as estruturas aditivas

4. a representação e as relações entresignificados e signi f ican t es .1. UMA CONCEPÇÃO INTERACTIVADA FORMACAO DOS CONHECIMENTOSEm primeiro lugar nos seus aspectos práticos,bem como nos seus aspectos teóricos,o saber forma-se a partir de problemas a resolver,quer dizer, de situações a dominar.Constata-se isto na história das ciências edas técnicas, e também no desenvolvimentodos instrumentos cognitivos da criança, n emeadamente no domínio do espaço e nacompreensão e categorização dos objectosusuais. Isto deveria ser igualmente verdadeirono ensino das matemáticas, mas nãoé o que se verifica. A tendência mais correnteé a de ensinar ((maneiras de fazer)) ouaigontmos, ligando estes problemas a classesrelativamente limitadas. Por ((problema))entenda-se, no sentido lato que lhe dá opsic6log0, qualquer situação em que 6 necessáriodescobrir relações, desenvolver actividadesde exploração, hipótese e verificação,para produzir uma solução: este procedimentonão é necessariamente o mais geralou o mais económico; pode mesmo ser falso,o que nem por isso deixa de ser procedimentoa estudar em pé de igualdade com osoutros.Tomando ((problema)) no seu sentido maisgeral, constitui para a criança um ((problema))comparar os efectivos de duas colecçõesou o conteúdo de dois recipientes,seriar uma sequência de objectos em funçãodo tamanho ou do peso, ou reconhecer aesquerda e a direita de um personagem quese situe de frente para ela; constitui evidentementeum «problema» r)rganhar dados76Elestado inicialExemplo I: Jean tinhanuméricos para saber quais é preciso utilizare por que ordem devem ser tratados; masconstitui também um «problema» para ascrianças calcular o efectivo de um conjuntoformado por duas partes sem tornar a contarcada uma das duas partes (se já se coatoucada uma delas).I2 um objectivo prioritário, na investigaçãoem didáctica, investigar, analisar e classificar,tão exaustivamente quanto possível,as situações-problema que conferem significaçãoe função a um conceito. Isto permite,em primeiro lugar, apelar no ensino a umamaior variedade de relações e problemas;em segundo lugar, aprofundar a epistemoiogiade um conceito, isto é, principalmentea sua função (a que problemas ele responde)e a sua radicação (em que outros conceitosele se apoia). As concepções dos alunos sãomodeladas pelas situações com que eles sedepararam. Isto pode levar a grandes desfasamentosentre estas concepções e os conceitosmatemáticos: por exemplo, se umaluno de 4 éme s6 compreende o conceitode fracção como uma quantidade fraccionária,numa relação parte-todo (parte debolo, parte de uma colecção), ele não podeaperceber a riqueza e o alcance dos númerosracionais. Do mesmo modo para os númerosnegativos, se ele considerar que 06números representam quantidades: comonão há quantidade negativa, os números negativosnão têm sentido algum.Tomemos o exemplo da subtracçãoA primeira concepção da subtracção, parauma criança pequena, consiste na diminuiçãode uma quantidade inicial, por consumo,perda ou venda,opor exemplo:transformaçãoOestado final8 bombons; come 3. Quantos bombons tem agora?

A partir de uma tal concepção, não 6imediato compreender a subtracção:- como um complemento- como uma diferença entre estados sucessivosExemplo 4: Robert tinha 8 berlindes antes dejogar com a Isabelle. Agora tem 3 berlindes.O que é que se passou durante o jogo?Exemplo 2: Há 8 crianças A mesa no aniversáriode Dorothée. 3 são raparigas. Quantosrapazes há?-comoo inverso de um aumento-comouma relação de comparaçãoExemplo 3: Janine acaba de receber 3 francosda avó. Tem agora 8 francos: Quanto é queela tinha antes?Exemplo 5: Suzanne tem 3 francos no bolso.Berthyl tem 8. Quanto é que Suzanne tem amenos que Berthyl?-como uma diferença entre transformaçõesi4 - L...I 1I-..-'Exemplo 6: Frédéric jogou duas partidas de berlinde. Na segunda ganhou 3 berlindes. Ele já nãose lembra do que se passou na primeira partida. Mas quando ele, no fim. conta os berlindes.apercebe-se de que ganhou 8 berlindes ao todo. O que é que se passou na primeira partida?-poderiam ser propostas outras categoriasde problemas, por exemplo:(Ver figura 7 na página segUente)Pode-se facilmente imaginar as dificuldadesque as crianças podem encontrar na extensãoda significação da subtracção a estesdiferentes casos, a partir da sua concepçãoprimitiva da subtracção como ((diminuição)).Cada um dos casos atrás evocados supõeum cálculo relacional (cálculo sobre relações)distinto; e, no entanto, todos estes cálculosrelacionais conduzem it escolha damesma operação aritmética 8-3.Os investigadores começam a conhecerbastante bem os meios através dos quais ascrianças abordam estes diferentes problemas(Carpenter, Moser & Romberg, 1981) e as77

oEncontrar a segundatransformaçãoFig. 7oOetapas por que passam, no decurso dos longosanos do ensino elementar ... e do ensinosecundário. A maior parte das criançasdepara com dificuldades, na adição e nasubtracção de transformações ou de reiações,até ao fim do ciclo dos liceus e mesmopara além dele.Observam-se conflitos importantes e duradoudosentre as concepções das criançase os conceitos do professor de matemática.Por exemplo, num grande número de problemas,as concepções das crianças são melhorrepresentadas por um modelo de operaçãounário que pelo modelo da lei de composiçãobinária. Com efeito, a adição podemuitas vezes ser encarada segundo o modelode uma operação externa de Z sobre N (sese raciocinar com inteiros).m 7/ m pode ser positivo ou negativopor exemplo n = 6 m = + 4Encontrar atransformação totale não segundo o modelo da lei interna emN, que apenas reflecte bem a composiçãode duas quantidades.por exemplo n = 6 m = 4As transformações no tempo e as relaçõesde comparação não podem ser adequadamenterepresentadas por uma composiçãode duas quantidades (lei binária interna),pois elas envolvem números relativos.Por outro lado, o modelo da operaçãounária está mais próximo da concepção primitivadas crianças (partir de um estado inicial,agir). Veremos outras consequênciasdeste desfasamento entre concepções do sujeitoe conceitos matemáticos quando abordarmosas representações simbólicas.Os professores não deveriam ignorar ofacto de as concepções dos alunos serem78

modeladas pelas situações da vida quotidianae pela sua ((primeira compreensão))das relações novas com que deparam. Elestêm de saber com que é que lidam, e conhecerou reconhecer melhor as concepçõesmais primitivas, os erros e as incompreensõesque se lhes seguem, o modo pelo qual elasmudam ou podem mudar: através de quesituações? De que explicações? De que etapas?Os problemas de ensino das matemáticasnão se resolvem por definições, e as concepções erradas dos alunos só podem mudarverdadeiramente se entrarem em conflitocom situações que elas não permitem tratar.E essencial que os professores possam perspectivare dominar o conjunto de situaçõessusceptívei, que levem e ajudem os alunos a((acomodarem)) os seus pontos de vista e osprocedimentos a novas relações (a inversão,a composição e a decomposição de transformações,por exemplo) ou dados novos (grandesnúmeros, decimais, fracções...). 33 a únicamaneira de levar os alunos a analisaremas coisas com mais profundidade e a reveremou ampliarem as suas concepções.A resolução do problema é a origem e ocritério do saber operatório. Devemos tersempre esta ideia em mente e sermos capazesde proporcionar aos aiunos situaçõesque visem alargar a significação de um conceitoe pôr a prova as competências e asconcepções dos alunos. B essencial tantopara uma teoria das situações como parauma teoria do conhecimento operatório.Esta declaração pode parecer excessivamentevirada para as aprendizagens práticas,mas não o é; concepçijes e competênciassão duas faces de uma mesma moeda;as competências estão sempre ligadas a tertasconcepções mesmo se são fracas e fragmentadas.Não há procedimento que se possadesenvolver e sobreviver por si próprio, livrede todas as representações das relações deque trata ou que implica. Reciprocamenteum conceito ou um teorema que não possamser utilizados em situações-problema em quesão pertinentes permanecem vazios de sentido.Assim, não existem só problemas práticos.Existem também problemas teóricos como,por exemplo, a extensão da multiplicaçãoaos números relativos: a multiplicação dedois números negativos não pode ser reduzidaa um problema prático verdadeiramentesignificativo da multiplicação, salvo se seconsiderar a utilização do cálculo algébricocomo um problema prático. Digamos quemuito mais que a coerência dos cálculos oproblema eminentemente teórico aparecetambém como um problema prático. Estadialéctica não é apenas um simples efeitoretórico: prática e teoria estão em últimaanálise indissoluvelmente ligados.2. UMA ABORDAGEMDESENVOLVIMENTALISTAAs Concepções e as Competências desenvolvem-se(UE longo de um período de tempo.Isto não é verdade apenas para as estruturasgerais do pensamento mas também paraos conteúdos dos conhecimentos. Por exemplo,os conceitos de fracção e de relação têmas suas raízes nas actividades que têm umsignificado para os alunos de 7 a 8 anos,quando se trata de valores simples como3 ou ã; e, entretanto, o conceito de númeroracional é uma fonte durável de dificuldadepara os alunos de 15 ou 16 anos e paramuitos adultos. No que concerne as estruturasaditivas ainda que alguns princípios daadicção e da subtracção sejam compreendidospelos alunos de 3 ou 4 anos, 75Vo dosalunos de 15 anos falham em problemascomo os seguintes (Marthe, 1982):Exemplo1 7: Jean recebeu 45 francos dasua avó. Em seguida vai a um grande armazéme compra coisas diferentes. Quandoconta o seu dinheiro, nota que tem 37 fran-79

cos a menos do que tinha antes de recebero dinheiro da avó, Quanto gastou?Exemplo 8: O senhor Dupont é viajantecomercial. Conheça por descer ao longo dovale do Loire, 35 km para Oeste; depoisparte para Este. Quando pára, encontra-sea 47km a Este do seu ponto de partida demanhã. Qual é a distância percorrida durantea segunda parte do seu trajecto?Ora os mesmos alunos de 15 anos receberamum ensino sobre as relações de Chaslesem geometria que são directamente pertinentespara o exemplo 8.-AC=AB+BC j BC=ÁC-ÁBa = alas (B)-abs (A)assim como um ensino de algebra que ihesdeveria permitir resolver qualquer equaçãoda forma:Não contando com a dificuldade queexiste em conceber plenamente as transformaçõese as relações que estão implicadasnos exemplos 7 e 8.A descrição de estadios gerais de desenvolvimento,como os descritos por Piaget OUpor outros psicblogos do desenvolvimentonão permite compreender o desenvolvimentodas «competências-conhecimentos))implicados nos problemas de subtracção acimacitados. São necessários modelos bastantemais finos, directamente associados aocontexto matemático dos problemas.A primeira prioridade é, portanto, eco^nhecer a variedade das classes de problemaspossíveis, de analisar com cuidado a sua estruturae as operações de pensamento necessáriaspara as tratar. Por exemplo, não é amesma operação de pensamento inverteruma transformação directa (exemplo 3), encontrarum complemento (exemplo 2), ouencontrar uma diferença (exemplo 5). Tam-bém não é a mesma operação, no exemplo3, inverter a transformaçãon-3ou formular uma hipótese sobre o estadoinicial, e corrigi-la depois do ensaio.t.31- -1' 4 ; _I___t) 7 4+3=7I - -isto não dá$3' 5 ;-b 8 5+3=8isto dáI- -1 - -A evidência, estes dois ((raciocínios)) nãotêm a mesma força; o segundo tem apenasum valor local e depende muito dos valoresnuméricos tomados pelas variáveis. Os pequenosnúmeros inteiros, alguns números redondos(300-800) permitem resolver certosproblemas através de procedimentos não canónicos.Um meio possível de levar os alunosa pesquisar e dominar os procedimentoscom maior poder e concepções mais gerais,é justamente mudar os valores numéricos, eutilizar, por exemplo, números grandes ounúmeros decimais (Brousseau, 1981).Evidentemente, que isto não 6 independentedo desenvolvimento cognitivo dos alunos;e a descrição da complexidade relativados problemas e dos procedimentos assentalargamente sobre uma abordagem desenvolvimentalista(ou psicogenética) da aprendizagemdas matemáticas. E3 de salientar, aomesmo tempo, que esta descrição, para tersentido, não deve considerar um conjuntorestrito de problemas, nem um períodomuito curto do desenvolvimento das criançasou da escolaridade. Podemos encontrar,80

com efeito, desníveis de vários anos entrecrianças para a mesma competência; e ascondutas observadas para um problema, sóadquirem o seu sentido se as pudermos reportara condutas observadas noutros prublemas (da mesma categoria ou de categoriadiferente).Existem fortes correlações, fortes hierarquiase também numerosas situações metafóricasno tratamento dos problemas numéricos.53 esta consideração que me conduziuA convicção que é necessário, para compreendero desenvolvimento e a apropriaçãodos conhecimentos, estudar conjuntos bastantevastos de situações e conceitos ou sejacampos conceptuais. Estudar a aprendizagemde um conceito isolado, ou de uma técnicaisolada, não tem sentido, praticamente.Antes de explicar o que entendo por(campo conceptual)) e por ((teorema emacta)), sobre o exemplo das estruturas aditivas,queria concluir brevemente este parágrafoacerca do desenvolvimento.A lentidão do densenvolvimento dos conhecimentosé perigososamente subestimadapelos professores, pelos pais e pelos programas.Por exemplo, considera-se frequentementeque um capítulo de matemáticas estudadodeve estar compreendido, pelo menospor uma parte importante dos alunos, peloque no ano seguinte podemos considerá-locomo adquirido. Todas as investigações empíricasmostram, pelo contrário, que serámuito mais sensato voltar às mesmas coisasano após ano indo um pouco mais profundamente,introduzindo situa@es cada vezmais complexas contendo novos aspectos,mais poderosos, de um mesmo conjunto deconceitos, eventualmente um conceito novo.As actividades de resolução do problema oudo tratamento de novas situações deveriamser largamente previligadas, uma vez que éverdade que existem diferentes categorias deproblemas, e que apelam ao domínio de propriedadesdiferentes de um mesmo conceito..É um aspecto essencial para uma abordagemdesenvolvimen talista.3. OS CONCEITOSDE ((TEOREMA-EM-ACTO))E DE «CAMPO CONCEPTUAL))I3 largamente reconhecido, em educação,que a actividade dos alunos deve ser favorecidaporque é o único meio que Ihes permiteconstruir ou apropriar-se de um saberoperatório. No entanto, não se reconheceem que é que esta aqão em situação favurece a formação do conceito. Neste pontofalta-nos clarificar um problema teórico essencial.Os matemáticos e os professores sabemem geral o que é um invariante: uma propriedadeou uma relação que é conservadasobre um certo conjunto de transformação.Por exemplo em geometria, a rotação e asimetria conservam certas propriedades dasfiguras, a homotetia não conserva as mesmaspropriedades bem como a projecção.Mas os matemáticos e os professores nemsempre reconheceram o facto bem estabelecidopela psicologia cognitiva desenvolvimentalista(e por Piaget em primeiro lugar)que existem numerosos invariantes cujaidentificação pelas crianças dá lugar a umalaboriosa e progressiva construção, enquantoque o adulto não imagina que isso possaconstituir um problema.Piaget, identifica o primeiro de alguns destesinvariantes e, nomeadamente, invariantesespaciáveis (Piaget, 1948) e invariantesquantitativos (Piaget, 1941, 1978):-o cardinal de uma colecção quando semuda a disposição espacial.- a quantidade de sumo de laranja quandose transfere de um copo largo paraum estreito.etc.. . .Não é evidente, para a criança pequena, quehá mais sumo de laranja quando este sobemais alto (no copo estreito)?Os invariantes constituem um tema te6-rico recorrente na obra de Piaget, e, este,

por isso não reconheceu plenamente a importânciados invariantes mais numerososem matemáticas e em física: os invariantesrelacionais. Por ((invariante relacional)), designouma relação que permanece invariantepara um conjunto de transformaçõesde operações ou de variações.Tomemos um exemplo nas relaçGes de parentesco:para uma criança não é fácil percebera ideia que a relação ((filho de» é verdadeiraao mesmo tempo para ele e seu pai,para ele e sua mãe, o seu amigo Mathieu eos pais de Mathieu, e até o seu próprio paie os seus avós: como é que o seu pai podeser ao mesmo tempo pai e filho?Problemas semelhantes são levantados pelasrelações espaciais (atrás, a oeste de...),as relações de ordem entre grandezas e entrenúmeros (maior que, múltiplo de, n maiorque.. .) e por outras relações.Ao lado destas relações binárias as criançasencontram, mesmo em idades precoces,relações do mais alto nível lógico a que chamamosnormalmente teoremas: por exemplose Pedro nasceu antes de Janine e Janineantes de Robert, Pierre nasceu antes de Robert;se Joel e André estão face a face, obraço direito de J&I está em frente do braçoesquerdo de André; se se conta uma colecçãoA e depois uma colecção B obtém-se omesmo resultado que se se contar a colecçãoB e depois a colecção A.A criança encontra um grande númerodestes teoremas assim que actua sobre o reale que resolve problemas no espaço, no tempo,no domínio das quantidades e das grandezas.Estes (deoremas-em-acton não são,evidentemente, expressos sob uma formamatemática, nem mesmo as vezes sob qualqueroutra forma. E por esta a razão que euos chamo ((teoremas-em-acto». A maiorparte das vezes apenas têm uma validadelocal para as crianças e são associados a certosvalores de variáveis, constituindo istouma primeira base que poderá ser alargadaem seguida.O fim essencial de uma análise cognitivadas tarefas e das condutas é identificar taisteoremas-em-acto, mesmo se isto não for fácil,e se não for fácil de chegar a um acordosobre os critérios comportamentais destesteoremas.Tomemos o exemplo do terceiro exiomada teoria da medida.Y X ,Ym ( x* ) = m(x) + m(y), dado quea operação seja adequadamente escolhida.No caso das quantidades discretas e doscardinais, este axioma torna-sey x, Y card (XUY)=card (X)+card cy)dado que a operação de união seja umaunião dijunta (XnY= 0). Um tal axiomaé utilizado necessariamente por uma criançaquando, para pôr a mesa, conta as pessoasque estão na sala e as pessoas que estão nojardim, depois soma os dois números parasaber quantas pessoas há ao todo. É umprocedimento mais económico (e socialmentemais aceite) que juntar todas as pessoasno jardim para contar o conjunto.Realizaram-se numerosos trabalhos sobreas primeiras aprendizagens da adição que nosmostram a emergência progressiva de talteorema-em-act o.O procedimento que consiste em não contaro todo quando se contou já as partes,mas a ((antecipar a contagem)) (counting on)partindo do cardinal do primeiro conjuntoe contando tantas vezes quantas os elementosdo segundo conjunto.AxxxxxBoitonove.............. NOVEconstitui uma etapa crucial no reconhecimento,pela criança, da propriedade dasmedidas acima enumeradas.82

Este procedimento implica, de resto, umoutro teorema importante$1 +1 ... +1m,n m 4 -b -b m+n.n vezesEste procedimento de ((antecipar a contagem))é uma etapa intermediária decisivaentre o procedimento que consiste em contaro todo, e o procedimento que consisteem adicionar m e n. Para mais detalhespodemos reportarmcmos a Fuson (1981).Assim, há muitos outros axiomas e teoremasimplicados na construção do conceitode número natural como medida de quantidadesdiscretas. Alguns destes são percebidose apropriados desde os 3 ou 4 anos deidade, outros somente aos 6 ou 7 anos;outros são ainda difíceis para as criançasde 9 anos.3 ,-A. 4...2-...+2quaisquer que sejam os objectos contados+1 +1é equivalente a 2 __O Y+1 +1 +12 -+3 é equivalente a 2 -P _O __Dn .+2,m , ta2 s+1 +lé equivalente a n __P -+-+1é equivalente a m+1 . .. +1 (n vezes)__eé equivalente a 5 +2o número de elementos de uma colecção não depende da sua disposiçãoespaciável (conservação)cmd (A UB) = card (A) + card (B) (ver acima)A Cy + card (A) < card (B) (inclusão)Muitos outros teoremas podem ser identificados,sendo necessários para resolver osproblemas de adição ou de subtracção comoos dos exemplos 1 a 8 mais acima. Seráfastidioso enumerá-los mas são de umagrande diversidade.A paisagem das estruturas aditivas é muitomais complexa do que se espera através deum breve olhar. O mesmo se verifica nasestruturas multiplicativas (Vergnaud, 1983).Isto resulta ao mesmo tempo que a diversidadedas situações de adição e de subtracção,que a diversidade dos procedimen-tos de tratamento e, veremos mais adiante,que a diversidade das representaçóes simbólicas.Isto resulta também da muito progressivae lentíssima compreensão, pelas crianças,das propriedades das relações em jogo.33 esta diversidade que me levou a falarde campo ccrnceptual. Um conceito pode serdefinido, com efeito, como um tnplet detrês conjuntos (S, I, J):S: o conjunto de situações que dão sentidoao conceito;83

I: o conjunto de invariantes que constituemas diferentes propriedades doconceito;J: o conjunto das representações simbólicasque podem ser utilizadas.Abordarei, mais adiante, o problema dasrepresentações simbólicas. Limitar-me-eiaqui a três considerações essenciais para acompreensão do que é um campo conceptua1 e as razões pelas quais é necessárioestudar os tais campos e não os conceitosisolados.-Uma situação dada não põe, geralmente,em execução todas as propriedadesde um conceito. Se queremosfazer os alunos encontrar todas estaspropriedades é preciso fazer, necessariamente,referência a uma diversidadede classes de problemas.-Uma dada situação não põe habitualmenteem jogo um único conceito; asua análise requer, a maior parte dasvezes, vários conceitos, e as dificuldadesencontradas pelos alunos derivam,em geral, de vários conceitos. Porexemplo, os’ problemas da adição e desubtracção podem implicar os conteitosde medida, de transformação, decomparação, de diferença, de inversão,de operação unária, de operação binária,de número natural, de número relativo,de função, de abcissa e aindade outros.-A formação de um conceito, particularmentese o considerarmos atravésdas actividades de resolução de problema,cobre, em gera1, um períodode tempo muito longo, com muitasinteracções e desníveis. Não se podecompreender a significação dos errosou dos procedimentos de uma criançade 13 anos se não se conhece de quemaneira são formadas as suas concepções e competências na idade de 8 ou9 anos, ou mesmo de 4 ou 5 anos, ea maneira como estas concepções ecompetências evoluíram através de umamistura de situações, de definiçijes, deinterpretações e de representações simbólicas.143 um facto que os alunos tentam darsentido as novas situações e novos conceitosaplicando, adaptando-os, os seus conhecimentosanteriores. Como poderiam fazerde outro modo?A consequência principal destes três pontosé que os psicólogos e os didácticos nãodevem tomar como objecto de estudo objectosmuito pequenos, mas, pelo contrário,campos conceptuais bastante iargos. A faltadisto o risco maior é de não poder compreendero processo complexo e laboriosopelo qual as crianças e os adolescentes dominam(ou não dominam) as matemáticas.Um campo conceptuel pode ser definidocomo wn conjunto de situqões cujo domíniorequer uma variedode de conceitos, deprocedimentos e de representações simbólicmem estreita conexão.Esta definição não se quer rigorosa; ‘elareenvia muito mais para um conjunto desituações que para um conjunto de conteitos.A descrição de um campo conceptualrequer ao mesmo tempo a análise das situações(ou dos problemas), a análise dos procedimentosde tratamento utilizados pelosalunos, os propósitos que têm e suas argumentações,as representações simbólicas queutilizam. O uso de uma representação simbólicapode ser uma ajuda eficaz, mesmocrucial, podendo também dar lugar a graveserros de interpretações.Mas antes de abordar a questão das representaçõessimbólicas, é necessário fazerainda duas chamadas de atenção:- O desenvolvimento dos conhecimentospráticos e teóricos de uma criança faz-seatravés de campos conceptuais: alguns sãode ordem matemática (as estruturas aditivas,as estruturas multiplicativas, o espaço...),outros são de ordem física (a dinâ-84

mica, a electricidade.. .) ou económica (ascompras e os preços, os ganhos e as perdas...), outros são de ordem lógica (classificações,lógica de proposições e operaçõesbooleanas.. .). Estes campos conceptuais nãosão independentes mas interagem entre eles.- Os teoremas-em-acto evocados maisatrás englobam uma grande variedade deconteúdos e permitem avaliar e analisar,de maneira rigorosa, os conhecimentos dacriança: quais são operatórios e quais nãosão? Com efeito, é necessário sublinhar quecertos conhecimentos apreendidos e pretensamenteconhecidos dos alunos podem nãoser utilizáveis pelas crianças: teoremas quenão são teoremas-em-acto. Ao contrárioexistem conhecimentos operatórios construídosespontaneamente pela criança quenunca tomam a forma de verdadeiros enunciados:teoremas-em-acto que não são teoremas.Um dos problemas do ensino e dadidáctica é favorecer a transformação dosteoremas em teoremas-em-acto e reciprocamente.4. A REPRESENTAÇÃODAS RELACÕES ENTRESIGNIFICADOS E SIGNIFICANTESRecordemos, em primeiro lugar as principaiscategorias de relações implicadas nasestruturas aditivas.Os esquemas utilizados no quadro I remetempara símbolos diferentes, para a representaçãodas composições binárias, e paratransformações e comparações; o mesmopara a representação dos números naturais(medidas) e dos números relativos (transformações,comparações, dívidas ou créditos,abcissas.. .).(ver Q dro I na página seguinte)Os exemplos 1 a 8, propostos neste artigo,não reenviam a nenhuma relação do tipo Vou do tipo VI. N6s apenas abordamos, aqui,uma parte das estruturas aditivas. O qua-dro I mostra uma grande variedade de problemas,sobretudo se se considera que, paracada relação, existem várias classes de problemas.Tomemos a relação 11: ela dá lugar a seisclasses de problemas dado que se procurao estado final, a transformação, e o estadoinicial, e dado que a transformação é positivaou negativa. Quatro destes problemasapelam para uma subtracção, os dois outrospara uma adição. Na relação IV, o númerode classes de problemas é muito maior porqueo signo das transformações intervêmpara cada uma dentre elas assim como ovalor absoluto (para mais detalhes verVergnaud, 198 1).A escolha de esquemas facilita a comunicação,porque estes permitem distinguir casosque os alunos justamente consideramcomo distintos. Uma representação algébricafaz perder muita informação porqueidentifica sob o mesmo sinal (f, -, =)conceitos elementares relativamente diferentesuns dos outros.Enumeremos algumas das identificaçõespelas quais a álgebra adquire a sua força,e confunde ao mesmo tempo objectos que,muito frequentemente, permanecem diferentespara os alunos.- Identificação dos números naturais aosinteiros positivos (mesma coisa para osdecimais ou os reais).-Identificação A mesma operação deadição (representada pelo sinal +) dasoma de duas medidas, e a aplicaçãode uma transformação positiva, dacomposição de duas transformações, ea inversão de uma transformação negativa,etc.. .-Identificação A mesma operação desubtracção (representada pelo sinal -)da aplicação de uma transformaçãonegativa, da diferença entre medidas,entre estados, entre transformações, dainversão de uma transformação positiva,etc ...85

QUADRO 1Principais relações aditivasOO- UI1 Transformação duma medidaI Composição de medidasn?oO111 Comparação de medidasO 0OIV Composição de transformaçõesOV Transformaçãoduma relaçãoOicO'VI Composição derelapesLegenda:0 medida: número sem signo0transformação ou reíaçgo: número com signo--.+ transformação (mudança de estado)4relação (entre estados)86

- Identificação de diferentes significaçõesdo sinal de igualdade: é o mesmo que,dá como resultado, é equivalente a.Tudo isto é perfeitamente legítimo e necessáriomas sob que condições, com queexplicações e a que nível escolar?A relação I1 é caracterizada por umaspecto dinâmico (transformação no tempo),a presença de uma operação unáriapositiva ou negativa, a presença de umarelação parte-todo entre estados. Estas sãoduas situaqões relevantes da relação I1 queestão na origem das concepçks primitivasda criança: a adição, é uma quantidade quecresce, 0 a subtracção é uma quantidade quedecresce (Starkey e Gelman, 1981). Pode-se,portanto, esperar dificuldades assim que ascrianças têm que alargar a outras classesde problemas e a outras relações as suasconcepções da adição e da subtracção. Porexemplo, as relações I e I1 não comportamo aspecto temporal. A relação I11 não comportaa relação parte-todo.Estas considerações têm relações estreitascom o problema das representações simbólicas.Tomemos ainda três exemplos de problemas:Exemplo 9: Pierre tem 5 berlindes. Jogauma partida com os amigos e ganha 7 berlindes.Quantos berlindes tem agora?Exemplo 10: Robert acaba de perder 7berlindes. Tem agora 5 berlindes. Quantosberlindes tinha ele antes de jogar?Exemplo 12: Thierry acaba de jogar duaspartidas de berlindes. Na segunda partidaperdeu 7 berlindes. Quando conta os seusberlindes, no fim, aperecebe-se que ganhou5 berlindes. O que se passou na primeirapartida?IÉ interessante saber que o problema «Robert»é resolvido l a 2 anos mais tarde queo problema «Pierre» e que o problema«Thierry» tem 75 ?do de fracassos na sixiéme.Isto pode-se explicar pelo facto de que oproblema «Pierre» consiste em encontrarum estado final.WPierre r;l ------(>Oenquanto que o problema «Robert» consisteem encontrar um estado inicialo______E)e que o problema «Thierry» consiste emencontrar uma transformação. no caso maiscomplexo da composição de duas transformaçõessucessivas.Representar estes três problemas porequações e por diagramas de conjuntos @eem evidência dificuldades muito desiguais.87

Por exemplo, pode-se representar o problema ttPierre)) assim:equação 5+7= 0esquemadiagrama de conjunto5Estas três representações são aceitáveis e representam ao mesmo tempo o problemae o procedimento da resolução.O mesmo não se passa para o problema «Robert».o - 7 =5 5 + 7 =Representaçãodo problemaRepresentaçãoda solução+70 5 5 5 - 0NADA =5 7Vê-se que a representação do problema«Robert» e a do procedimento de resoluçãosão diferentes. As crianças têm dificuldadeem representar simbolic&ente o problema;isto raramente Ihes é ensinado. Por outrolado o problema «Robert» não pode serrepresentado por um diagrama englobalizante,porque este simbolismo-não permiterepresentar as transformações negativas.OA situação é pior para o problema«Thierry»: as representações correctas doproblema são uma equação emx + (-7) = (+ 5)e o esquema da composição de transformações88

a solução que os alunos dão habitualmente5+7=12(quando eles a encontram). Não tem nadaa ver com a representação do problema.Tomemos um último exemplo (exempio12):Exemplo 12: Juliette jogou ao berlinde demanhã e de tarde. De manhã ganhou 14berlindes. De tarde perdeu 31 berlindes.Quando conta (4s berlinds ?i noite, conta 23.Quantm tinha ela de manhã antes de jogar?O esquema do problema é o seguinte:Entre as soluç6es dadas pelos alunos,retenhamosas quatro seguintes:A 23 i- 31 = 54- 14 = 40B 23+31 =5454- 14 = 40C 31-14=17+23=40D 14-31 = 1717 + 23 = 40.A solução A representa um tratamentocompletamente aceitável do problema: partirdo estado final, juntar o que tinha sidoperdido e separar os que foram ganhos.Mas a escrita viola a simetria e a transitividadedo sinal de igualdade.A solução B não viola estas propriedades.Ela pode ser considerada como melhor.Mas, com efeito, é essencialmente o mesmoprocedimento que A. Como A, representao procedimento de resolução e não o problema.O sinal de igualdade é provavelmenteinterpretado como o anúncio doresultado (isto dá ...) e não como uma relaçãode igualdade.A solução C leva a um outro comentário.Ainda que viole também a simetria e atransitividade do sinal de igualdade esteprocedimento assenta sobre um raciocíniodiferente das soluções A e B: primeirocompõem-se as transformações e aplica-sedepois o inverso da transformação encontrandoassim o estado final.A solução D que repousa sobre o mesmoraciocínio que C, revela uma nova falta aonível da escrita: 14-31 = 17. Mas estafalta assenta de facto sobre a pesquisa dadiferença entre uma transformação positiva(+ 14) e uma transformação negativa(- 31). Terá, o aluno, direito de ficar contentecom a sua solução?Vemos, assim, que existem muitas fontesde desnfveis entre significantes e significadosnas estruturas aditivas. Alguns sistemassimbólicos não permitem representar todosos problemas, ou não permitem distinguirentre a representação dos problemas e arepresentação das soluções. Enfim, algunssistemas simbólicos veiculam significaçõesmatemáticas standwd. Como ajudar os alunosa preencher estas lacunas?5. CONCLUSÃOA conclusão será breve. A análise precisados conteúdos conceptuais dos problemas deadição e de subtracção leva a distinguirvárias relações muito diferentes umas dasoutras, e uma grande diversidade de problemas,de procedimentos, de representaçõessimbólicas.O desenvolvimento das concepções e dascompetências da criança é um percursocomplexo através deste conjunto. Para percebertal percurso é preciso analisar, em89

detalhe, as condutas dos alunos em situação,as suas formulações, os seus procedimentos,os afastamentos entre as exigências do professore as tentativas dos alunos.A paisagem das estruturas aditivas é complexa:as dificuldades encontradas pelos alunosao nível do «Collége» e mesmo do liceusão testemunha disso. O percurso nestecampo conceptual maciço comporta muitasmetáforas, incompreensões e mal entendidos,e estranhas relações entre significantese significados que se ligam desde a escolaprimária. Se os actos contam mais que aspalavras e que os escritos, é necessário daruma grande importância aos teoremas-em--acto descobertos ou compreendidos intuitivamentepelas crianças em situação. Masnão se explica sem recorrer a palavras e asinais sobre o papel; as ciladas são inúmeras,e reenviam-nas para as múltiplas significaçõesda adição e da subtracção. Como podemos professores não estarem prevenidos?BIBLIOGRAFIABROUSSEAU, G. (1981)-«Probl*mes de didactiquedes décimaux)), Recherches en didactiquedes mathématiques, 2, 37-125.CARPENTER, J. P.; MOSER, J. M. e ROM-BERG. T. A. (Eds.) (1981)-Addition andSubfracfion: a cognitive perspective. Hillsdale,N. J.; Lawrence Erlbaum.FUSON, K. (1981)-An analysis of the counting-onsolution procedure in addition. In:Addition and Subtraction: a Cognitive Perspective,Carpenter, T. P.; Moser, J. M.; Romberg,T. A. (Eds.), Hillsdale, N. J.; LawrenceErlbaum.MARTHE, P. (1982)- Prohlèmes de type additifet appropriation par I’élève des groupesadditifs. These de troisikme cycle. Paris, Ecolesdes Hautes Etudes en Sciences Sociales.PIAGET, J. e SZEMINSKA, A. (1941)- Lu genèsedu nombre chez I’enfant, Genève, Delachauxet Niestlé.PIAGET, J. e INHELDER, B. (1948)-La représentationde l’espace chez l’enfant, Paris,PUF.PIAGET, J. e INHELDER., B. (1978)- Ledéveloppement des quantités physiques chezI’enfant, Genève, Delachaux et Niestlé.STARKEY, P. e GELMAN, R. (1981)-Thedevelopment of addition and subtraction abilitesprior to formal schooling in arithmetic.In Addition and Subtraction, a cognitiveperspective. Carpenter, T. P.; Moser, J. M.;Romberg, T. A. (Eds.); Hillsdale, N. J.; LawrenceErlbaum.VERGNAUD, G. (1981) -L’enfant, la mathématiqueet Za réalité. Berne, Peter Lang.VERGNAUD, G. (1981)- A classification ofcognitive tasks and operations of thoughtinvolved in addition and subtraction problems.In Addition and Subtraction: a CognitivePerspective. Carpenter, J. P.; Moser, J. M.;Romberg, T. A. (Eds.); Hillsdale, N. J.; LawrenceErlbaum.VERGNAUD, G. (1983)- Multiplicative structures.In Acquisition of Mathematics Conceptsand Processes. Lesh, R.; Landau, M. (Eds.).Academic Press.90