TEOREMA DE GREEN

160 CAPÍTULO6. TEOREMADE GREEN
C 2
D
C 1
Figura6.16: .
Teorema6.5. Seja F umcampodevetores declasse C 1 ,definidonumdomíniopoligonal, simplesmente
conexo, aberto A. Sãoequivalentes as seguintes afirmações:
∮
1. F = 0,onde C ⊂ A éumacurvafechada de classe C 1 por partes, arbitrária.
C
2. A integral de linha de F do ponto P 1 até o ponto P 2 , denotada por:
curvas de classe C 1 por partes queligam P 1 e P 2 .
∫ P2
P 1
F, é independente das
3. F éconservativo.
4.
∂F 2
∂x (x,y) = ∂F 1
(x,y),para todo (x,y) ∈ A.
∂y
Prova: (1) ⇒ (2). Sejam C 1 e C 2 duascurvas ligando P 1 e P 2 em A.
U
P 2
C 1
P
1
C2
Seja C talque C + = C1 − ∪ C+ 2 ;então:
∮
0 =
∫
logo,
C + 1
∫
F =
C + 2
C
Figura6.17:
∫
F =
C − 1
∫
F +
C + 2
F, quaisquerquesejamascurvas C 1 e C 2 ligando P 1 e P 2 em A.
(2) ⇒(3). Sejam (x 0 ,y 0 ) e (x,y) ∈ A. Definamosafunção f em A, doseguintemodo:
F;