TEOREMA DE GREEN

6.1. EXTENSÃODO TEOREMADE GREEN 157
C
1 3
C 1 4
D4
C 2 4
L 3
C
D 2 3
3
L 4
D
1
C 2 1
L 1
C 2 2
D2
L 2
C 1 1
C 1 2
Figura6.13:
i) Aplicando oteoremadeGreenem D 1 :
∫∫ [ ∂F2
D 1
∂x − ∂F ] ∮
1
dxdy =
∂y
∂D + 1
ii) Aplicando o teoremadeGreen em D 2 :
∫∫ [ ∂F2
D 2
∂x − ∂F ] ∮
1
dxdy =
∂y
∂D + 2
iii) Aplicando oteoremadeGreenem D 3 :
∫∫ [ ∂F2
D 3
∂x − ∂F ] ∮
1
dxdy =
∂y
∂D + 3
iv) Aplicando oteoremadeGreen em D 4 :
∫∫
Então,dei), ii), iii) eiv):
[ ∂F2
D 4
∂x − ∂F ] ∮
1
dxdy =
∂y
∂D + 4
4∑
∫∫
i=1
[ ∂F2
D i
∂x − ∂F 1
∂y
∫
F =
∫
F =
∫
F =
∫
F =
C + 11
C + 12
C + 13
C + 14
∫
F +
L + 4
∫
F +
L + 2
∫
F +
L − 2
∫
F +
L − 3
] ∫
dxdy =
C + 1
∫ ∫
F + F +
C − 21 L + 1
∫ ∫
F + F +
C − 22 L − 1
∫ ∫
F + F +
C − 23 L + 3
∫ ∫
F + F +
C − 24 L − 4
∫
F +
C − 2
F.
F.
F.
F.
F.
Exemplo 6.2.
[1] Seja D a região limitada pela curva x 2 + y 2 = 9 externa ∫ ao retângulo de vértices (1, −1),
(2, −1), (2,1) e (1,1), orientadapositivamente. Calcule (2x − y 3 )dx − xy dy.
∂D +