Eletromagnetismo I Aula 17 Exercícios: faça os problemas ... - IFSC

Eletromagnetismo I
Aula 17
Exercícios: faça os problemas numerados de 13 a 25 do Capítulo 6 do livro-texto.
Obtenção da força eletrostática através de variações virtuais da energia
eletrostática
A força eletrostática de atração entre as placas de um capacitor plano
Caso 1: o capacitor está carregado com carga Q
Tomemos as placas paralelas ao plano yz e, portanto, a força eletrostática sobre
a placa positiva na posição x > 0 (a outra placa fica em x = 0) é dada por
F el = ˆxF el .
Suponhamos que a separação entre as placas é dada pela variável x. Assim,
podemos calcular a força através do gradiente da energia potencial e temos:
F el
= − dU
dx ,
onde U é a energia potencial total armazenada no sistema que consiste de um
capacitor carregado com carga Q. Nesse caso, a energia potencial é dada por:
U = 1 2 QV,
onde V é a diferença de potencial entre as placas do capacitor. Se a capacitância
é C, temos:
U = Q2
2C
= Q2 x
2ε 0 A ,
onde A é a área das placas paralelas. Com isso, a força fica:
ou seja,
F el
F el
= − Q2
2ε 0 A ,
= −ˆx Q2
2ε 0 A .
1

Caso 2: o capacitor é mantido a uma diferença de potencial fixa V
Tipicamente, conforme a distância entre as placas varia, o potencial também varia.
O potencial só fica constante quando há uma bateria acoplada aos terminais do
capacitor. Nesse caso, a força também é dada pela expressão:
F el
= −ˆx dU
dx ,
mas agora a energia potencial inclui a energia armazenada na bateria:
U = 1 2 QV + U bat.
Como a diferença de potencial é que fica constante, Q deve variar com a variação
de x. Assim, substituímos Q = CV na expressão acima:
F el = −ˆx d
( )
1
dx 2 CV 2 + U bat
= −ˆx d
( )
ε0 A
dx 2x V 2 + U bat
= ˆx
= ˆx
= ˆx
(
ε0 A
⎛
2x V 2 − dU bat
2 dx
⎝ C2 V 2
⎛
⎝
2ε 0 A − dU bat
dx
Q2
2ε 0 A − dU bat
dx
Para uma variação da separação entre as placas de dx > 0, a carga na placa
positiva varia de dQ < 0, pois o aumento da separação das placas diminui a
capacitância e, portanto, como Q = CV , a carga deve diminuir. Isso quer dizer
que a energia potencial da bateria deve ser aumentada pela volta à bateria de uma
quantidade de carga −dQ > 0 que, antes, estava na placa positiva do capacitor.
Para aumentar a carga na bateria de um valor −dQ > 0, devemos tomar essa
carga do pólo negativo da bateria e exercer um trabalho igual a −V dQ > 0 para
vencer a diferença de potencial entre os pólos e acrescentar essa carga ao pólo
positivo. Logo,
dU bat
dx
= −V dQ
dx
= −V 2dC
dx
= −V 2 d
dx
2
⎞
⎠
⎞
)
⎠ .
( )
ε0 A
x

Logo,
como anteriormente.
F el
= V 2ε 0A
x 2
= V 2 C 2
ε 0 A
= ˆx
= Q2
ε 0 A .
⎛
⎞
⎝
Q2
2ε 0 A − Q2 ⎠
ε 0 A
= −ˆx Q2
2ε 0 A ,
3