TEOREMA DE GREEN

158 CAPÍTULO6. TEOREMADE GREEN
D
C
2
C
1
Figura6.14: Exemplo[1].
∂D + = C + 1 ∪ C− 2 ; então:
∫
∫
(2x − y 3 )dx − xy dy =
∂D +
∂C + 1
∫
(2x − y 3 )dx − xy dy − (2x − y 3 )dx − xy dy.
∂C + 2
i) Seja D 1 a região limitada pela curva x 2 + y 2 = 9; ∂D 1 + = C+ 1 . Seja F 1(x,y) = 2x − y 3 e
F 2 (x,y) = −xy. Aplicando o teorema de Green a D 1 , utilizando a parametrização usual do
círculo:
∫
∫∫
(2x − y 3 )dx − xy dy = (3y 2 − y)dxdy
D 1
∂C + 1
=
∫ 2π
0
( ∫ 3
0
(3r 2 sen 2 (t) − r sen(t))r dr ) dt = 243π
4 .
ii) Seja D 2 a região limitada pelo retângulo; ∂D + 2 = C+ 2 . Seja F 1(x,y) = 2x − y 3 e F 2 (x,y) =
−xy. AplicandooteoremadeGreenaD 2 :
∫
∂C + 2
∫∫
(2x − y 3 )dx − xy dy = (3y 2 − y)dxdy =
D 2
∫ 1
−1
( ∫ 2
(3y 2 − y)dx ) dy = 2.
1
De i) eii):
∫
(2x − y 3 )dx − xy dy = 243π
∂D + 4
− 2.
∮
[2]Calcule
anti-hórario.
C
F,onde F(x,y) = ( −y x
x 2 + y 2, x 2 + y 2 + 2x) e C éacurva x2
4 + y2
9 = 1nosentido
Não podemos aplicar o teorema de Green, pois F não é definido na origem. Seja D a região
limitada pelacurva x2
4 + y2
9
= 1, externaao círculo deraio 1, centradona origem: