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Aprendendo a Programar Programando numa Linguagem Algorítmica Executável (ILA) - Página 16
2. O algoritmo abaixo determina o menor divisor maior que 1 de um inteiro dado. A idéia é
verificar se d = 2 é divisor e, não sendo, verificar se 3 ou 4 ou 5, etc, é divisor. A procura por um
divisor vai até que um divisor seja encontrado. Naturalmente, utilizando o algoritmo anterior, o
nosso processador agora sabe determinar o resto da divisão inteira de um inteiro x por outro inteiro
y não nulo. Isto será indicado por Resto(x, y). Para encontrar um divisor de n basta encontrar um
inteiro d tal que Resto(n, d) = 0.
1. Chame de N o inteiro dado.
2. Faça D = 2.
3. Repita 3.1 enquanto Resto(N, D) ≠ 0
3.1 Substitua D por D + 1
4. Forneça D para o divisor procurado.
3. Como se depreende facilmente da sua denominação, o máximo divisor comum (mdc) de
dois números dados é o maior número que os divide. Antes o mdc só era utilizado para
simplificações de frações ordinárias; atualmente ele é utilizado na determinação de chaves públicas
para sistemas de criptografia RSA [Evaristo, J, 2010]. Por exemplo, mdc(64, 56) = 8. De maneira
óbvia, o algoritmo abaixo determina o mdc de dois números dados:
1. Chame de x e de y os números.
2. Determine D(x), o conjunto dos divisores de x.
3. Determine D(y), o conjunto dos divisores de y.
4. Determine I, a interseção de D(x) e D(y).
5. Determine M, o maior elemento do conjunto I.
6. Forneça M como o mdc procurado.
O cálculo de mdc(120, 84) com este algoritmo seria:
1. x = 120, y = 84.
2. D(120) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}.
3. D(84) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84}.
4. I = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
5. M = 12.
Observe que o algoritmo anterior determina o menor divisor de um inteiro não determinando
todos os divisores, como necessário neste exemplo. Observe também que estamos supondo que o
nosso processador é capaz de determinar a interseção de dois conjuntos.
A Matemática fornece uma outra forma de se calcular o mdc de dois inteiros: determina-se a
decomposição em fatores primos dos dois inteiros e o mdc é o produto dos fatores primos comuns
as duas decomposições com as menores multiplicidades.
Para o exemplo dado acima teríamos:
120 2 84 2
60 2 42 2
30 2 21 3
15 3 7 7
5 5 1
1 1
o que nos dá 120 = 2 3 x3x5 e 84 = 2 2 x3x7 e, portanto, mdc(120, 84) = 2 2 x3 = 12.
Vale observar que escrever este algoritmo na linguagem informal que estamos utilizando é
bastante complicado.
Na há dúvida que o primeiro algoritmo para o cálculo do mdc apresentado é de compreensão
bastante simples. Porém, comentaremos posteriormente que ele é computacionalmente bastante
ineficiente no sentido de que sua execução pode, dependendo dos valores de x e y, demandar um
tempo acima do razoável.