Transformada de Fourier de Sinais Discretos

Resumo
Sinais e Sistemas
Transformada de Fourier de Sinais
Discretos
Luís Caldas de Oliveira
lco@ist.utl.pt
Representação de sinais aperiódicos
Transformada de Fourier de sinais periódicos
Propriedades da transformada de Fourier
Sistemas caracterizados por equações às diferenças
Instituto Superior Técnico
.
.
Sinais e Sistemas – p.1/35
Sinais e Sistemas – p.2/35
Sequência de Duração Finita
Série de Fourier
Uma sequência x(n) tem duração finita se assumir valores
nulos fora de gama limitada de valores de n:
Sendo ˜x(n) periódico é possível calcular os coeficientes da
série de Fourier:
∀n ∈ , x(n) = 0, n < N 1 ∧ n > N 2
a k
= 1 N
∑n= ˜x(n)e − jk(2π/N)n
.
Com base neste sinal podemos construir um sinal periódio
de período N > N 2 − N 1 :
Em que:
˜x(n) =
+∞∑
k=−∞
x(n − kN)
˜x(n) = x(n), N 1 ≤ n ≤ N 2
.
em que:
= 1 ∑ N2
N n=N 1
x(n)e − jk(2π/N)n
∑ +∞
n=−∞ x(n)e − jk(2π/N)n
= 1 N
X(e jkω ) =
= 1 N X(e jkω 0
)
+∞∑
n=−∞
x(n)e − jωn
Sinais e Sistemas – p.3/35
Sinais e Sistemas – p.4/35

Equação Inversa
Transformada de Fourier (DTFT)
Para obter o sinal a partir dos coeficientes e notando que
ω 0 = 2π/N:
˜x(n)
Fazendo N → ∞:
= ∑ k= 1 X(e jkω 0
)e jkω 0n
N
∑
k= X(e jkω 0
)e jkω0n ω 0
= 1
2π
x(n) = 1
2π
∫
2π
X(e jω )e jωn dω
X(e jω ) =
x(n) = 1
2π
∫
+∞∑
n=−∞
2π
x(n)e − jωn
X(e jω )e jωn dω
.
.
Sinais e Sistemas – p.5/35
Sinais e Sistemas – p.6/35
Periodicidade na Frequência
Exemplo
A principal diferença entre a CTFT e a DTFT é que
esta última é periódica em frequência.
Esta é uma consequência directa da periodicidade
das exponenciais complexas discretas, que são
periódicas de período 2π.
Por este motivo: X(e jω ) = X(e j(ω+2π) )
O integral de síntese pode ser calculado em qualquer
intervalo de comprimento 2π.
Calcular a transformada da sequência:
∀n ∈ , x(n) = a n u(n), |a| < 1
Solução:
X(e jω ) =
1
1 − ae − jω Sinais e Sistemas – p.8/35
.
.
Sinais e Sistemas – p.7/35

Exemplo
Convergência
Calcular a transformada de Fourier de:
{ 1, |n| ≤ N1
x(n) =
0, |n| > N1
Solução:
No caso de sinais de duração não finita, podem surgir
dificuldades na convergência da equação de análise:
X(e jω ) =
+∞∑
n=−∞
x(n)e − jωn
.
X( jω) = sin(ω(N 1 + 1/2))
sin(ω/2)
.
A condição de convergência está directamente
relacionada com as condições de convergência da série
de Fourier, ou seja, se x(n) é absolutamente somável:
+∞∑
n=−∞
|x(n)| < ∞
Sinais e Sistemas – p.9/35
Sinais e Sistemas – p.10/35
Convergência
Exemplo
Se x(n) é absolutamente somável então tem
transformada de Fourier.
Todas as sequências estáveis têm transformada de
Fourier.
Todas as sequências com energia finita têm
transformada de Fourier:
+∞∑
n=−∞
|x(n)| 2 < ∞
Calcular a transformada de Fourier do impulso unitário:
∀n ∈ , x(n) = δ(n)
Solução:
X(e jω ) = 1
.
Todas as sequências de duração limitada têm
transformada de Fourier.
.
Sinais e Sistemas – p.11/35
Sinais e Sistemas – p.12/35

Exemplo
Sinais Periódicos
Mostrar que a transformada de Fourier da sequência
exponencial complexa:
∀n ∈ ,
x(n) = e jω0n
Se um sinal for representado pela série de Fourier:
∑
x(n) = a k e jk(2π/N)n
k=
vale:
X(e jω ) =
+∞∑
l=−∞
2πδ(ω − ω 0 − 2πl)
A sua transformada de Fourier será:
X(e jω ) =
+∞∑
k=−∞
2πa k δ(ω − ω 0 k)
.
.
Sinais e Sistemas – p.13/35
Sinais e Sistemas – p.14/35
Exemplo
Linearidade
Calcular a transformada de Fourier do sinal:
∀n ∈ , x(n) = cos(ω 0 n)
Solução:
X(e jω ) =
+∞∑
k=−∞
[πδ(ω − ω 0 − 2πk) + πδ(ω + ω 0 − 2πk)]
Se
então
x(n) −−−−−→
DT F T X(e jω )
y(n) −−−−−→
DT F T Y(e jω )
ax(n) + by(n) −−−−−→
DT F T aX(e jω ) + baY(e jω )
A transformada de Fourier de sinais discretos é uma operação
linear.
.
.
Sinais e Sistemas – p.15/35
Sinais e Sistemas – p.16/35

Deslocamento Temporal
Deslocamento na Frequência
Se
x(n) −−−−−→
DT F T X(e jω )
Se
x(n) −−−−−→
DT F T X(e jω )
então
x(n − n 0 ) −−−−−→
DT F T e− jωn 0
X(e jω )
então
e jω 0n x(n) −−−−−→
DT F T X(e jω−ω 0
)
O deslocamento temporal não afecta o módulo da transformada
de Fourier, apenas a sua fase.
.
.
Sinais e Sistemas – p.17/35
Sinais e Sistemas – p.18/35
Conjugado
Simetria para Sequências Complexas
Se
então
x(n) −−−−−→
DT F T X(e jω )
x(n) ∗ −−−−−→
DT F T X∗ (e − jω )
A transformada de Fourier do sinal conjugado, é a transformada
do sinal original conjugada e invertida na frequência.
então
x ∗ (n)
x ∗ (−n)
Real(x(n))
∀n ∈ ,
−−−−−→
DT F T
−−−−−→
DT F T
−−−−−→
DT F T
x(n) ∈
X ∗ (e − jω )
X ∗ (e jω )
Par(X(e jω ))
jImag(x(n))
−−−−−→
DT F T
Ímpar(X(e jω ))
.
.
Par(x(n))
Ímpar(x(n))
−−−−−→
DT F T
−−−−−→
DT F T
Real(X(e jω ))
jImag(X(e jω ))
Sinais e Sistemas – p.19/35
Sinais e Sistemas – p.20/35

Simetria para Sequências Reais
Diferença e Acumulação
.
Se
então
x(n)
x(n)
x(n)
Par(x(n))
Ímpar(x(n))
∀n ∈ ,
−−−−−→
DT F T
−−−−−→
DT F T
−−−−−→
DT F T
−−−−−→
DT F T
−−−−−→
DT F T
x(n) ∈
X(e jω ) = X ∗ (e − jω )
|X(e jω )| = |X(e − jω )|
∠X(e jω ) = −∠X(e − jω )
Real(X(e jω ))
Imag(X(e jω ))
.
Se
então
n∑
m=−∞
x(n) −−−−−→
DT F T X(e jω )
x(n) − x(n − 1) −−−−−→
DT F T (1 − e− jω )X(e jω )
x(m) −−−−−→
DT F T
1
1 − e − jω X( jω) + πX(e j0 )
+∞∑
k=−∞
δ(ω − 2πk)
O trem de impulsos do lado direito da equação reflecte a
componente relativa ao valor médio de x(n) que pode resultar
do somatório.
Sinais e Sistemas – p.21/35
Sinais e Sistemas – p.22/35
Inversão Temporal
Interpolação
Se
então
x(n) −−−−−→
DT F T X(e jω )
x(−n) −−−−−→
DT F T X(e− jω )
no caso particular de x(n) ser real:
Se
e se
M ∈ , x M (n) =
x(n) −−−−−→
DT F T X(e jω )
{ x(n/M), n múltiplo de M
0, n não é múltiplo de M
x(−n) −−−−−→
DT F T X∗ (e jω )
então
x M (n) −−−−−→
DT F T X(e jMω )
.
.
Sinais e Sistemas – p.23/35
Sinais e Sistemas – p.24/35

Diferenciação em Frequência
Relação de Parseval
Se
x(n) −−−−−→
DT F T X(e jω )
Se
x(n) −−−−−→
DT F T X(e jω )
então
nx(n) −−−−−→
DT F T jdX(e jω )
dω
então
E =
∞∑
n=−∞
|x(n)| 2 = 1
2π
∫ π
−π
|X(e jω )| 2 dω
.
.
Sinais e Sistemas – p.25/35
Sinais e Sistemas – p.26/35
Propriedade da Convolução
Exemplo
.
Se
e
então
y(n) =
∞∑
n=−∞
x(n) −−−−−→
DT F T X(e jω )
h(n) −−−−−→
DT F T H(e jω )
x(k)h(n−k) = x(n)∗h(n) −−−−−→
DT F T Y(e jω ) = X(e jω )H(e jω )
.
Considere um sistema linear e invariante no tempo com
resposta impulsiva:
∀n ∈ , h(n) = α n u(n)
com |α| < 1. Se a entrada do sistema for:
∀n ∈ ,
Determine a saída do sistema.
Solução:
x(n) = β n u(n)
y(n) = 1
α − β [αn+1 − β n+1 ]u(n)
Sinais e Sistemas – p.27/35
Sinais e Sistemas – p.28/35

Propriedade da Multiplicação
Pares de Transformadas de Fourier
.
Se
e
então
x(n) −−−−−→
DT F T X(e jω )
w(n) −−−−−→
DT F T W(e jω )
y(n) = x(n)w(n) −−−−−→
DT F T Y(e jω ) = 1
2π
∫
2π
X(e jθ )W(e j(ω−θ) )dθ
.
δ(n)
δ(n − n 0 )
a n u(n)
u(n)
−−−−−→
DT F T
−−−−−→
DT F T
1 −−−−−→
DT F T
−−−−−→
DT F T
−−−−−→
DT F T
1
e − jωn0
∞∑
2πδ(ω + 2πk)
k=−∞
1
1 − ae − jω
1
∞∑
1 − e + − jω
k=−∞
πδ(ω + 2πk)
Sinais e Sistemas – p.29/35
Sinais e Sistemas – p.30/35
Pares de Transformadas de Fourier
Pares de Transformadas de Fourier
(n + 1)a n u(n) (|a| < 1) −−−−−→
DT F T
r n sen[ω p (n + 1)]
u(n)
sen(ω p )
sen(ω c n)
πn
−−−−−→
DT F T
−−−−−→
DT F T
1
(1 − ae − jω ) 2
1
1 − 2rcos(ω p )e jω + r 2 e − j2ω
{ 1, |ω| <
X(e jω ωc
) =
0, ω c < |ω| ≤ π
e jω 0n
cos(ω 0 n + φ)
−−−−−→
DT F T
−−−−−→
DT F T
∞∑
2πδ(ω − ω 0 + 2πk)
k=−∞
π
∞∑
[e jφ δ(ω − ω 0 + 2πk) +
k=−∞
e − jφ δ(ω + ω 0 + 2πk)]
x(n) =
{ 1, 0 ≤ n ≤ M
0, caso contrário −−−−−→
DT F T
sen[ω(M + 1)/2]
e − jωM/2
sen(ω/2)
.
.
Sinais e Sistemas – p.31/35
Sinais e Sistemas – p.32/35

Equações às Diferenças
Exemplo
N∑
M∑
a k y(n − k) = b k x(n − k)
k=0
k=0
Aplicando a transformada de Fourier:
Considere um sistema causal, linear e invariante
caracterizado pela equação às diferenças:
∀n ∈ , y(n) − 3 4 y(n − 1) + 1 y(n − 2) = 2x(n)
8
N∑
a k e − jkω Y(e jω ) =
k=0
M∑
b k e − jkω X(e jω )
k=0
Determine a sua resposta ao impulso.
Resolvendo
Solução:
.
∀ω ∈ , H(ω) = Y(e jω )
X(e jω ) = ∑ M
k=0 b k e − jωk
∑ N
k=0 a ke − jωk Sinais e Sistemas – p.33/35
.
( ) n ( ) n 1 1
h(n) = 4 u(n) − 2 u(n)
2 4
Sinais e Sistemas – p.34/35
Conclusões
.
Desenvolvemos a representação em transformada de
Fourier para sinais aperiódicos tratando-os como
sinais periódicos de período infinito.
A transformada de Fourier de sinais periódicos é um
trem de impulsos localizados em frequências
harmónicas.
Estudámos as diversas propriedades da
transformada de Fourier
A transformada de Fourier converte a operação de
convolução no produto das transformadas.
A transformada de Fourier é particularmente
adequada ao estudo de SLITs caracterizados por
equações às diferenças.
Sinais e Sistemas – p.35/35