TEOREMA DE GREEN

Capítulo 6
TEOREMA DE GREEN
Nesta seção apresentaremos uma versão simplificada de um dos teoremas clássicos da Análise
Vetorial, o teorema de Green. Utilizaremos alguns argumentos intuitivos aceitavéis, que
formulados rigorosamentefogemdosobjetivosdestasnotas.
Definição 6.1. Uma região fechada e limitada D ⊂ R 2 é simples se ∂D = C é uma curva fechada
simples.
C
C
D
D
Figura6.1: A regiãoàesquerdanão ésimples;adadireitaésimples..
Notamosque,emgeral,uma regiãosimples podeserbastante "complicada".
A seguirdaremosaidéiaintuitiva (imprecisa) decomoorientar acurva ∂D
Definição 6.2. A curva C = ∂D está orientada positivamente se é percorrida no sentido anti-horário.
(D ficaàesquerda, aose percorrer ∂D = C).
149

150 CAPÍTULO6. TEOREMADE GREEN
D
D
C +
C −
Figura6.2: Regiõesorientadas.
Teorema 6.1. (Green) Sejam A ⊂ R 2 um conjuntoaberto, D uma região simples, C = ∂D orientada
positivamente, tal que D ⊂ A e F : A −→ R 2 um campo de vetores de classe C 1 , com funções
coordenadas (F 1 ,F 2 ). Se C = ∂D tem uma parametrização de classe C 1 por partes e está orientada
positivamente em relação a D,então:
∮
∂D
∫∫
F =
D
[ ∂F2
∂x − ∂F ]
1
dxdy
∂y
Nós provaremos no apêndice o teorema de Green, numa versão particular, para regiões chamadas
elementares.
Corolário 6.2. Nashipóteses doteorema de Green, se F éumcampo conservativo, então
∮
∂D
F = 0
Aprova seguediretamentedoteoremadeGreen.
Corolário 6.3. Nashipóteses doteorema de Green, aárea da região D édada por:
ou
ou
∮
A(D) =
∂D
xdy
∮
ii)A(D) = − y dx
∂D
A(D) = 1 2
∮
∂D
xdy − y dx
Prova: Bastaconsiderarocampo F(x,y) = (−y,x)eaplicar oteoremadeGreenparaobter:
A(D) = 1 ∮
xdy − y dx.
2
∂D

151
Exemplo 6.1.
[1] Utilizando oteoremadeGreen,calcule as seguintesintegraisdelinha:
∮
√ √
1. y dx + xdy, onde γ éacurva formada pelasretas x = 1, y = 0eaparábola y = x 2 , no
γ
sentidoanti-horário.
∮
2. y dx + x 2 dy, onde γ é a curva formada pelas retas x = 2, y = 0 e 2y − x = 0, no sentido
γ
anti-horário.
1. F 1 (x,y) = √ y e F 2 (x,y) = √ x;logo: ∂F 2
∂x − ∂F 1
∂y = 1 ( 1 √x − 1 )
√ ; então,
2 y
∮
γ
√ y dx +
√ xdy =
1
2
∫∫
D
( 1 √x − 1 √ y
)
dxdy,
onde D é aregiãodetipoI: D = {(x,y) ∈ R 2 /0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x 2 }.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Figura6.3: Exemplo[1].
1
2
∫∫
∮
Logo:
D
γ
( 1 √x − 1 √ y
)
dxdy =
1
2
√ y dx +
√ xdy = −
3
10 .
∫ 1
0
( ∫ x 2
0
( 1 √ x
− 1 √ y
)dy ) dx = 1 2
∫ 1
0
(
x
3
2 − 2x ) dx = − 3
10 .
2. F 1 (x,y) = y e F 2 (x,y) = x 2 ;logo: ∂F 2
∂x − ∂F 1
∂y
∮
γ
∫∫
y dx + x 2 dy =
= 2x − 1; então,
D
(2x − 1)dxdy,
onde D é aregiãodetipoI: D = {(x,y) ∈ R 2 /0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x 2 }.

152 CAPÍTULO6. TEOREMADE GREEN
2.0
1.5
1.0
0.5
0.5 1.0 1.5 2.0
Logo,
∮
γ
∫∫
y dx + x 2 dy =
∫
[2] Calcule
γ
D
(2x − 1)dxdy =
Figura6.4: Exemplo[2].
∫ 2
0
( ∫ x 2
(2x − 1)dy ) dx =
0
∫ 2
0
(x 2 − x 2 )dx = 5 3 .
e x sen(y)dx + (e x cos(y) + x)dy,onde γ éocírculoderaio 1centradonaorigem,
noprimeiro esegundoquadrantes.
γ
Figura6.5: Exemplo[2]
OteoremadeGreennãopodeseraplicado,poisacurvanãoéfronteiradeumaregiãofechada.
ParapoderaplicaroteoremadeGreen,consideramosaseguintecurva β = γ ∪γ 1 ,diferenciável
porpartes,orientadano sentidoanti-hórario, comono seguintedesenho:
1
Figura6.6:

153
A região D étal que ∂D = β. Aplicamos o teoremadeGreen considerandoacurva β.
Sejam F 1 (x,y) = e x sen(y)eF 2 (x,y) = e x cos(y) + x;logo, ∂F 2
∂x − ∂F 1
∂y = 1;então:
∮
β
∫∫
e x sen(y)dx + (e x cos(y) + x)dy =
D
dxdy = A(D),
onde A(D) = π 2
é aáreadosemi-círculo deraio 1. Por outrolado:
logo,
∮
β
∫
∫
F =
γ
γ
∫
F + F;
γ 1
F = π 2 − ∫γ 1
F.
∫
Só falta calcular e x sen(y)dx + (e x cos(y) + x)dy , onde γ 1 é o segmento de reta entre os
γ 1
pontos (−1,0) e (1,0). Umaparametrização de γ 1 é:
∫
Então:
γ
∫
[3] Calcule
∫
{
x(t) = 2t − 1
y(t) = 0, t ∈ [0,1],
γ 1
e x sen(y)dx + (e x cos(y) + x)dy =
e x sen(y)dx + (e x cos(y) + x)dy = π 2 .
C
∫ 1
0
dx = 2dt
dy = 0dt.
(2t − 1 + e 2t−1 )0dt = 0.
(y e x y + 2xy cos(x 2 y))dx + (xe x y + x 2 cos(x 2 y))dy, onde C é a curva formada
pelosarcos dasseguintescurvas y = x 3 − x e y = x − x 3 , −1 ≤ x ≤ 1.
0.6
0.4
0.2
1.0 0.5 0.5 1.0
0.2
0.4
0.6
Figura6.7: Exemplo[3].

154 CAPÍTULO6. TEOREMADE GREEN
C é uma curva fechada e F(x,y) = (y e x y + 2xy cos(x 2 y),xe x y + x 2 cos(x 2 y)) é um campo
conservativo,com potencial f(x,y) = e x y + sen(x 2 y) + c;logo:
∮
(y e x y + 2xy cos(x 2 y))dx + (xe x y + x 2 cos(x 2 y))dy = 0.
C
[4] Determineaáreadaregião limitada pelascurvas 4x 2 + y 2 = 4e x2
9 + y2
4 = 1.
Pela simetria da região, calculamos a área da região no primeiro quadrante e multiplicamos o
resultadopor 4.
1
-3
-1 1
2
-1
Figura6.8:
A nova região é uma região fechada simples D tal que ∂D = γ 1 ∪ γ 2 ∪ γ 3 , onde γ 1 é o arco da
elipse 4x 2 + y 2 = 4, γ 2 é o segmento de reta que liga os pontos (1,0) e (3,0) e γ 3 é o arco da
elipse x2
9 + y2
4 = 1. 2
1 3
Figura6.9:
Parametrizações:
∮
A(D) =
∂D
∫ ∫ ∫
xdy = xdy +
γ 1
xdy +
γ 2
xdy.
γ 3
i) 4x 2 + y 2 = 4éparametrizada por γ − 1 (t) = (cos(t),2sen(t)), t ∈ [0, π 2 ].
ii) O segmento de reta que liga os pontos (1,0) e (3,0) é parametrizado por γ 2 (t) = (t,0),
t ∈ [1,3].

6.1. EXTENSÃODO TEOREMADE GREEN 155
iii) x2
9 + y2
4 = 1éparametrizada por γ− 3 (t) = (3cos( π
2 − t) ,2sen ( π
2 − t) ), t ∈ [0, π 2
∫ ∫
i) xdy =
γ 1
∫
ii) xdy = 0.
γ 2
γ − 1
∫
iii) xdy = −
γ 3
∫ π
2
xdy = − 2cos 2 (t)dt = −
0
∫ π
2
Logo,aárea totalé4π u.a.
0
−6sen 2 (t)dt =
∫ π
2
0
∫ π
2
0
(cos(2t) + 1)dt = − π 2
(3 − 3cos(2t))dt = 3π
2 .
]. Então:
6.1 ExtensãodoTeoremade Green
O teoremade Green ainda é válido para regiõesmais gerais de que as estudadasno parágrafo
anterior.
Teorema 6.4. Seja D uma região no plano tal que ∂D = C 1 ∪ C 2 ∪ ............ ∪ C n . Cada curva da
fronteira de D éorientada deformaque D tenhaorientaçãopositiva. Sejam U ⊂ R 2 umconjuntoaberto
tal que D ⊂ U e F : U −→ R 2 um campo de vetores de classe C 1 , com funções coordenadas (F 1 ,F 2 ).
Então:
n∑
∫ ∫∫ [ ∂F2
F =
∂x − ∂F ]
1
dxdy.
∂y
i=1
C + i
D
A seguinteregiãoétal que ∂D + = C + 1 ∪ C− 2 ∪ C− 3 ∪ C− 4
D
C 1
C4
C3
C2
Figura6.10:
Por exemploconsideremosaseguinteregião D:

156 CAPÍTULO6. TEOREMADE GREEN
C1
D
C2
Figura6.11:
∂D + = C + 1 ∪ C− 2 . Subdividamos aregião D em 4subregiões D = D 1 ∪ D 2 ∪ D 3 ∪ D 4 :
C 1
D 4
C 2
D 3
D 1
D 2
Figura6.12:
i) Seja D 1 tal que ∂D + 1 = C+ 11 ∪ L+ 4 ∪ C− 21 ∪ L+ 1 ; onde C i1 é o arco da curva C i , (1 ≤ i ≤ 2) na
região D 1 .
ii) Seja D 2 tal que ∂D + 2 = C+ 12 ∪ L+ 2 ∪ C− 22 ∪ L− 1 ; onde C i1 é o arco da curva C i , (1 ≤ i ≤ 2) na
região D 2 .
iii) Seja D 3 tal que ∂D + 3 = C+ 13 ∪ L− 2 ∪ C− 23 ∪ L+ 3 ; onde C i1 é o arco da curva C i , (1 ≤ i ≤ 2) na
região D 3 .
iv) Seja D 4 tal que ∂D + 4 = C+ 14 ∪ L− 3 ∪ C− 24 ∪ L− 4 ; onde C i1 é o arco da curva C i , (1 ≤ i ≤ 2) na
região D 4 .

6.1. EXTENSÃODO TEOREMADE GREEN 157
C
1 3
C 1 4
D4
C 2 4
L 3
C
D 2 3
3
L 4
D
1
C 2 1
L 1
C 2 2
D2
L 2
C 1 1
C 1 2
Figura6.13:
i) Aplicando oteoremadeGreenem D 1 :
∫∫ [ ∂F2
D 1
∂x − ∂F ] ∮
1
dxdy =
∂y
∂D + 1
ii) Aplicando o teoremadeGreen em D 2 :
∫∫ [ ∂F2
D 2
∂x − ∂F ] ∮
1
dxdy =
∂y
∂D + 2
iii) Aplicando oteoremadeGreenem D 3 :
∫∫ [ ∂F2
D 3
∂x − ∂F ] ∮
1
dxdy =
∂y
∂D + 3
iv) Aplicando oteoremadeGreen em D 4 :
∫∫
Então,dei), ii), iii) eiv):
[ ∂F2
D 4
∂x − ∂F ] ∮
1
dxdy =
∂y
∂D + 4
4∑
∫∫
i=1
[ ∂F2
D i
∂x − ∂F 1
∂y
∫
F =
∫
F =
∫
F =
∫
F =
C + 11
C + 12
C + 13
C + 14
∫
F +
L + 4
∫
F +
L + 2
∫
F +
L − 2
∫
F +
L − 3
] ∫
dxdy =
C + 1
∫ ∫
F + F +
C − 21 L + 1
∫ ∫
F + F +
C − 22 L − 1
∫ ∫
F + F +
C − 23 L + 3
∫ ∫
F + F +
C − 24 L − 4
∫
F +
C − 2
F.
F.
F.
F.
F.
Exemplo 6.2.
[1] Seja D a região limitada pela curva x 2 + y 2 = 9 externa ∫ ao retângulo de vértices (1, −1),
(2, −1), (2,1) e (1,1), orientadapositivamente. Calcule (2x − y 3 )dx − xy dy.
∂D +

158 CAPÍTULO6. TEOREMADE GREEN
D
C
2
C
1
Figura6.14: Exemplo[1].
∂D + = C + 1 ∪ C− 2 ; então:
∫
∫
(2x − y 3 )dx − xy dy =
∂D +
∂C + 1
∫
(2x − y 3 )dx − xy dy − (2x − y 3 )dx − xy dy.
∂C + 2
i) Seja D 1 a região limitada pela curva x 2 + y 2 = 9; ∂D 1 + = C+ 1 . Seja F 1(x,y) = 2x − y 3 e
F 2 (x,y) = −xy. Aplicando o teorema de Green a D 1 , utilizando a parametrização usual do
círculo:
∫
∫∫
(2x − y 3 )dx − xy dy = (3y 2 − y)dxdy
D 1
∂C + 1
=
∫ 2π
0
( ∫ 3
0
(3r 2 sen 2 (t) − r sen(t))r dr ) dt = 243π
4 .
ii) Seja D 2 a região limitada pelo retângulo; ∂D + 2 = C+ 2 . Seja F 1(x,y) = 2x − y 3 e F 2 (x,y) =
−xy. AplicandooteoremadeGreenaD 2 :
∫
∂C + 2
∫∫
(2x − y 3 )dx − xy dy = (3y 2 − y)dxdy =
D 2
∫ 1
−1
( ∫ 2
(3y 2 − y)dx ) dy = 2.
1
De i) eii):
∫
(2x − y 3 )dx − xy dy = 243π
∂D + 4
− 2.
∮
[2]Calcule
anti-hórario.
C
F,onde F(x,y) = ( −y x
x 2 + y 2, x 2 + y 2 + 2x) e C éacurva x2
4 + y2
9 = 1nosentido
Não podemos aplicar o teorema de Green, pois F não é definido na origem. Seja D a região
limitada pelacurva x2
4 + y2
9
= 1, externaao círculo deraio 1, centradona origem:

6.2. CARACTERIZAÇÃODOS CAMPOS CONSERVATIVOSNOPLANO 159
3
1
-2 -1 1 2
-1
-3
∂D + = C + 1 ∪ C− 2 . Sejam F 1(x,y) =
teoremaanterior:
∫
C + 1
∫
F +
C − 2
∫∫
F =
D
Figura6.15: Exemplo[2].
−y
x 2 + y 2 e F 2(x,y) =
x
x 2 + 2x; então, aplicando o
+ y2 [ ∂F2
∂x − ∂F ] ∫∫
1
dxdy = 2dxdy = 2A(D) = 10π.
∂y
D
Logo:
∫
C + 1
∫
F = 10π −
C − 2
∫
F = 10π +
C + 2
F.
Usandoaparametrização usualdocírculo:
∫
então:
C + 1
∫
C + 2
F =
∫ 2π
F = (10 + 4)π = 14π.
0
(sen 2 (t) + 3cos 2 (t))dt =
∫ 2π
0
(1 + 2cos 2 (t))dt = 4π;
6.2 Caracterizaçãodos Campos Conservativos noPlano
Definição 6.3. Seja A ⊂ R 2 umconjuntoaberto.
1. A édito umdomíniopoligonal separa todo x, y ∈ A existe umapoligonal ligando x e y em A.
2. A é dito simplesmente conexo se, para toda curva fechada C ⊂ A, a região limitada por C está
contida em A.
Intuitivamente, A é simplesmente conexo quando não tem "buracos". A seguinte região D tal
que ∂D = C 1 ∪ C 2 , não ésimplesmenteconexa.

160 CAPÍTULO6. TEOREMADE GREEN
C 2
D
C 1
Figura6.16: .
Teorema6.5. Seja F umcampodevetores declasse C 1 ,definidonumdomíniopoligonal, simplesmente
conexo, aberto A. Sãoequivalentes as seguintes afirmações:
∮
1. F = 0,onde C ⊂ A éumacurvafechada de classe C 1 por partes, arbitrária.
C
2. A integral de linha de F do ponto P 1 até o ponto P 2 , denotada por:
curvas de classe C 1 por partes queligam P 1 e P 2 .
∫ P2
P 1
F, é independente das
3. F éconservativo.
4.
∂F 2
∂x (x,y) = ∂F 1
(x,y),para todo (x,y) ∈ A.
∂y
Prova: (1) ⇒ (2). Sejam C 1 e C 2 duascurvas ligando P 1 e P 2 em A.
U
P 2
C 1
P
1
C2
Seja C talque C + = C1 − ∪ C+ 2 ;então:
∮
0 =
∫
logo,
C + 1
∫
F =
C + 2
C
Figura6.17:
∫
F =
C − 1
∫
F +
C + 2
F, quaisquerquesejamascurvas C 1 e C 2 ligando P 1 e P 2 em A.
(2) ⇒(3). Sejam (x 0 ,y 0 ) e (x,y) ∈ A. Definamosafunção f em A, doseguintemodo:
F;

6.2. CARACTERIZAÇÃODOS CAMPOS CONSERVATIVOSNOPLANO 161
Consideremosocaminho poligonalligando (x 0 ,y 0 )e(x,y):
( x , y)
( x 0 , y 0 )
Figura6.18:
Parametrizando estos caminhos: γ 1 (t) = (x 0 ,t), y 0 ≤ t ≤ y e γ 2 (t) = (t,y 0 ), x 0 ≤ t ≤ x;
definamos f por:
f(x,y) =
∫ x
x 0
F 1 (t,y)dt +
∫ y
y 0
F 2 (x,t)dt.
Estafunção é bemdefinida,poisindependedacurva queliga ospontos (x 0 ,y 0 ) e (x,y) ∈ A. E
seguediretamentedadefinição que:
∂f
∂x (x,y) = F 1(x,y)
e
∂f
∂y (x,y) = F 2(x,y).
(3) ⇒ (4). Como ∇f(x,y) = F(x,y), segueque:
para todo (x,y) ∈ A.
∂F 2
∂x (x,y) = ∂F 1
∂y (x,y),
(4) ⇒ (1). Seguedo teoremade Green. De fato, podemosaplicar o teoremade Green pois se A
é simplesmenteconexo,aregião D limitada porqualquercurva fechada C estácontidaem A.
Exemplo 6.3.
∮
[1] Calcule
C
F, onde F(x,y) = ( −
y x )
x 2 + y 2, se:
x 2 + y 2
i) C équalquer curvafechada simples,bordodeumaregiãoquenão contemaorigem.
ii) C é qualquercurva fechadasimples,bordodeumaregião quecontemaorigem.
i) Seja C + comono desenho:

162 CAPÍTULO6. TEOREMADE GREEN
Figura6.19:
∮
F éum campo conservativo em D talque ∂D = C. PeloTeoremadeGreen F = 0.
C +
ii) Seja D umaregiãoquecontemaorigemtalque ∂D = C e C 1 umcírculo aoredordaorigem
(deraio suficientementepequeno),como nodesenho:
Figura6.20:
Denotemospor D 1 aregião obtidade D talque ∂D 1 = C − 1 ∪ C+ . Pelo TeoremadeGreen:
∮
∂D + 1
F = 0.
Denotemospor D 2 aregião obtidade D talque ∂D 2 = C 1 + ;calculando diretamente,
∮
∂D + 2
∮
F =
C + 1
F = 2π.
,Como D = D 1 ∪ D 2 ,temos:
∮
∫
[2] Calcule
C
C
F = 2π.
F, onde F(x,y) = (3x 2 y + 2y 2 ,x 3 + 4xy + 1) e a curva C é parametrizada por
γ(t) = (cos 3 (t),sen 3 (t)), t ∈ [0, π 2 ].

6.2. CARACTERIZAÇÃODOS CAMPOS CONSERVATIVOSNOPLANO 163
Figura6.21:
Noteque ∂F 2
∂x = ∂F 1
∂y = 3x2 + 4y. Logo, F éconservativo com potencial:
∫
f(x,y) =
∫
(3x 2 y + 2y 2 )dx +
dy = x 3 y + 2y 2 x + y;
então,aintegraldependeapenasdospontosinicial efinaldacurva: γ(0) = (1,0) e
γ ( π
2
)
= (0,1)
∫
C
F = f(0,1) − f(1,0) = 1 − 0 = 1.
[3] Seja F = (F 1 ,F 2 ) um campo de vetores tal que ∂F 2
∂x = ∂F 1
. Considere a região dada pelo
∂y
seguintedesenho,demodoque F nãosejadefinidonas regiões A e B.
A
C1
B
C3
C2
Figura6.22:
∫ ∫
∫
Se F = 12 e F = 15, calcule F.
C 1 C 2 C 3
Separemosaregião delimitadapelascurvas doseguintemodo:

164 CAPÍTULO6. TEOREMADE GREEN
D1
A
D2
C1
B
C31
C2
C 32
i) Seja D 1 tal que ∂D + 1 = C+ 31 ∪ C− 1 , então ∫
Figura6.23:
∂D + 1
∫
F =
C + 31
∫
F −
C + 1
F. Aplicando o teorema de
Green:
∫ ∫∫
(∂F 2
F =
∂D + 1 D 1
∂x − ∂F ∫ ∫
1) dxdy = 0, logo F = F = 12.
∂y
C + 31 C + 1
∫ ∫ ∫
ii) Seja D 2 tal que ∂D 2 + = C+ 32 ∪ C− 2 , então F = F − F. Aplicando o teorema de
Green:
∫
∂D + 2
iii) Como C 3 + = C+ 31 ∪ C− 32 , temos:
∫ ∫
F =
∂D + 2
C + 32
∫∫
(∂F 2
F =
D 2
∂x − ∂F ∫
1) dxdy = 0, logo
∂y
C + 3
C + 31
C + 32
C + 2
∫
F =
∫
F − F = 12 − 15 = −3.
C + 32
C + 2
F = 15.

6.3. EXERCÍCIOS 165
6.3 Exercícios
∮
1. Calcule
C
anti-horário:
4y dx + 7xdy,onde C éotriângulodevértices (0,0), (4,0) e (2,2), nosentido
(a) diretamante.
(b) utilizando o teoremadeGreen.
2. Calcule as seguintesintegraisutilizando oteoremadeGreen:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
∮
e y
C x dx + (ey ln(x) + 2x)dy,onde C éafronteiradaregiãolimitada por x = y 4 + 1
e x = 2.
∮
(cos(x) − 5y)dx + (4x − y −1 )dy, onde C é a fronteiradaregião limitada por y +
C
x 2 − 9 = 0ey− 5 = 0.
∮
(x − y)dx − x 2 dy, onde C éafronteiradaregião [0,2] × [0,2].
∮
∮
∮
C
C
C
C
(e x − 3y)dx + (e y + 6x)dy,onde C éaelipse x 2 + 4y 2 = 4.
(x + y)dx + (y − x)dy, onde C é ocírculo x 2 + y 2 − 2ax = 0.
(x + y)dx + (y + x 2 )dy,onde C éafronteiradaregiãolimitada por x 2 + y 2 = 1e
x 2 + y 2 = 4.
∮
arctg(x)dx + 3xdy, onde C é a fronteira da região limitada pelo retângulo de
C
vértices (1,0), (2,3), (0,1) e (3,2).
∮
xy dx + (y + x)dy,onde C éafronteiradaregiãolimitada por x 2 + y 2 = 1.
∮
C
C
(y + ln( √ x + x 2 ))dx + (x 2 + tg(y 3 ))dy, onde C é o quadrado de vértices (0,0),
(1,0), (1,1) e (0,1).
3. Utilizando os corolários do teorema de Green, calcule a área da região limitada pelas
seguintescurvas:
(a) y = x 2 e y 2 = x

166 CAPÍTULO6. TEOREMADE GREEN
(b) y = 4x 2 e y = 16x
(c) x2
a 2 + y2
= 1, (a, b > 0)
b2 (d) y 2 = x 3 e y = x
4. Seja D ⊂ R 2 uma região nas hipótesesdo teorema de Green. Utilizando o teorema, verifiquequeas
coordenadasdocentróidede D são dadaspor:
onde A = A(D).
x = 1
2A
∮
C
x 2 dy y = − 1
2A
∮
C
y 2 dx,
(a) Ache ocentróidedotriângulo devértices (0,0), (1,0) e (0,1).
(b) Ache ocentróidedaregião definidapor x 2 + y 2 ≤ 1talque y ≥ 0.
∮
5. Calcule
C
xdy − y dx
x 2 + y 2 ,nosseguintescasos:
(a) A origemdascoordenadasestáforadacurva fechada C.
(b) A curvafechada C encerraaorigemdas coordenadas.
∫
6. Seja I = x 3 dy − y 3 dx, onde C é formada pelos lados do triângulo de vértices (−2,0),
C
(4, √ 3) e (1, √ ∫∫
(
3) e seja J = x 2 + y 2) dxdy, onde R é a região limitada por C. Verifiqueque
I = 3J.
7. Calcule mdemodoque:
R
∫
C
xr m
y
dx − x2 r m
y 2
dy
com x 2 + y 2 = r 2 , independada curva C, fronteira de uma região simplesmente conexa.
Escolhaumacurva C nas condiçõesdoproblema ecalcule aintegralao longode C.
∮
8. Verifique que
C
y 2 dx + (2xy − 3)dy = 0, sendo C a elipse x 2 + 4y 2 = 4. Calcule a
integralao longodoarco dessaelipse,situadonoprimeiro quadrante.

6.3. EXERCÍCIOS 167
∫
(
9. Calcule x 2 y cos(x) − 2xy sen(x) − y 2 e x) dx + ( x 2 sen(x) − 2y e x) dy, onde C é a hipociclóide
3√ x 2 + 3√ y 2 = 3√ a 2
C
.
10. Ache a área da região limitada pela hipociclóide do item anterior, utilizando o teorema
deGreen.
11. Seja C uma curva simples e fechada que limita uma região de área A. Verifique que se
a 1 , a 2 , a 3 , b 1 , b 2 , b 3 ∈ R,então:
∮
C
(a 1 x + a 2 y + a 3 )dx + (b 1 x + b 2 y + b 3 )dy = (b 1 − a 2 )A.
12. Sobquecondições,no itemanterior, aintegralao longode C ézero?

168 CAPÍTULO6. TEOREMADE GREEN