Eletromagnetismo I Aula 27 Condições de contorno para os ... - IFSC

Eletromagnetismo I
Aula 27
Condições de contorno para os campos indução e intensidade magnéticas
Para o campo B, faremos como na aula 14, sobre a Lei de Gauss, sendo que no
caso da indução magnética, por não existirem monopólos magnéticos:
∇ · B = 0.
Se temos uma interface S entre duas regiões do espaço, ou dois meios, 1 e 2,
com a normal apontando do meio 1 para o meio 2, segue a seguinte condição de
contorno na interface:
ˆn · (B 2 − B 1 )| S
= 0.
Conseqüentemente, a componente normal do campo indução magnética é contínua.
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Para a Lei de Ampère,
∇ × H = J,
consideramos um ponto sobre a interface S e fazemos uma circuitação plana e
retangular, com seu plano contendo a normal à superfície no ponto considerado.
Se ˆn é a normal, seja ˆt um versor perpendicular à normal no ponto considerado.
Então, ˆt é tangente à superfície S. O vetor ˆt׈n é também um versor e é ortogonal
a ambos os versores ˆt e ˆn. Com esses três versores, construamos uma circuitação
em torno do ponto considerado da interface S. Ao longo de ˆt, na região 1, tracemos
um lado do retângulo de comprimento L. Ao longo de ˆn, atravessando a interface
da região 1 para a região 2, tracemos outro lado do retângulo de comprimento h.
O retângulo é completado e podemos considerar o Teorema de Stokes para o fluxo
do campo intensidade magnética sobre a superfície do retângulo, considerando L
e h infinitesimais:
ˆ
da (ˆt × ˆn ) ˛
· (∇ × H) = dr · H
ret
= Lˆt · H 1 + h 2 ˆn · H 1 + h 2 ˆn · H 2
− Lˆt · H 2 − h 2 ˆn · H 2 − h 2 ˆn · H 1
= Lˆt · (H 1 − H 2 )
ˆ
= da (ˆt × ˆn ) · J
ret
= L (ˆt × ˆn ) · j,
onde j é a corrente livre superficial na interface S. A condição de contorno nesse
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caso dá:
ˆt · (H 1 − H 2 ) ∣ ∣
S
= (ˆt × ˆn ) · j
= ˆt · (ˆn × j) .
Assim, a componente tangencial do campo intensidade magnética não é contínua
quando j ≠ 0. No entanto, ˆt é arbitrário; vamos então reescrever essa condição
de contorno em termos apenas da normal ˆn. Como ˆt é arbitrário e tangente a S,
então, (H 1 − H 2 − ˆn × j) deve ser perpendicular a ˆt, ou seja,
(H 1 − H 2 − ˆn × j) = αˆn + β (ˆt × ˆn ) .
Logo,
ˆn × (H 1 − H 2 − ˆn × j)| S
= βˆn × (ˆt × ˆn )
= βˆt.
Como ˆt é arbitrário e o membro esquerdo dessa equação não é arbitrário, segue
que β = 0 e a condição de contorno fica:
ˆn × (H 1 − H 2 )| S
= ˆn × (ˆn × j)
Como j é tangente à interface, segue que
e, portanto,
ˆn · j = 0
= ˆn (ˆn · j) − j.
ˆn × (H 2 − H 1 )| S
= j.
Problemas magnetostáticos com fronteira
Se
J = 0
em uma região V , a Lei de Ampère nos dá
∇ × H = 0.
Logo, existe uma função escalar
tal que
φ ∗
H = −∇φ ∗ .
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Suponhamos que temos um meio magnético linear, homogêneo e isotrópico.
Assim,
M = χ m H,
B = µH.
Como não há monopólos magnéticos, temos:
∇ · H =
= 0.
1 µ ∇ · B
Assim, para encontrarmos os campos indução e intensidade magnéticas nesse
caso, basta, utilizando as condições de contorno acima, resolvermos a equação
de Laplace:
∇ 2 φ ∗ = 0.
Como exemplo da aula de hoje, vamos calcular o campo intensidade magnética
quando uma esfera de raio a, com susceptibilidade magnética
χ m
constante, é colocada em uma região de campo externo
H ext = H 0 ẑ.
Nesse caso, como fazíamos em eletrostática, consideramos duas regiões do espaço:
dentro e fora da esfera. Escrevemos, portanto,
∞∑
(
φ ∗ > (r, θ) = A l r l + B )
l
P
r l+1 l (cos θ) ,
l=0
∞∑
(
φ ∗ < (r, θ) = C l r l + D )
l
P
r l+1 l (cos θ) ,
para
e
l=0
r > a
0 r a,
respectivamente, onde tomamos a origem no centro da esfera.
Porque
φ ∗ <
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deve ser finito em
r = 0,
temos:
D l = 0,
para
l = 0, 1, 2, . . . .
Como o campo é constante para r muito grande, devemos ter:
A l2 = 0
e também:
A 1 = −H 0 .
Com esses dois resultados, temos:
φ ∗ > (r, θ) = A 0 − H 0 rP 1 (cos θ) +
φ ∗ < (r, θ) =
Em
∞∑
C l r l P l (cos θ) .
l=0
∞∑
l=0
B l
r l+1P l (cos θ) ,
r = a,
a componente normal da indução magnética deve ser contínua e temos:
ˆr · (B > − B < )| r=a
= 0,
ou seja,
ˆr · (µ 0 H > − µH < )| r=a
= 0,
com
H > = −∇φ ∗ >,
H < = −∇φ ∗
∂r
∣ = µ ∂φ∗ <
r=a
∂r ∣ ,
r=a
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ou seja,
−µ 0 H 0 P 1 (cos θ) − µ 0
∞
∑
l=0
(l + 1) B l
a l+2P l (cos θ) = µ
∞∑
lC l a l−1 P l (cos θ) .
Dessa igualdade e da independência linear dos polinômios de Legendre, segue que
− µ 0
B 0
a 2 = 0,
−µ 0 H 0 − 2µ 0
B 1
a 3 = µC 1 , (1)
µ 0 (l + 1) B l
a l+2 = µlC l a l−1 , para l 2.
A outra condição de contorno, porque não temos corrente livre superficial em
nos dá:
Mas,
Portanto,
ou seja,
∞∑
l=0
r = a,
ˆr × (H > − H < )| r=a
= 0.
l=0
ˆr × (H > − H < ) = ˆr × (−∇φ ∗ > + ∇φ ∗
.
∂θ
C l a l∂P l (cos θ)
∂θ
∂φ ∗ <
∂θ
∣ = ∂φ∗ >
r=a
∂θ ∣ ,
r=a
= −H 0 a ∂P 1 (cos θ)
∂θ
+
∞∑
l=0
B l ∂P l (cos θ)
a l+1 ∂θ
Da independência linear entre as derivadas dos polinômios de Legendre, obtemos:
C 1 a = −H 0 a + B 1
a 2 ,
Resolvendo as Eqs. (1) e (2), obtemos:
C l a l = B l
al+1, para l 2. (2)
B 0 = 0,
.
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Dessa forma, temos:
B 1
a 3 = µ − µ 0
µ + 2µ 0
H 0 ,
C 1 = − 3µ 0
µ + 2µ 0
H 0 ,
B l2 = 0,
C l2 = 0.
φ ∗ > (r, θ) = A 0 − H 0 z +
φ ∗ < (r, θ) = C 0 − 3µ 0
µ + 2µ 0
H 0 z.
( µ − µ0
µ + 2µ 0
)
H0 a 3
r 2 cos θ,
Com esse potencial escalar, obtemos o seguinte campo intensidade magnética:
( ) µ − µ0 2H0 a 3 ( ) µ − µ0 H0 a
H > = H 0 ẑ + ˆr
cos θ + ˆθ
3
sin θ,
µ + 2µ 0 r 3
µ + 2µ 0 r 3
3µ 0
H < = H 0 ẑ.
µ + 2µ 0
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