TEOREMA DE GREEN

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150 CAPÍTULO6. TEOREMADE GREEN D D C + C − Figura6.2: Regiõesorientadas. Teorema 6.1. (Green) Sejam A ⊂ R 2 um conjuntoaberto, D uma região simples, C = ∂D orientada positivamente, tal que D ⊂ A e F : A −→ R 2 um campo de vetores de classe C 1 , com funções coordenadas (F 1 ,F 2 ). Se C = ∂D tem uma parametrização de classe C 1 por partes e está orientada positivamente em relação a D,então: ∮ ∂D ∫∫ F = D [ ∂F2 ∂x − ∂F ] 1 dxdy ∂y Nós provaremos no apêndice o teorema de Green, numa versão particular, para regiões chamadas elementares. Corolário 6.2. Nashipóteses doteorema de Green, se F éumcampo conservativo, então ∮ ∂D F = 0 Aprova seguediretamentedoteoremadeGreen. Corolário 6.3. Nashipóteses doteorema de Green, aárea da região D édada por: ou ou ∮ A(D) = ∂D xdy ∮ ii)A(D) = − y dx ∂D A(D) = 1 2 ∮ ∂D xdy − y dx Prova: Bastaconsiderarocampo F(x,y) = (−y,x)eaplicar oteoremadeGreenparaobter: A(D) = 1 ∮ xdy − y dx. 2 ∂D
151 Exemplo 6.1. [1] Utilizando oteoremadeGreen,calcule as seguintesintegraisdelinha: ∮ √ √ 1. y dx + xdy, onde γ éacurva formada pelasretas x = 1, y = 0eaparábola y = x 2 , no γ sentidoanti-horário. ∮ 2. y dx + x 2 dy, onde γ é a curva formada pelas retas x = 2, y = 0 e 2y − x = 0, no sentido γ anti-horário. 1. F 1 (x,y) = √ y e F 2 (x,y) = √ x;logo: ∂F 2 ∂x − ∂F 1 ∂y = 1 ( 1 √x − 1 ) √ ; então, 2 y ∮ γ √ y dx + √ xdy = 1 2 ∫∫ D ( 1 √x − 1 √ y ) dxdy, onde D é aregiãodetipoI: D = {(x,y) ∈ R 2 /0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x 2 }. 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Figura6.3: Exemplo[1]. 1 2 ∫∫ ∮ Logo: D γ ( 1 √x − 1 √ y ) dxdy = 1 2 √ y dx + √ xdy = − 3 10 . ∫ 1 0 ( ∫ x 2 0 ( 1 √ x − 1 √ y )dy ) dx = 1 2 ∫ 1 0 ( x 3 2 − 2x ) dx = − 3 10 . 2. F 1 (x,y) = y e F 2 (x,y) = x 2 ;logo: ∂F 2 ∂x − ∂F 1 ∂y ∮ γ ∫∫ y dx + x 2 dy = = 2x − 1; então, D (2x − 1)dxdy, onde D é aregiãodetipoI: D = {(x,y) ∈ R 2 /0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x 2 }.
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