Exame de´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica

NOME...
Exame de ALGA. 22 de Junho de 2006. Página 5
Exercício 6 ... Seja M n (IR) o espaço vectorial real das matrizes quadradas n × n, com entradas reais.
a.) Mostre que 〈A|B〉 = tr (AB t ) define um produto interno Euclideano em M n (IR).
b.) Calcule o núcleo da forma linear tr : M n (IR) → IR. Calcule ainda dim (ker tr ), uma base para ker tr
e o seu ortogonal relativamente ao produto interno referido na alínea anterior.
Resolução ...
a.)
A bilinearidade é óbvia:
A simetria:
〈(A + B)|C〉 = tr ((A + B)C t ) = tr (AC t + BC t ) = tr (AC t ) + tr (BC t ) = 〈A|C〉 + 〈B|C〉
Definido positivo e não degenerado:
〈λA|B〉 = tr (λAB t ) = λtr (AB t ) = 〈A|B〉
〈A|B〉 = tr (AB t ) = tr ((AB t ) t ) = tr (BA t ) = 〈B|A〉
〈A|A〉 = tr (AA t ) = tr ( ∑ j
(A i jA k j ) = ∑ i,j
(A i j) 2 ≥ 0, e = 0, se e só se A i j = 0, ∀i, j, isto é, sse A = 0
b.) Cálculos............