TEOREMA DE GREEN

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A região D étal que ∂D = β. Aplicamos o teoremadeGreen considerandoacurva β.
Sejam F 1 (x,y) = e x sen(y)eF 2 (x,y) = e x cos(y) + x;logo, ∂F 2
∂x − ∂F 1
∂y = 1;então:
∮
β
∫∫
e x sen(y)dx + (e x cos(y) + x)dy =
D
dxdy = A(D),
onde A(D) = π 2
é aáreadosemi-círculo deraio 1. Por outrolado:
logo,
∮
β
∫
∫
F =
γ
γ
∫
F + F;
γ 1
F = π 2 − ∫γ 1
F.
∫
Só falta calcular e x sen(y)dx + (e x cos(y) + x)dy , onde γ 1 é o segmento de reta entre os
γ 1
pontos (−1,0) e (1,0). Umaparametrização de γ 1 é:
∫
Então:
γ
∫
[3] Calcule
∫
{
x(t) = 2t − 1
y(t) = 0, t ∈ [0,1],
γ 1
e x sen(y)dx + (e x cos(y) + x)dy =
e x sen(y)dx + (e x cos(y) + x)dy = π 2 .
C
∫ 1
0
dx = 2dt
dy = 0dt.
(2t − 1 + e 2t−1 )0dt = 0.
(y e x y + 2xy cos(x 2 y))dx + (xe x y + x 2 cos(x 2 y))dy, onde C é a curva formada
pelosarcos dasseguintescurvas y = x 3 − x e y = x − x 3 , −1 ≤ x ≤ 1.
0.6
0.4
0.2
1.0 0.5 0.5 1.0
0.2
0.4
0.6
Figura6.7: Exemplo[3].