolha, o eixo de rotação está sobre o eixo Z (ou
sobre o eixo Y ) e ds = dx, com s = x variando entre
0 e l. Então, usando a definição (5.8), o momento
de inércia deste fio retilíneo não-uniforme é
∫ ∫ l
I = r 2 dm = x 2 bx dx = 1 4 bl4 . (5.20)
0
Podemos usar a massa total calculada em (5.19)
para re-escrever o momento de inércia (5.20) em
termos da massa total, I = Ml 2 /2. Este mesmo
momento de inércia é Ml 2 /3 caso a densidade seja
uniforme (faça o Exercício 71). Isto significa que o
momento de inércia deste sistema com uma densidade
uniforme é menor que o momento de inércia
com uma densidade não-uniforme. Ora, isto nos
dá uma oportunidade magnífica: podemos alterar
o valor do momento de inércia simplesmente alterando
a distribuição de massa ao longo do fio, mantendo
a massa total constante.
0
0
Vamos considerar agora um anel de raio a com
uma densidade também linear λ = b s, onde s é um
comprimento qualquer sobre o anel. Neste caso,
a melhor escolha é um sistema polar (r, ϕ) de coordenadas
devido à simetria circular do anel. Vamos
colocar o eixo de rotação no centro do anel ao
longo do eixo Z, com o anel no plano XY . Assim,
a distância de uma massa infinitesimal até o eixo
de rotação é r = a. O comprimento infinitesimal
ds sobre o anel pode ser escrito na forma ds = a dϕ
(geometria plana) e, conseqüentemente, s = aϕ.
Usando a definição (5.8), temos
∫
I = r 2 dm =
∫ 2π
ϕ=0
a 2 baϕ a dϕ
= 2a 4 bπ 2 = 1 2 a2 bl 2 = Ma 2 , (5.21)
onde usamos também a massa total (5.19) e o comprimento
do anel l = 2πa. Neste caso, este resultado
coincide com o valor do momento de inércia
calculado com uma densidade uniforme (faça o
Exercício 72). De fato, devido à simetria circular
do anel, desde que o eixo passe pelo centro, perpendicularmente
ao plano do anel, não importa como a
massa está distribuída sobre o anel. Importa apenas
o fato de todos os elementos de massa estarem
à mesma distância do eixo de rotação.
Até aqui consideramos apenas distribuições lineares.
O caso mais simples de uma distribuição nãolinear
é uma distribuição superficial plana, ou seja,
um disco de raio a ou um quadrado de lado l. Enquanto
que em uma distribuição linear nós necessitamos
de apenas um grau de liberdade para especificar
a densidade linear (o comprimento ao longo
do fio, por exemplo), precisaremos de dois graus de
liberdade para especificar a densidade superficial.
A densidade superficial é construída assim: primeiro
escolhemos uma área infinitesimal dA qualquer.
Esta área infinitesimal contém uma quantidade
infinitesimal dm de massa. A densidade superficial
σ é definida como
σ = dm
dA . (5.22)
De forma usual, a massa total deve ser calculada
somando-se todas as massas infinitesimais,
∫ ∫
M = dm = σ dA. (5.23)
65

5.3. Dinâmica rotacional e leis de conservação II Capítulo 5. Rotações
Temos novamente duas possibilidades: ou a densidade
superficial é constante, σ = σ 0 , e neste caso a
massa total é
∫ ∫
M = dm = σ 0 dA = σ 0 A, (5.24)
ou a densidade superficial é não-uniforme.
No caso não-uniforme, precisamos saber explicitamente
como a densidade superficial depende da
posição na região contendo massa. Como exemplo,
vamos considerar inicialmente uma distribuição de
massa circular de raio a e com uma densidade
dependente apenas da distância radial na forma
σ = σ 0 r, com σ 0 constante. Como a distribuição
de massa é um disco, as coordenadas polares (r, ϕ)
constituem a melhor escolha. Uma área infinitesimal
em coordenadas polares é escrita na forma
dA = rdϕ dr (faça o Exercício 73). Assim, a massa
total pode ser calculada usando a densidade superficial
(5.24),
∫ ∫ 2π
M = dm = σ 0 dϕ
0
∫ a
0
r 2 dr
= 2π 3 σ 0a 3 . (5.25)
É importante notar que a integral indefinida em
(5.24) tornou-se duas integrais definidas em (5.25)
sobre toda a região contendo massa. Também note
que estas duas integrais definidas puderam ser calculadas
separadamente. Isto foi possível somente
porque a densidade superficial σ = σ 0 r não mistura
as variáveis polares r e ϕ.
E o momento de inércia deste disco com uma distribuição
de massa não-uniforme em relação a um
eixo de rotação passando pelo centro do disco perpendicularmente
ao plano do disco? (haja fôlego!)
Neste caso, como o eixo de rotação passa pelo centro
do disco, então podemos usar r como a coordenada
radial. Assim, usando a definição (5.8), temos
∫
∫ 2π
I = r 2 dm = σ 0 dϕ
0
∫ a
0
r 4 dr
= 2π 5 σ 0a 5 = 3 5 Ma2 . (5.26)
Novamente, este valor é maior que o valor Ma 2 /2
do momento de inércia do mesmo disco com uma
distribuição uniforme de massa (verifique). Isto é
devido ao fato de haver uma concentração maior
de massa nas regiões mais afastadas do eixo de
rotação.
Espero que estes exemplos tenham indicado a
você o caminho das pedras. Dada uma distribuição
de massa M, em geral ocupando um volume V ,
a primeira providência é saber como a densidade
ρ = dm/dV associada a esta distribuição, onde dV
é o volume infinitesimal, depende da posição na
região contendo massa. O próximo passo é expressar
a massa total
∫ ∫
M = dm = ρ dV (5.27)
em função dos parâmetros que caracterizam a densidade
volumétrica e o próprio volume contendo a
massa total. Em seguida, podemos calcular o momento
de inércia usando a definição (5.8),
∫ ∫
I = r 2 dm = r 2 ρ dV, (5.28)
onde r é a distância da massa infinitesimal dm até
o eixo de rotação. Em geral, tanto a distância ¯r
quanto a densidade ρ são funções da posição, isto
é, funções das coordenadas de algum sistema de coordenadas
adequado ao problema. Também não devemos
esquecer que a integral indefinida em (5.28)
será transformada em três integrais definidas após
a escolha do sistema de coordenadas mais adequado
à geometria do corpo rígido em consideração.
5.3 Dinâmica rotacional e leis
de conservação II
Como podemos colocar um determinado corpo
rígido em rotação em torno de algum eixo fixo?
Imagine que desejamos colocar uma roda de bicicleta
em rotação em torno do eixo que a mantém
fixa na bicicleta. Sabemos da experiência que precisamos
aplicar uma força (externa) para colocá-la
em rotação. Podemos relacionar esta força aplicada
com a aceleração angular?
Podemos ver claramente que a força aplicada
está transferindo energia à roda pelo mecanismo
de trabalho, para que a mesma possa executar
seu movimento de rotação. Também aprendemos
nesta experiência que não podemos aplicar a força
de qualquer maneira na roda para colocá-la em
rotação. Por exemplo, quando aplicamos uma força
66

Capítulo 5. Rotações
5.3. Dinâmica rotacional e leis de conservação II
na mesma direção da linha que passa pelo ponto
de aplicação da força e pelo eixo de rotação (perpendicularmente),
não produzimos rotações (veja a
Figura 5.2). Em outras palavras, somente conseguiremos
colocar a roda em rotação quando a força
aplicada F ⃗ não for paralela ao vetor (distância) ⃗¯r.
A Figura 5.2 ilustra estas duas situações: uma onde
a força F ⃗ 1 é capaz de produzir uma rotação em
torno do eixo fixo perpendicular ao plano da roda
e passando pelo centro da roda. A força F ⃗ 2 não
produz rotações.
⃗¯r 1
Figura 5.2: A força ⃗ F 1 é capaz de produzir uma
rotação em torno do eixo fixo perpendicular ao
plano da roda e passando pelo centro da roda. A
força ⃗ F 2 é incapaz de produzir rotações.
⃗¯r 2
⃗F 1
⃗F 2
Note que ⃗¯r 1 × ⃗ F 1 ≠ 0 e ⃗¯r 2 × ⃗ F 2 = 0. Isto está
sugerindo que a quantidade ⃗¯r × ⃗ F pode ter alguma
relevância na dinâmica do movimento de rotação.
Evidentemente, devemos realizar mais experimentos
para determinarmos como o produto vetorial
⃗¯r × ⃗ F está relacionado (se estiver) com a aceleração
angular. Será o produto vetorial ⃗¯r × ⃗ F a quantidade
equivalente à força no movimento translacional?,
isto é, ⃗¯r× ⃗ F ∝ ⃗α? Apenas o experimento pode
decidir. O experimento com a roda de bicicleta está
indicando que sim. Este experimento também nos
revela que se o produto vetorial ⃗¯r × ⃗ F é constante,
então o movimento rotacional resultante é uniformemente
acelerado, isto é, a aceleração angular é
também constante. Este experimento também nos
revela que o sentido do vetor aceleração angular ⃗α
é determinado pelo produto vetorial ⃗¯r × ⃗ F . Portanto
a constante de proporcionalidade entre ⃗¯r × ⃗ F
e ⃗α deve ser positiva. Além disto, uma análise dimensional
revela que esta constante de proporcionalidade
deve ter as mesmas dimensões de momento
de inércia. Outros experimentos similares
irão nos mostrar que esta constante de proporcionalidade
é, nada mais, nada menos, o próprio momento
de inércia do corpo rígido. De fato, isto
faz sentido. Aprendemos anteriormente que o momento
de inércia mede a inércia do movimento rotacional.
Desta forma, valendo-nos de experimentos
e análise dimensional, concluímos que ⃗¯r × F ⃗ = I⃗α
é o análogo da segunda lei de Newton para o movimento
rotacional. Esta relação também justifica a
escolha que fizemos anteriormente para a direção e
o sentido de nossas grandezas cinemáticas rotacionais,
pois o produto vetorial ⃗¯r × F ⃗ está sobre o eixo
de rotação.
Para entendermos melhor os resultados experimentais
descritos acima e, principalmente, para
aprendermos a controlá-los, vamos observar novamente
uma determinada massa (pontual), discreta
ou infinitesimal, em um corpo rígido qualquer,
como mostrado na Figura 5.3. O objetivo é a construção
de um modelo, com uma base matemática
que seja elegante e, ao mesmo tempo, capaz de explicar
detalhadamente os resultados experimentais
envolvendo rotações.
ˆn
⃗¯r
m i
⃗v ⊥
Figura 5.3: Rotação, em torno de um eixo fixo, de
uma massa m i em um corpo rígido qualquer. Note
que ˙⃗¯r = ⃗v + ⃗v ⊥ , mas como o corpo é rígido, então
devemos ter ⃗v = 0.
A Figura 5.3 mostra uma massa m i (ou dm se
a distribuição é contínua) pertencente a um corpo
rígido qualquer de massa total
N∑
∫
M = m i (ou M = dm). (5.29)
i=1
Note na Figura 5.3 que estamos indicando por ⃗¯r
⃗v
⃗v
67

5.3. Dinâmica rotacional e leis de conservação II Capítulo 5. Rotações
o vetor “distância”, aquele vetor perpendicular ao
eixo de rotação, o qual é usado no cálculo do momento
de inércia. Esta notação diferenciada se faz
necessária para distinguirmos o vetor distância ⃗¯r
do vetor posição ⃗r, o qual coincidirá com o vetor
distância apenas quando a origem do sistema
de coordenadas concidir com a interseção do vetor
distância com o eixo de rotação. Entretanto, no
caso geral, o vetor distância ⃗¯r é a componente perpendicular
do vetor posição ⃗r em relação ao eixo de
rotação passando pela origem do sistema de coordenadas.
Observe na Figura 5.3 que o vetor velocidade
⃗v = ˙⃗¯r da massa m i pode ser decomposto numa
componente radial ⃗v e numa componente tangencial
⃗v ⊥ , ⃗v = ⃗v + ⃗v ⊥ . Naturalmente, a componente
radial é nula em um corpo rígido, ⃗v = 0, pois a
massa m i não está livre para movimentar nesta
direção. No entanto, poderíamos ter uma única
massa neste sistema. No caso de uma única massa,
o vetor velocidade possui uma componente radial.
Veremos em breve que precisaremos do produto
vetorial ⃗¯r × ⃗v ⊥ , o qual sempre pode ser re-escrito
na forma
⃗¯r × ⃗v ⊥ = ⃗¯r × ⃗v, (5.30)
mesmo no caso em que ⃗v ≠ 0, pois ⃗¯r × ⃗v = 0 por
construção. Também podemos ver na Figura 5.3
que
⃗ω = ⃗¯r × ⃗v ⊥
¯r 2 = ⃗¯r × ⃗v
¯r 2 , (5.31)
onde ⃗ω = ωˆn é o vetor velocidade angular. Para
verificar este resultado, certifique-se que a direção,
o sentido e o módulo (v = ¯rω) de ⃗ω, calculados
por (5.31), estão corretos. Note que fizemos uso
de (5.30) na última passagem em (5.31). É importante
ter em mente também que ˙⃗¯r = ⃗v ⊥ , pois o
movimento da massa m i é circular (de raio ¯r).
Mantendo as observações (5.30) e (5.31) em
mente, podemos prosseguir. Para isto, precisamos
recordar a definição de energia cinética do movimento
de translação. No movimento de translação,
a energia cinética de um corpo (pontual) de massa
m e velocidade ⃗v sempre pode ser re-escrita em termos
do momentum linear ⃗p = m⃗v,
T = 1 2
1
m⃗v · ⃗v = ⃗p · ⃗p, ⃗p = m⃗v. (5.32)
2m
Também sabemos que o momentum linear é uma
quantidade importante porque a sua taxa de variação
temporal é igual a força agindo na massa m
(segunda lei de Newton),
⃗F = d⃗p
dt = ˙⃗p. (5.33)
Também sabemos que (5.33) é uma equação diferencial
de segunda ordem no tempo para o vetor
posição ⃗r(t). Resolvendo esta equação diferencial,
determinaremos a dependência temporal do vetor
posição, ou seja, a equação diferencial (5.33) controla
todo o comportamento dinâmico da massa m.
Isto é o que sabemos sobre o movimento translacional.
Podemos usar este conhecimento para entendermos
melhor a dinâmica do movimento rotacional?
Certamente podemos.
Procedendo de forma análoga, podemos reescrever
a energia cinética rotacional (5.7) do corpo
rígido mostrado na Figura 5.3 numa forma similar
a (5.32),
T = 1 2
I⃗ω · ⃗ω =
1
2I ⃗ L · ⃗L, ⃗ L = I⃗ω, (5.34)
na qual I é o momento de inércia (5.8) e o vetor
⃗L, denominado de momentum angular, é análogo ao
momentum linear, como veremos logo em seguida.
Se o momentum angular L ⃗ é realmente uma quantidade
importante, com uma importância igual à
importância do momentum linear, então, por analogia
à segunda lei (5.33), a sua taxa de variação
temporal
˙⃗L = I⃗α, pois I é uma constante, deve
controlar a dinâmica do movimento de rotação.
Por outro lado, vimos no início desta seção que
necessitamos de uma força externa para colocar um
corpo rígido em rotação. Portanto, a taxa de variação
temporal do momentum angular deve estar
relacionada de alguma forma com a força externa.
Esta relação pode ser encontrada escrevendo o momentum
angular total L ⃗ = I⃗ω em termos do momentum
angular de cada massa m i (ou dm) presente
no corpo rígido,
N∑
N∑
⃗L = I⃗ω = m i¯r i 2 ⃗ω = m i
⃗¯r i × ⃗v i
i=1
i=1
=
N∑
⃗¯r i × ⃗p i , (5.35)
i=1
onde usamos também o resultados (5.30)–(5.31).
Não devemos esquecer que podemos escrever ⃗p i =
68

Capítulo 5. Rotações
5.3. Dinâmica rotacional e leis de conservação II
m i ⃗v i somente quando este momentum linear aparecer
no produto vetorial ⃗¯r i × ⃗p i , pois no movimento
circular da massa m i temos ⃗p i = m i ⃗v i⊥ (não há movimento
radial; corpo rígido). A última expressão
em (5.35) nos permite escrever um momentum angular
⃗¯r i × ⃗p i para cada massa m i ,
⃗L = I⃗ω =
N∑
⃗L i , Li ⃗ = ⃗¯r i × ⃗p i . (5.36)
i=1
Agora estamos numa posição confortável para determinarmos
a taxa de variação do momentum angular,
˙⃗L = I⃗α =
N∑
˙⃗L i ,
i=1
˙⃗L i = ⃗¯r i × ˙⃗p i = ⃗¯r i × ⃗ F i , (5.37)
onde ⃗ F i é a força externa atuando na i-ésima
massa m i . As forças internas cancelam-se aos pares,
sempre. Note que usamos também o fato de
˙⃗¯r = ⃗v + ⃗v ⊥ = ⃗v ⊥ em um corpo rígido. O resultado
(5.37) acaba de nos revelar o análogo da segunda
lei de Newton para o movimento rotacional,
com
⃗τ = ˙⃗ L = I⃗α,
∑
N
⃗τ = ⃗τ i , (5.38)
i=1
⃗τ i = ⃗¯r i × ⃗ F i . (5.39)
A quantidade ⃗τ = ⃗¯r × ⃗ F , denominada de torque,
faz o papel da força ⃗ F no movimento de translação.
Note em (5.39) que, conhecendo as forças externas
e o eixo de rotação, temos como calcular o torque
de cada uma destas forças externas. Assim, ⃗τ = I⃗α
ou a sua forma mais geral ⃗τ = ˙⃗ L faz o papel análogo
da segunda lei de Newton, ⃗ F = m¨⃗r ou ⃗ F = ˙⃗p, para
o movimento de translação.
Observe que, se o momento de inércia é constante,
é necessário uma aceleração angular para colocar
um corpo rígido em movimento de rotação.
Isto implica que o torque (5.38) deve ser diferente
de zero, ou seja, deve haver pelo menos uma força
externa ⃗ F i produzindo um torque ⃗¯r i × ⃗ F i diferente
de zero para haver rotação a partir do repouso.
Também podemos ver em (5.38) que um torque
constante produz uma rotação uniformemente acelerada
(aceleração angular constante).
Mais algumas observações importantes antes
de passarmos ao desenvolvimento de algumas
aplicações. (1) Dada a relação ⃗τ = ⃗¯r × F ⃗ entre
torque e força (externa), entendemos porque não
é possível colocar a roda de bicicleta em rotação
aplicando uma força ao longo da linha perpendicular
ao eixo de rotação e que passa pelo ponto de
aplicação da força (veja a Figura 5.2). Em outras
palavras, o torque ⃗τ = ⃗¯r × F ⃗ é nulo quando a força
⃗F i é paralela ao vetor ⃗¯r i . (2) Como ¯r i = ||⃗¯r i || é
a distância entre a massa m i e o eixo de rotação,
então tanto o momentum angular quanto o torque
dependem da posição do eixo de rotação. (3) Note
que momentum angular tem dimensões de energia
vezes tempo e que, conseqüentemente, torque tem
dimensões de energia. No entanto, não é correto
dizer que torque é energia. Também não é correto
dizer que trabalho é energia. Trabalho é um mecanismo
de troca de energia. Torque é o mecanismo
que permite um corpo rígido entrar em movimento
de rotação em torno de um eixo fixo.
Por falar em trabalho, devemos determinar uma
expressão para a potência instantânea no movimento
rotacional. Em muitas situações, o movimento
de rotação ocorre em meios viscosos, os
quais oferecem uma força dissipativa. Tendo dissipação,
há troca de energia pelo mecanismo trabalho.
A potência P mede justamente a taxa temporal
desta troca de energia, P = dW/dt. Observe
novamente a Figura 5.1. Acrescente a ela a
força externa F ⃗ i agindo na i-ésima massa m i . Para
que este corpo rígido altere seu estado de movimento
rotacional, as forças externas F ⃗ i devem realizar
trabalho durante o intervalo de tempo dt,
dW i = F ⃗ i · d⃗¯r i . Lembre-se que apenas o módulo
do vetor (distância) ⃗¯r i permanece constante e que
˙⃗¯r i = ⃗v i , onde ⃗v i é a velocidade (tangencial) da
massa m i . Assim, a potência instantânea correspondente
é P i = dW i /dt = F ⃗ i · ⃗v i . Este resultado é
simplesmente a potência instantânea do movimento
translacional. No entanto, ela pode ser re-escrita
numa forma mais conveniente ao movimento rotacional.
Para isto, basta substituir a velocidade
tangencial pela velocidade angular, usando (5.6),
P i = ⃗ F i · ⃗v i = ⃗ F i · (⃗ω
× ⃗¯r i
)
= ⃗¯r i · ( ⃗ Fi × ⃗ω )
= ⃗ω · (⃗¯r i × ⃗ F i
)
, (5.40)
onde utilizamos a propriedade (2.30) do produto
misto entre três vetores (invariância por permutações
circulares). A última expressão em (5.40)
69

5.3. Dinâmica rotacional e leis de conservação II Capítulo 5. Rotações
contém o torque na i-ésima massa m i ,
P i = ⃗ω · (⃗¯r i × ⃗ F i
)
= ⃗τi · ⃗ω. (5.41)
Desta forma, a potência instantânea total pode ser
escrita como
N∑
P = ⃗τ i · ⃗ω = ⃗τ · ⃗ω. (5.42)
i=1
Sem dúvidas, fomos muito felizes na construção
de um modelo capaz de explicar a dinâmica do movimento
rotacional. O torque é uma quantidade
rotacional importante, pois ela tem um papel similar
ao papel desempenhado pela força no movimento
translacional. A relação (5.38) entre torque
e o momentum angular certamente justifica suas
definições. As relações entre momentum angular e
momentum linear, (5.36), bem como entre torque
e força, (5.39), corroboram a importância destas
duas quantidades angulares. Note também que a
relação (5.39) entre torque e força justifica a escolha
da direção (eixo de rotação) e sentido (regra da
mão direita) para os vetores deslocamento, velocidade
e aceleração angulares.
Além de ser bem sucedido na descrição do movimento
rotacional, este modelo construído via momentum
angular e torque, em analogia com momentum
linear e força, é matematicamente perfeito,
pois ele nos fornece também uma importante lei de
conservação: a lei de conservação do momentum angular.
Podemos ver claramente em (5.38) que o momentum
angular (total) será uma quantidade conservada
(constante no tempo) sempre que o torque
(total) for nulo. Esta é mais uma (na verdade três)
entre as leis de conservação da mecânica.
Teorema 10
O momentum angular se conserva na ausência de torques,
⃗τ = 0 ⇒ ˙⃗ L = 0.
Como já mencionamos, estas leis de conservação
continuam válidas, assim como as demais, mesmo
no reino microscópico onde a física Newtoniana não
se aplica, ou seja, a conservação do momentum angular
também é verificada em mecânica quântica.
Giroscópios
Talvez uma das aplicações mais importantes da
conservação do momentum angular no nosso cotidiano
seja na indústria da navegação. A idéia é
muito simples. Um disco é colocado em rotação
numa região ausente de agentes dissipadores e de
forças externas. De acordo com o Teorema 10, é
necessário a ação de uma força externa para produzir
um torque para modificar o eixo de rotação
deste disco. Portanto na ausência de torques, o eixo
de rotação deste sistema (perpendicular ao plano
do disco) deve apontar para uma direção fixa (podemos
chamar esta situação de inércia rotacional).
Este sistema é denominado de giroscópio (veja a Figura
5.4). Um giroscópio é uma peça fundamental
em qualquer sistema preciso de navegação atual.
Sem dúvidas, um giroscópio serve como um
guia, um “navegador” no espaço vazio. Por exemplo,
o telescópio Hubble (hubble.nasa.gov) é orientado
por um mecanismo contendo dois giroscópios
de 45 kg cada, girando em torno de eixos nãocoincidentes
com uma velocidade angular que pode
atingir 3000 rpm. Estas velocidades angulares podem
ser modificadas eletronicamente para produzirem
pequenas variações nos momenta angulares dos
giroscópios. Como o momentum angular total precisa
ser conservado, pois não há forças externas, o
telescópio precisa girar para compensar as variações
de momentum angular produzidas nos giroscópios.
Desta forma, o telescópio pode manter um determinado
alvo fixo com um erro de cinco milésimos
de segundo. Isto é equivalente a mantermos iluminada
uma moeda de um real localizada em Vitória
(ES) com uma lanterna em cima do pão de açúcar
no Rio de Janeiro (RJ).
Outro exemplo importante é a sonda espacial
GP-B (Gravity Probe-B), a qual está medindo
o campo gravitacional ao redor da Terra (einstein.stanford.edu).
Esta sonda está equipada com
quatro giroscópios construídos de esferas de quartzo
(crescidos no Brasil) com uma imperfeição de apenas
20 nm (10 −9 m) em seu diâmetro e com uma
massa uniformemente distribuída com uma imperfeição
de apenas 2 ppm (parte por milhão), girando
a 4000 rpm. Qualquer variação no espaçotempo
produzirá uma variação nos eixos de rotação destes
giroscópios.
Um efeito muito interessante, denominado de
precessão, surge quando um giroscópio é colocado
na presença de uma força externa, por exemplo na
superfície da Terra. Como sempre, vamos simplificar
o máximo nosso giroscópio para entendermos
o efeito de precessão. Nosso giroscópio será representado
por uma massa M, distribuída uniforme-
70

Capítulo 5. Rotações
5.3. Dinâmica rotacional e leis de conservação II
mente em um anel circular de raio R. Este anel
está preso a uma extremidade de um eixo rígido de
massa desprezível, em torno do qual o anel pode
girar livremente. A outra ponta do eixo do anel
está apoiada por um pivô (um ponto fixo). Este
pivô permite que a ponta do eixo do anel apoiado
por ele execute livremente um movimento de 360
graus sem perda de contato. A Figura 5.4 ilustra
este nosso giroscópio ideal.
ˆn
força externa M⃗g produz um torque,
⃗τ = ⃗r × (M⃗g) = d⃗ L
, τ = Mrg sin θ, (5.43)
dt
onde ⃗r é o vetor posição indicado na Figura 5.4.
Pela propriedade do produto vetorial, o vetor torque
em (5.43) é perpendicular ao vetor posição ⃗r e,
portanto, perpendicular ao vetor momentum angular
⃗ L. Como a variação d ⃗ L do momentum angular
é proporcional ao vetor torque, então podemos concluir
que a variação d ⃗ L é perpendicular a ⃗ L, como
mostrado na Figura 5.5.
ˆn 1
θ
⃗r
anel
⃗L + d ⃗ L
ˆn 2
M⃗g
ˆn 1
dφ
⃗ L
d ⃗ L
Figura 5.4: Giroscópio ideal, formado por um anel
de massa M que pode girar livremente em torno do
eixo ˆn, na presença da força gravitacional. O eixo
de rotação ˆn 2 é perpendicular ao eixo de rotação
ˆn 1 .
Podemos muito bem substituir o pivô por um
cordão preso ao teto. O cordão é uma opção mais
prática, pois sempre temos um pedaço de cordão
no bolso e um bom pivô nem sempre está a disposição.
Observe na Figura 5.4 que há dois eixos
em torno dos quais nosso giroscópio pode girar livremente:
um eixo de rotação ˆn 1 na direção do
suporte (fixo) do pivô (ou do cordão dependurado)
e um eixo de rotação ˆn 2 perpendicular a ˆn 1 e passando
pelo pivô. O anel do giroscópio gira em torno
do eixo ˆn com um velocidade angular ω. Seja I o
momento de inércia do anel e r o comprimento do
eixo passando pelo centro do anel. Na ausência de
forças externas, este giroscópio tem um momentum
angular ⃗ L = Iωˆn, o qual é conservado. Note que
este vetor momentum angular é paralelo ao vetor
⃗r.
Como mostrado na Figura 5.4, a presença da
Figura 5.5: Movimento de precessão do eixo ˆn do
giroscópio mostrado na Figura 5.4, com θ = π/2,
em torno do eixo ˆn 1 .
Como L ⃗ · dL ⃗ = 0, temos então que o módulo
L = Iω do vetor momentum angular é conservado
(Faça o Exercício 74), apesar da ação da força externa.
Apenas a direção do vetor momentum angular
está mudando no tempo. Podemos dizer então
que a força gravitacional ainda manteve intacta
uma das três leis de conservação do momentum
angular (o seu módulo), contidas no Teorema 10.
Como L ⃗ · dL ⃗ = 0 e ˙L = 0, então a ponta do vetor
momentum angular angular executa um movimento
circular, como mostrado na Figura 5.5. Este movimento
circular em torno do eixo ˆn 1 é denominado
de precessão. A velocidade angular ω p deste movimento
de precessão pode ser calculada facilmente
com o auxílio da Figura 5.5, pois ||dL|| ⃗ = L dϕ. 2
Assim,
ω p = dϕ
dt = 1 ||dL||
L dt
= 1 L⇑
dL
dt
⇑ = 1 ||⃗τ||. (5.44)
L
2 Note que ||d ⃗ L|| é diferente de dL, pois ˙L = 0.
71

5.4. As equações de Euler Capítulo 5. Rotações
Usando o torque calculado em (5.43), temos a velocidade
angular de precessão,
ω p = Mgr
Iω
= gr
K 2 1
ω , (5.45)
onde fizemos I = MK 2 , com K sendo um
parâmetro característico do sistema, conhecido
como “raio de giro”.
Devemos notar que a velocidade angular de precessão
(5.45) é inversamente proporcional à velocidade
angular ω do giroscópio. Conseqüentemente,
a velocidade de precessão aumenta quando a velocidade
angular do giroscópio diminui. No limite
ω → 0, temos, de acordo com (5.45), ω p → ∞.
No entanto, observamos no experimento que o giroscópio
não aumenta a sua velocidade de precessão
quando a sua velocidade angular diminui. Ele simplesmente
para de precessionar e cai quando ω → 0.
Isto significa que (5.45) necessita de correções. Estas
correções podem ser feitas levando-se em consideração
a massa do eixo do anel, a qual foi ignorada
até então. No entanto, estas correções seriam um
refinamento desnecessário neste momento. Em um
giroscópio real, a ponta do vetor momentum angular
também apresenta um movimento oscilatório
perpendicular ao plano de precessão. Este terceiro
movimento é denominado de nutação.
Aprendemos algo muito importante com este giroscópio
ideal esquematizado na Figura 5.4: a variação
do momentum angular produz um movimento
de rotação. Isto é completamente análogo ao
movimento de translação produzido pela variação
do momentum linear (como acontece nos foguetinhos
de água). Também podemos ver que o simples
fato da roda estar girando impede que o centro de
massa dela caia sob a ação da força gravitacional.
Curiosamente, a própria força gravitacional é responsável
por manter o eixo de rotação na posição
angular θ sem que o centro de massa “caia”.
5.4 As equações de Euler
Nós aprendemos que as leis de Newton para a
dinâmica translacional são válidas em qualquer referencial
inercial. Também já mencionamos que as
leis da mecânica Newtoniana em geral também são
válidas em qualquer referencial inercial, e somente
em referenciais inerciais. Nos parágrafos acima, estabelecemos
as leis que governam a dinâmica do
movimento rotacional e afirmamos que tais leis
são análogas às leis de Newton para o movimento
de translação. Sendo então leis integrantes da
mecânica Newtoniana, então elas (as leis do movimento
de rotação) devem ser válidas somente em
referenciais inerciais. No entanto, nenhum referencial
inercial foi especificado nas discussões acima
sobre a dinâmica do movimento de rotação. Onde
estará este referencial inercial? Veremos que ao estabelecermos
uma resposta a esta pergunta, encontraremos
algumas características muito importantes
sobre momento de inércia até então desconhecidas.
Estas características novas são indispensáveis
ao tratamento de sistemas reais e, mesmo não sendo
necessário, elas justificam a existência de um curso
inteiramente dedicado a matrizes, denominado de
Álgebra Linear. Veremos também que o momento
de inércia, o qual é para nós um escalar (número)
até então, é de fato uma matriz. Será o nosso primeiro
encontro com uma matriz representando uma
entidade física. Até então, temos usado escalares
(como massa, carga, tempo e energia) e vetores
(como posição, força, torque, etc.) na descrição
do movimento na mecânica Newtoniana.
Vamos considerar novamente um corpo rígido, no
qual a distância entre dois de seus pontos permanece
sempre fixa, girando em torno de um eixo passando
pela origem do sistema de coordenadas inercial
O. Por pura comodidade, passaremos a denotar
vetores por letras em negrito ao invés de flechas
sobre as letras. Seja r o vetor posição da massa
dm neste sistema inercial, o qual faz um ângulo θ
com o eixo de rotação representado pelo versor ˆn,
conforme indicado na Figura 5.6.
Podemos ver na Figura 5.6 que r ⊥ = r sin θ, a
projeção do vetor posição r perpendicularmente ao
eixo de rotação, é exatamente a distância da massa
dm até o eixo de rotação. Note também que (se
ainda não o fez, faça)
ṙ = ω × r, ω = ωˆn. (5.46)
Desta forma, não precisamos mais usar o vetor
“distância” ⃗¯r da Figura 5.1, pois ¯r = r ⊥ . Vale
a pena relembrar que devido à rigidez do nosso sistema,
a massa dm está localizada a uma distância
fixa da origem O, ou seja, r 2 = r · r é constante no
tempo. Então, derivando esta expressão no tempo,
teremos
d
dt r2 = 0 = d (r·r) = 2r·ṙ ⇒ r·ṙ = 0. (5.47)
dt
72

Capítulo 5. Rotações
5.4. As equações de Euler
Assim, qualquer massa dm em um corpo rígido executa
um movimento circular de raio r ⊥ = r sin θ.
Lembre-se que o vetor velocidade é perpendicular
ao vetor posição somente em um movimento circular
(aproveite o momento e refaça o Exercício 74).
Também é possível mostrar (mas não o faremos
aqui) que o eixo de rotação está a cada instante em
repouso no referencial inercial O. Isto significa que
o eixo de rotação não precisa estar absolutamente
fixo, como vínhamos adotando.
ˆn
r ⊥
r
θ
O O c
dm
Figura 5.6: Vetor posição r da massa dm em dois
referenciais. O referencial O c está fixo no corpo
rígido.
A relação (5.46) é muito mais que uma simples
relação entre grandezas cinemáticas. Vejamos o
porquê disto. A observação especial aqui é que o
vetor posição r descreve a posição da massa dm (ou
de um ponto qualquer no corpo rígido) em dois sistemas
de coordenadas: no referencial inercial O e
em um outro referencial não-inercial O c . Este referencial
não-inercial O c também tem a sua origem
no mesmo ponto O e seus eixos estão solidários ao
corpo rígido, ou seja, vistos do referencial inercial
O, eles estão girando junto com o corpo rígido. Em
algum tempo, por exemplo em t = 0, os eixos destes
dois referenciais são coincidentes. Evidentemente,
para quem está no referencial não-inercial O c , o vetor
posição da massa dm, o qual denotaremos por
r c , é independente do tempo, ṙ c = 0. O vetor velocidade
angular ω é o mesmo nos dois referenciais,
v
ω = ω c , pois o eixo de rotação está instantaneamente
em repouso no referencial inercial. Então
a relação (5.46) está nos ensinando como escrever
no referencial inercial a taxa de variação de um vetor
fixo no corpo rígido, ou seja, fixo no referencial
não-inercial girando com a velocidade angular ω,
ṙ = ω × r c , ω = ωˆn. (5.48)
Observe que as expressões (5.46) e (5.48) são
idênticas, isto é, ω × r = ω × r c . Como a única
característica especial do vetor posição r c é estar
fixo no referencial não-inercial, então a taxa de variação
Ȧ de um vetor qualquer A c em um referencial
girando com a velocidade angular ω vista de
um referencial inercial é
Ȧ = ω × A c + Ȧc, ω = ωˆn. (5.49)
Esta relação nos diz quem é a taxa de variação de
um vetor no referencial inercial conhecendo apenas
o próprio vetor e sua taxa de variação no referencial
girante (não-inercial), ou seja, não precisamos conhecer
explicitamente como este vetor depende do
tempo no referencial inercial. Isto nos será muito
útil logo adiante. Não devemos esquecer que estes
dois referenciais devem possuir uma origem em comum
e que seus eixos devem ser coincidentes em
algum instante de tempo. Podemos ver de (5.49)
que ˙ω = ˙ω c , o que justifica escrevermos o vetor
velocidade angular com o mesmo símbolo nos dois
referenciais (faça o Exercício 75).
Procedendo como na Seção 5.3, vamos escrever a
energia cinética total do nosso corpo rígido como a
soma das energias cinéticas de cada massa dm,
T = 1 ∫
dm ṙ · ṙ. (5.50)
2
O vetor velocidade angular pode ser introduzido
via qualquer uma das duas relações (5.46) e (5.48).
Vamos escolher a primeira delas, isto é, com o vetor
posição escrito no referencial inercial. Como este
referencial é ortonormal (por construção), então
ṙ · ṙ =
3∑
ẋ 2 i =
i=1
3∑ ( ) 2
ω × r
i , (5.51)
i=1
na qual estamos escrevendo o vetor posição na
forma r = (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x, y, z). Existe uma
73

5.4. As equações de Euler Capítulo 5. Rotações
forma compacta de escrevermos as componentes
(
ω × r
)
i do produto vetorial ( ω × r ) ,
(
ω × r
)i = 3∑
j=1 k=1
3∑
ε ijk ω j x k , (5.52)
na qual (ε ijk ) é o tensor completamente antisimétrico
de ordem três (ou tensor de Levi-Civita),
definido pelas seguintes propriedades de suas componentes
ε ijk (Faça o Exercício 76):
⎧
⎪⎨ +1 se (i, j, k) ∈ P par ,
ε ijk = 0 se i = j ou i = k ou j = k,
⎪⎩
−1 se (i, j, k) ∈ Pímpar ,
onde
(5.53)
P par = {(1, 2, 3), (3, 1, 2), (2, 3, 1)}, (5.54)
Pímpar = {(1, 3, 2), (2, 1, 3), (3, 2, 1)}, (5.55)
onde são as permutações pares e ímpares, respectivamente.
Podemos ver então que o tensor de Levi-
Civita troca de sinal sempre que uma permutação
entre dois índices é efetuada. Isto justifica o adjetivo
“completamente” anti-simétrico.
Somas envolvendo produtos das componentes
ε ijk do tensor de Levi-Civita possuem muitas propriedades
interessantes. Em particular, iremos precisar
desta,
3∑
ε ijk ε irs = δ jr δ ks − δ js δ kr , (5.56)
i=1
na qual (δ ij ) é o tensor completamente simétrico de
ordem dois (ou tensor de Kronecker, ou simplesmente
“delta” de Kronecker), definido pelas seguintes
propriedades entre suas componentes δ ij (Faça
o Exercício 77):
δ ij =
{
1 se i = j,
0 se i ≠ j,
(5.57)
Devemos agora substituir a expressão (5.52) em
(5.51) e usar os resultados anteriores,
ṙ · ṙ =
=
=
=
3∑
3∑
i=1(
j=1 k=1
3∑
3∑
j=1 k=1 r=1
3∑
3∑
j=1 k=1 r=1 s=1
3∑
j=1 r=1
3∑
ε ijk ω j x k
3∑
r=1 s=1
3∑
)
ε irs ω r x s
3∑ 3∑
( 3∑
ε ijk ε irs
)ω j x k ω r x s
s=1 i=1
3∑ 3∑ ( )
ω j δjr δ ks x k x s − δ js δ kr x k x s ωr
3∑ (
ω j δjr r 2 )
− x j x r ωr . (5.58)
O “caminho das pedras” é usar um índice diferente
em cada soma. Note que fizemos uso de (5.56) na
penúltima linha de (5.58). Também fizemos uso
da segunda parte do Exercício 77 na última linha
de (5.58). Podemos perceber também que há um
duplo produto matricial na última linha de (5.58)
se imaginarmos (ω j ) como uma matriz linha e (ω r )
como uma matriz coluna e (δ jr r 2 −x j x r ) como uma
matriz quadrada. Entretanto, como dm = ρ dV ,
onde ρ é a densidade, em geral depende das coordenadas
x i , então é melhor definir esta estrutura matricial
após a substituição do produto escalar (5.58)
na energia cinética (5.50)
T = 1 2
3∑
j=1 r=1
3∑
[∫
ω j dm ( δ jr r 2 ) ]
− x j x r ω r
= 1 2
3∑
j=1 r=1
3∑
ω j I jr ω r , (5.59)
na qual definimos
∫
I jr = dm ( δ jr r 2 )
− x j x r . (5.60)
A matriz I = (I jr ) formada pelos elementos I jr definidos
em (5.60) é conhecida por tensor de inércia.
Note que podemos trocar os índices do tensor de
inércia sem alterá-los, I jr = I rj . Por isto, podemos
dizer que este tensor (ou esta matriz) é simétrico
(simétrica). Por se tratar de uma matriz, ou seja, é
necessário especificar dois índices para especificarmos
qualquer um de seus elementos, este tensor é de
segunda ordem. Como dm = ρ dV , onde ρ é a densidade
de massa do corpo rígido, o tensor de inércia
depende apenas da geometria e da distribuição de
massa do corpo rígido.
74

Capítulo 5. Rotações
5.4. As equações de Euler
Também devemos notar que as componentes
(5.60) estão escritas no referencial inercial e, portanto,
dependem do tempo. No entanto, mencionamos
no início deste parágrafo que o vetor velocidade
angular podia ser introduzido na expressão (5.50)
da energia cinética via qualquer uma das duas
relações (5.46) e (5.48). Escolhemos a primeira.
Caso tivéssemos escolhido a segunda relação, o tensor
de inércia I continuaria a ter a mesma forma
(5.60), com as coordenadas x i representando o vetor
posição r c no referencial não-inercial. Neste
referencial não-inercial, solidário ao corpo rígido,
o tensor momento de inércia é independente do
tempo. Isto nos mostra que mesmo não servindo
para fazer dinâmica, este referencial não-inercial é
útil para calcularmos as componentes do tensor de
inércia de forma independente do tempo. Esta observação
será muito útil logo adiante.
Com o auxílio do tensor de inércia, a expressão
(5.59) pode ser re-escrita ainda numa forma mais
compacta,
T = 1 2 ω · Iω = 1 2 ωT Iω. (5.61)
Na primeira forma (primeira igualdade), o tensor
de inércia I atua sobre o vetor velocidade angular
ω para produzir um novo vetor L = Iω cujo produto
escalar com ω nos dá a energia cinética (5.61).
Na segunda forma (segunda igualdade), o vetor velocidade
angular ω é interpretado como uma matriz
coluna e ω T é a matriz transposta 3 , ou seja, uma
matriz linha. A expressão (5.59) ou (5.61) para a
energia cinética rotacional está nos informando que
o tensor de inércia I está fazendo aqui o papel do
nosso momento de inércia definido em (5.8).
Mas não aprendemos que o momento de inércia
definido em (5.8) é um escalar (um número)? Sim,
de fato! Mas aqui ele é uma matriz. Logo abaixo
mostraremos como estas duas informações podem
ser reconciliadas. Aguarde apenas um instante.
Mas no momento, o (tensor) momento de inércia
é uma matriz simétrica. Esta é a primeira vez
que uma entidade física é representada matematicamente
por uma matriz, daí a importância de
matrizes.
E o momentum angular? Ele é o resultado da
ação do tensor de inércia sobre o vetor velocidade
3 A transposição é uma operação que troca linhas por colunas
em uma matriz.
angular? Sim, de fato,
L = Iω (5.62)
é o vetor momentum angular. Note que ao
contrário do caso particular que estudamos anteriormente,
este vetor momentum angular (5.62) não
é, em geral, necessariamente paralelo ao vetor velocidade
angular. Mais surpresas virão com exemplos.
Uma observação importante antes de passarmos
aos exemplos: note que a energia cinética é sempre
positiva, T > 0 (o caso T = 0 não tem qualquer
importância; repouso). Isto significa que o vetor
L = Iω nunca poderá ser ortogonal ao vetor velocidade
angular ω e nem pode ser nulo, Iω ≠ 0. Conseqüentemente,
a matriz I possui uma inversa, pois
Iω = L com L ≠ 0 implica em ω = I −1 L (Faça o
Exercício 78). Portanto já conhecemos duas propriedades
elementares da matriz momento de inércia:
(1) ela é simétrica e (2) ela possui uma inversa.
Como será visto no curso de Álgebra Linear, estas
duas propriedades garante que esta matriz pode ser
re-escrita numa forma diagonal (com todos os elementos
fora da diagonal iguais a zero), em outras
palavras, ela pode ser diagonalizada. Vejamos tudo
isto através de um exemplo.
x
O
z
A
Figura 5.7: Corpo rígido na forma de um cubo de
arestas de comprimento l. Um dos eixos principais
do momento de inércia passa pela origem e o ponto
A.
Vamos considerar um corpo rígido na forma de
um cubo de arestas de comprimento l, conforme
y
75

5.4. As equações de Euler Capítulo 5. Rotações
indicado na Figura 5.7. Por pura simplicidade,
iremos calcular o momento de inércia no referencial
solidário do cubo (embora estejamos usando a
mesma notação do referencial inercial; outra comodidade).
Também para simplificar um pouco mais,
vamos supor uma densidade volumétrica constante,
ρ = M/l 3 , com M sendo a massa total do cubo.
Como o sistema cartesiano é o que se adapta melhor
à simetria do cubo, então o volume infinitesimal é
dV = dxdydz e dm = ρdV .
As componentes do tensor momento de inércia
são calculadas através da definição (5.60). Naturalmente
a integral em (5.60) deve ser efetuada sobre
toda a região contendo massa, ou seja, dentro do
cubo. Assim, teremos três integrais, uma em cada
direção. Cada uma destas integrais está definida
no intervalo fechado [0, l], pois um dos vértices do
cubo está na origem do nosso sistema de coordenadas,
como pode ser visto na Figura 5.7.
Por exemplo, para a componente I 11 , temos
∫
I 11 = dm [ (x 2 + y 2 + z 2 )δ 11 − x 2]
= M ∫ l
l 3 dx
0
= M ∫ l
l 3 dx
0
∫ l
0
∫ l
0
dy
dz
∫ l
0
∫ l
0
∫ l
dz (y 2 + z 2 )
y 2 dy
∫ l
+ M ∫ l
l 3 dx dy z 2 dz
0 0 0
= M ( )
l 3 l 2 l3 3 + l2 l3 = 2 3 3 Ml2 . (5.63)
Por simetria, devemos ter I 11 = I 22 = I 33 (Faça o
Exercício 79). Similarmente, para o elemento I 12 ,
temos
∫
I 12 = dm [ (x 2 + y 2 + z 2 )δ 12 − xy ]
= M ∫ l
l 3 dx
0
∫ l
= − M ∫ l
l 3 xdx
0
dy
∫ l
0 0
∫ l
0
ydy
dz (−xy)
∫ l
0
dz
= − 1 4 Ml2 . (5.64)
novamente, por argumentos de simetria, devemos
ter I 12 = I 13 = I 23 (Faça o Exercício 79). Assim, o
tensor de inércia é representado no referencial solidário
ao cubo pela matriz simétrica
⎡
⎤
+8 −3 −3
I = β ⎣−3 +8 −3⎦ , β = 1 12 Ml2 . (5.65)
−3 −3 +8
Note que esta matriz é simétrica e possui determinante
diferente de zero, portanto possui uma inversa
(calcule esse determinante e a inversa; veja
também o Exercício 80).
Mencionamos que a matriz representando o tensor
de inércia pode ser re-escrita numa forma diagonal.
Como isto é feito? Para diagonalizarmos
a matriz (5.65), primeiro devemos responder à seguinte
pergunta. Existe números λ e vetores u que
satisfazem (matricialmente)
Iu = λu ou ( I − λ1 ) u = 0, (5.66)
na qual 1 é a matriz identidade? Isto é na verdade
um sistema de três equações lineares para
as três componentes do vetor u como incógnitas,
para cada possível valor do número λ. O problema
é que este número λ também é desconhecido. A
solução vem junto com o problema, pois este sistema
de equações lineares é homogêneo. Aprendemos
(ou iremos aprender, isto não importa aqui)
que um sistema homogêneo admite uma solução
não-trivial (diferente de zero) somente quando o
determinante da matriz ( I − λ1 ) for igual a zero
(Faça o Exercício 81),
∣
∣I − λ1 ∣ = (λ − 2β)(λ − 11β) 2 = 0. (5.67)
Este polinômio em λ é conhecido por polinômio característico.
Assim, é possível somente a existência
de três valores para λ, λ 1 = 2β, λ 2 = 11β e
λ 3 = 11β. Estes valores são conhecidos como autovalores
da matriz (5.65). Quando os autovalores
aparecem repetidos, como λ 2 e λ 3 , eles são denominados
de degenerados. O número de autovalores
iguais é o grau da degenerescência. Neste caso, temos
uma degenerescência de grau dois.
Conhecendo os possíveis valores de λ (os autovalores),
podemos determinar as componentes dos
vetores u para cada valor de λ. Isto é feito substituindo
os valores dos autovalores λ de volta em
(5.66). Estes vetores u são denominados de autovetores.
Como o sistema é homogêneo, haverá
pelo menos uma componente destes vetores que
não poderá ser determinada. Quando há degenerescências,
o número de componentes indeterminadas
é igual ao grau da degenerescência. Muito bem,
76

Capítulo 5. Rotações
5.4. As equações de Euler
ao executarmos este procedimento, teremos (Faça
o Exercício 81)
u 1 = α 1 (1, 1, 1),
u 2 = α 2 (−1, 0, 1),
u 3 = α 3 (−1, 1, 0).
(5.68)
Estes vetores satisfazem (5.66) para quaisquer valores
das constantes α, e são denominados de autovetores.
Note que a estrutura geral em (5.66) é a ação
do tensor de inércia em um de seus autovetores
resultando no mesmo autovetor multiplicado pelo
autovalor correspondente. Este tipo de estrutura,
denominada de equação de autovalor–autovetor, tem
um papel fundamental em ciências exatas em geral.
Evidentemente, como os autovetores u 2 e u 3 correspondem
ao mesmo autovalor λ = 11β, então podemos
usar qualquer combinação linear de u 2 e u 3 .
Esta observação é muito útil para escrevermos uma
matriz ortogonal 4 U que diagonaliza o tensor de
inércia (5.65), ou seja,
I D = U −1 IU =
⎡
⎤
⎣ 2β 0 0
0 11β 0 ⎦ . (5.69)
0 0 11β
A receita para encontrarmos esta matriz ortogonal
U é simples: ela é formado pelos autovetores do
tensor de inércia. Os autovetores (5.68) formam as
colunas da matriz ortogonal U. No entanto, temos
um probleminha: os autovetores escritos na forma
(5.68) não formam uma matriz ortogonal (Faça o
Exercício 82). Isto se deve ao fato de haver uma
degenerescência de grau dois. A solução é formar
combinações lineares dos autovetores degenerados,
u ′ 2 = a 1 u 2 + a 2 u 3 , u ′ 3 = b 1 u 2 + b 2 u 3 , (5.70)
e determinar os valores das constantes a e b que
tornam a matriz formada por estes novos autovetores
uma matriz ortonormal. Uma possível escolha
é a 1 = −1/ √ 2, a 2 = 0, b 1 = 1/ √ 6 e b 2 = −2/ √ 6.
Com esta escolha, teremos
⎡
U =
⎢
⎣
⎤
1√ √2 1 √6 1
3
1√ −2
3
0 √
⎥
6
1√ √−1
√6 1
3 2
⎦ . (5.71)
4 Uma matriz U é denominada de ortogonal quando a sua
inversa U −1 for igual a sua transposta U T , isto é, U −1 =
U T . Em outras palavras, é muito fácil calcular a inversa de
uma matriz ortogonal.
Note que normalizamos o autovetor u 1 antes de
usá-lo. Esta matriz é ortogonal e diagonaliza o
nosso tensor de inércia (5.65) de acordo com a receita
(5.69) (Faça o Exercício 82).
Uma matriz ortogonal tem uma outra propriedade
igualmente importante: ela deixa o módulo
de qualquer vetor inalterado. Por exemplo, calcule
a ação da matriz (5.71) no vetor velocidade angular
(visto como uma matriz coluna)
⎡ ⎤
ω 1
ω = ⎣ω 2
⎦ , ω ′ = Uω. (5.72)
ω 3
Agora calcule o módulo ao quadrado deste novo
vetor ω ′ ,
ω ′ · ω ′ = ω ′T ω ′ = ( Uω ) T
Uω
= ω T U T Uω = ω T ω = ω · ω, (5.73)
na qual fizemos uso da propriedade de ortogonalidade
U T = U −1 . Portanto este resultado nos
mostra que uma matriz ortogonal sempre deixa o
módulo de um vetor invariante.
Em mecânica, os autovetores (5.68) ou (5.71) definem
novos eixos mutuamente perpendiculares, os
quais são denominados de eixos principais do tensor
de inércia. Os autovalores são os momentos de
inércia principais, I 1 = 2β e I 2 = I 3 = 11β. Há
situações em que os três momentos de inércia principais
são iguais e é neste caso (degenerescência tripla)
que o momento de inércia pode ser considerado
um número, como suposto no início da nossa discussão
sobre a dinâmica do movimento rotacional
(Faça o Exercício 83).
A fim de calcularmos a energia cinética rotacional
e o momentum angular mais facilmente para o
sistema mostrado na Figura 5.7, vamos supor que o
cubo esteja girando em torno do eixo x com uma velocidade
angular de módulo ω, isto é, ω = (ω, 0, 0).
Neste caso, a energia cinética (5.61) e o momentum
angular (5.62) são,
T = 1 3 Ml2 ω 2 ,
L = Ml 2 ω(2/3, −1/4, −1/4),
(5.74)
respectivamente (Faça o Exercício 80). O ângulo
entre ω e L é
cos α = ω · L
ωL = 8 √
82
⇒ α = 27.94 ◦ . (5.75)
77

5.4. As equações de Euler Capítulo 5. Rotações
Caso tivéssemos escolhido o vetor velocidade na
direção de um dos eixos principais, por exemplo,
na direção de u 1 (a diagonal do cubo passando pela
origem), então ω e L seriam paralelos.
Resta agora rediscutirmos as equações de movimento
τ = ˙L. Elas continuam válidas? O torque
τ ainda continua sendo calculado pelo produto
vetorial τ = r × F? E o momentum angular,
também continua sendo calculado pelo produto vetorial
L = r × p? Quem é o ponto de referência?
O ponto de referência deve ser sempre um ponto
inercial, como a origem do referencial inercial O,
por exemplo. Assim, r é o vetor posição do elemento
de massa dm. Então, o momentum angular
resultante, devido aos momenta lineares p = dm ṙ
de cada massa dm, calculado em relação à origem
do referencial inercial O, é
∫
L = dm r × ṙ. (5.76)
Lembrando que as forças internas não contribuem
para o torque resultante, então o torque resultante
τ devido ao torque provocado pelas forças externas
F = dm ¨r agindo em cada massa dm, calculado em
relação à origem do referencial inercial O, é
∫
τ = dm r × ¨r. (5.77)
Este torque pode ser re-escrito na seguinte forma:
∫
τ = dm r × ¨r = d ∫
dm r × ṙ =
dt
˙L. (5.78)
Portanto, as equações que governam o movimento
de rotação continuam sendo
τ = ˙L, L = Iω. (5.79)
O único inconveniente em (5.79) é que o tensor de
inércia calculado no referencial inercial O depende
também do tempo e isto pode dar uma forma complicada
para as equações de movimento. A solução
deste problema está na relação (5.49). A solução é
usar a relação (5.49) para calcularmos a taxa ˙L no
referencial inercial conhecendo a taxa ˙L c no referencial
não-inercial (solidário ao corpo rígido), onde o
tensor de inércia é independente do tempo. Assim,
τ = ω × L c + ˙L c , L c = I c ω. (5.80)
Não devemos esquecer que tudo que está no lado
direito em (5.81) deve ser calculado no referencial
não-inercial. Desta forma, podemos re-escrever
(5.80) sem a presença do momentum angular,
τ = ω × Iω + I ˙ω, (5.81)
na qual omitimos o índice do referencial nãoinercial
no lado direito. As três equações de movimento
contidas em (5.81) são conhecidas como
equações de Euler. Elas desempenham o mesmo papel
da segunda lei de Newton para as translações
(Faça o Exercício 84).
Podemos notar em (5.81) que somente quando
o vetor velocidade angular ω for paralelo ao vetor
momentum angular L, isto é, quando ω for proporcional
a um dos autovetores do tensor de inércia I,
pois L = Iω, é que teremos a expressão τ = ˙L = I ˙ω
com a qual estávamos acostumados. Além disto,
devemos nos lembrar que o tensor de inércia nesta
expressão é calculado no referencial solidário ao
corpo rígido, onde ele é independente do tempo,
e que o torque τ está sendo observado no referencial
inercial. Apenas o lado direito de (5.81) é que
está sendo calculado no referencial não-inercial.
Não seria interessante se pudêssemos calcular o
torque em (5.81) também em relação a algum ponto
especial no referencial do corpo rígido? Isto ajudaria
muito em situações em que o centro de massa
do corpo rígido está em movimento. De fato este
ponto especial existe: ele é o centro de massa. Vejamos
como isto é possível. Vamos denotar por R
o vetor posição do centro de massa no referencial
do corpo rígido. Seja u o vetor posição da elemento
de massa dm relativo ao centro de massa. Então,
r = u + R, onde r é o vetor posição da massa dm
no referencial do corpo rígido (faça um esboço mostrando
estes vetores). Todo mundo no corpo rígido.
Da definição do vetor centro de massa (média ponderada
pelas massas dm) temos
∫ ∫
MR = dm r = dm u + MR
∫
⇒ dm u = 0. (5.82)
Este resultado nos permite escrever o vetor momentum
angular em torno do centro de massa na se-
78

Capítulo 5. Rotações
5.4. As equações de Euler
guinte forma,
∫
∫
L = dm u × ṙ = dm u × ( ˙u + Ṙ)
∫
= dm u × ˙u. (5.83)
Procedendo de forma semelhante, o torque em
torno do centro de massa pode ser escrita na seguinte
forma,
∫
∫
τ = dm u × ¨r = dm u × (ü + ¨R)
∫
= dm u × ü = d L. (5.84)
dt
Portanto, podemos continuar usando τ = ˙L, com
L e τ calculados em relação ao centro de massa,
independentemente do centro de massa estar acelerado
ou não. Isto significa que até mesmo o lado
esquerdo de (5.81) pode ser calculado no referencial
não-inercial do corpo rígido, mas este torque
só pode ser calculado em relação a um ponto: o
centro de massa (viva o centro de massa!).
O fato de podermos calcular tanto o torque (em
relação ao centro de massa) quanto o tensor de
inércia no referencial do corpo rígido nos permite
aplicar a segunda lei de Newton com facilidade,
por exemplo, a um corpo rolando em um plano inclinado,
onde o centro de massa certamente está
acelerado. É por isto que, em geral, as equações
(diferenciais) de Euler devem ser resolvidas juntamente
com as equações (diferenciais) provenientes
da segunda lei de Newton para o movimento translacional.
Antes de alguns exemplos, uma observação sobre
a taxa de variação da energia cinética (5.61) no
tempo, ou seja, potência instantânea. Com o tensor
de inércia calculado no referencial do corpo rígido,
a derivada de (5.61) é
˙ T = 1 2( ˙ω · Iω + ω · I ˙ω
)
= ω · I ˙ω, (5.85)
na qual a última igualdade é possível somente porque
o tensor de inércia I é representado por uma
matriz simétrica e o produto escalar também é
simétrico (repita este procedimento usando a representação
matricial do vetor velocidade angular). O
resultado em (5.85) é idêntico a ω · τ ,
˙ T = ω · I ˙ω = ω · τ . (5.86)
Esta expressão para a potência do movimento rotacional
é análoga à expressão v ·F para a potência
no movimento translacional.
Vejamos alguns exemplos (simples) de como podemos
utilizar as equações de Euler (5.81). Vamos
considerar inicialmente um corpo rígido livre
de torques. Esta situação é análoga à situação em
que um corpo está em queda livre. Vamos supor
também que o nosso corpo rígido esteja girando em
torno de um de seus eixos principais, ou seja, vamos
considerar que o vetor velocidade angular seja paralelo
a um autovetor qualquer do tensor de inércia.
Se o torque resultante é nulo, τ = 0, e se ω for paralelo
a I, então a equação de Euler (5.81) nos diz que
o vetor velocidade angular é constante no tempo,
˙ω = 0, pois o tensor de inércia já é constante no
tempo e Iω = λω, com λ constante. Caso o corpo
rígido não esteja girando em torno de um de seus
eixos principais, isto é, ω não será mais paralelo a
I, então o vetor velocidade angular não será mais
constante no tempo, pois teremos ω × Iω + I ˙ω = 0
de (5.81). Note que nestes dois casos o vetor momentum
angular no referencial inercial é constante
no tempo, pois o torque resultante é nulo.
O
ˆk
î
ĵ
r
CM
Rˆk
Figura 5.8: Esfera rolando em um plano horizontal
sem deslizar. O referencial O é inercial.
Como um segundo exemplo, vamos considerar
um corpo rígido com uma distribuição uniforme de
massa M na forma de uma esfera de raio R. O
momento de inércia desta esfera, em torno de seu
centro de massa, isto é, com a origem do referencial
não-inercial colocada no centro de massa, é proporcional
à identidade, I = I1, ou seja, os autovetores
do tensor de inércia são triplamente degenerados
(veja o Exercício 83). Vamos supor também que
esta esfera esteja rolando, sem deslizar, sobre um
plano horizontal. Em princípio, podemos imaginar
a necessidade de uma força externa F = (F x , F y , 0)
ṙ
F
79

5.5. Exercícios Capítulo 5. Rotações
paralela ao plano horizontal para manter a esfera
rolando. Vamos supor que esta força seja constante
e esteja sendo aplicada na parte superior da esfera
conforme mostrado na Figura 5.8. Então esta força
resultante produz um torque em torno do centro de
massa da esfera,
τ = Rˆk × (F x î + F y ĵ) = RF y î + RF x ĵ
= ω × Iω + I ˙ω = Iω × ω + I ˙ω = I ˙ω, (5.87)
onde aproveitamos também para usar as equações
de Euler (5.81). Note que estamos usando o fato de
podermos calcular inclusive o torque no referencial
da esfera, desde que a origem esteja no centro de
massa.
Re-escrevendo (5.87) em termos das componentes,
temos
I ˙ω x = RF y , I ˙ω y = RF x , I ˙ω z = 0. (5.88)
Além desta equações, temos que considerar o movimento
de translação do centro de massa da esfera.
O movimento de translação do centro de massa obedece
a segunda lei de Newton F = M¨r, ou seja,
F x = Mẍ, F y = Mÿ, ¨z = 0. (5.89)
De fato, temos de escolher z = R para que a esfera
permaneça no plano XY (horizontal). Não devemos
esquecer que a condição de rolamento sem
deslizamento impõe condições de vínculos na velocidade
do centro de massa,
ou seja
ṙ = −Rˆk × ω = −Rω y î − Rω x ĵ, (5.90)
ẋ = −Rω y , ẏ = −Rω x , ż = 0. (5.91)
Ao invés de tentarmos resolver as equações acopladas
(5.88), (5.89) e (5.91) formalmente, podemos
improvisar. Por exemplo, podemos derivar as
equações de vínculos (5.91) no tempo e eliminar as
derivadas das componentes da velocidade angular
usando (5.88) e, finalmente, eliminar as componentes
da força usando (5.89), para obtermos
ẍ = −R ˙ω y = − R2
I F x = − MR2 ẍ
I
⇒ ẍ = 0 ⇒ ˙ω y = 0, (5.92)
ÿ = −R ˙ω x = − R2
I F y = − MR2 ÿ
I
⇒ ÿ = 0 ⇒ ˙ω x = 0. (5.93)
Pronto, temos o que procurávamos: ¨r = 0, movimento
retilíneo para o centro de massa, e ˙ω = 0,
movimento uniforme para o vetor velocidade angular.
Vamos às surpresas. Primeiro, note que a componente
ω z não precisa ser nula, como poderíamos
esperar. Segundo, note que não há necessidade de
uma força externa para manter a esfera rolando.
Para que ela permaneça rolando, basta ter uma velocidade
angular inicial. Esta situação é completamente
análoga ao movimento uniforme do centro
de massa. Basta haver inércia (massa ou momento
de inércia) para haver movimento.
5.5 Exercícios
Exercício 69
Uma roda gira com uma aceleração angular constante
de 3.5 rad/s 2 . A velocidade angular da roda
é de 2 rad/s em t = 0. Suponha que a posição angular
seja θ = 0 em t = 0. (a) Qual é o ângulo
percorrido pela roda entre t = 0 e t = 2 s? (b)
Qual é a velocidade angular em t = 2 s? Expresse
também esta velocidade angular em voltas (ou revoluções)
por minuto (rpm).
Exercício 70
Considere um corpo rígido formado por duas
partículas de massas m 1 e m 2 separadas pela
distância l. Colocando a origem do sistema de
coordenadas no centro de massa (faça um desenho),
(a) mostre que m 1 ⃗r 1 + m 2 ⃗r 2 = 0. Mostre
também que os respectivos módulos satisfazem
m 1 r 1 − m 2 r 2 = 0 e l = r 1 + r 2 . (b) Mostre então
que a relação (5.14) é verdadeira. (c) Suponha
que estas partículas sejam dois átomos de oxigênio,
m = 2.66 × 10 −26 kg, separados pela distância
(média) l = 1.21 × 10 −10 m. Calcule o momento de
inércia em relação ao eixo passando pelo centro de
massa (I 0 ) e também em relação a um eixo (paralelo
ao primeiro) passando por um dos átomos de
oxigênio (I ′ ). Calcule também as respectivas energias
cinéticas.
Exercício 71
Mostre que o momento de inércia de uma distribuição
de massa, homogênea e retilínea (fio), em
relação a uma de suas extremidades (perpendicularmente),
é Ml 2 /3, onde M é a massa total e l é
o comprimento do fio. Use o Teorema 9 dos eixos
80

Capítulo 5. Rotações
paralelos para calcular o momento de inércia em
relação a um eixo passando pelo centro de massa.
Exercício 72
Mostre que o momento de inércia de uma distribuição
de massa, homogênea e circular de raio a
(anel), em relação ao centro do anel (perpendicularmente
ao plano do anel), é Ma 2 , onde M é a
massa total e a é o raio do anel.
Exercício 73
Mostre que uma área infinitesimal dA em coordenadas
polares (r, ϕ) é
dA = rdϕ dr. (5.94)
Faça um desenho mostrando todas as quantidades
envolvidas.
Exercício 74
Considere uma quantidade vetorial A qualquer que
esteja mudando no tempo, A = A(t). Suponha que
o diferencial dA seja perpendicular a A, A·dA = 0.
Mostre então que
d(A · A) = 2A dA = 0. (5.95)
Este resultado mostra que o módulo do vetor A é
uma quantidade conservada (admitindo que A ≠
0).
Exercício 75
Faça A = ω em (5.49) e mostre que ˙ω = ˙ω c . Use
as propriedades do produto vetorial. Use também
o fato de que ω é o mesmo nos dois referenciais.
Exercício 76
Efetue as somas em (5.52) explicitamente e mostre
que
( )
ω × r
1 = ω 2x 3 − ω 3 x 2 , (5.96)
( )
ω × r = ω 2 3x 1 − ω 1 x 3 , (5.97)
( )
ω × r = ω 3 1x 2 − ω 2 x 1 , (5.98)
conforme previsto pela propriedade (2.25) e ilustrado
pela Figura 2.4 (equivalente ao uso de determinantes).
5.5. Exercícios
Exercício 77
Verifique explicitamente a propriedade (5.56). Efetue
também explicitamente as seguintes somas:
3∑
k=1 s=1
3∑
k=1 s=1
3∑
δ jr δ ks x k x s = δ jr
3∑
x k x k = δ jr r 2 , (5.99)
k=1
3∑
δ js δ kr x k x s = x j x r . (5.100)
Exercício 78
Mostre que a energia cinética (5.61) pode ser reescrita
nas seguintes formas:
T = 1 2 ω · Iω = 1 2 ω · L = 1 2 LI−1 L, (5.101)
onde L é o momentum angular (5.62).
Exercício 79
Use a definição (5.60) para calcular todos os seis
elementos do tensor de inércia para o cubo descrito
na Figura 5.7 e no texto ao lado da figura. Compare
seus resultados com (5.63) e (5.64).
Exercício 80
Use ω = (ω, 0, 0) e o tensor de inércia (5.65) para
determinar a energia cinética (5.61) e o momentum
angular (5.62). Recalcule também a energia
cinética usando as expressões em (5.101). Calcule
também o ângulo entre ω e L. Faça um desenho
(bem feito) mostrando estes dois vetores juntamente
com o cubo da Figura 5.7 e o respectivo
sistema de coordenadas.
Exercício 81
Calcule o polinômio característico da matriz (5.65)
e mostre que ele pode ser fatorado como mostrado
em (5.67). Encontre o autovetor u 1 (determine
suas componentes) correspondente ao autovalor
λ 1 = 2β, Iu 1 = λ 1 u 1 . Normalize este autovetor,
isto é, imponha que u 1 · u 1 = 1. Isto determina a
constante arbitrária α 1 (α 1 = 1/ √ 3).
Exercício 82
Normalize os três autovetores apresentados em
(5.68) e construa uma matriz U contendo estes autovetores
normalizados como colunas,
⎡
⎢
U = ⎣
√1
3
√−1
2
√−1
2
√1
3
0 √2 1
1 √
3
−1 √
2
0
⎤
⎥
⎦ . (5.102)
81

5.5. Exercícios Capítulo 5. Rotações
Mostre que esta matriz não é ortogonal, ou seja,
U −1 ≠ U T . Mostre que a matriz definida em (5.71)
é ortogonal. Mostre também que esta matriz (5.71)
diagonaliza o tensor de inércia (5.65) segundo a
prescrição (5.69).
Exercício 83
Determine o tensor de inércia (5.60) de uma esfera
maciça de massa M, densidade uniforme e raio R.
Coloque a origem do referencial no centro da esfera.
Exercício 84
Escreva explicitamente as três equações de movimento
que estão contidas na relação vetorial (5.81).
Use o tensor de inércia na forma diagonal e deixe as
expressões em termos das componentes do torque,
do tensor de inércia e do vetor velocidade angular.
82

Capítulo 6
Gravitação
Gravitação é a parte da ciência que estuda a
atração mútua entre corpos materiais. A gravitação
como ciência iniciou-se com o modelo heliocêntrico
proposto por Copérnico em 1543. Suas
idéias, extremamente revolucionárias para a época,
influenciaram profundamente Kepler, o qual, após
examinar um volume gigantesco de observações astronômicas
durante o período de 1609 a 1619, foi
capaz de descobrir as leis fundamentais do sistema
heliocêntrico, conhecidas hoje como leis de Kepler.
Detalhe importante, a idéia de atração mútua, isto
é, da existência de uma força de atração entre massas
foi introduzida por Newton, muito tempo depois.
Newton foi capaz de deduzir as leis de Kepler
em 1680 a partir de suas leis da mecânica, com
base no conceito de força como causa de qualquer
movimento. Ter associado o movimento de planetas
a uma força foi um feito realmente impressionante
para a época dele. Segundo Newton, os
planetas seguem em suas órbitas estáveis em um
espaço imutável, descrito pela geometria Euclideana,
com um tempo absoluto, graças a uma força
de atração agindo a distância e instantaneamente,
a qual passou a ser conhecida por força gravitacional.
Para haver esta força, corpos precisam ter
massa (ou carga) gravitacional, a qual se mostrou
idêntica à massa inercial aparecendo na segunda lei
de Newton (veja os comentários feitos no final da
Seção 3.2). Portanto, Newton foi o primeiro a explorar
quantitativamente este fato curioso sobre a
nossa natureza: a igualdade entre massa inercial
que
e massa gravitacional. Newton também realizou
muitos experimentos para verificar esta igualdade,
tendo constatado sua veracidade com uma precisão
de uma parte em dez. É ainda mais surpreendente
esta mesma igualdade entre massa inercial e
massa gravitacional tenha também aberto as portas
para o advento da teoria da relatividade geral
de Einstein em 1915, a qual corrige e re-interpreta
a teoria Newtoniana da gravitação.
Na teoria da relatividade geral de Einstein, o
tempo não é absoluto e nem o espaço é imutável.
Agora tempo e espaço se juntam para formar um
novo espaço: o espaçotempo. Este espaçotempo
não é Euclideano, pois ele pode ser curvado. Einstein
conseguiu descrever intrinsicamente (sem termos
que sair dele) as propriedades geométricas
deste espaçotempo, como curvatura e torção,
através de um conjunto de equações diferenciais.
Segundo Einstein, a forma do espaçotempo é ditada
pela presença de matéria (e energia). Na
ausência de matéria, o espaçotempo é plano, obedecendo
a métrica de Minkowski da relatividade
especial, com um subespaço tridimenional idêntico
ao espaço Euclideano usado por Newton (veja o
Capítulo 7). Segundo Einstein, a força Newtoniana
é o efeito de movimentarmos num espaçotempo
curvado pela presença do Sol e da Terra, ou seja,
que gravidade é equivalente a um movimento acelerado.
Naturalmente, muitos experimentos comprovam
a existência de um espaçotempo curvo (nao-
Euclideano) bem como os resultados previstos pelas
equações de Einstein.
Na Seção 6.1, veremos como um problema de
dois corpos, representando um sistema solar formado
pelo Sol e pela Terra, isolados no universo,
pode ser reduzido ao problema de um único corpo.
Na Seção 6.2, estudaremos a energia potencial de
Kepler, a qual dá origem à força gravitacional Newtoniana.
Veremos na Seção 6.3 como as leis de Kepler
podem ser derivadas explicitamente da força
83

6.1. Um sistema de dois corpos Capítulo 6. Gravitação
gravitacional Newtoniana. Na Seção 6.4, introduziremos
a noção de campo gravitacional, um ferramenta
importante no estudo de muitas outras
teorias, como o eletromagnetismo, para citar um
exemplo. A Seção 6.5 apresenta, de forma qualitativa,
as principais correções à teoria da gravitação
Newtoniana.
6.1 Um sistema de dois corpos
Naturalmente, consideraremos aqui uma versão
bastante simplificada do nosso sistema solar: o
Sol com massa m 1 e um planeta apenas, a Terra,
por exemplo, de massa m 2 , como indicado na Figura
6.1. Por comodidade, consideraremos este sistema
com isolado no universo.
O
⃗u 1 ⃗u 2
m 1 m 2
⃗r 1 ⃗R ⃗r 2
⃗r
Figura 6.1: Coordenadas de um sistema formado
por dois corpos. O vetor R ⃗ indica a posição do
centro de massa.
Este é um sistema de dois corpos, o qual será
mantido isolado dos demais corpos. Desta forma,
teremos uma excelente oportunidade de aplicar as
leis de Newton a um sistema constituído por mais
de um corpo. Supondo que este sistema esteja isolado,
então a força resultante ⃗ F R = ˙⃗ PR , onde ⃗ P R é
o momentum linear resultante, é nula,
⃗F R = ˙⃗ PR = m 1¨⃗r1 + m 2¨⃗r2 = 0. (6.1)
Portanto, de acordo com o Teorema 6, há conservação
do vetor momentum linear total,
⃗P R = m 1 ˙⃗r1 + m 2 ˙⃗r2 ,
˙⃗P R = 0. (6.2)
Desta forma, de acordo com a primeira lei de Newton,
este sistema solar ou está em movimento uniforme
ou está em repouso. No entanto, os dois corpos
que compõem este sistema estão interagindo
através de uma força (gravitacional), como proposto
pela primeira vez por Newton. Isto significa
que há movimento relativo entre eles e que este
movimento é não uniforme. Como podemos descrever
este movimento relativo? Qual será o melhor
sistema de coordenadas? Qual será a melhor maneira
de encontrarmos as equações horárias destes
dois corpos? Sabemos que o sistema (Sol-Terra)
está em movimento uniforme. Assim, a primeira
providência é eliminar esse movimento uniforme.
A forma mais eficiente de fazermos isto é introduzindo
o vetor posição centro de massa R ⃗ mostrado
na Figura 6.1
Em geral, em um sistema contendo N corpos discretos,
o vetor posição centro de massa R ⃗ é definido
por uma média ponderada de todas as posições individuais
⃗r i com as respectivas massas m i atuando
como pesos,
⃗R = 1 M
N∑
N∑
m i ⃗r i , M = m i . (6.3)
i=1
i=1
A Figura 6.1 mostra o vetor posição centro de
Massa para um sistema de dois corpos. Como veremos,
este vetor posição do centro de massa tem
um papel muito importante na dinâmica de um sistema
de muitos corpos. Vale ressaltar que, sendo o
sistema formado por uma distribuição contínua de
massa, as massa e somas em (6.3) devem ser trocadas,
respectivamente, por massas infinitesimais e
integrais na região contendo massa,
⃗R = 1 ∫
∫
dm ⃗r, M = dm, (6.4)
M
V
onde dm é uma quantidade infinitesimal de massa
ocupando o volume (ou área, ou comprimento) infinitesimal
dV e ⃗r é o vetor posição da massa dm.
A integração deve ser feita sobre toda a região V
contendo massa e ρ = dm/dV é a densidade de
massa nesta região. Cálculos de centros de massa
de distribuições contínuas são exercícios excelentes
de cálculo com muitas variáveis.
Os novos vetores posições ⃗u i = ⃗r i − ⃗ R, relativos
ao centro de massa, como mostrados na Figura 6.1,
possuem uma propriedade interessante. Inserindo
as coordenadas relativas ao centro de massa via
V
84

Capítulo 6. Gravitação
6.1. Um sistema de dois corpos
⃗r i = ⃗ R + ⃗u i na definição do centro de massa (6.3)
(faça o Exercício 87), obtemos
N∑
m i ⃗u i = 0, ⃗u i = R ⃗ − ⃗r i . (6.5)
i=1
Este resultado será muito útil logo adiante.
De volta ao nosso sistema inicial de dois corpos:
o sistema solar Sol-Terra (veja a Figura 6.1). Segundo
a definição (6.3), o centro de massa do sistema
Sol-Terra é
⃗R = 1 ( )
m1 ⃗r 1 + m 2 ⃗r 2 , M = m1 + m 2 . (6.6)
M
A posição do centro de massa de um sistema de
dois corpos pertence à curva de menor comprimento
ligando estes dois corpos. Esta curva é denominada
de geodésica. No caso de um espaço Euclideano,
onde o nosso sistema solar está inserido, esta
geodésica é uma reta. A demonstração deste resultado
é um exercício muito interessante de Geometria
Analítica (faça o Exercício 86). Contraste
este resultado com um espaço formado por uma
casca esférica, onde geodésicas são arcos de circunferências
(as quais não são retas).
Suponha que as massas em (6.6) sejam constantes.
Então podemos multiplicar o centro de massa
pela massa total e derivar o resultado no tempo,
M ˙⃗ R =
(
m1 ˙⃗r1 + m 2 ˙⃗r2
)
= ⃗ PR . (6.7)
Este resultado nos mostra que o nosso sistema contendo
dois corpos pode ser visto como um único
corpo de massa total M = m 1 + m 2 colocado na
posição do centro de massa. Por isto, quando estamos
interessados no movimento de um sistema
de muito corpos como um todo, a posição centro
de massa é importante. Naturalmente, derivando
a (6.7) mais uma vez no tempo obtemos a segunda
lei de Newton
M ¨⃗ R =
(
m1¨⃗r1 + m 2¨⃗r2
)
= ˙⃗PR = ⃗ F R . (6.8)
Este resultado reforça a interpretação onde trocamos
o sistema de muitos corpos por um único corpo
de massa M, igual à massa total do sistema, localizada
na posição do centro de massa, atuada pela
força resultante do sistema. Independentemente do
movimento relativo dos corpos que compõem o sistema,
o movimento do sistema como um todo pode
ser descrito como o movimento de um único corpo
localizado no centro de massa. Este resultado vale
para um sistema com um número arbitrário de componentes.
Esta re-interpretação em termos de um
único corpo de massa total é útil para visualizarmos
o movimento do centro de massa do sistema de
muitos corpos, sem nos precupar com o movimento
de seus constituintes. Note também que, estando
o sistema de dois corpos isolado, então ⃗ F R = 0
em (6.8), implicando que as forças internas agindo
neste sistema precisam obedecer a terceira lei de
Newton, m 1¨⃗r1 = −m 2¨⃗r2 . Isto significa que a força
gravitacional proposta por Newton, a qual é atrativa,
deve agir ao longo da reta que passa pelas
massas m 1 e m 2 .
Como o nosso sistema solar Sol-Terra está isolado,
portanto o seu centro de massa está em movimento
uniforme, vamos procurar uma maneira de
visualizar o movimento interno de seus constituintes.
Para isto, mudaremos a origem do nosso referencial
inercial para a posição do centro de massa,
onde as posições do Sol e da Terra são dadas pelos
novos vetores posições ⃗u 1 e ⃗u 2 , respectivamente
(veja a Figura 6.1). Este movimento interno pode
ser muito bem compreendido analisando a energia
cinética deste sistema. A energia cinética total de
um sistema de N corpos (sem rotações) é a soma
individual das energias cinéticas de cada corpo,
T =
N∑
i=1
1
2 m i|| ˙⃗r i || 2 . (6.9)
Introduzindo as coordenadas ⃗u i relativas ao centro
de massa, definidas na Figura 6.1, ⃗r i = ⃗ R + ⃗u i , a
energia cinética (6.9) pode ser re-escrita como
T =
N∑
i=1
+ 1 2
1
2 m i|| ˙⃗ R + ˙⃗ui || 2 = 1 2 M|| ˙⃗ R||
2
N∑
i=1
(
m i || ˙⃗u
∑ N )
i || 2 + m i ˙⃗ui · ˙⃗ R. (6.10)
i=1
Como podemos ver, o último termo na energia
cinética (6.10) contém a derivada de (6.5), a qual,
conseqüentemente, é nula também. Portanto, a
energia cinética total (6.10) pode ser escrita como
T = 1 2 M|| ˙⃗ R|| 2 + 1 2
N∑
m i || ˙⃗u i || 2 . (6.11)
i=1
85

6.2. A energia potencial de Kepler Capítulo 6. Gravitação
Este resultado nos ensina que a energia cinética
total é a soma de duas parcelas: uma parcela é
devido ao movimento do sistema como um todo,
ou seja, de uma massa M na posição do centro
de massa com velocidade ˙⃗ R. A outra parcela é
a energia cinética do movimento relativo (ao centro
de massa) dos corpos que constituem o sistema.
Em outras palavras, há claramente dois movimento
neste sistema que podem ser separados completamente.
Isto nos permite concentrar nossa atenção
em um deles, por exemplo, no movimento relativo
ao centro de massa.
Para o nosso sistema de corpos, usando (6.11),
a energia cinética do movimento relativo ao centro
de massa é
T = 1 2 m 1|| ˙⃗u 1 || 2 + 1 2 m 2|| ˙⃗u 2 || 2 . (6.12)
É extremamente interessante re-escrever esta energia
cinética em termos do vetor posição ⃗r = ⃗u 2 −⃗u 1 ,
ou seja, vamos mudar novamente a origem do nosso
referencial inercial, desta vez para a posição do Sol
⃗r 1 (veja a Figura 6.1). Usando o resultado (6.5)
com N = 2, temos (faça o Exercício 88)
⃗u 1 = − m 2
M ⃗r, ⃗u 2 = m 1
⃗r, (6.13)
M
onde M = m 1 + m 2 é a massa total. Vale observar
que este resultado somente é válido para um
sistema de dois corpos. Substituindo estes resultados
na energia cinética (6.12), obtemos (faça o
Exercício 89)
T = 1 2 µ|| ˙⃗r|| 2 , µ = m 1m 2
m 1 + m 2
. (6.14)
Note que a constante µ tem a dimensão de massa.
Ela é denominada de massa reduzida do sistema de
dois corpos. Esta massa reduzida nos permite reinterpretar
a energia cinética do movimento relativo
como sendo a energia cinética de um único
corpo de massa reduzida µ, localizada pelo vetor
posição ⃗r, cuja taxa de variação no tempo nos dá a
velocidade ˙⃗r. Portanto, conseguimos um feito extraordinário:
nós reduzimos um problema de dois
corpos a um problema de um único corpo! Esta
redução é possível apenas em um sistema de dois
corpos. Como veremos, é importante que esta
redução seja compatível também com a energia potencial
deste sistema.
6.2 A energia potencial de Kepler
Newton propôs uma força atrativa entre corpos materiais
que pudesse explicar as leis de Kepler: (1)
a órbita de um planeta é uma elipse com o Sol em
um de seus focos; (2) a área formada pela trajetória,
pela reta que une os centros de massa do Sol e do
planeta e uma reta fixa de referência (geralmente
a reta contendo o semi-eixo maior da trajetória)
é constante no tempo; e (3) a razão entre o cubo
da distância média a (a ser definida) do planeta
até o Sol e o quadrado do período orbital τ é uma
constante para todos os planetas, a 3 /τ 2 = cte. A
primeira lei estabelece que a trajetória é uma curva
espacial plana, sem torção, fechada, dada por uma
elipse, a qual é uma seção cônica muito bem conhecida.
A segunda estabelece que um planeta deve
ter uma velocidade tangencial maior quando estiver
mais próximo do Sol. Estas duas leis dificilmente
dão qualquer pista para Newton estabelecer
a forma que deve ter a sua força gravitacional. No
entanto, a terceira lei parece ser útil neste sentido.
Suponha que uma órbita circular (um caso extremo
de uma elipse) de raio a (igual à distância
média), com o Sol de massa m 1 no centro. Seja v
o módulo da velocidade tangencial do planeta de
massa m 2 nesta órbita circular. Então o período
τ desta órbita (movimento circular uniforme) é
τ = 2πa/v (comprimento da trajetória circular pela
velocidade uniforme). Num movimento circular de
raio a, o módulo da aceleração (centrípeta) é v 2 /a,
onde v é o módulo da velocidade tangencial. Esta
acelaração multiplicada pela massa m 2 do planeta
deve ser igual ao módulo da força (gravitacional)
agindo sobre ela (segunda lei de Newton). Após
algumas tentativas, Newton pôde supôr uma força
gravitacional cujo módulo é Gm 1 m 2 /a 2 , isto para
que a velocidade tangencial possa ser escrita como
v = √ Gm 1 /a, onde G é uma constante universal.
Substituindo esta velocidade na expressão do
período, τ = 2πa/v, obtemos a terceira lei de Kepler,
τ 2 /a 3 = 4π 2 Gm 1 . Isto significa que a força
gravitacional atrativa procurada por Newton deve
ter as seguintes características: (1) ser proporcional
ao produto entre as duas massas; (2) ser inversamente
proporcional ao quadrado da distância
entre as massas; e (3) estar ao longo da reta que
passa pelas duas massas. Colocando a origem de
86

Capítulo 6. Gravitação
6.2. A energia potencial de Kepler
um sistema de coordenadas inercial na posição do
Sol, massa m 1 , então as características acima podem
ser re-escritas na forma
⃗F = −K ˆr r 2 = −K ⃗r r 3 , K = Gm 1m 2 , (6.15)
onde ⃗r é o vetor posição do planeta de massa m 2
(veja a Figura 6.1) e G uma constante (universal),
G = 6.673 × 10 −11 N·m 2 /kg 2 .
A força gravitacional (6.15) agindo na massa m 2
(Terra) é conservativa? A resposta depende do trabalho
associado a esta força ser independente da
trajetória ou não. Então, vamos calcular o trabalho
que um agente externo deve realizar para levar
a massa m 2 desde uma distância muito grande
(tomando o devido cuidado para manter m 2 sempre
longe de outros corpos além de m 1 ) até uma
distância r de m 1 . Usando a definição (4.1), este
trabalho é
∫ r
∆W = ⃗F · d⃗s, (6.16)
∞
onde d⃗s é o deslocamento infinitesimal sobre uma
determinada trajetória. Como a força gravitacional
(6.15) é radial, isto é, F ⃗ = F (r)ˆr, com r sendo
uma das coordenadas esféricas, podemos escrever o
deslocamento infinitesimal d⃗s como d⃗s = d⃗r + dΩ,
⃗
onde dΩ ⃗ é perpendicular ao deslocamento infinitesimal
d⃗r na direção radial. Desta forma, o trabalho
(6.16) pode ser reescrito como
∆W =
∫ r
∞
⃗F · d⃗r = −K
∫ r
∞
dr
r 2 = K r , (6.17)
para uma trajetória qualquer. Note que a integral
na segunda igualdade desta expressão não depende
mais da orientação dos vetores força e posição, mas
somente da distância r até a massa m 1 . Portanto,
a força gravitacional (6.15) é conservativa. Isto implica
que há uma função energia potencial neste
sistema solar. Esta energia potencial, segundo a
definição (4.8), é menos o trabalho realizado (6.17),
V = − K r = − K
√
x2 + y 2 + z , (6.18)
2
onde x, y e z são as coordenadas do vetor posição
⃗r da massa m 2 e K = Gm 1 m 2 . Por razões
históricas, esta energia potencial é conhecida como
a “energia potencial de Kepler”, embora Kepler
não a tenha sugerido diretamente. Naturalmente,
usando a prescrição (4.9), a força gravitacional
(6.15) pode ser obtida desta energia potencial (Faça
o Exercício 85).
A energia potencial de Kepler (6.18) tem uma
característica muito especial. Embora ela seja uma
função de três variáveis (em coordenadas Cartesianas),
podemos visualizar suas curvas de níveis
V = cte < 0, as quais são superfícies esféricas de
raio K/|V |. Isto significa que a energia potencial de
Kepler tem o mesmo valor sobre uma casca esférica.
Uma energia potencial com esta característica é
dita possuir uma simetria esférica. Por isso, quando
expressa em coordenadas esféricas, a energia potencial
de Kepler se apresenta na sua forma mais
simples possível, como pode ser vista na primeira
igualdade em (6.18). Uma energia potencial com
simetria esférica também é denominada de energia
potencial central, ou seja, é uma energia potencial
que depende apenas do módulo do vetor posição do
objeto sob sua ação. Qualquer sistema com uma
energia potencial com simetria esférica é melhor
descrito em coordenadas esféricas. A relação entre
coordenadas cartesianas (x, y, z) e coordenadas
esféricas (r, θ, ϕ) está apresentada no Apêndice C.
Sendo uma energia potencial central, a energia
potencial de Kepler (6.18) permanece inalterada
perante a redução do problema de dois corpos a
um corpo que fizemos na Seção 6.1. Então, nosso
sistema solar pode ser visto da seguinte maneira:
um referencial de coordenadas com a origem em
m 1 , como indicado na Figura 6.1, e um corpo de
massa reduzida µ na posição ⃗r sujeito ao potencial
(6.18). Assim, a energia mecânica do nosso sistema
solar, sem a energia cinética do centro de massa, é
com
E = T + V = 1 2 µ|| ˙⃗r|| 2 − K r , (6.19)
µ = m 1m 2
m 1 + m 2
, K = Gm 1 m 2 . (6.20)
Como a energia potencial deste sistema é conservativa,
então a energia mecânica (6.19) é uma quantidade
conservada, isto é, Ė = 0. Desta forma, podemos
usar o procedimento que aprendemos com o
oscilador harmônico para calcular períodos (veja os
detalhes na Seção 4.5) e, com um pouco de sorte,
equações horárias, ou pelo menos uma equação para
a trajetória.
87

6.3. Trajetórias Capítulo 6. Gravitação
6.3 Trajetórias
Há mais quantidades conservadas neste problema,
além da energia mecânica? Havendo mais quantidades
conservadas, talvez haja mais simplificações.
Afinal, temos uma energia potencial com simetria
esférica, a qual produz uma força na direção radial,
isto é, na direção do versor ˆr na Figura 6.1. De
fato, dado estas condições, podemos mostrar que o
vetor momentum angular
⃗L = ⃗r × ⃗p, ⃗p = µ ˙⃗r, (6.21)
é também uma quantidade conservada, ou seja, independente
do tempo (faça o Exercício 90).
Ter encontrado esta outra quantidade conservada
é uma dádiva! De imediato, vemos que o movimento
do nosso sistema solar deve ocorrer em um
plano, pois L ⃗ é perpendicular a ⃗r e ⃗p, segundo a
definição (6.21) e a definição (2.16) de produto vetorial.
Então podemos escolher o ângulo ϕ em (C.1)
igual a 90 graus. Esta escolha traz a trajetória para
o plano XY e o momento angular para o eixo Z.
Em termos operacionais, isto significa que as coordenadas
esféricas (C.1) se reduzem a coordenadas
polares (r, θ) dadas em (C.6). Esta redução ao sistema
de coordenadas polares facilita bastante nosso
trabalho. Por exemplo, da conservação do momentum
angular (6.21) obtemos (Faça o Exercício 91)
L = µr 2 ˙θ, ˙L = 0. (6.22)
O módulo do vetor velocidade também pode ser
escrito numa forma bastante simples (Exercício 91),
v 2 = || ˙⃗r|| 2 = ṙ 2 + r 2 ˙θ2 . (6.23)
Temos duas possibilidades neste momento. Primeiro,
podemos usar (6.22) para eliminar a dependência
da velocidade angular em (6.23), pois
˙θ = L/µr 2 (faça o Exercício 92). Neste caso estaremos
interessados na equação horária r = r(t), a
qual é determinada resolvendo a equação diferencial
proveniente da energia mecânica (6.19),
E = 1 2 µṙ2 + U(r),
U(r) = L2 1
2µ r 2 − k r . (6.24)
Note que esta expressão pode ser interpretada como
a energia cinética de uma massa µ, com velocidade
(escalar) ṙ, sujeita a uma energia potencial efetiva
U (veja a Figura 6.2). Será a análise desta energia
potencial que irá nos revelar as possíveis trajetórias
do nosso sistema original.
0
E
U
r − r +
Figura 6.2: Energia potencial efetiva (6.25) para
o problema de dois corpos reduzido ao problema
de um corpo na presença da energia potencial de
Kepler. r ± são os pontos de retorno de trajetórias
elípticas.
Suponha que a energia mecânica tenha o valor
dado na Figura 6.2 (linha horizontal vermelha).
Quando a energia mecânica se iguala à energia potencial
efetiva, temos as duas posições denotadas
por r ± , denominadas de pontos de retorno. Nestas
posições, a energia cinética T = E−U deve ser nula,
o que implica ṙ = 0, ou seja, a trajetória não muda
na direção radial. Como r − < r + , então quando o
objeto atinge a distância mínima r − (periélio) da
origem e começa a se afastar até atingir a distância
máxima r + (afélio). Ao atingir a distância máxima,
o objeto precisa se aproximar da origem novamente.
Portanto, a trajetória gerada para aquele valor da
energia mecânica deve ser uma curva fechada. Até
o momento não podemos dizer exatamente qual
curva é esta, apenas afirmar que é uma curva fechada.
Seguindo o mesmo raciocínio, mostre que se
a energia mecânica tiver o mesmo valor da energia
potencial efetiva em seu ponto de mínimo, a curva
será uma circunferência (calcule o valor do raio em
função dos demais parâmetros constantes). Mostre
também que a trajetória será uma curva aberta
(contendo apenas um ponto de retorno) para uma
energia mecânica positiva.
A outra opção é usar (6.22) novamente para eliminar
o parâmetro tempo em (6.24), pois de (6.22)
temos dt = µr 2 dθ/L. Assim, (6.24) pode ser re-
r
88

Capítulo 6. Gravitação
6.3. Trajetórias
escrita como (Exercício 92)
onde
E =
( ) 2 L2 dr
2µr 4 + U(r), (6.25)
dθ
U(r) = L2 1
2µ r 2 − k r , (6.26)
é a nova energia potencial (ou a energia potencial
efetiva). Esta forma é adequada para determinarmos
a equação da trajetória diretamente, r = r(θ),
sem a necessidade do parâmetro tempo. Lembre-se
que a trajetória do nosso sistema é uma curva no
plano XY cujos os pontos são os valores das coordenadas
(r, θ). Em caso de dúvidas sobre trajetórias,
faça uma revisão da Seção 2.5.
Agora estamos em posição de determinarmos as
famosas três leis de Kepler para o movimento planetário.
Note que podemos fazer isto. Então vamos
fazê-lo porque podemos. Primeiro a primeira lei, a
qual diz respeito à forma da trajetória. Interessados
na trajetória, então é melhor usarmos a energia
mecânica na forma (6.25). Note que as variáveis r
e θ podem ser isoladas em (6.25),
dr
dθ = √
2µE
L
r 4 + 2µk
2 L
r 3 − r 2
2
dr
= √
. (6.27)
r 2 2µE
L
+ 2µk
2 L
r −1 − r −2 2
Esta integral do lado direito pode ser colocada
numa forma canônica, isto é, numa forma em que
ela possa ser encontrada em uma tabela de integrais,
efetuando a transformação χ = 1/r. Com
esta transformação, a expressão (6.27) pode ser colocada
na seguinte forma (faça o Exercício 93):
∫
θ − θ 0 = −
com
dχ
√
α + β χ + γ χ
2
= − 1 √ −γ
cos −1 (
−√ β + 2γ χ
β2 − 4αγ
)
, (6.28)
α = 2µE
L 2 , β = 2µk , γ = −1. (6.29)
L2 Desta forma, invertendo o arco cosseno em (6.28) e
fazendo algumas manipulações algébricas para eliminar
as constantes α, β e γ, temos a equação da
trajetória (faça o Exercício 94):
com
C = µk
L 2 ,
1
r = C[ 1 + e cos(θ − θ 0 ) ] , (6.30)
√
e = 1 + 2 E ϵ , ϵ = µk2
L 2 . (6.31)
Esta é a equação de uma cônica com um dos focos
na origem. Isto significa que o nosso vetor posição
tem sua origem em um dos focos, ou seja, que o
nosso sol está em um dos focos. Note que a constante
ϵ em (6.30) tem dimensões de energia e serve
como uma “unidade” de energia para o nosso sistema
solar. A constante e é a excentricidade da
seção cônica. Dependente do valor da excentricidade
e, a seção cônica (6.30) pode ser classificada
em quatro trajetórias:
e > 1 ⇒ E > 0, hiperbóle,
e = 1 ⇒ E = 0, parábola,
e < 1 ⇒ E < 0, elipse,
e = 0 ⇒ E = −ϵ, circunferência.
(6.32)
Note que a energia mecânica precisa ser negativa
para haver trajetórias fechadas, pois neste caso haverá
dois pontos de retorno para a coordenada r,
conforme indicado na Figura 6.2. Estes pontos de
retorno significam que a trajetória correspondente
será fechada. Pontos de retorno diferentes (iguais)
implicam em uma trajetória elíptica (circular). É
comum nos referirmos a este sistema com energias
negativas como um sistema ligado.
A Figura 6.2 mostra a energia potencial efetiva
U(r), definida em (6.24), e uma energia mecânica
negativa. Nos pontos de retorno, devemos ter
ṙ = 0. Portanto, substituindo ṙ = 0 em (6.24) e
resolvendo a equação do segundo grau resultante
em r, obtemos
r ± = − k (1 ± e). (6.33)
2E
Estes valores correspondem aos pontos de retorno
em uma elipse (E < 0): r − é a menor distância da
Terra ao Sol (periélio) e r + é a maior distância da
Terra ao Sol (afélio). O semi-eixo maior de uma
elipse é
a = r + + r −
2
= − k
2E , (6.34)
89

6.3. Trajetórias Capítulo 6. Gravitação
ou
r ± = a(1 ± e). (6.35)
Note que, em t = 0, temos θ(0) = θ 0 . Substituindo
esta informação na equação da trajetória (6.30),
teremos r(0) = r 0 = 1/C(1 + e). Esta última
condição inicial também pode ser escrita como
r 0 = r − , ou seja, escolhemos o periélio como
posição inicial (Exercício 95). Então Kepler
tinha razão, as órbitas de nossos planetas são
elipses. Geralmente, encontramos na literatura
especializada (veja www.solarviews.com ou
www.nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary) informações
contendo o valor da excentricidade e, do semi-eixo
maior a e da massa m 2 de cada planeta do sistema
solar. Conhecendo também a massa do Sol,
m 1 = 1.989 × 10 30 kg, e a constante universal da
gravitação, G = 6.6726 × 10 −11 Nm/kg 2 , então os
valores da energia mecânica E e do momentum
angular L podem ser determinados. É importante
manter em mente que o semi-eixo maior da órbita
da Terra é usado como unidade de distância
astronômica, 1 UA=a = 1.496 × 10 11 m.
A segunda lei de Kepler está contida na conservação
do momentum angular (6.22). Para vermos
isto, precisamos apenas de um pouquinho de
geometria plana. Em um intervalo infinitesimal de
tempo dt, a Terra varre uma área também infinitesimal
dA, delimitada pelas posições r e r+dr. Esta
área é aproximadamente a área de um triângulo
retângulo, dA = r(rdθ)/2. Então a taxa de variação
desta área no tempo é
dA
dt = 1 dθ
r2
2 dt = L 2µ . (6.36)
Como L é constante, (6.22), então Kepler estava
correto, os planetas em suas órbitas elípticas varrem
áreas iguais em tempo iguais, ou seja, a taxa
(6.36) é constante.
Vimos em exemplos anteriores que a conservação
da energia pode servir tanto para calcularmos
equações horárias quanto para calcularmos
períodos. A situação aqui não é diferente. Podemos
usar a energia mecânica na forma (6.24) para
determinarmos o período de órbitas elípticas. Isolando
as variáveis r e t em (6.24) e integrando
independentemente os dois lados, temos (faça o
Exercício 95)
√ µ
t =
2
√ µ
=
2k
∫ r
r 0
∫ r
r 0
dr
√
E + k r − L2
2µ
1
r 2
rdr
√
. (6.37)
− 1
2a r2 + r − 1 2 a(1 − e2 )
Note que estamos usando t 0 = 0 e r(0) = r 0 = r − .
Introduzindo uma nova variável ψ,
r = a(1 − e cos ψ), (6.38)
a integral (6.37) pode ser re-escrita na forma (faça
o Exercício 96)
√ ∫ µa
3 ψ
t =
(1 − e cos ψ) dψ
k 0
√
µa
3
= (ψ − e sin ψ). (6.39)
k
Obtivemos assim uma equação horária para a
variável intermediária ψ,
√
k
ω 0 t = (ψ − e sin ψ), ω 0 =
µa 3 . (6.40)
No entanto, ela é uma equação transcendental para
ψ, ou seja, é impossível isolar (anliticamente) ψ em
(6.40). Apesar disto, ela é útil para calcularmos o
período. Podemos ver, comparando (6.35) e (6.38),
que ψ = π quando estamos no afélio (r = r + ) e
ψ = 0 quando estamos no periélio (r = r − ). O
período τ é o tempo de uma volta completa, ou
seja, devemos variar o ângulo ψ desde ψ = 0 até
ψ = 2π. Assim, ω 0 τ = 2π, de onde podemos obter
τ 2 = 4π2 µ 4π 2
k a3 =
G(m 1 + m 2 ) a3 . (6.41)
Novamente Kepler tinha razão: o quadrado do
período é realmente proporcional ao cubo do semieixo
maior da órbita elíptica. No entanto, devemos
observar que a constante de proporcionalidade
depende também da massa de cada planeta. No
nosso sistema solar, a massa do sol (m 1 ) é muito
maior que a massa de quase todos os planetas (m 2 ).
A única exceção é Júpiter, com uma massa de
0.1 % da massa do Sol. Então é razoável usarmos
m 1 + m 2 ≈ m 1 .
90

Capítulo 6. Gravitação
6.4 O campo gravitacional
6.5 Correções
6.6 Exercícios
Exercício 85
Aplique o operador gradiente (C.5) ao potencial
gravitacional (6.18), considerando o potencial em
coordenadas esféricas (polares), V = V (r), ou seja,
você deve usar a segunda expressão em (6.18).
Note que este potencial não depende das coordenadas
angulares θ e ϕ. Repita este procedimento
usando o operador gradiente (4.10) em coordenadas
cartesianas. Neste caso você deve ver o potencial
como uma função das coordenadas cartesianas,
V = V (x, y, z), ou seja, você deve usar a última expressão
em (6.18). Mostre que em ambos os casos
a força gravitacional (6.15) pode ser obtida usando
a prescrição (4.9).
Exercício 86
Observando a Figura 6.1, mostre que a equação da
reta ⃗ X que passa por m 1 e m 2 pode ser na forma
⃗X = ⃗r 1 + λ⃗r = ⃗r 2 + λ ′ ⃗r, ⃗r = ⃗r 2 − ⃗r 1 . (6.42)
Re-escrevendo esta equação em coordenadas cartesianas,
usando a primeira igualdade, por exemplo,
podemos isolar a constante λ,
λ = X − x 1
x 2 − x 1
= Y − y 1
y 2 − y 1
= Z − z 1
z 2 − z 1
. (6.43)
Desta forma, dado as coordenadas do centro de
massa (6.6), precisamos verificar que ⃗ R = ⃗ X satisfaz
as condições em (6.43). Verifique isto substituindo
⃗ X = ⃗ R, com as componentes do vetor centro
de massa escritas na forma (6.6), que as razões
(6.43) são de fato constantes com λ = m 2 /M, confirmando
assim que o centro de massa de um sistema
de dois corpos sempre está na reta que passa
pelos dois corpos.
Exercício 87
Substitua o vetor posição ⃗r i por ⃗r i = R ⃗ + ⃗u i na
definição do centro de massa (6.3) e mostre que o
resultado (6.5) está correto. As novas coordenadas
⃗u i são denominadas de coordenadas relativas
ao centro de massa. Elas estão representadas na
Figura 6.1.
6.6. Exercícios
Exercício 88
Mostre que, para N = 2 (dois corpos), usando a
relação ⃗r = ⃗u 2 − ⃗u 1 mostrada na Figura 6.1 e (6.5),
os resultados (6.13) podem ser obtidos. Substitua
os resultados (6.13) em (6.12) e obtenha, a menos
da energia cinética do centro de massa, a energia
cinética (6.14) escrita em termos do vetor posição
⃗r.
Exercício 89
Substituindo as relações (6.13) na energia cinética
(6.12), obtenha os resultados exibidos em (6.14).
Exercício 90
Derive o momentum angular ⃗ L = ⃗r ×⃗p, com ⃗p = µ ˙⃗r
sendo o momentum linear da massa reduzida µ,
em relação ao tempo e mostre que esta derivada é
uma constante. Use o fato da força (gravitacional)
agindo na massa reduzida ser a taxa de variação
temporal do momentum linear e que esta força está
na mesma direção do vetor ⃗r. Use também o fato
do produto vetorial (×) entre vetores paralelos ou
anti-paralelos ser nulo.
Exercício 91
Mostre que, fazendo ϕ = π/2, as coordenadas
esféricas (C.1) do vetor posição ⃗r = x î+yˆȷ se reduzem
a coordenads polares x = r cos θ e y = r sin θ.
Agora tanto o raio r e o ângulo θ dependem do
tempo. Mostre que o vetor velocidade ⃗v = ˙⃗r e seu
módulo são
⃗v = (ṙ cos θ − r ˙θ sin θ) î
+ (ṙ sin θ + r ˙θ cos θ)ˆȷ, (6.44)
v 2 = || ˙⃗r|| 2 = ṙ 2 + r 2 ˙θ2 . (6.45)
Mostre também que o módulo do momentum angular
⃗ L = ⃗r × ⃗p, com ⃗p = µ ˙⃗r, é
L = µr 2 ˙θ. (6.46)
Exercício 92
Substitua a velocidade escalar || ˙⃗r|| 2 encontrada em
(6.45) na expressão da energia mecânica (6.19) para
obter (6.24). Agora isole ˙θ em (6.46) e mostre,
multiplicando tudo pelo diferencial dt, que
dt = µ L r2 dθ. (6.47)
Substitua o diferencial dt em (6.24) pela expressão
(6.47) e encontre (6.25).
91

6.6. Exercícios Capítulo 6. Gravitação
Exercício 93
Aplique a transformação de coordenadas χ = 1/r
na expressão (6.27). Primeiro mostre que
χ = 1 r
⇒
dχ = − dr
r 2 . (6.48)
Depois mostre que a integral da expressão (6.27) na
nova variável χ pode ser escrita na forma canônica
(6.28) com o auxílio das constantes (6.29).
Exercício 94
Troque χ por 1/r na solução (6.28) para obtermos
a equação da trajetória (6.30). Use as constantes
(6.29) para efetuar as devidas simplificações e verifique
que os valores da constante C em (6.30),
bem como da excentricidade e e da unidade “astronômica”
de energia ϵ estão corretos.
Exercício 97
Use os valores reais de G (constante universal da
gravitação Newtoniana) m 1 (massa do Sol), m 2
(massa do planeta), e (excentricidade) e a (semieixo
maior) para calcular em unidades MKS a energia
mecânica (E), o módulo do momentum angular
(L) e o período (τ) de cada planeta no nosso sistema
solar. Observe a ordem de grandeza destas quantidades.
Desenhe também suas órbitas e potenciais.
Quantidades astronômicas pode ser obtidas no portal
www.solarviews.com.
Exercício 95
Mostre, usando (6.34) e (6.30), que a energia
mecânica E e o momentum angular L estão relacionados
com os parâmetros de uma elipse através
das expressões
onde
a = − k
2E ⇒ E k = − 1
2a ;
√
e = 1 + 2 EL2
µk 2 ⇒ L2
µk = 1 (6.49)
C ,
1
C = a(1 − e2 ) = a(1 + e)(1 − e) = r +r −
a . (6.50)
Agora substitua estas relações na primeira integral
em (6.37) para obter a segunda. Aproveite para
mostrar também que, usando (6.30), temos r = r −
em θ = 0 e r = r + em θ = π.
Exercício 96
Mostre que r = a(1 − e cos ψ) implica em (i) dr =
ae sin ψ dψ, (ii) r 0 = a(1 − e cos 0) = a(1 − e) = r −
e (iii)
− 1
2a r2 + r − 1 2 a(1 − e2 ) = 1 2 ae2 sin 2 ψ. (6.51)
Use este resultado em (6.37) para chegar na integral
(6.39). Aproveite para mostrar também que,
usando r = a(1 − e cos ψ), temos r = r − em ψ = 0
e r = r + em ψ = π.
92

Capítulo 7
Relatividade restrista
7.1 Transformações de Galileu
Os dois princípios estabelecidos anteriormente ou,
equivalentemente, as três leis de Newton, são
válidas em qualquer sistema inercial de referência.
Vamos considerar então o seguinte problema de interesse
prático. Suponha dois referenciais inerciais
quaisquer, digamos O e Ō. Considere o referencial
Ō em movimento (uniforme) em relação a O. Para
simplificar um pouco, vamos supor que os eixos espaciais
X, Y e Z do referencial O coincidam com
os eixos espaciais ¯X, Ȳ e ¯Z do referencial Ō em
t = ¯t = 0. Vamos supor também que suas origens
coincidam em t = ¯t = 0. Vamos também considerar
um movimento para o referencial Ō ao longo
do eixo X, mantendo o eixo ¯X sempre paralelo ao
eixo X, com velocidade constante V ⃗ = V î. Veja a
Figura 7.1.
Y
V ¯t
Ō
Ȳ
O
X
x
Figura 7.1: Transformações de coordenadas entre
referenciais inerciais que preservam a definição de
força.
Muito bem.
¯x
V
¯X
Imagine agora que algum experimento
mecânico seja realizado (no vácuo) no referencial
em movimento Ō. Este experimento pode
ser (1) o lançamento de um objeto sob a ação da
gravidade ou (2) o movimento de um corpo preso a
uma mola (oscilador harmônico sem atrito) ou (3)
o movimento de um corpo sob a ação da gravidade,
porém preso a uma extremidade de uma haste inextensível
e de massa nula com a outra extremidade
fixa (pêndulo simples sem atrito), para citar apenas
três possibilidades que iremos discutir em detalhes.
Como os resultados desses experimentos em
Ō serão vistos no referencial em repouso O? Todos
os números serão os mesmos? As trajetórias serão
as mesmas? Eventos simultâneos em Ō serão vistos
também simultaneamente no outro referencial O?
Esta última questão tem um papel fundamental nas
discussões seguintes.
Para respondermos estas questões, precisaremos
saber primeiramente como relacionar coordenadas
nestes dois referenciais. Esta relação deve cumprir
uma exigência fundamental: ela deve preservar a
definição de força, ou seja, o produto massa por aceleração
deve ser o mesmo ou proporcionais nos dois
referenciais, pois estes dois referenciais são inerciais.
Isto é conhecido como o princípio da relatividade
de Galileu-Newton:
Princípio 3
Todas as leis da mecânica são as mesmas em todos
os sistemas inerciais de referência.
Note que Galileu e Newton não ousaram incluir
as demais leis físicas, além daquelas da mecânica,
neste princípio. Este princípio garante a validade
apenas das leis da mecânica. Portanto, se queremos
aderir ao princípio da relatividade de Galileu-
Newton, a única possibilidade de efetuarmos uma
93

7.2. Transformações de Lorentz Capítulo 7. Relatividade restrista
transformação de coordenadas que preserve a definição
de força (portanto as leis da mecânica) é
uma relação linear no tempo,
x = γ(¯x + V ¯t), (7.1)
quando o referencial Ō estiver movimentando-se no
sentido positivo do eixo X (veja a Figura 7.1), ou
¯x = γ(x − V t), (7.2)
quando o referencial O estiver movimentando-se no
sentido negativo do eixo ¯X. Note que mantivemos
a mesma constante γ nestas duas relações. Isto
é razoável, pois estamos considerando que o nosso
espaço (o palco de todos os movimentos) vazio seja
homogêneo e isotrópico. Ser homogêneo significa
que a constante γ não pode depender da posição.
Em um espaço isotrópico, a constante γ não pode
depender nem da direção nem do sentido de qualquer
vetor. Conseqüentemente, se γ tiver qualquer
dependência com a velocidade V ⃗ do referencial Ō,
poderá ser apenas uma dependência em seu módulo
V = || V ⃗ ||. Até aqui, não mencionamos qualquer
relação entre t e ¯t, a não ser que x = ¯x em t = ¯t = 0.
Quem são os possíveis valores de γ?
Galileu e Newton fizeram a hipótese de que o
tempo fluía uniformemente nos dois referenciais, ou
seja, t = ¯t sempre. Isto significa que o tempo é absoluto,
o mesmo em todos os referenciais inerciais,
ou seja, um evento que é simultâneo em um referencial
inercial, o será em todos os demais. Newton
acreditava também que a existência de um tempo
absoluto estivesse ligado com a existência de um
Deus supremo. Fazendo t = ¯t em (7.1) e (7.2) e
depois somando estes dois resultados, obteremos
x + ¯x = γ(x + ¯x) ⇒ γ = 1. (7.3)
Também fazendo x = ¯x em t = ¯t = 0, determinamos
γ = 1. Note que derivando (7.1) ou (7.2) com
γ = 1 obtemos a conhecida regra de composição
para velocidades,
As transformações
¯v = v ± V. (7.4)
¯x = x − V t, ȳ = y, ¯z = z, ¯t = t, (7.5)
são conhecidas por transformações de Galileu. Estas
transformações não afetam as massas dos corpos.
Conseqüentemente, o produto massa por aceleração
é mantido invariante. Naturalmente, estas
transformações têm sido verificadas em todos os
casos (discutiremos alguns casos em detalhes mais
mais adiante), exceto quando o valor de V é comparável
ao valor da velocidade da luz. Surpreso?
Isto é realmente surpreendente!
7.2 Transformações de Lorentz
A discrepância entre as transformações de Galileu
(7.5) e experimentos foi consagrada no experimento
de Michelson-Morley, realizado pela primeira vez
um pouco antes de 1900. Vejamos primeiro o que a
teoria de Galileu-Newton prediz quando luz é emitida
na origem do referencial O e observada no referencial
em movimento Ō. No instante t, a luz
está na posição x = ct em O. Então, no referencial
Ō, ela estará em ¯x¯t = x − V t = ct − V t = ¯c¯t,
segundo as transformações (7.5). Portanto, no referencial
Ō a luz deve ser vista com uma velocidade
menor, ¯c = (c − V ). Entretanto, o experimento de
Michelson-Morley diz que a velocidade da luz é a
igual a c em todos os referenciais inerciais! Pronto,
a confusão estava feita. Albert A. Michelson, por
achar que havia alguma coisa errada em seu experimento,
continuou a repeti-lo por quase 30 anos! Ele
recebeu o prêmio Nobel em 1907 (por estas medidas
e por ter inventando o interferômetro, um instrumento
ótico de alta precisão).
No entanto, ainda em 1905, um jovem físico, até
então completamente desconhecido, disse de forma
arrebatedora que a nossa natureza é assim: a velocidade
da luz no vácuo é independente do movimento
da fonte, ou seja, ela é uma constante universal.
Simples assim. E concluiu: então não poderemos
ter γ 2 = 1 e nem ¯t = t! Portanto, devemos ter
x = ct em O e ¯x = c¯t em Ō. Substituindo estes valores
em (7.1) e (7.2), teremos (faça o Exercício 100)
ct = γ(c + V )¯t, c¯t = γ(c − V )t, (7.6)
da qual resulta
γ 2 = 1
1 − β 2 , β = V c . (7.7)
Podemos ver então que no limite de baixa velocidade
V ≪ c, β → 0 e γ 2 → 1, que é o seu valor
no caso clássico (7.3) se escolhermos γ positivo em
(7.7). No entanto, quando V é comparável a c,
temos de usar as relações (7.1) e (7.2). Relações
94

Capítulo 7. Relatividade restrista
7.3. Mecânica relativística
similares para o tempo visto nos dois referenciais
podem ser obtidas eliminando-se ou x ou ¯x em (7.1)
e (7.2) (faça o Exercício 101),
¯x = γ(x − β ct), c¯t = γ(ct − β x), (7.8)
x = γ(¯x + β c¯t), ct = γ(c¯t + β ¯x). (7.9)
com ȳ = y e ¯z = z. Estas transformações foram
apresentadas por Einstein em 1905 e são conhecidas
por transformações de Lorentz (por motivos
relacionados, mas anteriores a 1905). Em (7.8), expressamos
as coordenadas do referencial Ō em termos
das coordenadas do referencial O. As transformações
inversas (7.9) são obtidas simplesmente
mudando o sinal de V (e, conseqüentemente, de
β = V/c também).
Como as relações (7.8)–(7.9) misturam as
posições espaciais com o tempo (e vice-versa), o
tempo não é absoluto, como Galileu e Newton imaginaram.
Isto significa que um acontecimento não
precisa ser simultâneo em todos os referenciais inerciais.
Isto trará conseqüências ainda mais surpreendentes,
como veremos a seguir.
Naturalmente, as transformações (7.8) são
idênticas às transformações (7.5) quando V ≪ c
(ou β ≪ 1). Este é outro exemplo onde uma teoria
foi devidamente corrigida: para velocidades baixas
podemos usar a mecânica Newtoniana; para velocidades
altas devemos usar a mecânica Einsteiniana
(ou mecânica relativística).
7.3 Mecânica relativística
O princípio da relatividade de Galileu-Newton
agora deve ser enunciado na seguinte forma:
Princípio 4 (Relatividade de Einstein)
1. Todas as leis físicas são as mesmas em todos os
sistemas inerciais de referência;
2. A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor
em todos os sistemas inerciais, independentemente
do movimento de sua fonte.
Este princípio é conhecido como o princípio da relatividade
de Einstein. Note que ele é mais geral
que o princípio da relatividade de Galileu-Newton
(Princípio 3), pois agora todas as leis físicas foram
devidamente incluídas.
Vejamos algumas previsões da mecânica relativística.
Suponha um relógio em repouso no referencial
Ō. Permanecendo sempre no mesmo lugar
(¯x 1 = ¯x 2 ), marque um determinado intervalo
de tempo, ¯T = ¯t 2 − ¯t 1 , usando um relógio que esteja
em repouso no referencial Ō. Este intervalo de
tempo medido com o relógio em repouso será denominado
de tempo próprio. No outro referencial O,
este relógio usado para medir o tempo próprio será
visto em movimento. Portanto os dois eventos que
determinaram o intervalo de tempo ¯T serão vistos
nos instantes t 1 e t 2 (em posições diferentes), correspondendo
a um intervalo T = t 2 − t 1 . Usando
as transformações (7.9) em T , encontraremos (faça
o Exercício 102)
T = γ ¯T . (7.10)
Esta relação nos mostra que T > ¯T , ou seja, que o
relógio em movimento em relação ao referencial O,
é mais lento, pois o intervalo de tempo T medido
é maior. Naturalmente, os observadores solidários
ao referencial Ō chegarão à mesma conclusão a respeito
de um relógio usado para medir um tempo
próprio em O. Há nenhuma contradição nisto. O
tempo próprio será sempre o menor intervalo tempo
e pode somente ser medido em apenas um referencial
inercial. Todos os demais referenciais inercias
distintos irão medir intervalos de tempo maiores,
porém haverá nenhuma concordância de valores entre
eles.
Suponha que temos uma régua em repouso no
referencial Ō de comprimento ¯L = ¯x 2 − ¯x 1 . Este é
o comprimento próprio (régua em repouso). Uma
vez que a régua está em repouso, as posições ¯x 1 e
¯x 2 das extremidades podem ser efetuadas em tempos
diferentes. No outro referencial O, esta régua
será vista em movimento, por isto a leitura de suas
extremidades deverão ser efetuadas no mesmo instante
de tempo (t 1 = t 2 ). Assim, o comprimento da
régua medido em O será L = x 2 (t)−x 1 (t). Usando
as transformações (7.8) em ¯L, encontraremos (faça
o Exercício 102)
L = ¯L
γ . (7.11)
Esta relação nos mostra que L < ¯L, pois γ > 1.
Portanto, a régua em Ō será vista com um comprimento
menor no outro referencial O. Este resultado
é conhecido por contração espacial. Naturalmente,
os observadores solidários ao referencial
Ō chegarão à mesma conclusão a respeito de uma
95

7.3. Mecânica relativística Capítulo 7. Relatividade restrista
régua usada para medir um comprimento próprio
em O. Novamente, há nenhuma contradição nisto.
O comprimento próprio será sempre o maior comprimento
próprio e pode somente ser medido em
apenas um referencial inercial. Todos os demais referenciais
inercias distintos irão medir comprimentos
menores, porém haverá nenhuma concordância
de valores entre eles.
Naturalmente, estas previsões estão confirmadas
em experimentos usando partículas elementares
em aceleradores de partículas (para saber mais sobre
partículas elementares, consulte Aventuras das
Partículas, mantido pelo Instituto de Física Teórica
(IFT), Unesp). Em particular, visite o site Experimento
com Múons.
Que acontece se um determinado corpo estiver
movendo-se na velocidade da luz c (como a própria
luz), digamos em O? A velocidade dele será diferente
de c em Ō? Vejamos. A componente x
da velocidade deste corpo em O é definida como
v x = dx/dt. Então, usando as transformações
(7.8)–(7.9), teremos
v x = dx
dt
=
d¯x + β cd¯t
d¯t + β c d¯x = ¯v¯x + V
1 + V ¯v¯x
c 2 . (7.12)
Fazendo o mesmo para as demais componentes, teremos
v y = dy
dt =
v z = dz
dt =
¯vȳ
( ), (7.13)
γ 1 + V ¯v¯x
c 2
¯v¯z
( ). (7.14)
γ 1 + V ¯v¯x
c 2
Note que v x = c implica em ¯v¯x = c. A regra
relativística de composição de velocidades (7.12)–
(7.14) nunca fornece uma velocidade relativa maior
que a velocidade da luz.
Ȳ
O
Y
c
Ō
¯X
V
Figura 7.2: Colisão entre um corpo A e dois fótons
vista por dois referenciais inerciais em movimento
relativo com V ≪ c. O corpo A está em repouso
no referencial O e tem massa M neste referencial.
Há ainda outras revelações extraordinárias, mas
por falta de espaço, ficarão para uma outra oportunidade.
Entretanto, deve ser mencionado que Einstein
também descobriu uma relação entre massa e
energia, ∆E = ∆mc 2 . Tudo que tem massa, possui
esta energia armazenada. Até a descoberta desta
relação, acreditava-se na conservação da energia e
da massa separadamente. Hoje sabemos que massa
e energia são manifestações de uma mesma quantidade
física (ainda sem nome!). Seguindo o próprio
Einstein, é instrutivo realizarmos uma derivação
elementar desta equivalência entre massa e energia.
Consideremos um sistema como ilustrado na
Figura 7.2. O corpo A está em repouso no referencial
O e tem massa M. Neste mesmo referencial,
observamos dois fótons (luz) movendo-se na mesma
direção mas em sentidos opostos, os quais serão absorvidos
pelo corpo A. Supondo que cada fóton tenha
uma energia igual a E/2, o corpo A terá sua
energia aumentada por ∆E = E.
O fóton é uma partícula curiosa, pois ele não
tem carga elétrica e nem massa de repouso, isto é,
um fóton parado em algum referencial inercial teria
massa nula. No entanto ele só pode estar em movimento!
Mas como, se ele não tem massa? Mesmo
não tendo massa, o fóton pode ter então uma quantidade
de movimento não-nula! O momentum linear
do fóton é a sua energia dividida pela velocidade
da luz (no vácuo). Devemos lembrar que o
fóton carrega a menor quantidade de energia em
um feixe luminoso. Esta energia depende apenas
da freqüência ν da luz e da constante de Planck
A
c
X
96

Capítulo 7. Relatividade restrista
7.4. Exercícios
Assim, antes da colisão, o momentum linear total
h = 6.626 × 10 −34 J s, E = hν. Por isso ele é
sin(α) = V Mostre que as transformações de Galileu (7.5) deixa
c ≃ α. (7.15) a definição de força invariante.
denominado de quantum de luz (ou da radiação
eletromagnética). O fóton foi descoberto por Max
Planck em 1900 (Planck recebeu o prêmio Nobel em
1918 por esta descoberta). Coube a Einstein esclarecer
a natureza corpuscular (composta de muitos
no eixo Ȳ é
( )
P (a)
E
ȳ = MV + 2
2c sin(α) = MV + E V. (7.16)
c2 Na verdade, tanto a massa M do corpo A quanto
fótons) da luz em 1905 (ele recebeu o prêmio Nobel
em 1921, por esta e outras contribuições à física Ō deveriam sofrer correções relativísticas. No en-
o momentum linear do fóton E/2c no referencial
teórica).
tanto, estas correções são muito pequenas se β =
V/c é pequeno, que é o caso em questão (veja o
Exercício 105). Bem e depois da absorção? Vimos
Ȳ
no referencial em repouso O que o corpo A permanece
V
em repouso após a colisão dos dois fótons.
Portanto ele terá de continuar com a velocidade V
c
c
α α
ao longo do eixo Ȳ , como indicado na Figura 7.3,
mesmo após a colisão (explique). Após a colisão
A
os dois fótons não existem mais, devido à absorção.
Então, para não concluirmos que os fótons não existiam
antes da colisão devido à conservação do momentum
linear, ou então para não concluirmos que
Ō
¯X
Figura 7.3: Colisão entre um corpo A e dois fótons a conservação do momentum linear está errada, temos
de supor uma massa M ′ ≠ M para o corpo
vista pelo referencial inercial em movimento Ō com
V ≪ c.
A após a colisão. Assim, após a colisão o momentum
linear total no eixo
De volta ao nosso experimento: uma colisão entre
três corpos, onde um dos corpos (o corpo A) existem forças externas, então
Ȳ é P (d)
ȳ = M ′ V . Como
o momentum linear deve ser conservado, pois não
absorve dois fótons. Estes três corpos estão isolados.
Portanto, de acordo com o Princípio 2 há
conservação do momentum linear. Como o momentum
MV + E c 2 V = M ′ V, (7.17)
linear é um vetor, devemos olhar para as de onde obtemos
três direções em cada referencial. No referencial
O onde o corpo A está em repouso, a componente ∆M = M ′ − M = E
no eixo X do momentum linear total é nula, pois
c 2 = ∆E
c 2 . (7.18)
cada fóton tem p x = E/2c, mas em sentidos opostos
e o corpo A está em repouso. Depois da colisão,
eles são completamente absorvidos e, por simetria,
o corpo A continua em repouso. Portanto há conservação
Este resultado está nos dizendo que a energia ∆E,
absorvida ou liberada por um corpo, é equivalente
a uma variação ∆m na sua massa de repouso m,
∆E = ∆m c 2 . Veja o Exercício 107 para um exem-
da componente X do momentum linear. plo numérico. Esta relação entre massa e ener-
Como não há movimento nas demais direções (Y e
Z), não precisamos nos preocupar como as respectivas
componentes do momentum linear.
Passemos agora para o outro referencial inercial
em movimento, Ō. Este referencial está em movimento
uniforme ao longo eixo Y , como indicado na
gia explica porque o fóton tem uma quantidade de
movimento, mesmo não tendo uma massa de repouso
(como a nossa): ele tem energia. Não poder
(nunca) estar parado, é o preço que ele paga por
não ter uma massa de repouso, ele precisa estar
sempre em movimento.
Figura 7.2. Neste referencial em movimento, nosso
experimento é visto como mostrado na Figura 7.3.
Considerando que o fator β = V/c é pequeno, podemos
7.4 Exercícios
aproximar o ângulo α pelo seu seno, Exercício
98
97

7.4. Exercícios Capítulo 7. Relatividade restrista
Exercício 99
Suponha que no referencial em movimento Ō haja
um corpo preso a uma mola. Use as transformações
de Galileu (7.5) para encontrar a equação diferencial
equivalente a (3.15) no referencial O.
Exercício 100
Mostre que as relações (7.6) estão corretas e determine
explicitamente o valor de γ.
Exercício 101
Determine explicitamente a última relação em (7.8)
e em (7.9) a partir das relações (7.1) e (7.2).
Exercício 102
Determine explicitamente as relações (7.11) e
(7.10).
átomo radioativo. Pela descoberta de átomos radioativos,
ela e seu marido (Pierre) receberam o
prêmio Nobel em 1903. Vale mencionar que ela recebeu
um segundo prêmio Nobel em 1911 pela descoberta
do polônio. O processo de desintegração do
polônio é
216 Po → 212 Pb + 4 He. (7.20)
Sabendo que a massa atômica do chumbo 212 Pb é
211.991872 u.m.a. e a do hélio é 4.002602 u.m.a.
e que uma unidade de massa atômica (u.m.a) vale
1.66×10 −27 kg, calcule a energia liberada neste processo
radioativo. Esta energia é usada na forma de
energia cinética pelos produtos da reação nuclear.
Exercício 103
Determine explicitamente os resultados (7.12),
(7.13) e (7.14).
Exercício 104
Quais são os valores relativos das contrações espacial
(¯L/L) e temporal ( ¯T /T ) quando β = 0.3,
β = 0.6, β = 0.9 e β = 0.99?
Exercício 105
Mostre, usando a série de Taylor (B.2), que a
correção relativística (7.7) pode ser escrita na forma
de uma série de potências quando β ≪ 1,
γ ≃ 1 + 1 2 β2 + 3 8 β4 . (7.19)
Exercício 106
Considere a partícula denominada de múon. Ela
tem a mesma carga de um elétron, mas uma massa
cerca de 200 vezes maior. Ela é instável: após o
tempo ¯L = 2.2 µs (medido no referencial do múon
(lento) em laboratórios) ela se transforma (decai)
em outras partículas. Quando o múon vem de raios
cósmicos, ele penetra nossa atmosfera com uma velocidade
V = 0.99c e chega até o solo em grandes
quantidades. Explique como o múon chega até a
superfície (poucos kilômetros abaixo do início da
nossa atmosfera).
Exercício 107
O isótopo 216 Po do átomo de polônio, número
atômico Z = 84, massa atômica 216.001889 u.m.a.,
foi descoberto por Marie Curie em 1893, como um
98

Apêndice A
Análise dimensional
Uma pequena pausa para uma discussão sobre
unidades. Unidades são importantes. Por exemplo,
qual é a unidade de força que iremos utilizar?
De forma geral, procuraremos expressar todas
as nossas quantidades físicas em unidades derivadas
de quatro grandezas fundamentais: comprimento
(L) em metros (m), tempo (T) em segundos
(s), massa (M) em kilogramas (kg) e carga elétrica
(Q) em Coulombs (C). Existe uma notação especial
para analisarmos as dimensões de uma determinada
grandeza física. Vejamos alguns exemplos.
O vetor posição ⃗r tem dimensão de comprimento
(L). Então escrevemos matematicamente esta informação
como
[⃗r] = L.
(A.1)
O vetor velocidade tem dimensões de comprimento
por tempo, então
[ ] d⃗r
[⃗v] = = L dt T = LT−1 . (A.2)
O vetor aceleração tem dimensões de comprimento
por tempo ao quadrado, então
[ d 2 ]
⃗r
[⃗a] =
dt 2 = L T 2 = LT−2 . (A.3)
Seguindo estes modelos, a análise dimensional da
definição do vetor força na segunda lei de Newton
nos fornece
[ ⃗ F ] = [ m⃗a ] = ML
T 2 = MLT−2 = N, (A.4)
na qual N é uma unidade de força, denominada
de Newton. Também da segunda lei de Newton, o
momentum linear tem dimensões
[⃗p] = [ m⃗v ] = ML
T = MLT−1 . (A.5)
Neste caso, não há um nome para a unidade de
momentum.
Quais são as dimensões da constante C e aparecendo
na expressão para a força elétrica
⃗F e = C e
Qq
r 2 ˆr
(A.6)
entre duas cargas elétricas Q e q? Seguindo o modelo
anterior, temos
[C e ] = NL 2 Q −2 = ML 3 T −2 Q −2 . (A.7)
Por completeza, devemos mencionar que cargas
magnéticas nunca foram observadas. No entanto
quando dois fios conduzindo correntes elétricas I 1
e I 2 estão a uma distância ρ, podemos medir uma
força entre eles,
⃗F m = 2C m
I 1 I 2
ρ
ˆρ. (A.8)
Esta força é conhecida como lei de Biot-Savat. As
dimensões da constante C m são
onde
[C m ] = NT 2 Q −2 = MLQ −2 , (A.9)
[I] =
[ ] dQ
= QT −1 . (A.10)
dt
Note que usamos também a definição de corrente:
carga por tempo. Podemos notar também então
que a razão C e /C m tem a mesma dimensão de velocidade
ao quadrado. De fato, Maxwell mostrou
que no vácuo, a velocidade da luz é
√
Ce
c = .
(A.11)
C m
Os valores destas constantes (no vácuo) são: C e =
8.987551788 × 10 9 N·m 2 /C 2 e C m = 10 −7 N·s 2 /C 2 .
99

Capítulo A. Análise dimensional
Portanto, medindo as constantes C e e C m podemos
calcular a velocidade da luz. Este resultado está
entre os mais surpreendentes acerca da nossa natureza.
As surpresas não param aqui, há ainda mais
alguns fatos marcantes sobre o comportamento da
luz. Veja também a discussão na seção sobre as
transformações de Galileu e Lorentz.
Para completar, as dimensões de campo
magnético têm um nome especial: Tesla. Vamos
usar a força de Lorentz,
⃗F = q ⃗v × ⃗ B,
(A.12)
produzida por uma carga q em movimento, para
determinar as dimensões do campo magnético ⃗ B,
[ ⃗F
]
[ B] ⃗ = = MQ −1 T −1 = Tesla. (A.13)
q⃗v
100

Apêndice B
Séries de Taylor
Como calculamos (geralmente usando uma calculadora)
senos, cossenos, exponenciais, funções
transcendentais em geral? Ou então, suponha que
conhecemos o valor de uma função f(x) e de suas
derivadas em um determinado ponto x 0 ,
f (k)
0 = f (k) (x 0 ) = d(k)
dx k f(x) ∣
∣∣∣x=x0
,
(B.1)
com f (0)
0 = f 0 = f(x 0 ). Suponha também que seja
muito difícil calcular o valor deta mesma função
em um outro ponto ¯x, vizinho a x 0 , ¯x = x 0 + ∆x,
mesmo que ∆x = ¯x − x 0 seja muito pequeno.
Bem, nesta situação seria muito conveniente se
pudéssemos calcular f(¯x), mesmo que de forma
aproximada, em termos de uma série de potências
em ∆x = ¯x − x 0 com coeficientes dependentes apenas
dos valores conhecidos f (k) (x 0 ). Quando a
função f(x) é analítica (contínua e com todas as
derivadas contínuas em x 0 ), esta série existe,
f(¯x) =
∞∑
k=0
f (k) (x 0 )
k!
(¯x − x 0 ) k . (B.2)
Hora de colocar a mão na massa. (1) Escreva
uma rotina em Maple para calcular a série de Taylor
(B.2) de uma função arbitrária. (2) Teste sua
rotina com as principais funções trigonométricas
(seno, cosseno e tangente) e com a função exponencial.
(4) Nestes testes, mostre no mesmo gráfico a
função originalmente definida no Maple e pelo menos
quatro séries de Taylor correspondentes. (5)
Faça uma animação mostrando como é o comportamento
da série de Taylor em função da quantidade
de termos na série para cada caso. Lembre-se: o
trabalho dignifica e faz bem ao caráter.
B.1 Exercícios
Exercício 108
Determine a expressão para um termo genérico da
série de Taylor em torno de x e escreva explicitamente
os quatro primeiros termos não-nulos para
cada uma das seguintes funções:
f(x) = e x ,
g(x) = cos(x),
h(x) = sin(x).
(B.3)
Exercício 109
Escreva uma rotina em computação algébrica para
calcular a série de Taylor com N termos para uma
funçào dada. Verifique sua rotina comparando-a
com os resultados do Exercício 108.
Exercício 110
Use a rotina feito no Exercício 109 para colocar em
um mesmo gráfico, a função original e as seis séries
de Taylor correspondentes a N = 2, N = 4, N =
10, N = 20, N = 50 e N = 100 termos. Observe
que para valores pequenos do número de termos N,
a série de potências coincide com a função original
apenas numa região muito pequena, denominada
de “raio de convergência” da série.
Exercício 111
Mostre que qualquer número complexo z = x + i y,
de módulo r = √ zz ∗ = √ x 2 + y 2 , com z ∗ = x − i y
(conjugado), pode ser representado por
com
z = r ( cos θ + i sin θ),
r = √ x 2 + y 2 , tan θ = y x .
(B.4)
(B.5)
101

B.1. Exercícios
Capítulo B. Séries de Taylor
Use o Exercício 108 para mostrar que
e iθ = ( cos θ + i sin θ).
(B.6)
102

Apêndice C
Coordenadas polares
Seja ⃗r = x î + yˆȷ + z ˆk um vetor posição qualquer
descrito em um sistema coordenadas Cartesianas
ortonormais. As componentes Cartesianas x, y e z
podem ser escritas em coordenadas esféricas r, ϕ e
θ,
x = r sin ϕ cos θ,
y = r sin ϕ sin θ,
z = r cos ϕ,
(C.1)
onde 0 ≤ ϕ ≤ π é o ângulo formado pelo vetor
posição ⃗r e o eixo Z, 0 ≤ θ ≤ 2π é o ângulo formado
pela projeção do vetor posição ⃗r no plano XY e o
eixo X. Note que uma casca esférica de raio R é
descrita em coordenadas esféricas fazendo r = R
constante e variando os ângulos ϕ e θ.
Os elementos infinitesimais de área e volume
também são muito utilizados. O elemento de área
sobre uma esfera de raio r pode ser calculado como
a área de um retângulo infinitesimal,
dA = r sin ϕ dθ rdϕ = r 2 sin ϕ dϕ dθ.
(C.2)
O elemento de volume corresponde ao volume infinitesimal
de base dA e altura dr,
da mão direita, ˆr = ˆϕ ∧ ˆθ e permutações circulares.
O versor ˆr está na direção e no mesmo sentido
do vetor posição ⃗r. Por isto, custuma-se denominar
este versor de radial. O versor ˆϕ é tangente
ao grande círculo (de raio r = ||⃗r||) passando pela
ponta do vetor ⃗r. O versor ˆθ é tangente ao círculo
de raio r sin ϕ, também passando pela ponta do vetor
⃗r.
Note que as transformações (C.1) para ϕ constante
e igual π/2 são as coordenadas polares no
plano XY
x = r cos θ,
(C.6)
y = r sin θ.
O operador gradiente (C.5) neste caso é dado por
∇ = ˆr ∂ ∂r + ˆθ ∂
r ∂θ .
(C.7)
A derivada parcial em relação a ϕ não aparece porque
esta coordenada está fixa. Assim, a sua derivada
parcial a vê como uma constante.
dV = dA dr = r 2 dr sin ϕ dϕ dθ.
(C.3)
O operador gradiente em coordenadas esféricas é
escrito na seguinte forma:
∇ = î ∂
∂x +ˆȷ ∂ ∂y + ˆk ∂
∂k ,
= ˆr ∂ ∂r + ˆϕ
r
∂
∂ϕ +
ˆθ ∂
r sin ϕ ∂θ ,
(C.4)
(C.5)
onde os versores (ˆr, ˆϕ, ˆθ) também formam uma
trinca de versores ortonormais obedecendo a regra
103