TEOREMA DE GREEN

6.1. EXTENSÃODO TEOREMADE GREEN 155
iii) x2
9 + y2
4 = 1éparametrizada por γ− 3 (t) = (3cos( π
2 − t) ,2sen ( π
2 − t) ), t ∈ [0, π 2
∫ ∫
i) xdy =
γ 1
∫
ii) xdy = 0.
γ 2
γ − 1
∫
iii) xdy = −
γ 3
∫ π
2
xdy = − 2cos 2 (t)dt = −
0
∫ π
2
Logo,aárea totalé4π u.a.
0
−6sen 2 (t)dt =
∫ π
2
0
∫ π
2
0
(cos(2t) + 1)dt = − π 2
(3 − 3cos(2t))dt = 3π
2 .
]. Então:
6.1 ExtensãodoTeoremade Green
O teoremade Green ainda é válido para regiõesmais gerais de que as estudadasno parágrafo
anterior.
Teorema 6.4. Seja D uma região no plano tal que ∂D = C 1 ∪ C 2 ∪ ............ ∪ C n . Cada curva da
fronteira de D éorientada deformaque D tenhaorientaçãopositiva. Sejam U ⊂ R 2 umconjuntoaberto
tal que D ⊂ U e F : U −→ R 2 um campo de vetores de classe C 1 , com funções coordenadas (F 1 ,F 2 ).
Então:
n∑
∫ ∫∫ [ ∂F2
F =
∂x − ∂F ]
1
dxdy.
∂y
i=1
C + i
D
A seguinteregiãoétal que ∂D + = C + 1 ∪ C− 2 ∪ C− 3 ∪ C− 4
D
C 1
C4
C3
C2
Figura6.10:
Por exemploconsideremosaseguinteregião D: