Exame de´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica

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que é: x = 2/3, y = 0 O erro associado é, por definição, igual à distância entre o ponto (1, 1, 0) e a P im A (b): e = ‖(1, 1, 0) − 2 3 (1, 1, 1)‖ = √ 6/3 O significado geométrico foi explicado no curso (secção 1.9 dos apontamentos). 1
NOME... <strong>Exame</strong> de ALGA. 22 de Junho de 2006. Página 2 Exercício 2 ... Considere a aplicação linear A : IR 2 → IR 2 definida por: A(x, y) = (6x − 2y, −2x + 9y) a.) Mostrar que A é diagonalizável e calcular uma base ortonormada para IR 2 (com a estrutura Euclideana usual) constituída por vectores próprios de A. b.) Considere as sucessões (x n ) e (y n ), definidas pelas fórmulas de recorrência seguintes: { xn+1 = 6x n − 2y n y n+1 = −2x n + 9y n , n ≥ 0 e { x0 = 1 y 0 = 1 Calcule x n e y n como funções de n. Resolução ... a.) A matriz de A relativamente à base canónica de IR 3 é a matriz simétrica: ( ) 6 −2 A = −2 9 Os valores próprios calculam-se por: ( ) 6 − λ −2 det (A − λId) = det = (6 − λ)(9 − λ) − 4 = 0 −2 9 − λ ⇒ λ 2 − 15λ + 50 = 0 ⇒ λ = 5, 10 Como existem dois (= dim IR 2 ) valores próprios distintos, A é diagonalizável. Os espaços próprios calculamse da forma habitual e são: ( ) ( ) 2 1 E (5) = IR e E (10) = IR 1 −2 Estes espaços são ortogonais (tinham que o ser, pelo teorema espectral!). Um base ortonormada para IR 2 constituída por vectores próprios de A é: { } (2, 1) (1, −2) B = u 1 = √ , u 2 = √ 5 5 a.) Pondo x n = ( xn y n ) , as fórmulas de recorrência dadas escrevem-se na forma vectorial: x n+1 = Ax n , x 0 = (1, 1) ( ) 6 −2 onde A = . Os cálculos devem ser feitos na base B que diagonaliza o operador A. Escrevendo −2 9 o vector x n na base B, vem que: x n = (x n · u 1 )u 1 + (x n · u 2 )u 2 isto é, as componentes de x n na base B são ˜x n = 2xn+yn √ 5 Na base B as fórmulas de recorrência escrevem-se na forma: ( ˜xn+1 = 1 √ 5 (2x n + y n ) u 1 + 1 √ 5 (x n − 2y n ) u 2 (0.1) ) = ỹ n+1 ( 5 0 0 10 , ỹ n = xn−2yn √ 5 . ) ( ˜xn ỹ n ) = ( ) 5˜xn 10ỹ n
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